1.2. Скорость и ускорение

Тема 1. Кинематика материальной точки
и колебательного движения
§1.1. Основные понятия
Механика
–
раздел
физики,
изучающий
закономерности
механического движения тел и причины, вызывающие (или изменяющие)
его.
Механическое движение – процесс изменения с течением времени
взаимного расположения тел или частей тела относительно друг друга.
Кинематика – раздел физики, изучающий механическое движение
тел, безотносительно к причинам, вызывающим это движение.
Классическая (нерелятивистская) механика или механика Ньютона –
нерелятивистская теория движения макроскопических объектов.
Нерелятивистская теория – теория движения тел со скоростями  ,
гораздо меньшими скорости света с :   c .
Основная задача кинематики (механики) состоит в определении
положения
и
скорости
движущейся
материальной
точки
(тела)
в
произвольный момент времени.
Материальная точка – модель реального тела:
1) размеры которого стремятся к нулю, говорят: материальная точка
не имеет размеров,
2) имеет не равную нулю массу.
В конкретной задаче материальной точкой можно считать тело,
размеры которого много меньше, чем расстояния между телами, или
размеров области, в которой происходит движение.
Абсолютно твердое тело – тело, расстояние между любыми точками
которого
всегда
остается
неизменным.
Такое
тело
не
способно
деформироваться, но под действием внешних сил в нем могут возникать
внутренние напряжения, силы упругости и давления.
Поступательным движением называют движение, при котором любая
прямая, проведенная в теле остается параллельной сама себе.
Для указания положения материальной точки в пространстве и
описания изменения этого положения во времени вводят систему отсчета.
Система отсчета – совокупность: 1) тела отсчета (тела, по отношению
к которому определяется положение некоторой материальной точки); 2)
системы координат с началом отсчета в точке, выбранной на теле отсчета, 3)
часов – прибора для отсчета времени. Можно говорить, что система отсчета
представляет собой систему координат, жестко связанную с телом отсчета и
часы.

Радиус-вектор r материальной точки – это вектор, проведенный из
начала координат системы отсчета к этой материальной точке.
Наиболее часто при решении задач на плоскости вводят декартовы
прямоугольные координаты x, y  и полярные координаты r,  ; в трехмерном
пространстве – декартовы прямоугольные x, y, z  , цилиндрические z, r,  и
сферические r,,  системы координат. В декартовой системе координат
координаты x, y, z  материальной точки М определяют как проекции радиус
вектора r
этой точки на соответствующие оси системы координат.
Взаимосвязь названных систем координат иллюстрируют приведенные ниже
рисунки.
Рис.1.1а. Декартовы x, y и полярные r ,  ,
 x  r cos 
координаты 
.
 y  r sin 
Рис.1.1б. Соответствие декартовых x, y, z и цилиндрических r ,  , z
 x  r cos 

координат  y  r sin  .
z  z

Рис.1.1б. Соответствие декартовых x, y, z и сферических r,, 
 x  r sin  cos 

координат  y  r sin  sin  .
 z  r cos 

Движение материальной точки в пространстве сопровождается
изменением ее координат (и ее радиус-вектора) с течением времени. Процесс
движения может быть описан системой уравнений, представляющей собой
параметрическое уравнение траектории:
 x  xt 

 y  y t  ,
 z  z t 

(1.1)
 
r  r t  ,
(1.2)
или уравнением для радиус-вектора:

где радиус вектор r  x, y, z  .
Траектория материальной точки может быть определена следующими
способами:
1) линия, вдоль которой движется материальная точка (центр масс
материального тела) в данной системе отсчета,
2) геометрическое место концов радиус-векторов материальной
точки.
Уравнение траектории в явном виде, как уравнение, связывающее
между собой пространственные координаты движущейся материальной
точки, может быть получено исключением времени из системы уравнений
(1.1).
Путь (длина пути) – скалярная величина численно равная длине
участка траектории, пройденного материальной точкой от начального
положения C до конечного B (рис.1.2).
Рис.1.2. АСВ - траектория движения материальной точки,


r0 и r1 - её начальный и конечный радиус-векторы,
 
r  S - вектор перемещения.

Перемещение – вектор S направленный из начального положения
движущейся материальной точки в ее конечное положение.


Вектор перемещения S можно определить как приращение r




радиус-вектора материальной точки: S  r  r1  r0 . Рисунок 1.2 позволяет
сделать вывод, что модуль вектора перемещения совпадает с длиной
пройденного пути лишь при прямолинейном движении.
§1.2. Скорость и ускорение
Изменение положения материальной точки в пространстве с течением
времени характеризуют с помощью скорости. В физике используется
понятие "скорость" используется в нескольких различных смыслах.
Средняя скорость движения – векторная величина, равная отношению


вектора перемещения материальной точки S  r ко времени t , за которое
это перемещение произошло:

CP


r
S


t t
(1.3)
Формальное, количественное определение каждой новой физической
величины требует установления ее физического смысла, позволяющего с той
или иной степенью наглядности представить конкретную ситуацию.
Физический смысл величин устанавливается по определенной схеме. Так,
если в формуле (1.3) для средней скорости положить t  1c , то она
принимает вид: CP  S . Поэтому, средняя скорость показывает, какое
перемещение совершает материальная точка за единицу времени. Последнее

равенство указывает также, что вектор средней скорости CP направлен вдоль

вектора перемещения S .
Соотношение (1.3) позволяет установить размерность единицы
измерения скорости. Для этого в определение величины подставляют (не
обращая внимания на векторный характер записи) размерность всех
входящих величин:
CP    r   м   м  .
 t  с   с 
Единица скорости – есть скорость такого движения, при котором
материальная точка за одну секунду проходит расстояние в 1 метр.
Мгновенная скорость – скорость материальной точки в данный
момент времени, в данной точке траектории.
Количественное определение мгновенной скорости

требует
дополнительных рассуждений. Средняя скорость, характеризует движение в
целом, и не является его детальной характеристикой. Мгновенную скорость
можно определить путем предельного перехода в соотношении (1.3) при
t  0 :
r
.
t 0 t
  lim CP  lim
t 0
Из курса математического анализа известно, что такой предел

представляет собой первую производную радиус-вектора r по времени t :
lim
t 0
r dr
.

t dt
Таким образом:
Мгновенная скорость – векторная физическая величина, равная

первой производной радиус-вектора r материальной точки по времени:

dr
dt
(1.4)
Из приведенных определений следует, что в общем случае вектор



средней скорости CP направлен вдоль перемещения S  r , т. е. вдоль
секущей – линии, проходящей через начальное и конечное положения
движущейся точки. Из курса математического анализа известно, что в

пределе, при t  0 , когда r  0 , секущая некоторой кривой совпадает с
касательной к ней, поэтому мгновенная скорость 
направлена по
касательной к траектории.
Мгновенная
скорость
,
как
и
средняя,
показывает,
какое
перемещение совершила бы движущаяся материальная точка за единицу
времени, обладая постоянной скоростью  .
Средняя путевая скорость – скалярная величина, равная отношению
всего пути, пройденного материальной точкой, ко всему времени движения,
т. е. к промежутку времени, за который этот путь был пройден:
CP 
S
.
t
(1.5)
Очевидно, мгновенная скорость движения материальной точки может
меняться во времени. Характеристикой такого изменения служит ускорение.

Среднее ускорение равно отношению изменения скорости  к
промежутку времени t , за которое это изменение произошло:
  

 2  1
aCP 

.
t
t2  t1
(1.6)
Положив в этом определении t  1c , легко понять, что среднее
ускорение показывает, на сколько изменилась скорость за единицу времени.
Измеряется ускорение в следующих единицах:
        м   м 
aCP   2 1       с    2  .
 t2  t1   t   с   с 
Ускорение, подобно скорости, может изменяться с течением времени.
Мгновенное ускорение – это ускорение материальной точки в данный
момент времени, в данной точке траектории.
Проводя рассуждения, как при определении мгновенной скорости,
можно сделать вывод, что:
Ускорение
–
векторная
физическая
величина
равная
первой
производной скорости материальной точки по времени или, соответственно,
второй производной ее радиус-вектора по времени:
a
d d  dr  d 2 r
.
  
dt dt  dt  dt 2
(1.7)
Положив в соотношении (1.7) промежуток времени dt  1c , получим
a  d , что позволяет понять физический смысл ускорения. Ускорение
показывает, на сколько изменяется скорость за единицу времени.
§1.3. Классический закон сложения скоростей
Пусть некоторая система K  X , Y , Z , O движется равномерно и
прямолинейно относительно другой, неподвижной системы K  X ,Y , Z , O , со

скоростью 0 .
Рис.1.3. К преобразованию скоростей.
Как видно из рисунка 1.3, справедливо равенство:
  
r  R  r,
(1.8)


где r – радиус-вектор точки M в неподвижной системе отсчета, r  – радиус
вектор точки M в подвижной системе отсчета K  и R – радиус-вектор начала
подвижной
системы
отсчета
относительно
неподвижной.
Если
предположить, что в начальный момент времени начала координат систем K


и K  совпадают, то вектор R  0t .
С учетом последнего замечания дифференцирование (1.8) по времени
дает



  1  0 .
(1.9)
Формула (1.9) – математическое выражение классического закона

сложения скоростей, где  – скорость материальной точки M относительно


неподвижной СО, 1 – скорость точки M относительно подвижной СО и 0 –
скорость подвижной СО относительно неподвижной.
В проекциях на оси координат X , Y , Z (1.9) записывается так:
 X  1 X  0 X
    
 Y
1Y
0Y






1Z
0Z
 Z
t  t 
Последнее
уравнение
системы
выражает
(1.10)
представление
об
абсолютном времени, которое течет равномерно и одинаково во всех
инерциальных системах отсчета.