BunchLength

«Длина сгустка»
Продольный среднеквадратичный эмиттанс || равен
 ||  E  t ,
Его величина может быть выражена через среднеквадратичный относительный разброс по
импульсу p и среднеквадратичную длину s, если учесть, что
t 
s
,
c
а
E 
E
 1
E
 p Amc 2   1 ,
E

где mc2 = 932 МэВ – энергия покоя нуклона в ядре, Е – кинетическая энергия ядра.
Это дает
 ||  Amc p s .
При двухмерном Гауссовом распределении, среднеквадратичный эмиттанс содержит
примерно 39% частиц. Эмиттанс, содержащий 95% частиц, примерно равен
 ||,95%  6   || .
Длина сгустка и разброс по импульсу пропорциональны корню квадратному из эмиттанса,
поэтому максимальное отклонение частиц от центра сгустка может быть оценено как
s  s0 max, 95%   6 s ,
что соответствует «полной длине» сгустка
lb,95%  2 6 s .
Откуда это взялось?
Функция распределения частиц
 s,   
 s2
2
exp  

 2 2 2 2
2 s p
s
p

N

,


здесь для сокращения записи s0 положено равным 0, и относительное отклонение по
импульсу p / p обозначено символом . Чтобы узнать какая доля частиц содержится в n
сигмах, нужно посчитать интеграл:
N  n
1

N
N
Вводя новые переменные  
s
s
и 
N  n
1

N
2
n s n p
   s,  dds
n
s
n
p

его можно привести к виду:
p
 n n
 2  2 
exp
    2  2 dd
n n
Дальше, вводим r 2   2   2 и считаем этот интеграл в полярной системе координат:
N  n
1

N
2
2 n
 r2 
 n2


 
=
exp

rdrd

1

exp
0 0  2 
 2
Вот что это за цифры:
Для n =
6 количество частиц равно практически в точности 95%.



Другая «полная длина сгустка»
При оценке сдвига частот бетатронных колебаний из-за собственного поля пучка
необходимо знать фактор группировки, который равен отношению среднего тока к
пиковому сгустка I / I max . Ток пропорционален линейной плотности частиц (s). Для
Гауссового распределения
 s  s 0  2
N
exp  
2 s2
2  s

 s  s 0  




Т.к. максимум линейной плотности находится в центре сгустка
I
I max
1
Lsep

Lsep / 2
  s ds
 Lsep / 2
 0
,
при Lsep>>s
I
I max
2  s
.
Lsep

Если эту оценку записывать как
I
I max

lb
,
Lsep
то здесь
lb  2  s ,
что примерно в два раза меньше, чем предыдущая «полная длина сгустка». Т.е. если
оперировать в формулах «полной» длиной сгустка, то для вычисления сдвига частот и для
вычисления места, занимаемого частицами на периметре кольца, «полные» длины будут
разными.
Рмс длина сгустка и светимость
Для круглых пучков одинакового сечения  x   y   
L
 
N2
1
f  s*  ,
2
h 4 T0   
  (0)   *

s2 


 s    01  2 


 x 

2

2

 
1
f  s*  

 

exp( u 2 )du

2
 
 u s  
1   *  
    
* = 50 см,  = 0.7 mmmrad
Зависимость f от длины сгустка в см
Распределение светимости вдоль области взаимодействия
* = 50 см,  = 0.7 mmmrad,  = 0.6 мм, s = 30 см
По горизонтали – расстояние от точки встречи в мм, крсная линия dL/ds, пунктирная
синяя - (s), когда центр сгустка находится в точке встречи
Длина силикон вертекс детектора = 50 см, * = 50 см,  = 0.6 мм, s = 30 см
25
dL
25 ds ds
= 0.795
L
Luminosity at SVD
Partial luminosity
1
0.9
0.8
0.5 m
1m
0.7
0.6
0.5
0
20
40
60
rms bunch length
Зависимость доли светимости в SVD от длины сгустка для двух значений бета-функции,
 = 0.6 мм