Приближенные методы решения уравнений и неравенств

75.3.2.3 Разработка НОМ для проведения профессионально
ориентированного практического занятия по математике (раздел
“Приближенные методы решения уравнений и неравенств, включающих
элементарные функции”) для специализированных классов средних школ
I. АБСОЛЮТНАЯ И ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ПОГРЕШНОСТИ
Пусть a — приближенное число, заменяющее собой в вычислениях точнее
число А.
Абсолютной погрешностью приближенного числа а называется абсолютная
величина разности между и им и соответствующим точным числом: | А— a |.
Предельной абсолютной погрешностью называется возможно меньшее число
 , удовлетворяющее неравенству
Aa

Точное число А находится в границах a    A  a   , или
A a .
Относительной погрешностью приближенного числа а называется
отношение абсолютной погрешности этого числа к соответствующему точному
числу
Aa
A
.
Предельной относительной погрешностью называется возможно меньшее
число  удовлетворяющее неравенству
Aa
A 
Так как практически A  a , то за предельную относительную погрешность
принимают число   A a (выражаемое обычно в процентах).
Справедливо неравенство
54
a  (1   )  A  a  1    .
Говорят, что положительное приближенное число а, записанное в виде десятичного разложения, имеет п верных знаков (цифр), если абсолютная погрешность
этого числа не превышает половины единицы n -го разряда.
При n  1 за предельную относительную погрешность приближенного числа
a с первой значащей цифрой k можно принять число

1 1 n 1
( ) .
2k 10
Если известно, что

1
1
( )n 1 ,
2(k  1) 10
то число а имеет п верных знаков.
Предельная абсолютная погрешность алгебраической суммы нескольких
чисел равна сумме предельных абсолютных погрешностей слагаемых.
Относительная погрешность суммы положительных слагаемых не
превышает наибольшей из относительных погрешностей этих слагаемых.
Предельная относительная погрешность произведения и частного
приближенных чисел равна сумме предельных относительных погрешностей этих
чисел.
Предельная относительная погрешность степени приближенного числа
равна произведению предельной относительной погрешности этого числа на
показатель степени.
Задача 1
Угол, измеренный теодолитом, оказался равным 22'20'30"± ±30". Какова
относительная погрешность измерения?
55
Решение . Абсолютная погрешность   30. Тогда относительная
погрешность


30

100%  0, 04%.
a 22 2030
Задача 2.
Определить число верных знаков и дать соответствующую запись
приближенной величины ускорения силы тяжести g = 9,806 при относительной
погрешности 0,5%.
РЕШЕНИЕ. ТАК как первая значащая цифра есть 9, то, воспользовавшись
неравенством (I), получим
0, 005 
т. е. n = 2. Значит,
1 1
 
2 10  10 
n1
g  9,8.
Задача 3. Известно, что предельная относительная погрешность числа 19
равна 0,1%. Сколько верных знаков содержится в этом числе?
Решение. Здесь первая значащая цифра есть 4, предельная
относительная погрешность
  0,001  103.
На основании неравенства (I) имеем
1 1
0, 001 
 
2  5  10 
n1
,
откуда n  3. Следовательно, 19 = 4,36 , более точно
56
19  4,3589.
Задача 4
Сколько верных знаков содержит число А =3,7563, если относительная
погрешность равна 1%?
Решение.
Первая верная цифра есть 3, поэтому
0, 01 
откуда n = 2. Число A
1  1
 
2  4  10 
n1
,
следует записать так: A = 3,8.
Задача 5
Площадь квадрата равна 25.16 cm2 (с точностью до 0,01 cm2 ). С какой
относительной погрешностью и со сколькими верными знаками можно
определить сторону квадрата?
Решение . Искомая сторона x  25,16 . Относительная погрешность
стороны квадрата
1  0, 01 
 
,
2  25,16 
где 0.01—абсолютная погрешность площади т. е.   0,0002. Первая
значащая цифра числа, намеряющего сторону квадрата, есть 5. Решив неравенство
(I) при k  5
получим
 1
(5  1)  0, 0002   
 10 
57
n1
или
1
1, 2 103   
 10 
n1
Отсюда n  3 .
Задача 6.
Со сколькими верными знаками можно определить радиус круга, если
известно, что его площадь равна 124,35 см3 (с точностью до'0,01 см2)?
Задача 7.
Найти предельную относительную погрешность при вычислении полной
поверхности усеченного конуса, если радиусы его оснований R = 23,64 ±0,01
(см), r = 17,31 ±0,01 (см), образующая l =
10,21 ±0,01 (см); число  = 3,14.
Задача 8.
Число g = 9,8066 является приближенным значением ускорения силы
тяжести (для широты 45 ) с пятью верными знаками. Найти его относительную
погрешность.
Задача 9.
Вычислить площадь прямоугольника, стороны которого 92,73± ±0,01 (м) и
94,5 ±0.01 (м). Определить относительную погрешность результата и число
верных знаков.
58
Задача 10
Сколько точных и сколько приближённых равенств среди:
sin 30 = 0.5
;
cos 45 = 0.7
tg 60 = 1.73
;
tg 45 = 1.0
lg 2 = 0.3010
;
ln e = 1

sin   = 0.707 ;
lg 100 = 2

tg   = 0.577

sin   = 1
4
6
;
2
Задача 11
При помощи дифференциала приблизительно найти (1.02) 4.05 
Задача 12
При помощи дифференциала приблизительно найти
80 
Задача 13
С какой точностью надо измерить длину сторону квадрата для того,
чтобы получить площадь с точностью 0,001?
59
2. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ.
Если квадратные уравнения решали уже древние греки, то способы решения
алгебраических уравнений третьей и четвёртой степени были открыты лишь в XVI
веке. Эти классические способы дают точные значения корней и выражают их
через коэффициенты уравнения при помощи радикалов различных степеней.
Однако эти способы приводят к громоздким вычислениям и поэтому имеют
малую практическую ценность.
В отношении алгебраических уравнений пятой и высших степеней
доказано, что в общем случае их решения не выражаются через коэффициенты
при помощи радикалов. Не выражаются в радикалах, например, корни уже такого
простого по виду уравнения, как:
x5  2 x  4  0
Сказанное, однако, не означает отсутствия в науке методов решения
уравнения высших степеней. Имеется много способов приближенного решения
уравнений -алгебраических и неалгебраических (или, как их называют,
трансцендентных), позволяющих вычислять их корни с любой, заранее заданной
степенью точности, что для практических целей вполне достаточно.
На простейших из таких способов мы и остановимся, причём речь будет
идти о вычислении действительных корней.
Пусть нужно решить уравнение:
x5  4 x  2  0
Если обратиться к рисунку, то каждый корень уравнения (1) представляет
собой абсциссу точки пересечения графика функции
y  F ( x)
с осью Ох (рисунок 1)
60
>
Рис.1
С помощью графика функции или каким-нибудь иным способом обычно
удаётся установить приблизительные значения корней. Это позволяет для
каждого корня получить грубые приближения по недостатку и по избытку.
61
Такого рода грубых приближений во многих случаях оказывается достаточно,
чтобы, отправляясь от них, получить все значения корня с требуемой точностью.
0.5 этом и пойдёт речь.
Итак, пусть корень

уравнения (1) "зажат" между двумя его
приближениями а и b по недостатку и по избытку a    b . При этом будем
предполагать, что F ( x), F ( x) и F ( x) непрерывны на отрезке [ а, b ], причём F ( x)
и
F ( x)
F ( x)
сохраняют знак. Сохранение знака у
(и, следовательно,
F (a) и F (b)
F ( x)
говорит о монотонности
имеют разные знаки). Сохранение же знака
у F ( x) означает, что выпуклость кривой y  F ( x) ) для всех х отрезка [ а, b ],
обращена в одну сторону. На рисунке №2
а), б), в), г) изображены 4 случая, отвечающих возложенным комбинациям
знаков у F ( x) и F ( x)
62
Рис 2 а. F   0, F   0
63
>
Рис 2б. F   0, F   0
64
>
Рис.2в. F   0, F   0
\
65
>
Рис2г F   0, F   0
66
3. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ
Если задача состоит в том, чтобы исследовать, сколько корней имеет
уравнение
a  ( x  4)  2 x  7
при разных a  0;2 ,то мы строим графики правой и левой части при разных
a  0;2
67
Мы видим, что при
a 0;1  два решения,
a  1  одно решение,
a  1; 2  нет решений.
Задача. Сколько решений имеет система уравнений
 x2  y 2  r

 y  x 1
Рис.2
По рисунку видим, что при r  r0 решений нет, при r  r0 -- одно решение,
при r  r0  два решения.
68
Задача 3 Сколько решений имеет уравнение
9  x2  x  a ?
Рис. 3 Прямые соответствуют разным значениям a
69
Рис. 4 При a  4.5 нет решений
70
Рис.5. a  4  два решения.
71
Рис.6. a  2.9  одно решение
72
Рис.7. a  3  одно решение
73
Рис. 8. а=-4 нет решений
74
МЕТОД ХОРД
Пусть на отрезке  a0 ; b0  лежит только один корень  равнения
f ( x)  0
Корень  представляет собой пересечение графика функции y  f ( x) с осью Ox
(см. рис 9).
>
Рис. 9.
75
Заменим дугу AB хордой AB , найдем точку пересечения x1 этой хорды с осью
Ox . Это будет первое приближение. Потом построим хорду CB , получим точку
x2 и так далее.
Прямая A(a0 ; f (ao )) B(b0 ; f (b0 )) имеет уравнение:
y  f (a0 )
x  a0

f (b0 )  f (a0 ) b0  a0
Положив в нем y  0 найдем x1 :
x1  a0 
b0  a0
 f (a0 )
f (b0 )  f (a0 )
Для того, чтобы найти следующее приближение x2 , надо из двух отрезков
 a0 ; x1  и  x1; b0  выбрать тот, на котором лежит корень  , а это тот, на концах
которого функция f ( x) имеет разные знаки.
Рис 9-а
76
Для функции на последнем графике, f ( x)  x2  2 ,
x1  1 ,
а
x2  1 
2 1
4
(1)  ,
2  (1)
3
и так далее.
МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ
Пусть на отрезке  a0 ; b0  содержится только один корень  уравнения. (Далее в
качестве примера рассматриваетcя f ( x)  x 2  2. на отрезке [0; 2])
1 7
) и B(2; 2) .
2 4
Проведем касательные к кривой y  f ( x) в ее концах, точках A( ;
Рис.10
77
Обозначим абсциссы точек пересечения касательных с осью Ox через x1 и x1 ,
каждую из этих точек можно было бы взять за приближенное значение корня.
Целесообразно взять ту из этих двух точек, которая лежит между корнем и
абсциссой точки касания. На рис. 4 такой точкой будет x1 причем в этой точке
функция и вторая производная имеют один и тот же знак: f (b0 )  0 и f (b0 )  0 .
Новую касательную проводим в точке [ x1; f ( x1 )] и находим точку пересечения
x2 .
Если имеется отрезок  ak ; bk  , отделяющй корень  , то уравнение касательной,
проведенной в точке  ak ; f (ak ) следующее:
y  f (ak )  f (ak )( x  ak )
Положив y  0, и  x  ak 1
f (ak )  f (ak )(ak 1  ak ) ,
Получим
ak 1  ak 
f (ak )
f (ak )
Если касательная проведена в точке bk ; f (bk ) , то
bk 1  bk 
f (bk )
f (bk )
78
Рис 11.
a0  1, a1  1.5
79
Рис 12. a2  1.41
Будем проводить касательную на правом конце отрезка
b0  2
80
Рис.13. b1  1.5
81
КОМБИНИРОВАННЫЙ МЕТОД ХОРД И
КАСАТЕЛЬНЫХ
По методу касательных целесообразней касательные проводить в том конце
отрезка, где произведение f (ak )  f ( x) или f (bk )  f ( x) положительно. Поэтому
если f (ak )  f ( x)  0 то левые концы вычисляют методом касательных, а правые –
методом хорд, и наоборот.
Итак, при
f (ak )  f ( x)  0
ak 1  ak 
bk  ak
 f (ak )
f (bk )  f (ak )
f (ak )
f (ak )
ak 1  ak 
А при
-- f (ak )  f ( x)  0
bk 1  bk 
bk 1  bk 
f (bk )
f (bk )
bk  ak
 f (bk )
f (bk )  f (ak )
Пример 3 Найти методом хорд и касательных корень уравнения
x3  2 x 2  3x  5  0
82
Рис. 14.
При всех x 1;2
f ( x)  0, f ( x)  0
f (1)  f (a0 )  3
f (a0 )  f ( x)  3  f ( x)  0
f (b0 )  f (2)  1
a1  1.75, b1  1.85
83
Рис. 14.a
84
Рис.14б
85
Задача 9. Методом хорд и касательных найти корень уравнения
f(x)= x  2  9  x2 =0
Рис.15 a0  0; b0  1
f (0)  1; f (1)  3  8  0.17
y=1.17x-- хорда ; y=(1+ 8 /8 )x-1.18=1.35x-1.18--- касательная
86
Перейдем к более подробному изображению:
Рис.10
Далее,
87
Рис. 11 a1  0.85; b1  0.87
88