1.ЭлдЛц1.Элстат+ПостТок

Л. В. Такунов
Лекции по физике для студентов БГТУ
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Электродинамика – это раздел физики, в котором изучается электромагнитное взаимодействие. Оно включает
в себя электрическое и магнитное взаимодействия. Величина, характеризующая способность физических тел к
электромагнитному взаимодействию, называется электрическим зарядом. Для краткости речи зарядами часто
называют и сами заряженные тела. Электромагнитное взаимодействие зарядов не является непосредственным,
оно происходит посредством особого вида материи – электромагнитного поля. Каждый из зарядов не действует
непосредственно на другие заряды, он создает в окружающем пространстве свое электромагнитное поле,
которое действует на другие заряды. Таким образом, электромагнитное поле – это особый вид материи,
посредством которого происходит электромагнитное взаимодействие электрических зарядов. Поэтому можно
сказать, что электродинамика – это раздел физики, в котором изучаются свойства электромагнитного поля,
условия создания этого поля электрическими зарядами и его воздействие на заряды.
ЭЛЕКТРОСТАТИКА
Электростатика – это раздел электродинамики, изучающий электрическое взаимодействие неподвижных
зарядов. Магнитными силами неподвижные заряды друг на друга не действуют. Электростатическое
взаимодействие обнаруживается в опытах по электризации тел трением. Существуют два типа электрических
зарядов: положительные и отрицательные. Положительный заряд – это заряд, приобретаемый стеклянной
палочкой при трении о шелк. Отрицательный заряд – это заряд, приобретаемый эбонитовой палочкой при
трении о мех. Одноименные заряды взаимно отталкиваются, разноименные заряды взаимно притягиваются. Из
микрочастиц положительным зарядом обладает протон, отрицательным зарядом – электрон.
Основным законом электростатики является закон Кулона:
Сила электрического взаимодействия двух точечных зарядов прямо
q1
q2
пропорциональна произведению модулей этих зарядов и обратно
пропорциональна квадрату расстояния между ними:
где
k =
1
40
Fэл = k
= 9109 м/Ф , электрическая постоянная
| q1 || q 2 |
, (1)
r2
0
Fэл,1
r
Fэл, 2
Fэл,1 = Fэл,2  Fэл
= 8,8510-12 Ф/м. Точечный заряд – это заряд
материальной точки, то есть заряд тела, размеры которого малы по сравнению с расстояниями до других тел,
взаимодействующих с данным телом электрическими силами. Формула (1) относится к случаю, когда
взаимодействующие заряды q1 , q2 находятся в вакууме.
Закон Кулона для точечных зарядов, находящихся в бесконечной однородной диэлектрической среде :
Fэл = k
Здесь

| q1 || q2 |
r 2
.
(2)
– относительная диэлектрическая проницаемость среды. Она показывает, во сколько раз сила
электрического взаимодействия зарядов в вакууме больше, чем в данной среде:
=
Fэл,вак
Fэл
.
(3)
Электрическое поле. В формулировку закона Кулона для краткости не включено понятие электрического
поля, и может возникнуть ошибочное впечатление, будто в этом законе идет речь о непосредственном
электрическом взаимодействии зарядов q1 , q2 . В действительности каждый из этих зарядов только создает
вокруг себя свое электрическое поле, и уже только электрическое поле одного заряда действует на другой заряд
электрической силой. Электрическое поле – это особый вид материи, посредством которого осуществляется
электрическое взаимодействие заряженных тел. Неподвижные заряды не создают магнитного поля, они
создают только электрическое поле, которое конкретнее называется электростатическим полем и является
частным случаем электромагнитного поля. Основная силовая характеристика электрического поля –
электрическая напряженностьE . Это величина, равная электрической силе, действующей на единичный
E =
пробный заряд, помещенный в данную точку поля:
Fэл
q пр
.
(4)
Здесь Fэл – электрическая сила, действующая со стороны изучаемого электрического поля на пробный заряд
qпр . Пробный заряд – это точечный заряд, вносимый в рассматриваемое поле для исследования данного поля.
Поле, создаваемое самим пробным зарядом нас не интересует. Из определения (4) видно, что за направление
электрической напряженности принимается направление электрической силы, действующей на положительный
пробный заряд, помещенный в данную точку поля:
E Fэл при qпр > 0 .
(5)
Если qпр < 0 , то есть qпр   | qпр | , из (4) получаем Fэл  E | qпр| . Видно, что в данном случае
1
Fэл E , то есть на отрицательную частицу внешнее электрическое поле действует силой, направленной
противоположно напряженности .
Формула напряженности электрического поля, создаваемого точечным зарядом :
E=k
|q|
r2
.
(6)
а
Здесь q – заряд, создающий поле, r – расстояние от этого заряда до точки 1) q > 0
наблюдения. Формула (6) легко получается из формул (2), (4).
r = rа
E =Eа
Напряженность электрического поля, создаваемого положительным 2) q  0
E =Eа
зарядом, направлена от этого заряда. Напряженность поля отрицательного
r = rа
а
заряда направлена к этому заряду (см. рис. ).
Напряженность электрического поля равномерно заряженной сферической поверхности (имеющей радиус
R и заряд q ):
E=0
при
r R
(7)
E=k
,
Здесь r – расстояние от центра сферы до точки, где требуется
найти напряженность (это радиальная координата точки
наблюдения). Согласно (7), внутри сферы поле отсутствует.
Согласно (8), вне сферы поле такое же, как поле точечного заряда,
равного заряду сферы и помещенного в ее центре.
q
q
r2
при
r R .
(8)
r1 = |O1|  R
ra = |O2|  R
Eв
R
O
2
E1 = 0
1
Напряженность электрическогое поля бесконечной равномерно заряженной пластины:
E=

2 0
,
(9)
1)  
где поверхностная плотность заряда  – это величина, равная
заряду, распределенному по участку поверхности с единичной
площадью:
q
=
.
S
0
2)
0
E+
E–
(10)
Формула (9) приближенно справедлива и для поля, создаваемого заряженной пластиной конечных размеров,– в
точках поля, которые в перпендикулярном направлении удалены от пластины много меньше, чем от ее краев.
Принцип суперпозиции для электрической напряженности: напряженность электрического поля,
создаваемого системой зарядов, равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых всеми зарядами
системы по отдельности:
E =Ei
.
(10)
Однородное электрическое поле – это электрическое поле, во всех точках которого вектор напряженности
одинаков (и по модулю, и по направлению).
Электрическая силовая линия – это линия, в каждой точке которой вектор электрической напряженности
направлен по касательной. Густота силовых линий , то есть число линий , проходящих через поперечное
сечение единичной площади, пропорциональна модулю напряженности E. Силовые
линии однородного электрического поля представляют собой систему параллельных
E
линий, густота которых всюду одинакова.
Потенциал электростатического поля. Электростатическое поле является потенциальным , то есть работа
электрической силы по перемещению пробного заряда между двумя произвольными точками не зависит от
способа перемещения (от формы траектории и характера изменения скорости), а зависит только от координат
исходной и конечной точек. Это позволяет характеризовать электростатическое поле особой величиной –
электрическим потенциалом. Электрический потенциал – это величина, равная работе электрической силы по
перемещению единичного пробного заряда из данной точки поля в точку, где потенциал принят за нуль. Чаще
всего за нуль принимают потенциал бесконечно удаленной точки. Тогда электрический потенциал – это
величина, равная работе электрической силы по перемещению единичного пробного заряда из данной точки
поля в бесконечность:
1=
A1эл

q пр
.
(11)
Отсюда следует, что разность потенциалов двух точек электрического поля равна работе электрической силы
по перемещению единичного пробного заряда из одной точки поля в другую :
1 –  2 =
A1эл
2
q пр
.
(12)
Разность потенциалов двух точек электрического поля называется электрическим напряжением :
U = 1 –  2
2
.
(13)
Потенциальная энергия электрического взаимодействия и ее связь с электрическим потенциалом.
Ранее, при изучении механики мы выяснили, что для тел, взаимодействующих потенциальными силами, можно
ввести понятие потенциальной энергии: потенциальная энергия – это величина, равная работе потенциальных
сил по перемещению системы из данного положения в положение, где потенциальная энергия принята за нуль.
Чаще всего принимается, что потенциальная энергия равна нулю, когда взаимодействующие тела удалены друг
от друга на бесконечно большое расстояние. Следовательно, потенциальная энергия, которой обладает
точечный пробный заряд в данной точке электрического поля, равна работе электрической силы по
W1= А 1эл
перемещению этого пробного заряда из данной точки поля в бесконечность:
W1
,
q пр
1=

Из (11) , (14)
.
(14)
(15)
то есть электрический потенциал равен потенциальной энергии, которой обладает единичный пробный заряд,
помещенный в данную точку электрического поля. (Заметим, что потенциальная энергия, которой обладает
пробный заряд, помещенный в данную точку электрического поля, это то же самое, что и потенциальная
энергия взаимодействия пробного заряда с системой зарядов, создающей поле.)
Вывод формулы потенциальной энергии электрического взаимодействия двух точечных зарядов.
Сначала вычислим работу, которую совершают силы электрического взаимодействия двух положительных
точечных зарядов q1 , q2 при увеличении расстояния между ними от r0 до  . Заряд q1 зафиксируем, тогда
перемещается только заряд q2 – из начального положения 0 , где он
r0
0

покоился, в бесконечно удаленную точку. Это прямолинейное движение
под действием электрической силыFэл со стороны заряда q1 .
q1
q2 Fэл
По определению работы с учетом закона Кулона:
А 0эл  =

 Fэл cos00 dr = kq1 q2
0

dr
 r2
= – kq1 q2
r0
qq
1 
|r = k 1 2 .
r 0
r0
(16)
q1 q 2
.
r0
Это потенциальная энергия взаимодействиязарядов q1 , q2 , находящихся на расстоянии r0 друг от друга.
Заменим в (14) индекс 1 на индекс 0

W0 = А 0эл  

(16)
W0= k
Опуская индекс 0 , получаем потенциальную энергию взаимодействия двух точечных зарядов, разделенных
расстоянием
r:
W=k
q1 q2
r
.
(17)
Будем рассматривать заряд q1 как создающий электрическое поле, а заряд q2 – как пробный заряд. Тогда из
=k
(15), (17) 
q1
r
Это потенциал электрического поля, создаваемого точечным зарядом q1 на расстоянии r1 от него. Опуская
индекс 1 , получаем потенциал электрического поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от
=k
него:
q
.
r
(18)
Формулы (17), (18) справедливы при любых знаках зарядов. Из (18) видно, что положительным зарядом
создается положительный потенциал, а отрицательным зарядом – отрицательный потенциал.
Потенциал электрического поля равномерно заряженной сферы (имеющей радиус R и заряд q ):
 =k
q
при r  R
r
(19)
,
=k
q
при r  R .
R
(20)
Согласно (19), вне сферы потенциал такой же, как для поля точечного заряда, равного заряду сферы и
помещенного в ее центр. Согласно (20), внутри сферы потенциал во всех точках одинаков и равен потенциалу
на самой заряженной сфере.
Принцип суперпозиции для электрического потенциала: потенциал электрического поля, создаваемого
системой зарядов, равен сумме потенциалов полей, создаваемых всеми зарядами системы по отдельности:
 = i
.
(21)
Связь электрической напряженности и электрического потенциала. Вычислим бесконечно малую работу,
которую совершает электрическое поле на бесконечно малом отрезке dx при перемещении пробного заряда
вдоль силовой линии. По определению работы с учетом формулы-определения электрической напряженности:
dAэл = Fэлcos00 dx = qпр E dx
.
(22)
3
Из (12)
эл
А 1
2 = – qпр ( 2 –1) = – qпр 

.
(23)
Это работа на конечном отрезке x = x2 – x1 ( ось Ox выбрана вдоль силовой линии ). Соответствующее
выражение для бесконечно малой работы на отрезке dx :
dAэл = – qпр d

(22)

d
.
(24)
dx
Модуль напряженности E > 0 . Поэтому при dx > 0 имеем d > 0 , то есть вдоль силовой линии (вдоль
вектораE ) потенциал убывает, причем это направление наиболее быстрого убывания потенциала в
– qпр d = qпрE dx

E=–
пространстве. Связь электрической напряженности с потенциалом, выражаемую формулой (24), можно
E = i E = – i
записать в векторном виде:
d
= – grad 
dx
где i – единичный вектор (орт) , направленный вдоль оси Ox . Вектор
,
(25)
grad  = i
d
dx
(26)
называется градиентом потенциала. Это вектор, направленный в сторону наиболее быстрого возрастания
потенциала в пространстве и численно равный скорости этого возрастания. Согласно (25), электрическая
напряженность есть вектор, противоположный градиенту потенциала. В частном случае однородного
электрического поля из (24)

E=–
 |   | U
=
=
.
l
x
x
(27)
Здесь U = | | = 1–2 – положительное электрическое напряжение между двумя точками, лежащими на
одной электрической силовой линии на расстоянии l друг от друга.
Эквипотенциальная поверхность – это поверхность, во всех точках которой потенциал одинаков. Из (12)
получаем, что при перемещении пробного заряда вдоль эквипотенциальной поверхности электрическая сила
работу не совершает. Отсюда следует, что вектор электрической напряженности в произвольной точке поля
перпендикулярен (ортогонален) малому участку эквипотенциальной поверхности, проходящей через данную
точку. (В этом смысле говорят, что силовые линии электростатического поля ортогональны к
эквипотенциальным поверхностям.) Предположим обратное, – допустим, что векторE не перпендикулярен
эквипотенциальной поверхности S . Тогда и электрическая сила Fэл =E qпр , действующая на пробный заряд,
не будет  S , то есть будет совершать работу при движении заряда qпр вдоль S . Но согласно (12), это
невозможно.
Из (18) видно, что эквипотенциальные поверхности для поля точечного заряда представляют собой
концентрические сферы, в центре которых находится заряд, создающий поле.
Условия равновесия свободных зарядов в проводнике. Проводник – это тело, в котором имеются
свободные заряды, то есть заряженные микрочастицы, способные под действием сколь угодно малой силы
перемещаться по всему объему этого тела. Если отсутствуют сторонние, то есть неэлектростатические силы, то
равновесие свободных зарядов возможно только в случае, когда и электростатические силы на эти заряды не
действуют:
Fэл =0 .
(28)
Учитывая это в определении электрической напряженности (4), получаем, что при равновесии свободных
зарядов в проводнике электрическая напряженность внутри проводника равна нулю:
E=0 .
(29)
Из формулы-определения работы с учетом (28) следует, что электрическая сила при перемещении пробного
заряда между двумя любыми точками внутри проводника работу не совершает : Aэл=0. Тогда из (12) вытекает,
что при равновесии свободных зарядов в проводнике разность потенциалов двух любых точек проводника
равна нулю (1–2 = 0), то есть потенциалы всех точек проводника одинаковы. Значит поверхность проводника
–это эквипотенциальная поверхность. Следовательно, вблизи проводника вектор электрической напряженности
перпендикулоярен его поверхности.
Еще одним важным фактом является то, что при равновесии свободных зарядов нескомпенсированные заряды
внутри проводника отсутствуют, то есть они распределяются по поверхности проводника.
Конденсаторы. Электрический конденсатор – это система двух проводников, разделенных диэлектрическим
промежутком,– при условии, что заряды этих проводников (обкладок конденсатора) численно равны, но
противоположны по знаку. Заряд конденсатора – это модуль заряда любой обкладки данного конденсатора.
Заряд конденсатора пропорционален напряжению на его обкладках 
Мы пришли к формуле электроемкости произвольного конденсатора:
4
q
= const  C
U
С=
q
U
.
(30)
Заметим, что понятие электроемкости конденсатора С вводится как коэффициент прямой пропорциональности
между зарядом конденсатора q и напряжением U на его обкладках. Как и должно быть для коэффициента
пропорциональности, емкость С не зависит от величин q, U , т. е. для конденсатора с заданной конфигурацией
обкладок и заданным типом диэлектрического промежутка электроемкость – постоянная величина.
Плоский конденсатор – это конденсатор, обкладками которого служат параллельные проводящие пластины,
причем расстояние между пластинами много меньше их продольных размеров. Заряды пластин практически
равномерно распределены по их поверхностям, обращенным к конденсаторному промежутку.
Электрическое поле плоского конденсатора складывается из полей
–
его пластин, то есть это сумма полей двух равномерно и разноименно
заряженных параллельных плоскостей [см. (9) и (10)]:
E
E =E+ +E– .
(31)
Если продольные размеры пластин бесконечно велики, поле

существует только в конденсаторном промежутке, причем его
напряженность равна удвоенной напряженности поля одной обкладки :
E =E+ + E–= 2E+ =

0
.
(32 )
Вне конденсаторного промежутка поля пластин взаимно компенсируются:
E = E+ – E– = 0 .
(33)
Равенства (32), (33) приближенно остаются справедливыми и для плоского конденсатора, имющего конечные
продольные размеры.
Вывод формулы емкости плоского конденсатора. Из формулы связи напряженности и напряжения для
однородного электрического поля с учетом (32), (10) получаем:
С=
 0S
U=El=
q

l=
l  (30)
0
S 0
.
l
Это искомая формула емкости плоского конденсатора. Здесь

(34)
S – площадь одной пластины, l – расстояние
между пластинами,  – относительная диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего
конденсаторный промежуток.
Вывод формулы энергии конденсатора. Работа является мерой изменения энергии. Это значит, что энергия
конденсатора равна работе, которую способна совершить электрическая сила в процессе разрядки
конденсатора, а также работе, которую нужно совершить по преодолению электрической силы в процессе
зарядки конденсатора. Пусть заряд конденсатора увеличивается от нуля до qm qmax последовательным
переносом бесконечно малых порций dq с отрицательной обкладки на положительную. Согласно (12), для
переноса каждой порциизаряда dq нужно совершить по преодолению электрической силы бесконечно малую
работу dA = Udq =
q
dq . Полная работа по зарядке конденсатора равна сумме всех таких бесконечно малых
C
qm
работ, то есть определенному интегралу:
A=
1
 dA = C
q 0
qm
 qdq =
q 0
Этой работе равна энергия конденсатора, заряженного до напряжения Um :
q m2 1
= CUm2 .
2C 2
W = A= 1 CUm2 .
2
Опуская индекс m , получаем энергию конденсатора, заряженного до напряжения U :
W = 1 CU 2
2
(22)
Энергию конденсатора можно понимать как энергию взаимодействия его заряженных обкладок. Более
глубокий смысл энергии конденсатора в том, что это энергия электрического поля, создаваемого обкладками.
Параллельное соединение конденсаторов. Батарею, составленную из параллельно
соединенных конденсаторов можно рассматривать как единый конденсатор, у которого левая
обкладка состоит из левых обкладок отдельных конденсаторов, а правая обкладка – из правых
обкладок. Поэтому заряд батареи равен сумме зарядов составляющих ее конденсаторов:
q = q1 + q2 .
(25)
Напряжение на обкладках батареи совпадает с напряжением на каждом из соединенных
конденсаторов:
U = U1 = U2 = a – в .
(26)
Из (25) с учетом (21), (26) следует формула емкости такой батареи:
C = C1 + C2 .
(27)
5
С1 ,U
q1 – q1
в
a
q2
– q2
С2 ,U
С1 , U1
С2 , U2
q –q q –q
a
в
к
Последовательное соединение конденсаторов. Батарею из двух последовательно
соединенных конденсаторов можно рассматривать как единый конденсатор, у
которого роль левой обкладки играет левая обкладка левого конденсатора, а правая
обкладка совпадает с правой обкладкой правого конденсатора (на нашем рисунке).
Каждый из составляющих конденсаторов и вся батарея имеют один и тот же заряд:
q1= q2= q .
(28)
Напряжение на батарее равно сумме напряжений на составляющих конденсаторах:
U =a – к = (a – в ) + (  в – к ) = U1 + U2
Из (29) с учетом (21) и (28) получаем формулу для емкости такой батареи:
U
.
(29)
1
1
1
=
+
C
C1 C 2
.
(30)
Закон сохранения электрического заряда: Сумма зарядов замкнутой системы сохраняется со временем.
ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК
Электрический ток – это упорядоченное (направленное) движение электрических зарядов. За направление
электрического тока принимается направление движения положительно заряженных частиц. Имеется в виду,
что отрицательно заряженная частица образует ток, направленный противоположно ее скорости. Тела, по
которым может проходить электрический ток, называются проводниками. Основные виды проводников:
металлы, электролиты, ионизованные газы. Способность проводников проводить электрический ток
объясняется наличием в них свободные зарядов (носителей тока), то есть заряженных микрочастиц , которые
могут легко перемещаться по всему объему проводника. Наилучшие проводники – металлы. Любой металл
можно рассматривать как совокупность положительных ионов и отрицательно заряженых свободных
электронов. Положительные ионы расположены в пространстве упорядоченно, образуя кристаллическую
решетку. Свободные электроны не принадлежат конкретным ионам, а могут свободно двигаться по всему
кристаллу. При наличии внешних сил движение свободных электронов становится упорядоченным, то есть в
металле появляется электрический ток. Направление этого тока противоположно направлению упорядоченного
движения электронов. В электролитах роль свободных зарядов играют положительные и отрицательные ионы;
в ионизованных газах – ионы и свободные электроны.
Сила тока – это величина, равная заряду, проходящему за единицу времени через поперечное сечение
проводника:
I =
q
t
.
(1)
Здесь q – заряд, проходящий через поперечное сечение проводника за время t . Постоянный ток – это ток,
сила которого не зависит от времени. Для создания постоянного тока необходима замкнутая цепь, то есть
замкнутый проводник, некоторый участок которого служит источником тока. Источник тока – это участок
цепи, на котором действуют сторонние силы , то есть неэлектростатические силы, способные создавать
упорядоченное движение свободных зарядов (носителей тока). Сторонние силы в источнике тока разделяют
электрические заряды, смещая положительные заряды на один край источника (положительный полюс), а
отрицательные заряды – на другой (отрицательный полюс источника). Важнейшей
,r
I
характеристикой источника тока является электродвижущая сила (ЭДС) – это
величина, равная работе сторонних сил, действующих внутри источника, по
2
1
Aстр
I
перемещению единичного заряда:

.
(2)
q
Рис.1
R
Простая замкнутая электрическая цепь – это цепь, состоящая из одного источника тока и подключенного к
источнику внешнего проводника ( см. рис. 1 ). На рисунке: R – сопротивление внешнего участка цепи
(внешнее сопротивление), r – сопротивление источника тока (внутреннее сопротивление). Сопротивление
соединительных проводов, изображаемых тонкими линиями, считается равным нулю, – если об их
сопротивлении нет никакой дополнительной информации.
Во внешнем участке ток создается только электрическими силами (электростатическими). Они действуют на
свободные заряды внешних проводников со стороны неподвижных зарядов, расположенных на поверхности
этих проводников. Эти поверхностные заряды приходят от полюсов источника сразу после замыкания цепи.
Мысленно поместим во внешний участок цепи пробный положительный заряд. Он отталкивается от
положительного полюса источника и притягивается к отрицательному полюсу, то есть движется от “плюса”
источника к “минусу”. Как говорилось выше, за направление тока принято направление движения
положительных зарядов. Следовательно, во внешнем участке ток течет от “плюса” источника к “ минусу”.
Внутри источника наоборот, ток течет от отрицательного полюса к положительному. Электрические силы на
этом участке стремятся перемещать положительные заряды от “плюса” к “ минусу”, но в источнике действуют
еще сторонние силы, направленные в противоположную сторону, причем они больше электрических сил.
Поэтому в источнике тока положительные заряды движутся от “ минуса” к “плюсу”.


6
Источник постоянной ЭДС создает в замкнутой цепи постоянный ток. Сила тока во внешнем и во
внутреннем участках должна быть одинакова. Иначе на полюсах источника происходило бы изменение
зарядов, что влияло бы на силу тока, то есть ток не мог бы оставаться постоянным.
Закон Ома для простой полной цепи:

I=
,
Rr
(3)
то есть сила тока в цепи равна отношению ЭДС источника к сумме внешнего и внутреннего сопротивлений.
Закон Ома для внешней цепи (закон Ома для участка цепи, не содержащего ЭДС): сила тока во внешнем
участке цепи прямо пропорциональна напряжению (то есть разности потенциалов) на концах данного участка и
обратно пропорциональна его сопротивлению:
U 1   2
.

R
R
I=
(4)
Как было выяснено в электростатике, электрическое напряжение, то есть разность потенциалов двух точек
электрического поля , – это величина, равная работе электрической силы по перемещению единичного заряда
из одной точки поля в другую (например, с одного конца проводника на другой):
Обобщенный закон Ома (закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС):
U=
I=
Aэл
q
1   2  
r
.
(5)
.
(6)
Правила знаков для обобщенного закона Ома: 1) в числителе формулы (6) из потенциала точки, от которой
идет ток, вычитается потенциал точки, к которой идет ток на данном участке; 2) модуль ЭДС подставляется в
(6) со знаком “+” , если направление ЭДС совпадает с направлением тока на данном участке.
За направление ЭДС принимается направление, в котором сторонние силы перемещают положительные
заряды, то есть направление от “минуса” к “плюсу ”, проведенное внутри источника.
Заметим, что обобщенный закон Ома легко выводится из формул (3) , (4). Из (3) 
Из (4)

IR = 1 – 2

(3/ )

I=
 2  1  
r
IR + Ir =  . (3/ )
(6 / )
.
Формально это отличается от (6) индексами при потенциалах, но с учетом правила знаков для потенциалов в
обобщенном законе Ома видно, что здесь все в порядке, так как на рис.1 ток внутри источника течет от точки 2
к точке 1. Из (6) получаем соотношение между ЭДС и напряжением на полюсах источника тока :
U  2 –1 = - Ir
(6// )
.

Видно, что напряжение на полюсах источника тока равно ЭДС (U = ) в двух случаях: 1) если I =0, то есть
в случае, когда ток через источник не идет; 2) если r = 0 , то есть при отсутствии у источника внутреннего
сопротивления.
Законы последовательного соединения проводников:
Сила тока в последовательно соединенных проводниках одинакова:
I
R1
I
R2
I
I1 = I2  I .
(7)
a
b
c
Напряжение на всем соединении равно сумме напряжений на
составляющих проводниках:
U =U1 +U2 .
(8)
 Это легко доказать: U =a – c = (a –b ) + (b –c) =U1 +U2 . 
Полное сопротивление при последовательном соединении равно сумме сопротивлений составляющих
проводников:
R =R1 + R2 .
(9)
Это получается применением в (8) закона Ома с учетом (7)  U = I R , U1 = I R1 , U2 = I R2 .  (8) .
Законы параллельного соединения проводников:
Напряжение на параллельно соединенных проводниках одинаково:
R1
U1 =U2 =U = a –b .
(10)
I1
Сила тока в цепи до разветвления равна сумме сил токов в отдельных ветвях:
a
в
I = I1 +I2 .
(11)
I
I2
I
Обратное сопротивление параллельного соединения равно сумме
R2
обратных сопротивлений всех ветвей:
1 1
1
=
+
R R1 R2
Это получается из (11) применением закона Ома с учетом (10):
7
.
(12)
I=
U
R
,
I1 =
U
R1
,
I2 =
U
.
R2
Формулы (7)(12), относящиеся к соединениям двух проводников, очевидным образом обобщаются на
соединения произвольного числа проводников. В случае двух параллельно соединенных проводников вместо
формулы (12) обычно более удобно вытекающее из нее выражение:
Если соединено
R=
R1 R2
R1  R2
.
(13)
n одинаковых проводников, каждый из которых имеет сопротивление R0 , то из (9), (12)
получаем: 1) R = nR0 – для последовательного соединения, 2)
R=
R0
– для параллельного соединения.
n
1-й закон Кирхгофа: алгебраическая сумма сил токов, входящих в узел, равна нулю:
 Ii = 0 .
(14 )
В этой записи имеется в виду, что силы токов, входящих в узел, положительны, а силы токов, выходящих из
узла, отрицательны.
Арифметическая формулировка 1-го закона Кирхгофа: сумма модулей сил токов, входящих в узел, равна
сумме модулей сил токов, выходящих из узла. Равенство (11) – простой частный случай этого закона.
Теоретически 1-й закон Кирхгофа следует из закона сохранения электрического заряда и того факта, что после
установления постоянного тока заряды в узлах цепи не накапливаются.
2-й закон Кирхгофа: для призвольного замкнутого контура, выделенного в произвольной цепи постоянного
тока, сумма произведений сил тока на сопротивления участков контура равна сумме ЭДС , действующих в

контуре:
 IiRi =  i
.
(15)
Правила знаков для 2-го закона Кирхгофа: силы тока и ЭДС подставляются в (15) со знаком “плюс”, если
направления тока и ЭДС совпадают с выбранным положительным направлением обхода контура (и со знаком
“минус”, если не совпадают). 2-й закон Кирхгофа легко выводится из обобщенного закона Ома (6).
R=
Формула сопротивления линейного проводника:
l
,
S
(16)
где l – длина проводника, S – площадь его поперечного сечения,  – удельное сопротивление. Линейный
проводник – это проводник постоянного поперечного сечения, диаметр которого много меньше его длины.
Короткое замыкание источника тока – это соединение полюсов источника проводником
,r
ничтожного сопротивления. Иными словами, – это цепь с внешним сопротивлением,
равным нулю (R=0). Тогда закон Ома для полной цепи (3) дает:
Iкз =

r

.
(17)
Iкз
Ток короткого замыкания (Iкз) – это максимальный ток, который может быть получен с помощью данного
источника тока. Простейший пример схемы с коротким замыканием показан на рисунке. Здесь имеется в виду
упомянутая выше условность обозначений: все внешние проводники показаны тонкими линиями и нет
дополнительной информации о их сопротивлении, – значит их сопротивление считается равным нулю.
Следовательно, на данной схеме внешнее сопротивление R = 0 .
Заметим, что напряжение на полюсах источника тока при коротком замыкании равно нулю. Это видно из
закона Ома для внешнего участка цепи: U = IR = I  0 = 0 . И в случаях, не связанных с коротким
замыканием, у внешнего проводника , не обладающего сопротивлением, потенциалы всех точек одинаковы.
Действительно, при R= 0 имеем
U = 1 – 2 = IR = 0

1 =2 .
(18)
,r
Приведем другой пример схемы с коротким замыканием, – когда параллельно
Iкз
внешнему проводнику сопротивлением R1  0 подключен проводник, не имеющий
сопротивления: R2=0 . Полное внешнее сопротивление находим по формуле (13):
R1

R=
R1  0
=0
R1  0
,
то есть это действительно короткое замыкание.
R2=0
Закон Джоуля-Ленца: Количество теплоты, выделяемое током в проводнике, равно произведению квадрата
силы тока на сопротивление проводника и на время прохождения тока:
Q = I2Rt .
(19)
Этот экспериментально установленный закон нетрудно вывести теоретически, применяя следующие
энергетические представления о прохождении электрического тока во внешнем участке цепи. Во внешнем
участке упорядоченное движение свободных зарядов (носителей тока) создается электрическими силами
(электростатическими). Эти силы сообщают носителям тока ускорение, а значит и скорость направленного
движения. С энергетической точки зрения электрические силы совершают над носителями тока (например, над
свободными электронами в металле) работу по сообщению им кинетической энергии упорядоченного
движения:
Aэл = W к, упоряд .
(20)
Однако, при столкновениях с другими частицами (например, при столкновениях свободных электронов в
металле с ионами кристаллической решетки), носители тока резко изменяют направление своего движения, то
8
есть рассеиваются под всевозможными углами. Таким образом, энергия направленного движения носителей
тока переходит в энергию хаотического движения микрочастиц, то есть в энергию теплового движения:
W к, упоряд = W к,хаот
.
(21)
Проводник нагревается, а далее в виде количества теплоты передает окружающей среде практически всю
приобретенную энергию теплового движения:
Wк,хаот = Q
.
(22)
Из (20), (21), (22) получаем:
Q = Aэл
,
(23)
то есть работа электрических сил над свободными зарядами в конечном счете идет на выделение теплоты. В
этом проявляется закон сохранения энергии при прохождении постоянного тока во внешнем участке цепи.
Далее вычисляем работу электрических сил над полным зарядом q , прошедшим по проводнику за время t.
Из (5) 
Aэл = qU ,
(24)
где U – напряжение, приложенное к проводнику. Из определения силы тока (1) 
q = It .
(25)
По закону Ома (4)
U = IR .
(26)
(25), (26)  (24)

Aэл = I2Rt
.
(27)
Подставляя (27) в (23), получаем закон Джоуля-Ленца (19).
Мощность тока – это мощность электрических сил, создающих упорядоченное движение свободных зарядов
во внешнем участке цепи, то есть работа электрических сил за единицу времени (см. общее определение
мощности в механике):
P=
Aэл
t
.
(28)
Подставляя сюда формулу работы электрических сил (27) и применяя закон Ома, получаем формулу мощности
P = I2R = IU =
тока в трех видах:
U2
R
.
(29)
Примеры решения задач по электростатике и постоянному току
Задача 1. Пластины плоского воздушного конденсатора расположены вертикально на расстоянии d друг от
друга. Конденсатор заряжен до напряжения U . К одной из пластин на легкой нити привязан малый
заряженный шарик массой m . Нить отклонилась от вертикали на угол  . Найти заряд шарика.
Решение. Условие равновесия шарика:
y
d, U,
x: Fн sin  – Fэл = 0

Fн sin  = Fэл
(1)

F
н
, m
E
y: Fн cos  – mg = 0

Fн cos  = mg
(2)
q–?
(1)
( 2)

x
Fэл
q

tg  =
Fэл
mg
Fэл = mg tg 

По определению электрической напряженности:
mg
q=
d,U

q=
Fэл

q
Fэл
E
(4)
Формула связи напряженности и напряжения для однородного электрического поля:
(3) , (5)  (4)
Е =
(3)
Е =
U
d
(5)
mgd
tg 
U
Задача 2. Плоский воздушный конденсатор с площадью пластин S и расстоянием между ними d1 заряжен до
напряжения U1 и отключен от источника тока. Найти силу электрического взаимодействия пластин? Какую
работу нужно совершить, чтобы увеличить расстояние между пластинами в n раз ?
Решение. Применяем формулу-определение электрической
d1 , S , U1 ,
q
Е–
q
F
d2= nd1.
напряженности:
Е– = эл ,
(1)
q
 =1
Fэл Fтяги = –Fэл
U1 ?
к полюЕ– , создаваемому отрицательной пластиной, причем
Fэл  ?
в качестве пробного заряда q рассматриваем заряд
U, d
положительную. Отсюда Fэл = qЕ– .
положительной пластины. Тогда Fэл есть электрическая
сила, действующая со стороны отрицательной пластины на
Модуль этой силы
9
Fэл = qЕ–
(2)
В конденсаторном промежутке пластины по отдельности создают почти одинаковые поля:
E  = E .
Напряженность полного поля конденсатора с учетом принципа суперпозиции равна Е =Е– +Е+ = 2Е– 
Е–=
1
Е
2


(1)
Fэл =
1
qЕ .
2
(3)
Применяем к однородному полю в конденсаторном промежутке формулу связи электрической напряженности
Е =
и разности потенциалов:
U1
d1

qU1
.
2d 1
q
C1 =
U1

(3)
Fэл =
Применяем формулу емкости произвольного конденсатора:
и формулу емкости плоского конденсатора:

q=
0S
d1
U1
C1 =

(7)
 0 S
=
d1

(4)
0S
(6)
 0 S  U1 
 
2  d 1 
Так как источник тока отключен, заряд конденсатора остается неизменным: q =const .
U1 U 2
=
d1 d 2

Следовательно, работу силы тяги Fтяги =
 1,  2,  3
r1 , r2 , r3
U в с – ?
I1 , I2 , I3  ?
–Fэл
в
1 r1
2
r2
I1
3
.

I3
с
Подставляем (2), (3), (4)  (5) 
Отсюда
в – с
(7) 
по раздвиганию пластин конденсатора можно найти,
1
0 S (n-1)U12 .
2d 1
 U  1
r1
r1
 с 2 U   2
=
I2  в
r2
r2
  с  3 U   3
=
I3  в
r3
r3
Дополнительно используем 1-й закон Кирхгофа:
I1 = I2 + I3
.
I1 
U 3
 U  1
U 2
=
+
r1
r2
r3
(8)
Решение. Направления токов на участках цепи можно
выбрать произвольно,  если нет возможности выяснить
заранее их истинные направления. Тогда расчет может
привести к отрицательным значениям токов в некоторых
участках. В этих участках истинные направления токов
противоположны
предполагавшимся
направлениям.
Записываем обобщенный закон Ома для каждого из трех
участков заданной схемы:
r3
I2
2
Fэл = const
А=Fтяги (d2 – d1) cos0 0 = Fэл d1 (n-1) =
используя простое определение работы:
Задача 3.

(8)
(5)
.
d1
Fэл =
(4)
 с   в  1
=
(1)
(2)
(3)
(4)
 1 1 1
  
U      =  1  2  3 .
r1
r2
r3
 r1 r2 r3 

1   2   3

U
Силы токов находим по формулам (2), (3), (4).
r1
r2
r3
1 1 1
 
r1 r2 r3

.
Задача 4. К источнику тока, имеющему ЭДС
и внутреннее сопротивление r подключен резистор. При
каком сопротивлении резистора в нем выделяется максимальная мощность? Построить график зависимости
мощности, выделяющейся в резисторе, от силы тока в цепи [ график P(I) ].
10
 ,r
,r
P = Pmax
R–?
I
2
Закон Ома для полной цепи:
I=
1

Rr

IR = – Ir
(1)
U = IR = – Ir
По закону Ома для внешней цепи:
R


По формуле мощности тока:
P =IU = I ( – Ir)

P=–I2r+I
(2)
Строим график полученной зависимости P(I). Это парабола, проходящая через начало координат, причем ветви
обращены вниз: P1 = 0 при I1 =0 (это случай разомкнутой внешней цепи, когда R =  ). Вторая точка
пересечения графика P(I) с осью I соответствует короткому замыканию: P2 = 0 при I2 =Iкз . Из симметрии
параболы видно, что
при
P =Pmax
P
Pmax

Из (1)
Im
0
Iкз
Задача 5.
(3) (4) 
I
I
r1 , r2 , R
U1 a –b  ?
U2 a –c  ?
1 r1
I?
R=
R=


Im
I

1
Iкз =
2
2r
(3)
– r (4)
Ответ:
–r=r
P = Pmax при R = r
(5)
Решение. Направление тока в цепи совпадает с направлением
a
1 , 2 ( 2 >1)
I =Im =
I
обход
2
b
r2

большей ЭДС 2 , причем сила тока на всех участках одинакова в
соответствии с 1-м законом Кирхгофа. Выбираем направление
обхода контура по часовой стрелке и применяем 2-й закон
Кирхгофа: I (R + r1 + r2 ) =
c
1 –  2

I=
 1  2
R  r1  r2
R ,I
К каждому источнику тока применяем обобщенный закон Ома.
ав : I =
ас : I =
 C   B   1  U1   1
r1
=
B D 2
r2
r1
U 2
= 2
r2

U1 =
1 –

U2 =
2 + I r2
I r1
Задачи для самостоятельного решения
Электростатика
6. Два точечных заряда, один из которых по модулю в 4 раза больше другого, находятся на расстоянии 10см
друг от друга. Найти положение точки, в которой напряженность их электрического поля равна нулю.
Рассмотреть случаи одноименных и разноименных зарядов.
7. В одной из вершин квадрата со стороной 2см находится точечный заряд –4нКл, а в двух соседних вершинах –
заряды по 4нКл. Найти напряженность и потенциал электрического поля данной системы в четвертой вершине
квадрата.
8. Какой точечный заряд нужно поместить посередине между двумя одинаковыми точечными зарядами
q1=q2=10нКл, чтобы система находилась в равновесии?
9. Шар равномерно заряжен по поверхности. Значения электрического потенциала в центре шара и на
расстоянии 36см от центра равны соответственно 120 и 20В. Найти радиус шара.
10. Шарик, имеющий массу 40мг и заряд 1нКл, в начальный момент времени покоится на расстоянии 1см от
закрепленного точечного заряда 2нКл. Какую максимальную скорость сообщит шарику электрическое поле?
11. Проводящие шары радиусами 5 и 8см имеют заряды 1 и 3нКл соответственно и расположены далеко друг
от друга. Какими станут потенциал и заряды шаров, если их соединить длинной тонкой проволокой? Доказать,
что поверхностные плотности заряда на шарах будут обратно пропорциональны их радиусам.
Постоянный ток
12. Четыре лампы, рассчитанные на напряжение 3В и силу тока 0,3А, надо включить параллельно друг другу и
питать от источника напряжения 5,4В. Резистор какого сопротивления надо включить последовательно с
лампами, чтобы обеспечить их нормальный накал?
11
13. Два гальванических элемента с одинаковыми ЭДС и внутренними сопротивлениями r1, r2 соединены
последовательно и замкнуты на резистор. Каким должно быть сопротивление этого резистора, чтобы разность
потенциалов на полюсах первого элемента равнялась нулю?
14. Два аккумулятора, имеющие ЭДС 3 и 5В, а внутренние сопротивления 0,1 и 0,2 Ом соответственно,
соединены параллельно. Найти силу тока в батарее и напряжение на ее клеммах.
15. Две лампочки с номинальными мощностями 25 и 100Вт, рассчитанные на одно и то же напряжение,
включили в сеть последовательно. В какой из них выделится большее количество теплоты и во сколько раз?
16. К источнику тока с внутренним сопротивлением 5 Ом подключен резистор сопротивлением 10 Ом. При
каком другом сопротивлении резистора в нем будет выделяться такая же мощность?
17. Конденсатор емкостью 2мкФ подключили к источнику ЭДС 5В. Найти работу, которую совершили при
этом сторонние силы внутри источника и количество теплоты, выделившееся в цепи.
18. Линия электропередачи, имеющая сопротивление 200 Ом, подключена к генератору постоянного тока
мощностью 100кВт. При каком напряжении на зажимах генератора потери в линии составят 5% от мощности
генератора?
19.
,r
, r, R1 , R2=0


I , I1 , I2 – ?
U в –с  ?
I1
R1
в
I
с
I2
------------------------------
12