ПРАВИЛО XVIII Для этого требуются только четыре действия

ПРАВИЛО XVIII
Для этого требуются только четыре действия: сложение, вычитание,
умножение и деление; два последних здесь зачастую не следует производить,
как для того, чтобы невзначай не запутать чего-нибудь, так и потому, что
впоследствии они могут быть выполнены более легко.
Многочисленность правил часто проистекает из неопытности учителя, и
то, что могло бы быть сведено к единому общему предписанию, становится
менее очевидным, если разделяется на многие частности. Вот почему все
действия, которыми нужно пользоваться при рассмотрении вопросов, т.е. при
выведении каких-то величин из других, мы сводим здесь лишь к четырем
главным; то, каким образом они оказываются достаточными, познается из их
объяснения.
А именно, если мы приходим к познанию одной величины благодаря
тому, что мы знаем части, из которых она составлена, это делается
посредством сложения; если мы узнаём часть благодаря тому, что знаем
целое и превышение целого над той же самой частью, это делается
посредством вычитания; и какая-либо величина не может быть большим
числом способов выведена из других, взятых в абсолютном смысле, величин,
в которых она определенным образом содержится. Если же какая-либо
величина должна быть найдена на основании других, от которых она
совершенно отлична и в которых она никоим образом не содержится,
необходимо соотнести ее с ними каким-нибудь способом; и когда это
отношение, или соответствие, нужно обозреть прямо, тогда следует
пользоваться умножением, когда косвенно — делением.
148
Чтобы ясно описать два последних действия, надо знать, что единица, о
которой мы уже говорили, является здесь основанием и фундаментом всех
отношений и в ряде непрерывно пропорциональных величин она занимает
первую ступень, данные же величины содержатся на второй ступени, а
искомые — на третьей, четвертой и остальных, если соотношение прямое,
если же оно косвенное, искомая величина содержится на второй и других
промежуточных ступенях, а данная — на последней.
Действительно, когда говорится, что, как единица относится к а, или к
данному числу 5, так b, или данное число 7, относится к искомому, которое
равно ab, или 35, тогда а и Ь находятся на второй ступени, и ab, являющееся
их произведением, — на третьей. Равным образом, когда добавляют, что, как
единица относится к с, или 9, так ab, или 35, относится к искомому аbс, или
315, тогда abc находится на четвертой ступени и получается посредством
двух действий умножения ab на с, т.е. величин, находящихся на второй
ступени, и т.д. Равным образом, как единица относится к а, (или) 5, так а,
(или) 5, относится к а2, или 25; и опять-таки как единица относится к (а, или)
5, так а2, (или) 25, относится к а3, (или) 125; и, наконец, как единица
относится к а, (или) 5, так а3, (или) 125, относится к а4, т.е. к 625, и т.д.: ведь
когда одна и та же величина умножается на саму себя, умножение
производится так же, как и тогда, когда она умножается на другую,
совершенно отличную от нее величину.
Когда же теперь говорится, что, как единица относится к а, или 5,
данному делителю, так В, или искомое число 7, относится к ab, или 35,
данному делимому, тогда порядок является обратным и косвенным,
вследствие чего искомое В не может быть получено иначе, кроме как
посредством деления данного ab на а, также данное. Равным образом, когда
говорится, что, как единица относится к А, или искомому числу 5, так А, или
5,искомое, относится к а2, или 25, данному; или же как единица относится к
А, (или) 5, искомому, так А2, или 25, искомое, относится к а3, или 125,
данному, и т.д. Все это мы охватываем названием «деление», хотя следует
отметить, что последние из примеров такого вида заключают в себе большее
затруднение, чем первые, ибо в них чаще встречается искомая величина,
которая поэтому предполагает многие отношения. Ведь смысл этих примеров
тот же самый, как если бы было
149
сказано, что надо извлечь квадратный корень из а , или <из> 25, либо
кубический из а3, или из 125, и т.д.; такой способ выражения употребителен
у счетчиков. Или, если объяснить их также в терминах геометров, это то же
самое, как если бы было сказано, что надо найти среднюю
пропорциональную между той принятой величиной, которую мы называем
единицей, и той, которая обозначается а2, либо две средние
пропорциональные между единицей и а3, и т.д.
Из этого легко сделать вывод о том, каким образом двух названных
действий достаточно для отыскания любых величин, которые должны быть
выведены из других величин благодаря какому-либо отношению. После того
как мы поняли это, нам следует изложить, каким образом эти действия
должны быть рассмотрены воображением и каким образом они должны
также предстать перед глазами, для того чтобы затем мы наконец объяснили
их использование, или применение.
Если нужно произвести сложение или вычитание, мы представляем себе
предмет в виде линии или в виде протяженной величины, в которой должна
быть рассмотрена только длина: действительно, если нужно прибавить
линию
150
мы прикладываем одну линию к другой под прямым углом таким
образом:
Наконец, при делении, в котором дан делитель, мы воображаем, что
делимая величина представляет собой прямоугольник, одна сторона которого
является делителем, а другая — частным; так, если прямоугольник ab нужно
разделить на а,
из него убирают ширину а, и остается b в качестве частного:
.
Или, наоборот, если тот же прямоугольник делят на b, то убирают высоту b, и
а будет частным:
.
Что же касается тех делений, в которых делитель не дан, а только
обозначен через посредство какого-либо отношения, как, например, когда
говорится, что нужно извлечь квадратный или кубический корень и т.д., то
следует отметить, что в этих случаях и подлежащий делению, и все другие
термины нужно всегда представлять себе как линии, расположенные в ряде
непрерывно пропорциональных величин, первой из которых является
единица, а последней — делимая величина. О том, каким образом между
этой величиной и единицей должно быть найдено сколько угодно средних
пропорциональных, будет сказано в своем месте. Теперь же достаточно
уведомить, что здесь, как мы предполагаем, подобные действия еще не были
доведены до совершенства, так как они должны производиться при
посредстве непрямых и обратных актов воображения, а сейчас мы говорим
только о вопросах, которые следует обозревать прямо.
Что касается других действий, то они, конечно, весьма легко могут быть
осуществлены тем способом, которым, как мы сказали, их надлежит
понимать. Вместе с тем остается изложить, каким образом должны быть
подготовлены используемые в них термины; ибо, хотя, впервые занимаясь
каким-либо затруднением, мы вольны представлять себе его термины как
линии или как прямоугольники и никогда не приписывать этим терминам
других фигур, как было сказано в четырнадцатом правиле, тем не менее в
рассуждении часто бывает, что прямоугольник, после того как он был
образован умножением двух линий, затем следует представлять себе в виде
линии, для того чтобы выполнить другое действие, либо тот же самый
прямоугольник или линию, полученную в результате какого-то сложения или
вычитания, затем следует представлять себе как некоторый другой
прямоугольник, построенный на обозначенной линии, которой он должен
быть разделен.
152
Итак, здесь стоит изложить, каким образом всякий прямоугольник
можно преобразовать в линию и в свою очередь линию или даже
прямоугольник — в другой прямоугольник, сторона которого обозначена.
Это весьма легко сделать геометрам, если только они заметят, что в виде
линий, всякий раз когда мы, как здесь, сравниваем их с каким-либо
прямоугольником, мы неизменно представляем себе прямоугольники, одна
сторона которых является той длиной, какую мы приняли за единицу. Ведь
тогда вся эта задача сводится к положению такого вида: по данному
прямоугольнику построить другой, равный ему, на данной стороне.
Хотя это действие известно даже новичкам в геометрии, тем не менее
мне хочется объяснить его, чтобы не показалось, будто я что-либо упустил.
153