Намагничивание тел разной формы

Лабораторная работа № 61
НАМАГНИЧИВАНИЕ ТЕЛ РАЗНОЙ ФОРМЫ
1. Краткое содержание работы
Цель работы
– изучение
зависимости
намагничивания
ферромагнитного тела от его формы.
В работе проводится измерение магнитной индукции внутри тел,
выполненных из ферромагнитных материалов, помещенных в однородное
магнитное поле, создаваемое катушками Гельмгольца. Устанавливается
влияние формы тела на коэффициент размагничивания.
2. Описание установки
В работе магнитное поле создается двумя катушками, имеющими
общую ось и расположенными в параллельных плоскостях на расстоянии,
равном
радиусу
(катушки
Гельмгольца).
Катушки
соединены
последовательно при согласном включении. Магнитное поле в средней части
пространства между катушками можно, практически, считать однородным.
Катушки Гельмгольца закреплены на подставке, которая используется
для подключений к внешним устройствам и хранения комплекта образцов и
измерительных катушек. Схема установки показана на рис. 1.
В установке предусмотрены гнезда для подключения блока питания и
вольтметра, измеряющего напряжение, наводимое в измерительной катушке.
1
5
3
4
2
6
1 –катушки Гельмгольца, 2 – подвижная каретка, 3 – шкала z, 4 – шкала r, 5,6 –
контакты для подключения источника и вольтметра.
Рис.1
92
Имеется подвижная каретка, в гнездо которой помещаются измерительные
катушки КО – К15. Каретка может перемещаться вдоль оси катушек (ось z) и
перпендикулярно оси (координата r). Типы образцов, длины l ферритовых
цилиндров, перечень измерительных катушек (изм.) и коэффициенты
пропорциональности n между магнитной индукцией и измеряемым
напряжением приведены в табл. 1.
Таблица 1
l, мм
2
4
Изм.
n
К1
К2
8
12
16
К3
0,6
К4
К5
24
40
60
80
Сталь
Феррит
Феррит
Цилиндры ферритовые
Сталь
Название
Шары
110
К0
0,6
К11 К12
0,6
К13 К14
0,46
Цилиндры № 1 – 5 и шары № 11 – 14 находятся в одной оправе с
измерительными катушками. Цилиндры № 6 – 10 при измерениях закрепляют
в специальном съемном приспособлении, которое находится в общей
коробке. Для закрепления
цилиндров № 6 – 10 это приспособление
устанавливают на верхнюю плоскость подставки. Необходимо следить, чтобы
меньшая по длине часть цилиндра полностью (до риски) находилась на этом
приспособлении. Измерения выполняют с помощью катушки КО, которую
можно перемещать по цилиндру или параллельно ему.
Катушку (К15) устанавливают в гнездо каретки так, чтобы ось этой
катушки была перпендикулярна оси катушек Гельмгольца. Цилиндр
размещается в оправе симметрично.
Катушки Гельмгольца включают в сеть переменного тока частотой
50 Гц через блок питания, на панели которого находятся: тумблер «сеть»;
ручка регулятора тока катушек; амперметр для измерения тока катушек;
гнезда для подключения катушек.
При подготовке устройства к измерениям необходимо: вынуть из
подставки коробку с образцами (приподняв ее за ручку), поставить в гнездо
каретки необходимую измерительную катушку, подключить катушки
Гельмгольца к блоку питания, подключить электронный вольтметр.
3. Теоретическая справка
3.1. Коэффициенты размагничивания
Основные магнитные величины – магнитная индукция В,
намагниченность М и напряженность магнитного поля Н связаны
соотношением
93
H  B / 0  M .
(1)
Связь между В и Н, а также между М и Н в магнитных материалах в
общем случае нелинейна и неоднозначна. Для магнитомягких материалов в
сравнительно слабых полях справедливо линейное приближение
В =0Н,
(2)
М=( -1)Н,
(3)
-7
где 0 = 410 Гн/м – магнитная постоянная;  – относительная магнитная
проницаемость.
Соотношения (1) – (3) достаточно хорошо соблюдаются для
усредненных значений векторов поля в замкнутых магнитных цепях,
например, для магнитопровода трансформатора. Уже в магнитопроводах с
относительно небольшими зазорами (вращающиеся электрические машины,
реле и т.д.) магнитные свойства материала не могут быть реализованы
полностью, коэффициент пропорциональности между средними значениями
В и Н оказывается меньше, чем табличное значение .. Еще сильнее влияние
формы образца на его поведение в магнитном поле для тел, не образующих
магнитной цепи. К их числу относятся цилиндры, намагничивание которых
при разных отношениях их длины к диаметру служит основным предметом
исследования в настоящей работе.
Распределение намагниченности в таких телах неоднородно. Его
отыскание требует решения уравнения Лапласа для скалярного магнитного
потенциала применительно к каждому сочетанию формы образца, свойств
материала, величины и направления внешнего поля. В общем случае это
может быть сделано только численными методами.
В цилиндрах распределение намагниченности близко к его
распределению в эллипсоидах вращения с таким же отношением длины к
диаметру l/d. А для эллипсоидов вращения имеется общее и весьма простое
аналитическое решение. Основные результаты этого решения следующие.
1) В эллипсоиде вращения из однородного материала в однородном
внешнем поле H e намагниченность однородна.
2) Влияние формы эллипсоида на его намагничивание может быть
учтено с помощью расчетной дополнительной составляющей напряженности
внутреннего поля H i . Ее координатные составляющие направлены
навстречу соответствующим составляющим намагниченности и им
пропорциональны. Поэтому координатные составляющие внутреннего поля
H i имеют вид
Hix=Hex–NxMx,
Hiy=Hey–NyMy,
Hiz=Hez –NzMz,
(4)
где Hex, Hey, Hez – составляющие внешнего поля H e ; Mx, My, Mz –
составляющие намагниченности M образца; Nx, Ny, Nz – коэффициенты
размагничивания (размагничивающие факторы) для направлений вдоль осей
образца. Общая запись соотношений (4) для каждой из осей
94
Hi=He –NM.
Значения коэффициентов N взаимосвязаны:
Nx +Ny +Nz=1.
В направлении продольной оси (оси вращения z) при
=l/d для вытянутого эллипсоида, когда >1,
Nz 

1  
2
ln(




1
)
  1,
2  1  2  1

(5)
(6)
обозначении
(7)
а для сплющенного эллипсоида, когда <1,
Nz 

1 

1

arccos


.
2
1  2 
1 

(8)
При =1 оба эти соотношения после предельного перехода дают
значение N =1/3.
Равные между собой значения Nх и Ny при известном Nz могут быть
найдены из соотношения
Nх = Ny = 1/2(1– Nz).
(9)
Некоторые характерные значения коэффициентов N таковы.
При >>1 (эллипсоид, приближающийся к бесконечно длинному
цилиндру) в продольном направлении N (т.е. Nz) стремится к нулю, в любом
поперечном N=1/2.
Для шара N=1/3 в любом направлении.
При <<1 (сильно сплющенный эллипсоид, приближающийся к
круглой пластине), Nz стремится к единице, Nх и Ny – к нулю.
Значение Nz в функции =l/d приведены в табл. 2.

0,01
0,1
0,25
0,5
1
1,5
2

3
5
7,5
10
13,8
20
50
Nz
0,9845
0,861
0,704
0,527
1/3
0,233
0,173
Таблица 2
Nz
0,1087
0,0558
0,313
0,0203
0,0123
0,0067
0,0004
Для практики значение имеет не столько проницаемость материала
образца , сколько проницаемость тела т, определяемая как отношение
средней индукции в сечении образца к напряженности внешнего поля
 0 т  Bi / H e .
(10)
Соответственно относительная проницаемость тела
 т  Bi /( 0 H e ) .
(11)
Поскольку произведение 0Не = Ве – индукции внешнего поля,
95
 т  Bi / Be .
(12)
Для эллипсоидов вращения при известных проницаемости вещества  и
коэффициенте размагничивания N величина  т может быть рассчитана.
Согласно соотношению (3)
М = ( –1)Нi .
(13)
Подставим это выражение для М в соотношение (5):
Hi=He –N( –1)Нi .
(14)
Отсюда следует, что
Hi 
He
.
1  N (  1)
(15)
Поскольку индукция внутри образца Вi=0Нi,
Bi   0
H e
.
1  N (  1)
(16)
Согласно этому соотношению, относительная проницаемость тела
Т 

.
1  N (  1)
(17)
Как следует из этого соотношения, при N > 0 относительная
проницаемость т тела всегда меньше как относительной проницаемости
материала , так и дроби 1/N. В частности, относительная проницаемость
шара (N=1/3) не может превышать трех, как велика ни была бы относительная
проницаемость материала.
При значениях  порядка 1000 для магнитомягкой электротехнической
стали и при N > 0,05 справедливо вытекающее из соотношения (17)
приближенное соотношение
(18)
T  1 / N .
Основным предметом исследования в настоящей работе служат
цилиндры и шары из магнитомягкой стали и магнитомягких ферритов
(магнитной керамики). Для всех образцов при намагничивании их в
продольном поле нужно найти соотношение Вi/Ве,
соответствующее
значение т и оценочное значение N. Эти значения N могут быть
сопоставлены с теоретическими значениями, приведенными в табл. 2.
Кроме того, исследуется и частично сравнивается с расчетным
распределение магнитного поля катушек Гельмгольца.
3.1. Расчет магнитной индукции на оси катушек Гельмгольца
Согласно закону Био-Савара, напряженность магнитного поля на оси
обтекаемого током I кругового витка определяется соотношением
96
H
2
IR
2( R  h 2 ) 3 / 2
2
2
I   h  

1  
2 R   R  
1,5
,
(19)
где R – радиус витка; h – расстояние от точки наблюдения до центра витка.
Соответственно на оси катушки, толщина и длина намотки которой
много меньше радиуса, и имеющей W витков,
2
IW   h  
H
1  
2 R   R  
1,5
.
(20)
На оси катушек Гельмгольца на расстоянии z от центра системы
расстояние h от центра катушки равно R/2+z
от ближней R/2–z.
Соответственно на оси системы
IW
H
2R
2 1,5
2 1,5 




1
Z
1
Z
1       1      .
 2 R  
  2 R  

 

(21)
В центре системы, при z = 0,
IW
IW
 2  1,251,5  0,7155
,
2R
R
IW
B0   0 H 0  9  2  10 7
.
R
H0 
(22)
(23)
В работе сопоставляются амплитуда индукции и действующее значение
тока. Поэтому правую часть формулы (23) нужно умножить на 2 :
Bm 0  B(0)  1,272  10 6
IW
.
R
(24)
Для упрощения записей в дальнейшем индекс m при обозначении
амплитуды индукции опускается.
В табл. 3 даны значения индукции в зависимости от расстояния z/R от
центра системы, рассчитанные по формуле (21).
z/R
0
0,1
0,2
B/B(0)
1,0000
0,9999
0,9982
z/R
0,3
0,4
0,5
Таблица 3
B/B(0)
0,9916
0,9753
0,9458
4. Подготовка к работе
1. Записать закон Био-Савара и соотношения для определения
магнитной индукции, намагниченности и напряженности магнитного поля.
97
2. По формуле (24) рассчитать теоретическое значение амплитуды
магнитной индукции Bm(0), а также напряженности магнитного поля в центре
системы катушек Гельмгольца при их радиусе R=9,8см, числе витков
катушки W =30 и токе I =1 А. По данным табл. 1 построить зависимость
относительных значений индукции от относительного расстояния z/R на оси
катушек Гельмгольца.
3. Знать относящийся к работе теоретический материал, в
частности, отраженный в соотношениях (5), (6), (10), (18), а также вывод
формулы (19).
Для значения =100(8+К), где К – номер бригады, при значениях
N = 0,0005; 0,005; 0,05; 0,1 и 0,333 рассчитать значения т по формулам
(17) и (18); сравнить их с 1/N
4. Подготовить электрическую схему и таблицу для записи
результатов измерений по пп. 3 и 4:
№ пп.
1
2
3
4
5
6
7
Материалы подготовки
№
l/d
N
образца
теор.
1
0,25
0,704
2
0,5
0,527
3
1,0
0,333
4
1,5
0,233
8
7,5
0,0313
13
шар
0,333
14
шар
0,333
n
U,
B
Таблица 4
Результаты опыта
Bi=nU,
т =
N=1/т
Тл
=Bi/ Bi
опытн.
0,6
0,6
0,6
0,6
0,6
0,46
0,46
4. Рабочее задание
1.
Собрать установку, соблюдая указанную на блоке катушек
Гельмгольца полярность включения источника постоянного напряжения и
вольтметра. Установить измерительную катушку КО в центре системы в
положение для измерения продольной составляющей индукции. При токе в
катушках Гельмгольца I =1 А определить напряжение U(0) на катушке КО и
рассчитать значение индукции в центре системы В0=В(0)=nU(0), где n= 0,46.
Результат сопоставить с рассчитанным в п. 2 Подготовки к работе.
2. Исследовать распределение продольной составляющей магнитной
индукции в катушках Гельмгольца. Для этого, перемещая держатель с
катушкой КО вдоль осевого или радиального направлений и измеряя
индуцированное в ней напряжение, рассчитать зависимость B/B(0) от
соответствующей относительной координаты z/R или r/R:
а) вдоль продольной оси катушек Гельмгольца, изменяя z от нуля до 5
см при отклонении от оси r = 0;
б) вдоль поперечной оси, изменяя r от нуля до 6 см при Z = 0;
98
в) – в плоскости одной из катушек Гельмгольца, изменяя r от нуля до
5,5 см при z = 4,8 см.
Значения B/B(0) можно определять непосредственно как U/U(0).
Результаты эксперимента п. а) нанести на график, построенный в
соответствии с п. 2 Подготовки к работе.
Качественно объяснить результаты, полученные при выполнении пп.
а), б), в).
При дальнейших измерениях измерительные катушки с образцами
следует устанавливать в центре системы при совпадении их продольной оси с
осью катушек Гельмгольца.
3. Определение магнитных характеристик цилиндров.
Измерить магнитную индукцию Bi в среднем сечении цилиндров,
имеющихся в комплекте установки. Рассчитать их относительную магнитную
проницаемость т как B/B(0) и оценочное значение N как 1/т. Результаты
занести в таблицу п. 4 Подготовки к работе.
4. Определение магнитных характеристик шаров.
Выполнить опыты по п. 3 применительно к имеющимся в комплекте
установки шарам.
5. Вопросы для самопроверки
1. Чему теоретически должен быть равен коэффициент размагничивания N для
бесконечно длинного цилиндра, ось которого перпендикулярна однородному магнитному
полю. Как можно объяснить отличие экспериментального результата от теоретического
расчета?
2. Для каких из шаров (ферритовых или стальных) коэффициент размагничивания N
получен с большей точностью? Почему?
3. Нарисуйте
картину поля для ферромагнитного шара,
помещенного в
однородное магнитное поле.
4. Качественно нарисуйте картину магнитного поля внутри и вне ферромагнитного
цилиндра конечной длины, ось которого направлена вдоль линий магнитной индукции
однородного поля.
5. Перечислить источники погрешностей определения коэффициента размагничивания N.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники.
Л.: Энергоиздат, 1981. § 9 –19, 9 – 20.
2. Поливанов К.М.
Теоретические
основы
электротехники.
Теория электромагнитного поля. М.: Энергия, 1975. § 6 –1, 6 – 2.
99
Т. 2.
Т.3.