СОДЕРЖАНИЕ Задание№224. 2 Задание№236. 4 Задание№247
реклама
СОДЕРЖАНИЕ Задание№224. Задание№236. Задание№247. Задание№254. Задание№266. Задание№280. Задание№284. Задание№306. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1 2 4 7 8 10 11 12 14 15 Задание №224. Вычислить площадь фигуры, ограниченными линиями y ( x 2)3 y 4 x 8 Решение Изобразим на рисунке линии Определим пределы интегрирования Виду симметричности фигуры, найдем площадь половины фигуры и удвоим результат Площадь заштрихованной фигуры найдем по формуле 2 Тогда площадь всей фигуры равна 3 4 Задание №236. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями, с помощью двойного интеграла в полярных координатах Решение Изобразим на рисунке линии Это уравнение окружности радиусом 1 с центром в точке А(0,1) Это уравнение окружности радиусом 2 с центром в точке В(0,2) – это уравнения двух прямых. 5 Переходя к полярным координатам по формулам получим 6 По уравнения прямых определим их углы наклона (они же пределы интегрирования для ) Пределы интегрирования Площадь искомой фигуры равна 7 8 Задание №247. Найти общее решение дифференциального уравнения Решение Используем замену Приравнивая к нулю выражение в скобках, имеем Интегрируя, имеем Тогда Интегрируя, имеем Тогда = дифференциального уравнения – общее решение 9 Задание №254. Найти решение задачи Коши Решение Общее решение ищем в виде Соответствующее однородное уравнение имеет вид Поскольку корни характеристического уравнения действительны и различны то общее решение однородного уравнения имеет вид Решение неоднородного уравнения ищем в виде 10 Подставляя в исходное уравнение получим Приравнивая коэффициенты, получим Тогда Общее решение имеет вид Из начальных условий имеем Тогда частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям, имеет вид 11 Задание №266. Исследовать на сходимость знакоположительные ряды 3n 2 2n 1 3n 5 n 1 Решение Исследуем общий член ряда 12 Поскольку общий член ряда не стремится к нулю при необходимому признаку сходимости рядов, ряд расходится. 13 , то по Задание №280. Исследовать на сходимость знакопеременные ряды (1) n n 1 n n 1 Решение Исследуем общий член ряда Получили знакочередующийся ряд, общий член которого стремится к нулю, и по признаку Лейбница для знакочередующихся рядов, ряд сходится. Исследуем ряд, составленный из положительных членов Сравним данный ряд с расходящимся, как обобщенный гармонический ряд Для всех n выполняется неравенство По достаточному признаку сходимости рядов с неотрицательными членами из расходимости первого ряда вытекает расходимость второго. Таким образом, исходный ряд расходится. Тогда исходный знакочередующийся ряд сходится условно. 14 Задание №284. Найти интервал сходимости степенного ряда x n 1 n n 2 n 3 ln n Решение Радиус абсолютной сходимости ряда равен: Ряд сходится при При получим ряд 15 По интегральному признаку Коши Следовательно, ряд расходится. При получим ряд Получили знакочередующийся ряд, общий член которого стремится к нулю, и по признаку Лейбница для знакочередующихся рядов, ряд сходится. Интервал сходимости исходного ряда 16 Задание №306. Вычислить приближенно интеграл Решение Для известного разложения в ряд получим 17 Поскольку то заданная точность достигнута. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 18 1. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 1 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс, 2003. – 288 с. 2. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. В 2 ч. Ч. 2 / Д.Т. Письменный. –М.: Айрис-пресс: Рольф, 2002. – 256 с. 3. Пискунов, Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: учебник для втузов. В 2 т. Т. 1 / Н. С. Пискунов.– М.: Интеграл-Пресс, 2001.– 456 с. 19
