úåòë

13.2.8. Метод зеркальных изображений
Метод основан на втором следствии теоремы единственности и
применяется для расчета поля заряженных тел, расположенных вблизи
границы раздела двух сред, имеющей правильную форму (плоскость,
цилиндр, сфера). Рассмотрим принцип расчета на примере плоскопараллельного поля заряженного тела вблизи проводящей плоскости.
Пример 13.6. Поле прямолинейного провода над землей.
Известна линейная плотность заряда  провода с радиусом r0
расположенного на расстоянии h от земли, чью поверхность будем
считать плоской (рис. 13.7,а).
Определить потенциал провода и распределение индуцированного заряда по поверхности земли.
Решение
Очевидно, картина электростатического поля в воздухе будет такой же, как в верхней полуплоскости системы двух параллельных проводов с одинаковыми зарядами противоположного знака (рис. 13.7,б),
поскольку граничные условия на плоскости нулевого потенциала одинаковы в обеих задачах. А решение последней уже найдено в примере 13.4.
a
h
h
e0
g
j= 0
j= 0
E-
E+
E
e0
e0
h
a
а
б
Рис. 13.7
В частности, после замены в формуле (13.29) d на 2h получим
значение потенциала провода:
136
h

2

h
j0 =
ln  
 1 .
(13.32)
2
2e0  r0

r
0


Чтобы выяснить распределение индуцированного заряда по поверхности земли, воспользуемся граничным условием на поверхности
раздела проводника и диэлектрика (13.21):  = D = e0 E , причем векторы E и D нормальны к поверхности земли. Найдем величину E в точке, отстоящей от проекции оси на расстоянии a (рис. 13.7,б), методом
наложения, сложив составляющие напряженности электрического поля
от действия реального и фиктивного зарядов. Каждая из этих составляющих может быть вычислена по формуле (13.24):
E = E = Ea =  /(2e0r ), где в данном случае r = a 2  h 2 . При
сложении векторов
E+ и E–
их касательные составляющие
E = Ea sin a
уничтожают
друг
друга,
а
нормальные
En = Ea cos a = Ea h / r
удваиваются.
Поэтому
h
h
 = e0 E = 2e0 En =
=
.
2
2
2
r
(a  h )
Таким образом, чтобы рассчитать поле заряженного тела в диэлектрике вблизи плоской границы с проводящей средой, нужно заменить проводящую среду диэлектрической и разместить в ней зеркальное
изображение этого тела с зарядом той же величины, но противоположного знака. При этом тело может иметь любую форму (разумеется, поле
тогда может не быть плоскопараллельным). Метод применим и при
наличии нескольких заряженных тел. Только каждое из них взамен проводящей среды должно получить свое зеркальное изображение с переменой знака заряда. А затем следует использовать метод наложения.
Метод зеркальных изображений может быть использован и в том
случае, когда диэлектрик ограничен двумя проводящими плоскостями,
сходящимися под углом a =  n , где n – целое число. При этом, кроме
реального заряженного тела, появятся несколько зеркальных изображений с одинаковыми зарядами и чередующимися знаками.
Например, при расчете поля провода вблизи прямого двугранного
угла, образованного проводящими плоскостями (a =  2), заданную
систему можно заменить четырьмя проводами в однородном диэлектрике (рис. 13.8).
137

a
a

b
b


Рис. 13.8
Применение метода зеркальных изображений упрощает процедуру расчета поля и вблизи границы раздела двух диэлектриков [2].
138