VI Открытый Кубок Нижнего Новгорода по математике. Апрель-май 2013 года 0–0.

VI Открытый Кубок Нижнего Новгорода по математике. Апрель-май 2013 года
1 игра Кубка. Игра «Домино». 6 класс. Решения. 30 апреля 2013 года
0–0. Каждый из 2013 делегатов съезда  рыцарь, который всегда говорит правду, или лжец, который
всегда лжёт. На заседании все делегаты по очереди поднимались на трибуну и каждый делал
заявление: «Среди сделанных ранее заявлений ложных ровно на 100 больше, чем истинных.»
Сколько рыцарей могло быть среди делегатов? (957 рыцарей. Очевидно, первым скажет правду
101-ый выступающий. После этого разность между числом выступавших лжецов и рыцарей
станет равной 99. 102-й солжёт и восстановит разность, равную 100, 103-й скажет правду и
снова нарушит баланс и т.д.: по индукции легко показать, что каждый чётный далее будет
лгать, а нечётный  говорить правду. Поэтому рыцарей на съезде (2013–99)/2 = 957.)
0–1. В примере на сложение двух чисел первое слагаемое меньше суммы на 2012, а сумма больше
второго слагаемого на 2013. Восстановите пример. (2013+2012=4025. Если из суммы двух чисел
вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое. Из условия следует, что второе
слагаемое равно 2012, а первое  2013.)
0–2. Сёстрам Оле и Лене в сумме 13 лет. Сколько им будет лет в сумме через 3 года? (19 лет. За 3 года
возраст каждой девочки увеличится на 3, значит, сумма изменится на 6 и будет равна
13+6=19.)
0–3. Из 35 шестиклассников 22 ученика выписывают журнал, 27 – газету, а 3 ученика не выписывают
ни газету, ни журнал. Сколько учащихся выписывают газету и журнал? (17. 32=353 ученика
выписывают газету или журнал, а 10=3222 из них выписывают только газету. Тогда
17=2710 пятиклассников выписывают газету и журнал.)
0–4. Полная фляга с мёдом весит 74 кг, а та же фляга, заполненная наполовину  47 кг. Сколько весит
пустая фляга? (20 кг. Вычтем из первого числа второе и получим вес мёда, заполняющего
половину фляги. Тогда масса пустой фляги равна 74(7447)∙2 кг.)
0–5. Расставьте в записи 412+18:6+3 скобки так, чтобы получился наименьший возможный
результат. ( (412+18):(6+3)=22/3)
0–6. Дан квадрат 7×7 клеток. Покрасьте наименьшее количество клеток так, чтобы в любом
квадратике 2×2 была ровно одна закрашенная клетка. (9 клеток – см рис. Меньше 9
клеток покрасить нельзя, т.к. на данной доске можно выделить квадрат 66,
который состоит из 9 непересекающихся между собой квадратов 22.)
1–1. Укажите наименьшую правильную дробь. (Такой дроби не существует, т.к.
всегда можно взять дробь, в два раза меньшую любой правильной дроби.)
1
1
1–2. Во сколько раз больше ? (в 1,5 раза)
3
2
1–3. Найдите наибольшее четырёхзначное число, все цифры которого различны и которое делится на
2, 5, 9 и 11. (8910. У чисел 2, 5, 9 и 11 нет общих простых делителей, поэтому если число
делится на каждое из них, то оно делится и на их произведение. То есть искомое число
делится на 25911=990. Выпишем все четырёхзначные числа, которые делятся на 990. 1980,
2970, 3960, 4950, 5940, 6930, 7920, 8910, 9900. Наибольшее из них, у которого все цифры
различны  8910.)
1–4. Шоколадка имеет размер 5×10 плиток. За один ход разрешается разломать один из уже
имеющихся кусочков на два вдоль прямолинейного разлома. За какое наименьшее число ходов
можно разбить всю шоколадку на кусочки размером в одну плитку? (49. Заметим, что после
каждого разламывания количество кусочков увеличивается на 1. Вначале у нас была целая
шоколадка, т.е. один кусок, в конце нам требуется получить 50 кусочков размером в одну
плитку. Таким образом, в любом случае будет произведено
ровно 49 ходов.)
1–5. Приведите пример, как можно из данных трёх фигурок,
использовав каждую ровно один раз, сложить фигуру,
имеющую ось симметрии. (Например, это можно сделать
следующими двумя способами.)
1–6. На гранях кубика расставлены числа от 1 до 6. Кубик бросили
два раза. В первый раз сумма чисел на четырёх боковых гранях
оказалась равна 12, во второй – 15. Какое число написано на
грани, противоположной той, где написана цифра 3? (6. Заметим,
что сумма всех чисел, написанных на кубике, равна 21. Сумма чисел на верхней и нижней
грани в первом и втором случаях равна 9 и 6 соответственно. После первого броска понятно,
что либо 3 напротив 6, либо 4 напротив 5. Предположим, что 4 напротив 5. Но после второго
броска ясно, что либо 1 напротив 5, либо 2 напротив 4. Противоречие, следовательно, 3
напротив 6.)
2–2. Вычислите произведение (100–12)(100–22)(100–32)∙…∙(100–252). (0. Произведение равно 0,
поскольку среди сомножителей будет и (100–102)=0.)
2–3. Натуральное число называется палиндромом, если оно не изменяется при выписывании его цифр
в обратном порядке (например, 626  палиндром, а 2013  нет). Представьте число 2013 в виде
суммы двух палиндромов, каждый из которых не меньше 100. (например, 2013=1771+242)
2–4. Какое наименьшее количество клеток надо вырезать из клетчатого квадрата 2020 так, чтобы
нельзя было вырезать по клеточкам ни одного Г-пентамино (фигурка из пяти клеток в виде буквы
«Г»)? (100. Пронумеруем строки квадрата по порядку числами от 1 до 20, столбцы  тоже, и
вырежем те клетки, у которых сумма номеров строки и столбца делится на 4, т.е. фактически
вырежем один из цветов при диагональной раскраске в 4 цвета. Тогда среди любых 4 клеток,
идущих в строке или столбце подряд, будет вырезанная, и нам не удастся вырезать даже
прямоугольник 14. Чтобы доказать, что меньше, чем 100 клетками, обойтись не удастся,
разделим квадрат 2020 на 50 прямоугольников 42, например, горизонтально. Если
вырезано меньше 100 клеточек, в каком-то из этих прямоугольников будет вырезано не
больше одной клеточки, и из него мы сможем вырезать Г-пентамино, - противоречие.)
2–5. Два десятка карандашей стоят столько же рублей, сколько дают карандашей на 500 рублей.
Сколько стоит десяток карандашей? (50 рублей. Составим пропорцию по условию
задачи: 20 карандашей  x р; x карандашей  500 р. Таким образом, 20:x=x:500 , тогда
x·x=20·500=10000; x=100. Значит, два десятка карандашей стоят 100 рублей, а один десяток
стоит 50 рублей.)
2–6. В автобусе имеются одноместные и двухместные сидения. Кондуктор заметил, что когда в
автобусе сидели 13 человек, то 9 сидений были полностью свободными, а когда сидели 10 человек,
то свободными были 6 сидений. Сколько сидений могло быть в автобусе? (16. В первом случае в
автобусе должно было находиться как минимум 16 сидений (все 13 человек сидят на
двухместных сидениях), а во втором – как максимум 16 сидений (все 10 человек сидят на
одноместных сидениях.)
3–3. Сколько квадратов со сторонами по линиям сетки можно нарисовать на доске 8×8? (204.
Квадратов 1×1 можно нарисовать 8·8=64. Квадратов 2×2 можно нарисовать 7·7=49 (возьмём
квадрат в правом верхнем углу и вначале сдвигаем его по верхней полосе – так получим семь
квадратов, а затем все эти квадраты можно семь раз сдвинуть вниз). Квадратов 3×3 можно
нарисовать 6·6=36 и т. д. Тогда всего квадратов 64+49+36+25+16+9+4+1=204.)
3–4. Волшебным считается момент, в который число минут на электронных часах совпадает с числом
часов. Чтобы сварить волшебное зелье, его надо и поставить на огонь, и снять с огня в волшебные
моменты. А чтобы оно получилось вкусным, его надо варить от полутора до двух часов. Сколько
времени варится вкусное волшебное зелье? (1 час 38 минут. Число часов на электронных часах
равно числу минут 24 раза в сутки (00:00,01:01…). Если мы находимся в пределах одних
суток, то разница между этими числами равна 1 часу 1 минуте, 2 часам 2 минутам и так
далее. То есть, если зелье варится без «перехода через полночь», то оно не может быть
вкусным. При переходе можно получить вкусное зелье двумя способами (поставив в 22:22,
сняв в 00:00, поставив в 23:23, сняв в 01:01). В обоих случаях зелье нужно варить 1 час 38
минут.)
3–5. На столе в ряд лежат 2013 яблок. Вася берёт каждое десятое яблоко (т. е. десятое, двадцатое,
тридцатое и т. д.). После этого он берёт каждое девятое из оставшихся яблок, затем каждое восьмое
из оставшихся и т. д., наконец, он берёт каждое четвёртое из оставшихся к этому моменту яблок.
Сколько яблок останется в итоге на столе? (606. Разобьём яблоки на десятки (1-10, 11-20, …, 20012010, 2011-2013), последний десяток  неполный. Первым ходом Вася берёт по последнему
яблоку из каждого десятка, кроме неполного. После этого от каждого полного десятка
останется 9 яблок, и вторым ходом Вася снова возьмёт по последнему яблоку из каждого
десятка, кроме неполного. Нетрудно убедиться, что то же будет происходить и на остальных
его ходах. Таким образом, после семи ходов от каждого из 202 десятков, включая неполный,
останется по три яблока, откуда и следует ответ.)
3–6. За круглым столом сидят 10 мальчиков и 15 девочек. Оказалось, что имеется ровно 4 пары
мальчиков, сидящих рядом. Сколько могло быть пар девочек, сидящих рядом? (9. Группы
сидящих подряд мальчиков чередуются с группами сидящих подряд девочек. Обозначим
число групп сидящих подряд мальчиков через k. Тогда групп сидящих подряд девочек тоже
k. В группе из n сидящих подряд мальчиков имеется ровно n–1 пара сидящих рядом
мальчиков. Т. к. у нас всего 10 мальчиков и k групп, то всего имеется 10–k пар сидящих
рядом мальчиков. По условию, 10–k=4, значит, k=6. Следовательно, число пар девочек,
сидящих рядом, равно 15–6=9.)
4–4. Разрежьте квадрат 4×4 по линиям сетки на 9 прямоугольников так, чтобы
равные прямоугольники не соприкасались ни сторонами, ни вершинами.
4–5. Сколько существует натуральных чисел, меньших тысячи, которые не делятся
ни на 5, ни на 7? (686. Сначала вычеркнем из набора чисел 1, 2, …, 999 числа,
 999 
 199 , где [x] – целая часть числа х,
кратные 5; их количество равно 
 5 
т.е. наибольшее целое число, не превосходящее х. Затем из того же набора чисел 1, 2, …, 999
 999 
 142 . При этом числа, кратные 35,
вычеркнем числа, кратные 7; их количество равно 
 7 
 999 
 28 . Значит, всего мы вычеркнули
будут вычеркнуты дважды. Их количество равно 
 35 
199+142–28=313 чисел, а осталось 999–313=686 чисел.)
4–6. Люди заходят с улицы в метро равномерно. Пройдя через турникеты, они оказываются в
небольшом зале перед эскалаторами. Двери на вход только что открылись, и сначала зал перед
эскалаторами был пустой, а на спуск работал только один эскалатор. Один эскалатор не справлялся
с толпой, так что за 6 минут зал наполовину заполнился. Тогда включили на спуск второй
эскалатор, но толпа продолжала увеличиваться – ещё через 15 минут зал был полон. За какое время
зал опустеет, если включить третий эскалатор? (За 1 час. Решение 1: Пусть скорость захода
людей с улицы в метро равна x человек/мин, а эскалатор спускает людей со скоростью y
человек/мин. Тогда до включения второго эскалатора за 6 минут в зал придут 6x человек, а
уйдут из него – 6y человек. После включения второго эскалатора в зал придут 15x человек, а
уйдут оттуда – 30y человек. Разности 6x–6y и 15x–30y, по условию, равны, то есть 6x–6y=15x–
8
30y, откуда x= y. Значит, после включения третьего эскалатора зал будет пустеть со
3
1
5
скоростью 3y–x= y. Но зал заполнился наполовину со скоростью x–y= y за 6 минут,
3
3
1
следовательно, со скоростью y он опустеет наполовину за время в 5 раз большее, то есть 30
3
мин, а полностью опустеет за 1 ч. Решение 2: При одном включённом эскалаторе за минуту
заполняется 1/6 от половины зала. При двух включённых эскалаторах за минуту заполняется
1/15 от половины зала. Разница 1/6–1/15=1/10 показывает, какую часть от половины зала
опустошает за минуту один эскалатор. Когда включат третий эскалатор, толпа начнёт
убывать со скоростью 1/10–1/15=1/30 от половины зала за минуту. Следовательно, половина
зала освободится через 30 минут, а весь зал – через 1 час.)
5–5. Улитка двигалась в одном направлении таким образом, что за каждый промежуток времени в 2
минуты она проползала не более 1 метра. Какое наибольшее расстояние она могла проползти за 9
минут? (5 м. Т.к. улитка ползла в одном направлении, то за 9 минут она проползла
расстояние, не большее чем за 10 минут. Но улитка каждые 2 минуты проползала не более 1
метра, значит, за 9 минут она проползла не более 5 метров. Эти 5 метров она могла проползти
и за 9 минут, если, например, она чередовала движение и стояние на месте следующим
образом: первую минуту она ползла со скоростью 1 метр в минуту, а следующую минуту
отдыхала стоя на месте.)
5–6. В квалификационном турнире по настольному теннису участвовало 75 теннисистов. Каждый
сыграл с каждым ровно один раз. Ничьих в теннисе не бывает. По итогам турнира нашлось по
крайней мере 25 теннисистов, каждый из которых имеет не более n поражений. Найдите
наименьшее возможное значение n. (n=12. Оценка. 25 теннисистов сыграли между собой
2512=300 игр, и в каждой кто-то терпел поражение. Значит, кто-то из 25-ти потерпел в этих
играх не меньше 12 поражений. Пример. Выстроим 25 теннисистов по кругу и положим, что
каждый выиграл у 12 следующих за ним по часовой стрелке, а у остальных 50-ти
теннисистов каждый из этих 25-то выиграл все игры.)
6–6. Даны 8 гирек весом 1, 2, 3, …, 8 грамм, но неизвестно, какая из них сколько весит. Барон
Мюнхгаузен утверждает, что помнит, какая из гирек сколько весит, и в доказательство своей
правоты готов провести одно взвешивание, в результате которого будет однозначно установлен вес
хотя бы одной из гирек. Покажите, как он это может сделать. (1+2+3+4+5=7+8, останется 6. Это
единственный вариант, когда пять гирек по весу в сумме равны двум другим.)