Потенциальная энергия частицы в одномерной

8.Уравнение Шрёдингера. Волновая функция
Задачи
Задача
8.8. Частица находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими
стенками. Найти квантовое число n энергетического уровня частицы, если интервалы энергии до
соседних с ним уровней (верхнего и нижнего) относятся как 7/5.
Дано:
ширина ямы a
0 xa
Найти:
n x   ?
Решение:
(рис. 8.2.)
Потенциальная энергия частицы в одномерной бесконечно глубокой «потенциальной яме»
удовлетворяет условиям:
, x  0

U x   0,0  x  a - (1), где:
, x  a

U x  - потенциальная энергия частицы, находящейся в области 0  x  a ;
x - координата частицы;
a - ширина ямы.
Запишем одномерное уравнение Шрёдингера для стационарных состояний
частицы:
d 2 n x  2  m
 2  E  U   n x   0 - (2), где:
dx 2

n x  - собственная волновая функция частицы;
dx - бесконечно малый участок области, в которой находится частица;
m - масса частицы;
 - постоянная Планка,   1,054 1034 Äæ  ñ ;
E - полная энергия частицы;
U - потенциальная энергия частицы в одномерной бесконечно глубокой «потенциальной яме».
Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси x ) силы не действуют, то её
потенциальная энергия U x   const , то:
U  U x  0 - (3), где:
U - потенциальная энергия частицы в одномерной бесконечно глубокой «потенциальной яме»;
U x  - потенциальная энергия частицы, находящейся в области 0  x  a .
Тогда уравнение Шрёдингера для частицы, находящейся в области 0  x  a , имеет вид:
d 2 n x  2  m
 2  E  n x   0 - (4), где:
dx 2

n x  - собственная волновая функция частицы;
dx - бесконечно малый участок области, в которой находится частица;
m - масса частицы;
 - постоянная Планка,   1,054 1034 Äæ  ñ ;
E - полная энергия частицы.
Вне этой области волновая функция n x  также должна обращаться в нуль:
0  a   0 - (5), где:
0 - значение волновой функции при x  0 ;
a  - значение волновой функции при x  a .
Тогда общее решение уравнения Шрёдингера для частицы, находящейся в области 0  x  a ,
имеет вид:
n x   A  sin k  x  B  cos k  x - (6), где:
n x  - собственная волновая функция частицы;
A - постоянная интегрирования;
k - волновое число;
x - координата частицы;
B - постоянная интегрирования.
Отсюда следует, что:
1) при 0  0 :
B  0 - (7), где:
B - постоянная интегрирования;
2) при a  0 :
A  sin k  a  0 - (8), где:
A - постоянная интегрирования;
 n
;
k - волновое число, k 
a
a - ширина ямы.
Тогда энергия частицы в одномерной бесконечно глубокой «потенциальной яме» будет равна:
 2  k 2 n2   2   2
En 

- (9), где:
2m
2  m  a2
En - энергия частицы в одномерной бесконечно глубокой «потенциальной яме»;
 - постоянная Планка,   1,054 1034 Äæ  ñ ;
k - волновое число;
m - масса частицы;
n - квантовое число, характеризующее состояние частицы, n  1,2,3,... ;
a - ширина ямы.
Частица может находиться в каком-то одном из множества дискретных состояний, доступных для
неё.
Тогда для каждого значения энергии En волновая функция n x  будет равна:
 n   x 
n  x   A  sin 
 - (10), где:
 a 
n x  - собственная волновая функция частицы;
A - постоянная интегрирования;
n - квантовое число, характеризующее состояние частицы, n  1,2,3,... ;
x - координата частицы;
a - ширина ямы.
Согласно условию нормировки вероятностей постоянная интегрирования A будет равна:
a
n   x
2
A   sin 2
dx  1 - (11), где:
a
0
A - постоянная интегрирования;
a - верхний предел интегрирования, x2  a ;
0 - нижний предел интегрирования, x1  0 ;
n - квантовое число, характеризующее состояние частицы, n  1,2,3,... ;
x - координата частицы;
a - ширина ямы;
dx - бесконечно малый участок области 0  x  a .
Тогда:
2
- (12), где:
A
a
A - постоянная интегрирования;
a - ширина ямы.
Отсюда находим волновые функции n частицы в состоянии с квантовым числом n :
2
 n   x 
 sin 
 - (13), где:
a
 a 
x  - собственная волновая функция частицы;
a - ширина ямы;
n - квантовое число, характеризующее состояние протона, n  1,2,3,... ;
x - координата частицы.
2
 n   x 
Ответ:  x  
 sin 
 , где n - квантовое число, характеризующее состояние частицы,
a
 a 
n  1,2,3,... .
x  
Решить с максимально подробным решением WORD 2003, всё расписать! Оформить
подробное решение! Сделать цветной рисунок! РИСУНОК ОБЯЗАТЕЛЬНО!
Дано:
Решение:
Найти:
Решить с максимально подробным решением WORD 2003, всё расписать! Оформить
подробное решение! Сделать цветной рисунок! РИСУНОК ОБЯЗАТЕЛЬНО!