Волновое уравнение. Фазовая скорость волны. Обсудим динамику волн в стержне, рассмотренных в предыдущем параграфе. Пусть, в стержне распространяется поперечная волна. Мысленно выделим в стержне цилиндрический элемент длиной x , находящийся на расстоянии x от его левого конца (рис. 18.2). Если обозначить в волновом поле смещение основания цилиндра с координатой x в момент времени t через x, t , то смещение Рис. 18.2 основания x x будет x x, t . В зависимости от разности этих величин рассматриваемый цилиндрический элемент будет подвергаться деформации сжатия или растяжения (зависимость x, t - нелинейная). Определим относительное удлинение цилиндрического элемента Преобразовав x x, t x x, t x, t x x в ряд по степеням x, (18.9´) и считая x очень маленьким, будем иметь x, t . x (18.9) Согласно закону Гука, в стержне возникнет нормальное напряжение E E где E – модуль Юнга материала стержня. Обычно 1, так что из элементарного цилиндра равным (18.9´) 2 t 2 , x , а массу – (18.10) x и можно m x , взять где ускорение – плотность стержня, – площадь продольного сечения. Для применения второго закона Ньютона к рассматриваемому элементарному цилиндру определим равнодействующую нормальных сил, действующих на него в данный момент времени: 2 F x x x t x E 2 x , x x (18.11) где для получения последнего выражения использован закон Гука (18.10). Второй закон Ньютона дает 2 2 x 2 E x 2 , x x откуда 2 x, t 2 x, t 0. x 2 E t 2 (18.12) Полученное дифференциальное уравнение и есть волновое уравнение. Его общее решение имеет вид x, t f1 x ut f 2 x ut , где f1 и f2 (18.13) – произвольные функции, а u E (18.14) - скорость продольной упругой волны. Первый член общего решения волнового уравнения описывает волну, распространяющуюся по положительному направлению оси X, а второй член – в противоположном направлении. Задав начальные и краевые условия, мы конкретизируем вид решения (18.12). В примере полубесконечной струны (стержня) из начального условия (18.1) получаем f2 0 , а f1 x vt A sin t kx . То, что скорость продольных волн в упругой среде зависит от модуля Юнга, вполне понятно, так как распространение продольных волн сопровождается деформациями сжатия и растяжения среды. Подобным же образом можно показать, что скорость упругой поперечной волны дается формулой v G , (18.15) где G – модуль сдвига среды, так как распространение поперечных упругих волн связано с деформациями сдвига. Жидкости и газы лишены упругих свойств, связанных с деформациями сдвига. По этой причине поперечные упругие волны в жидкостях и газах распространяться не могут. Энергия волны. Вектор Пойтинга. Источник волн, деформируя примыкающие к нему объемы, непрерывно передает им энергию, которая перемещает волну в среде. Определим изменение энергии объема dV упругого стержня, обусловленного распространением в нем плоской продольной волны x, t A sin t kx . (18.16) В качестве объема dV выберем выделенный в предыдущем параграфе элементарный цилиндр. Кинетическая энергия, приобретенная им в волновом поле, будет равна dK v2 2 A2 2 dV dm dx cos 2 t kx . 2 2 2 Изменение потенциальной энергии равно упругой относительной деформацией ε элементарного цилиндра энергии, (18.17) обусловленной 1 dU E 2 dx 2 (18.18) С другой стороны, пользуясь выражениями (18.5), (18.9) и A k cos t kx 2 2 2 2 k 2v2 2 v t , получим v2 v2 2 , u E (18.19) где для получения двух последних выражений мы воспользовались формулами (18.8) и (18.14). Подставляя (18.19) в (18.18) будем иметь 1 dU dT v 2 dV . 2 (18.20) Это свойство характерно для любой одномерной бегущей волны. Изменение полной механической энергии рассматриваемого элементарного объема будет dE dT dU v 2 A2 2 dV cos2 t kx . Отсюда для плотности энергии плоской синусоидальной волны будем иметь w dE v 2 A2 2 cos 2 t kx dV . (18.21) Значит, кинетическая и потенциальная энергия волнового движения - периодические функции от x, t . Они колеблются в одинаковой фазе с одинаковыми амплитудами, равными A2 2 / 2 . Эти закономерности верны для любой упругой волны независимо от вида волнового фронта и деформации, так как они обусловлены механизмом распространения упругой волны. Очень важно, что полная механическая энергия волнового движения в любом объеме dV периодически меняется во времени. Это и есть основное энергетическое различие колебательных и волновых движений, поскольку в первом полная энергия постоянна (изменения кинетической и потенциальной энергий происходят в противоположных фазах). Распространение волны в упругой среде неразрывно связано с процессом передачи энергии от одних участков среды к другим. Именно поэтому при волновом движении объемная плотность энергии периодически меняется со временем в каждой точке среды. Волна переносит энергию. Скорость распространения энергии в волне равна скорости той поверхности, на которой плотность энергии имеет наибольшее значение. В плоской гармонической волне, как следует из формулы A2 2 1 cos 2 t kx , 2 поверхность, на которой обьемная плотность энергии волны максимальна - w wmax , определяется условием t kx 0 , откуда следует, что скорость распространения этой поверхности совпадает с фазовой скоростью волны u / k . Скорость w A2 2 cos 2 t kx переноса энергии, которая называется групповой скоростью волны, в общем случае не совпадает е ее фазовой скоростью. Перенос энергии волной характеризуется вектором Пойтинга или вектором плотности потока энергии. Это - энергия, переносимая за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны: dEuˆ , dtd cos (19.22) где dE – энергия, перенесенная через площадь d за время dt . Понятно, что она равна энергии, заключенной в заштрихованной области (рис. 18.3): dE wvdtd cos . Рис. 18.3 Учитывая последнее выражение в определении вектора Пойтинга, получим wuгр . (18.23) Значит, вектор Пойтинга – это произведение плотности энергии волны и групповой скорости ее распространения.