задачи-оценки с анализом и решением

Балашовский филиал
Саратовского государственного университета
им. Н.Г. Чернышевского
В.И. ГРИЦЕНКО
ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ-ОЦЕНКИ
И МЕТОДИКА ИХ РЕШЕНИЯ
Учебно-методическое пособие
для студентов физико-математического факультета,
обучающихся по специальности «Физика»
Балашов 2004
УДК 53
ББК 22.3я73
Г 82
Рецензенты:
Кандидат педагогических наук,
доцент Борисоглебского государственного педагогического института
Л.П. Урвачев;
Кандидат физико-математических наук,
доцент Балашовского филиала Саратовского государственного университета
им. Н.Г. Чернышевского
С.А. Ляшко;
Кандидат педагогических наук,
доцент Балашовского филиала Саратовского государственного университета
им. Н.Г. Чернышевского
О.В. Москвин.
Рекомендовано к изданию Учебно-методическим советом
Балашовского филиала Саратовского государственного университета
им. Н.Г. Чернышевского.
Г82
Гриценко, В.И.
Физические задачи-оценки и методика их решения: Учебнометодическое пособие для студентов физико-математического факультета, обучающихся по специальности «физика» / В.И. Гриценко. — Балашов: Изд-во "Арья", 2004. — 68 с.
ISBN 5—94035—160—3
В пособии содержатся условия и методика решения физических задачоценок, рекомендации по их использованию. Предназначено для студентов
физико-математических факультетов по учебной дисциплине «Практикум
по решению физических задач».
УДК 53
ББК 22.3я73
© В.И. Гриценко, 2004
ISBN 5—94035—160—3
2
Содержание
ВВЕДЕНИЕ ................................................................................................................. 4
ЗАДАЧИ-ОЦЕНКИ С АНАЛИЗОМ И РЕШЕНИЕМ .............................................. 7
ЗАДАЧИ-ОЦЕНКИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ........................ 61
ЗАКЛЮЧЕНИЕ......................................................................................................... 66
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ................................................. 67
3
ВВЕДЕНИЕ
Образовательное и воспитательное значение решения физических
задач в сознательном усвоении курса физики переоценить невозможно,
поэтому данному методу обучения физике уделяется большое внимание. Однако одним из существенных недостатков подготовки школьников по физике является чрезмерная прямолинейность в подходе к решению физических задач. Зачастую задачи решаются лишь для тренинга, а
сами решения служат иллюстрацией правила, формулы, закона. Кроме
того, однообразие в решениях физических задач, применение проективного (алгебраического) метода отнюдь не способствуют глубокому пониманию сути явлений.
Задачи-оценки — новый для большинства изучающих физику
школьников и студентов класс задач. Особенностью задач-оценок является то, что для их решения надо распознать физическое явление или
процесс, лежащий в основе задачной ситуации, построить определенную физическую модель. Если понята физическая сущность задачной
ситуации, распознано явление и основные законы, уравнения, формулы,
при помощи которых можно создать математическую модель исходной
физической задачи, производится выбор приемов решения, математического аппарата и осуществление математических процедур и операций,
разумных значений физических величин. Этот этап завершается получением числового результата, более или менее соответствующего реальности с точки зрения его соответствия размерности, реальности численной величины и ее правильности. Хорошо представляя явление или
задачу, каждый сам может выбрать необходимые для решения величины и их числовые значения.
На заключительном этапе решения задач производится оценка эффективности и критический анализ осуществленного метода, способа
4
решения, возможности выделения общего метода для решения аналогичных задач. С точки зрения учебно-познавательной значимости этот
этап является наиболее важным, так как позволяет проводить обобщение использованных методов и способов для решения конкретной задачи из широкого класса других задач.
Решение задач-оценок предпочтительнее проводить на уроках физики в 10—11 классах. В процессе формирования у школьников умения
решать физические задачи в курсе физики старших классов происходит
совершенствование и развитие различных форм логического способа
решения, усвоение иерархической структуры этого процесса (содержание действий и операций), овладение частными способами решения задач, применение усвоенной деятельности.
К этому моменту учащиеся овладевают логическим способом решения, позволяющим объяснять то или иное явление, осуществлять качественный анализ наряду с количественным. При этом в процессе объяснения сущности конкретного явления происходит усвоение структуры
других видов умозаключений, получение новых знаний или общих закономерностей протекания явления. В старших классах все чаще при
анализе явлений природы выясняются не только их причины, но и их
следствия. К этому времени у школьников в основном сформировались
умения в построении умозаключений методом дедукции, позволяющим
на основе общих знаний о конкретном явлении получать новые знания.
Обнаружение следствий того или иного явления не только расширяет
представления о предмете, знания учащихся получают практическую
направленность. Уровень развития учащихся 10—11 классов, сформированность логического мышления позволяют совершенствовать и другие формы умозаключений: индукции, аналогии и т.д.
Оценочные задачи целесообразно использовать на уроках обобщающего повторения, на которых в процессе решения задач происходит
систематизация знаний по определенной теме или разделу при комплексном применении методов, способов и средств решения, использовании задач для всестороннего анализа явлений природы. В этом случае
задачи-оценки выступают как метод уточнения, закрепления, углубления основных элементов знаний: понятий, законов и теорий. В процессе
их решения осуществляется выделение существенных признаков понятий, проводится их отграничение от несущественных, усвоение функциональных зависимостей между физическими величинами, объяснение
сущности рассматриваемого в условии задачи явления на основе физических теорий, моделирование явлений и процессов.
Владение методом оценок, наряду с интуицией как знанием, возникающим в неопределенной ситуации и субъективно воспринимаемым
5
как догадка, является очень важным качеством исследователя при разработке и анализе новых идей, весьма существенным в творческой работе. Надо полагать, что способность решать задачи-оценки должна
входить в ряд критериев претендентов на исследовательскую работу,
так как умение сделать грубую прикидку, оценку по порядку величины —
почти обязательный этап начальной постановки эксперимента, проектирования установки, теоретической разработки, контроля за правильностью рассуждений и выводов в процессе обсуждения сложных идей.
Таков опыт отбора претендентов для учебы на физических факультетах
вузов существует в Московском и Новосибирском государственных
университетах, инженерно-физическом и физико-технических институтах и т.д.
Основной материал (задачи) для пособия был отобран по материалам вступительных экзаменов на физические факультеты ведущих
вузов (МГУ, НГУ, МФТИ, МВТУ им. Н. Баумана и др.), сборников задач, предлагавшихся на всероссийских и международных олимпиадах.
Предлагаемое пособие нельзя рассматривать ни как учебник, предназначенный для систематического изучения курса физики, ни как
«ключ» к решению задач по программе конкурсных экзаменов по физике. Оно предназначено в первую очередь для студентов физикоматематических факультетов специальности «Физика» на занятиях по
дисциплине «Практикум по решению физических задач». Надеемся, что
пособие будет полезно учителям физики, руководителям факультативов, организаторам олимпиад и, естественно, учащимся, проявляющим
интерес и способности к физике.
6
ЗАДАЧИ-ОЦЕНКИ С АНАЛИЗОМ И РЕШЕНИЕМ
ЗАДАЧА 1. Все сталкивались с ситуацией, когда человек, бросающий какое- нибудь тело (камень, гранату, копье и т.д.), перед совершением броска разбегается. Оцените, на сколько дальше улетает брошенное тело, если его бросать с разбега.
Анализ и решение задачи
Дано:
Эта задача и методика ее решения могут быть
р  5 м/с
предложены учащимся 10 класса после изучения
l  ?
темы «Движение под действием силы тяжести»
(тело брошено под углом к горизонту), что позволит не только закрепить приобретенные по данной теме знания, но и осмыслить учащимися
функциональную зависимость между величинами, которые определяют
данный вид движения.
При броске без разбега максимальная дальность полета тела опреде2
ляется величиной его начальной скорости l ~ 0 . Полагая, что если за
g
счет разбега телу сообщается дополнительная скорость  и вертикальная составляющая скорости  0 sin практически не меняется, то не
меняются высота и время полета, которое можно определить как
t~
2 0
sin 
g
2 0
. Если угол, под которым бросили тело   45о , и
g
если учесть, что  0 ~
g l , получаем увеличение дальности полета
l ~ t р ~  р 2l / g . При скорости разбега  р  5 м / c , l  50 м ,
l  5
2  50
 5 10  15,8 м .
10
Ответ: l  15,8 м .
Задание для самостоятельной работы. Подумайте и дайте ответ
на вопрос: можно ли метод решения этой задачи применить для оценки дальности полета снаряда, при выстреле из пушки находящейся на
движущейся платформе? Оцените «вклад» скорости движения платформы в дальность полета снаряда.
ЗАДАЧА 2. Оцените, на какую высоту может бить фонтан, если
давление воды в подводящей трубе составляет 1,5 атмосферы
( р  1,5  10 5 Па ).
7
Дано:
р  1,5  10 5 Па
h?
Анализ и решение задачи
Оценивание высоты подъема воды в предлагаемой задаче можно провести при повторении
учебного материала о движении жидкостей и
газов.
Давление воды в одну атмосферу соответствует высоте водяного
столба H в  10 м (  в gH в  p а  1 атм ). При перепаде давлений
H
p  p  pа  0,5 атм получится высота фонтана h  в  5 м .
2
Действительно, полагая сечение струи внизу и вверху примерно одина 2
  в gh . Отсюда проведем оценку высоты
ковыми, имеем p  в
2
p  в gH в H в
h


5 м.
в g
2 в g
2
Ответ: h  5 м .
Задание для самостоятельной работы. Подумайте и ответьте на
вопрос: будет ли зависеть высота фонтана от величины атмосферного давления?
ЗАДАЧА 3. Оцените давление в центре Земли.
Дано:
Анализ и решение задачи
Одним из вариантов решения данной задачи
R  6,4  106 м
может быть оценивание давления на основе исР ?
пользования
гидростатической
формулы
P   gH , где  — плотность Земли, H — высота столба вещества.
Поскольку ускорение свободного падения изменяется от g  0 м / с 2 в
центре Земли до g ma x  10 м / с 2 на ее поверхности, причем оно возрастает по линейному закону, то в формулу для давления подставим его
g
среднее значение g ср  max . Плотность Земли определим по формуле
2
Мз
g R2 / G
3g



. Высота столба вещества равна радиусу
Vз
4 / 3 R 3 4 G R
Земли H  R . Окончательно подставляя в формулу для плотности, по3g 2
лучим: P 
. Подставляем численные значения:
8G
3  10 2
P
 1,8  1011 Па  1,8  10 6 атм .
8  3,14  6,7  10 11
Ответ: P  1,8  106 атм .
8
Задание для самостоятельной работы. Предложите альтернативный вариант решения этой задачи.
ЗАДАЧА 4. Оцените ускорение свободного падения на планете, радиус которой в N раз отличается от радиуса Земли, а плотность — в K
раз от плотности Земли.
Анализ и решение задачи
Эту задачу полезно решить во время изучения
Дано:
ускорения свободного падения тел, в частности
RП RЗ  N
обобщенного закона Галилея. Согласно этому заП З  К
кону в одном и том же гравитационном поле свободное падение всех тел, независимо от их массы и
gП ?
объема, происходит с одним и тем же ускорением.
Ускорение свободного падения тела g , масса Земли M и ее радиус
R связаны формулой g 
GM
, где G — универсальная гравитационR2
ная постоянная.
Поскольку масса Земли может быть определена через произведение
4R З3
 З , (  З — плотность Земли,
объема и плотности M   ЗV З 
3
4G З R З
R З — радиус Земли), после подстановки получим g З 
.
3
Записав формулу с учетом соотношений между радиусами и плотно4GK  З NR З
стями, получаем g П 
.
3
Таким образом, ускорение свободного падения на любой планете
при известных соотношениях между радиусами и плотностями планеты
и Земли в KN раз отличается от земного.
Ответ: g П  KNg З .
Задание для самостоятельной работы. Используя условие и решение
этой задачи, составьте и решите обратную задачу по оценке радиуса
или плотности планеты при известном соотношении между ускорениями свободного падения на Земле и неизвестной планете.
ЗАДАЧА 5. Оцените минимальную частоту вращения в вертикальной плоскости ведра с водой, чтобы из него не выливалась вода.
Дано:
Анализ и решение задачи
Условия
и методика решения задач предлагаеl 1 м
мых
ниже,
рассчитаны на их использование в
 ?
10 классе после изучения материала «Движение
тела под действием нескольких сил». Предполагается, что учащиеся
усвоили учебный материал о законах движения и их применении,
научились решать задачи на основе применения алгоритма.
9
Для начала оценим длину веревки, на которой вращается ведро с водой. Будем считать, что эта длина лежит в «разумных» пределах:
l  1 м . Следовательно, и радиус, описываемой ведром с водой окружности равен R  1 м . Анализируя процесс вращения ведра, приходим к
выводу, что в верхней точке траектории сила тяжести и сила реакции
дна ведра создают центростремительное ускорение, приводящее не к
движению частиц воды вниз по радиусу, а лишь к изменению скорости
их движения, к удержанию частиц воды на данной окружности вращения. Поскольку ускорение является зависимой величиной от линейной
скорости вращения, то при ее уменьшении в верхней точке вода может
вылиться из ведра.
Запишем уравнение динамики для верхней точки траектории



N  mg  m a ц .
Так как по условию задачи нужно найти минимальную частоту вращения, соответствующую минимальному центростремительному ускорению (скорости вращения), при котором сила реакции опоры должна
быть
равна
нулю,
уравнение
динамики
запишется
2
2
mg  ma ц  m мин
R . Или g   мин
R.
С учетом связи между скоростью и частотой вращения
 мин  2R мин , g  (2R мин ) 2 R .
 1  g
Откуда, с учетом того, что R  l , получаем  мин  
.

 2  l
После подстановки численных значений определяем, что минимальная частота вращения, при которой вода не будет выливаться из ведра,
равна (если l  1 м )  мин  0,5 гц .
Ответ:  мин  0,5 гц .
Задание для самостоятельной работы. Оцените различие в частотах при вращении ведра с водой на полюсе и экваторе Земли.
ЗАДАЧА 6. Оценить среднюю силу, с которой действует человек на
землю при приземлении после прыжка с высоты
Дано:
H  3 м.
Анализ и решение задачи
Н 3 м
Решение этой задачи позволит уяснить физичеL1 м
скую сущность закона сохранения энергии и проm  60 кг
демонстрировать пример его применения для оценочных расчетов.
Fср  ?
На высоте H человек обладает потенциальной
10
энергией E p  mgh , которая при взаимодействии человека с Землей
расходуется на работу против средней силы, действующей на ноги человека. Время действия этой силы равно времени опускания центра тяжести при приседании человека после взаимодействия с землей. Таким
образом, работа силы взаимодействия А  Fср L , A  E p , Fср L  mgH ,
Fср  mgH / L . Если масса человека m  60 кг , длина ног L  1 м , то,
подставляя
в
формулу
60  10  3
Fср 
 1800 Н .
1
для
средней
силы,
имеем:
Ответ: Fср  1800 Н .
Задание для самостоятельной работы. Проведите оценку силы взаимодействия в случае, если бы человек при приземлении не сгибал ноги.
ЗАДАЧА 7. Оцените скорость ракеты с космонавтом при выходе из
плотных слоев атмосферы, если известно, что максимальная перегрузка,
испытываемая космонавтом, равна примерно 8 ( k  8 ).
Анализ и решение задачи
Дано:
Моделируя ситуацию старта ракеты и выхода
k 8
ракеты из плотных слоев атмосферы, можно сделать вывод о том, что ракета с начала старта
 ?
(  0  0 ) и до момента ее выхода из плотных слоев
атмосферы двигалась с линейным ускорением, в результате чего космонавт испытывал перегрузку.
Перегрузка — это отношение веса человека, движущегося с ускорением, к весу того же человека, когда он находится в покое.


В покое вес равен силе тяжести: Р  mg .
Если перегрузка на корабле равна k , то вес космонавта, то есть сила, с которой он действует на сиденье корабля, равен P '  kmg . Это
означает, что на космонавта со стороны сиденья действует сила
N  kmg . Кроме того, на космонавта действует сила тяжести
Fт  mg .
Под действием этих сил космонавт движется с ускорением
N  mg
а
 ( k  1) g .
m
При k  1 ускорение направлено вверх. Считая, что k  8 , получаем
a  70 м / с 2 .
11
Полагая (для оценки) толщину плотных слоев атмосферы равной
h  15 км , находим значение скорости ракеты при выходе из плотных
слоев:
  2ah  2  70  15  103  1,4  103 м / с .
Ответ:   1,4  10 3 м / с .
Задание для самостоятельной работы. Оцените величину скорости,
с которой должна запускаться ракета с экватора: а) в направлении
вращения Земли; б) против вращения Земли, чтобы она стала искусственным спутником.
ЗАДАЧА 8. Оцените максимальную скорость движения управляемого вами автомобиля, при которой он может пройти без «заноса» закругление дороги радиусом R  200 м , если известно, что коэффициент
трения между шинами автомобиля и асфальтом равен   0,4 .
Дано:
Анализ и решение задачи
Автомобиль удерживается на окружности силой
R  200 м
трения, т.е. она играет роль центростремительной
  0,4
силы. Причем это трение покоя, так как согласно
 ?
условию автомобиль не скользит вдоль радиуса.

Остальные силы — сила реакции N опоры и сила

тяжести m g компенсируют друг друга: N  mg ;
Fтр  N  mg ; Fтр  maц  m 2 R ;
следовательно, m  2 R  mg ,
откуда   gR .
После
подстановки
числовых
значений
  0,4  10  200  800  28,3 м / с .
Ответ: скорость, при которой автомобиль пройдет закругление
дороги при заданных условиях, должна удовлетворять условию
  28,3 м / с или   101,9 км/ ч .
Задание для самостоятельной работы. Оцените величину угла
наклона дороги, при котором скорость автомобиля может быть на
20 % больше. Радиус закругления и коэффициент трения те же.
ЗАДАЧА 9. У автомобиля, участвующего в гонке, лопается шина.
Оцените, с какой скоростью должен ехать автомобиль, чтобы шина не
сминалась.
12
Анализ и решение задачи
Для выполнения требования, поставленного в
R  0,25 м
задаче, смоделируем ситуацию движения автоM  2  10 3 кг
мобиля с лопнувшей, но несмятой шиной. Поскольку шина лопнула, исчезла сила упругости,
 ?
создаваемая сжатым воздухом, однако осталась
сила реакции опоры (дороги) N . На элемент шины массой m , соДано:
прикасающейся с дорогой действует центробежная сила F  m
2
, где
R
 — линейная скорость элемента шины массы m , R  радиус шины.
Так как шина не сминается, ее радиус должен быть постоянным. Действующая сила реакции опоры должна быть равной весу автомобиля

Mg . Поскольку этот вес распределен на четыре колеса, то сила реакции
 1 
опоры, действующая на одно колесо, N  Mg . Следовательно, усло4
вие «несминаемости» шины может быть представлено следующим равенством:
m
2
R

1
Mg .
4
Откуда
линейная
скорость
шины
1 MgR
. Выбрав (оценочно) массу автомобиля M  2  10 3 кг ,
2
m
радиус шины R  0,25 м, массу элемента шины m  1 кг и подставив в
формулу для скорости,

получим  
1
2
2  10 3  10  0,25
 36 м / с  130 км / ч .
1
Ответ:   130 км/ ч .
Задание для самостоятельной работы. Достаточно ли этой скорости для прохождения виража радиусом R , чтобы автомобильная шина не сминалась?
ЗАДАЧА 10. Оцените наибольшее давление в полной цистерне для
поливания улиц при ее торможении. При скорости   10 м / с , тормозной путь цистерны оказался равным S  5 м . Недостающие данные
подберите самостоятельно.
13
Дано:
  10 м / с
L5 м
Анализ и решение задачи
Пусть длина цистерны L  5 м , а ее высота
H  1 м . Примем для оценки, что торможение
S5 м
происходило с постоянным ускорением a 
2
.
2S
Тогда «эффективное ускорение силы тяжести»

 
равно g '  g  a , и максимальное давление воды в
полной цистерне при ее торможении равно

2L
,
p  pa   ( gН  aL)  pa    gН 
2 S 

H 1 м
p a  10 5 Па
р?
где p a  10 5 Па — атмосферное давление,   103 кг / м 3 — плотность
воды. При выбранных параметрах рассчитаем давление:

10 2  5 
  1,6  10 5 Па .
p  10 5  10 3  10  1 
2  5 

Ответ: p  1,6  10 5 Па .
ЗАДАЧА 11. Оценить выталкивающую силу, действующую на ученика со стороны воздуха, находящегося в классной комнате.
Анализ и решение задачи
Дано:
3
Поскольку
материал о выталкивающей силе
 г  1,2 кг / м
изучается в 7 классе и школьники успевают его
FА  ?
забыть, предлагаемые ниже несколько задач и
методика их решения могут быть использованы на уроках механики и
молекулярной физики в старших классах при повторении соответствующего учебного материала.
Выталкивающая сила, действующая на человека, может быть найдена по формуле Архимеда F А   в gVт , где  г — плотность воздуха,
Vч — объем человека, g — ускорение свободного падения. Объем человека можно оценить по формуле V 
m
ч
, где m  масса человека,
 ч — плотность вещества человека. Среднее значение плотности человека можно принять равным плотности воды, поскольку человек, погрузившись полностью в воду, может находиться в ней во «взвешенном»
состоянии, а это возможно при условии  ч   в  10 3 кг / м 3 . Таким
образом, оценочный расчет выталкивающей силы, действующей на человека со стороны воздуха,
14
FА   г g
m
в
 1,2  10
50
 0,6 H .
10 3
Ответ: F  0,6 H .
Задание для самостоятельной работы. Сделайте оценку отличия в
выталкивающей силе, действующей на человека при приближении непогоды, и когда барометр показывает «ясно».
ЗАДАЧА 12. Оцените, на какую глубину и за какое время погрузится шарик из легкого материала, падающий с высоты h на жидкость.
Оценку сделайте для случая, когда плотность шарика меньше плотности
жидкости.
Анализ и решение задачи
Дано:
Обозначим глубину погружения шарика через
1   2
h1 . Уменьшение механической энергии шарика затрачивается на работу против силы выталкивания
h1  ?
FA .
t ?
mg (h  h1 )  F A h1 .
F A   2 gV  mg  2  1 , где V и m — объем и масса шара.
Из этих двух уравнений находим:
mg (h  h1 )  mg  2 h1  1 .
Откуда h1  h 1 (  2   1 ) .
Время t можно определить из соотношения:
Ft  m , где F  F A  mg  результирующая сила, действующая
на шарик
( F A  mg )t  m 2 gh .
Откуда находим время погружения
t   1 2h
g ( 2  1 ) .
При h  1 м ,  1  0,5  2 , g  10 м / с 2 , h1  1 м , t  0,45 c .
Ответ: h1  1 м ; t  0,45 с .
Задание для самостоятельной работы. Составьте и решите задачу, в которой нужно оценить глубину погружения шарика с учетом
силы трения (вязкости жидкости).
ЗАДАЧА 13. На рычажных весах в открытых сосудах при температуре t 0 o C уравновешены килограмм воды и килограмм льда. Через
некоторое время лед растаял. Оцените, сколько воды и в какой сосуд
нужно добавить, чтобы восстановить равновесие.
15
Анализ и решение задачи
Во-первых выясним, почему должно
нарушиться равновесие весов. Поскольку
плотность льда меньше, чем плотность воды,
 в  10 3 кг / м 3
то объем льда больше, чем объем воды. Рав3
3
 л  0,9  10 кг / м
новесие весов достигалось не только равен  1 кг / м 3
ством веса жидкости и льда, но и равенством
выталкивающих сил. Следовательно, после
m  ?
таяния льда объем получившийся воды будет
меньше, что приведет к уменьшению выталкивающей силы, действующей на сосуд с растаявшим льдом, что, в свою очередь, приведет к
нарушению равновесия весов.
Итак: изменение выталкивающей силы приведет к изменению силы
действия на весы. Это изменение равно:
F  m л g  gm л /  в   (m л g  gm л /  л )  m л g (  в   л ) /(  в  л ) .
Дано:
m л  mв  1 кг
 в  10 3 кг / м 3 , плотность льда
 л  0,9  10 3 кг / м 3 , плотность воздуха   1 кг / м 3 , то после подстановки в уравнение для F получим:
F  1  10  1  (0,1  10 3 ) / 0,9  10 6  1  10 3 Н .
Так
как
плотность
воды
Таким образом, для восстановления равновесия весов в сосуд с водой необходимо долить воды, масса которой (оценочно) равна:
F
m
 0,1  10  3 кг .
g
Ответ: m  0,1  10 3 кг .
Задание для самостоятельной работы. Подумайте и дайте обоснованный ответ на следующий вопрос. Пригоден ли такой метод оценки
при взвешивании воды и льда на пружинных весах?
ЗАДАЧА 14. Мыльный пузырь наполняют азотом при комнатной
температуре. Оцените диаметр пузыря, при котором он начнет «всплывать» в атмосферном воздухе? Поверхностное натяжение мыльного раствора   0,04 H / м . Весом пленки пренебрегите.
Анализ и решение задачи
Дано:
В процессе «выдувания» мыльного
M a  28  10 3 кг / моль
пузыря масса азота внутри него увеличивается, увеличиваются и давление
3
M в  29  10 кг / моль
газа внутри пузыря, плотность и пло  0,04 H / м
щадь поверхности пленки, окружающей
d ?
азот. Мыльный пузырь начнет «всплывать», когда плотность азота внутри него будет равна плотности окружающего воздуха:  а   в .
16
Считая азот, находящийся внутри пузыря, и окружающий его воздух
идеальным газом запишем для них уравнения состояния:
m
m
p аV п  а RT , p вV в  в RT ,
Мв
Mа
откуда плотности азота и воздуха
p M
p M
в  0 в , в  а а .
RT
RT
Если воздух находится при атмосферном давлении p 0 , то азот в пузыре испытывает действие и атмосферного давления и давления, создаF 8

ваемого пленкой р п 
. Поэтому плотность азота внутри пузыS
d
( p  8 / d ) M а
ря может быть определена как:  в  0
. Здесь р 0 — атмоRT
сферное давление, M a , M в — молярные массы азота и воздуха соответственно, R  универсальная газовая постоянная, T — комнатная
температура, d  диаметр пузыря,   коэффициент поверхностного
натяжения мыльного раствора.
Приравнивая выражения для плотностей азота и воздуха, получим:
p 0 M в ( p 0  8 / d ) M а
8M а

, откуда d 
.
0 (M в  M а )
RT
RT
После подстановки числовых значений получим:
8  28  10 3  0,04
d  5
 9  10  5 м .
10  ( 29  28)  10  3
Ответ: d  9  10 5 м .
Задание для самостоятельной работы. Оцените массу пленки, образующей мыльный пузырь такого диаметра.
ЗАДАЧА 15. Оцените отношение мощности, развиваемой кузнечиком при прыжке, к его массе (т.е. удельную мощность).
Анализ и решение задачи
Дано:
Эту и следующие несколько задач-оценок реH 1 м
комендуется решить после изучения раздела «Заl  3  10 2 м
коны сохранения». Условия задач и их решение
позволит конкретизировать понятие о мощности,
P
?
работе реальных механизмов и машин.
m
Выберем «разумные параметры», которые помогут создать простейшую модель ситуации, описанную в задаче.
17
Оценим высоту прыжка, совершаемого кузнечиком H  1 м , и длину ноги l  3  102 м, распрямляя которую за время t , кузнечик набирает скорость  и затем взлетает на высоту H ;
t
 l ,  ~ 2 gH .
2
E
m 2
Средняя мощность, развиваемая кузнечиком, P  k 
.
t
2t
3
Отсюда
P  3 ( 2 gH ) 2
.


m 4l
4l
Полагая
g  10 м / с 2 ,
получим
3
P ( 2  10  1) 2

 745 Вт / кг .
m
4  3  10  2
P
 745 Вт / кг .
m
Задание для самостоятельной работы. Используя решение этой задачи, оцените удельную мощность, развиваемую человеком во время
прыжка с места на такую же высоту, учитывая, что длина ноги человека l  1 м .
Ответ:
ЗАДАЧА 16. Автомобиль массой М  500 кг трогается с места.
Двигатель автомобиля работает с постоянной мощностью N  50 кВт ,
коэффициент трения скольжения колес о дорогу   0,5 . Оценить, за
какое минимальное время автомобиль наберет скорость   108 км/ ч .
Сопротивлением воздуха и трением в механизмах пренебречь.
Анализ и решение задачи
Дано:
Пренебрежем трением качения и сопротивлениМ  500 кг
ем воздуха. Вначале максимальное ускорение, с
N  50 кВт
которым может двигаться автомобиль, определяет  108 км/ ч
ся максимальным значением силы трения колес о
  0,5
дорогу:
Fт р Mg
t min  ?
а

  g.
M
M
При этом двигатель автомобиля развивает меньшую мощность (чтобы не было проскальзывания), а его скорость пропорциональна времени
  at  gt .
В момент времени t  t 1 скорость станет равной  1  gt 1 , а мощность двигателя достигнет величины N , причем
18
N  Fтр1  Mg  gt1   2 g 2 Mt1 .
Отсюда время, через которое будет достигнута скорость,
N
t1  2 2
 4 c , a  1  gt1  20 м / с .
 g M
Начиная с этого момента, сила трения качения становится меньше
максимальной, и изменение кинетической энергии автомобиля равно
N ( t  t 1 ) . Отсюда
M ( 2   12 )
.
2N
После
подстановки
числовых
2
2
500  (30  20 )
t min  4 с 
 4  2,5  6,5 c .
2  50  10 3
t min  t 1 
значений
получим:
Ответ: t min  6,5 c .
ЗАДАЧА 17. Вертолет массой М и лопастями с длиной L «висит»
в воздухе. Оцените минимальную мощность двигателя, необходимую
для поддержания вертолета в воздухе.
Анализ и решение задачи
Дано:
Условием
«зависания» вертолета
M  7,2  10 3 кг
является равенство силы тяжести
L  10 м
Mg и силы реакции, действующей
5
со стороны воздуха F . В свою очер  1  10 Па
редь, эта сила равна силе F1 , дейT  300 K
ствующей со стороны лопастей верМ в  29  10 3 кг / моль  К
толета на воздух. Так как лопасти
Pmin  ?
вертолета отбрасывают воздух массы m со скоростью  , то за единицу времени этот воздух приобретает
импульс p  m , который равен силе F1  m . Следовательно, изменение импульса воздуха, отбрасываемого лопастями вертолета,
Mg
должно быть равно силе тяжести m  Mg . Откуда m 
. По
скольку, мощность определяется выполненной работой за единицу времени, а работа затрачивается на изменение кинетической энергии возE k m 2
духа, то Р min 
, за единицу времени

t
2t
m  2 Mg
Р min 

.
2
2
19
Массу отбрасываемого воздуха можно определить, считая, что вертолетный винт за единицу времени «продувает» воздушный цилиндр с
основанием S  L2 и высотой  , объем которого равен
V  Sh  L2 , его плотность равна  .
m  S  L2 .
Таким образом, с одной стороны, массу воздуха мы определили как
Mg
m 
, с другой, m  S  L2 ; приравнивая эти выражения,

Mg
  L2 ; откуда определим скорость отбрасываемого
получим

воздуха  
Mg
 L2
. Следовательно, минимальная мощность, развива-
Mg Mg
Mg
.


2
2L

Для нахождения плотности воздуха воспользуемся уравнением Менm pM в
m

RT ; откуда  
делеева — Клапейрона pV 
. ПодставV
RT
Mв
ляя в формулу для мощности выражение для плотности, получим:
Mg MgRT
.
Pmin 
2 L pM в 
Выберем приемлемые числовые значения физических величин, входящих в формулу для определения мощности двигателя вертолета. Характеристики вертолета (Ми-4П) определим из справочника по физике и
технике.
Масса вертолета M  7,2  10 3 кг , радиус винта L  10 м , атмоемая двигателем вертолета, Pmin 
сферное давление р  1  10 5 Па , температура окружающего воздуха
T  300 K , молярная масса воздуха M в  29  10 3 кг / моль К .
Подставляя эти числовые значения в формулу для мощности, получим:
7,2  10 3  10 7,2  10 3  10  8,31  300
 505 кВт  665 л.с.
2  10
1  10 5  29  10  3  3,14
Ответ: Pmin  505 кВт  665 л.с .
Задание для самостоятельной работы. Используя решение задачи,
проведите оценку колебаний минимальной мощности двигателя вертолета в зависимости от перепадов давлений от 650 мм рт.ст. до 780 мм
рт.ст. и температур — от –50 оС до +50 оС.
Pmin 
20
ЗАДАЧА 18. Оцените, какую мощность развивает велосипедист на
финише.
Дано:
Анализ и решение задачи
  15 м / с
Пусть скорость велосипедиста на финише равна
 , а сила сопротивления воздуха F ~   2 S , где
  1,2 кг / м 3
 — плотность воздуха, а S  эффективная плоS  0,5 м 2
щадь
велосипедиста, на которую действует набеN ?
гающий поток воздуха. Тогда мощность
N ~ F ~   3 S . Положив   1,2 кг / м 3 ,   15 м / с , S  0,5 м 2 ,
получаем N  1,2  153  0,5  2,25 кВт .
Ответ: N  2,25 кВт .
Задание для самостоятельной работы. Постройте график зависимости мощности развиваемой велосипедистом от скорости ветра,
меняющегося с попутного на встречный.
ЗАДАЧА 19. Оцените скорость передвижения космонавта, высадившегося на Луне.
Дано:
Анализ и решение задачи
Поскольку сила тяжести на Луне меньше, чем
gЛ
 0,16
на Земле, на первый взгляд кажется, что человек на
gЗ
Луне должен передвигаться быстрее. Рассмотрим
Л ?
более подробно процесс передвижения человека.
При ходьбе ноги человека можно считать физическими маятниками (поскольку масса каждой ноги распределена вдоль
ее длины), колеблющимися в поле силы тяжести около своего положения равновесия (вертикального). Колебания эти вынужденные и совершаются под действием мышц. Обычно человек идет, переставляя ноги с
резонансной частотой, практически совпадающей с частотой собственных колебаний.
Циклическая частота свободных колебаний физического маятника
g
 определяется по формуле  
, где L  приведенная длина фиL
зического маятника, т.е. длина такого математического маятника, который имеет ту же частоту колебаний, что и данный физический.
Скорость передвижения человека пропорциональна частоте перемещения ног, т.е.  ~  , а следовательно  ~ g .
Если предлагаемая модель справедлива и для Луны, и для Земли, то
можно определить отношение скоростей ходьбы человека в условиях
Л
gЛ

, где g Л и g З — ускорения свободЗ
gЗ
ного падения соответственно на Луне и на Земле.
Луны  Л и Земли  З :
21
Приняв скорость человека на Земле  З  1 м / с , получим:
Л З
gЛ
или  Л  0,4 м / с .
gЗ
Таким образом, скорость ходьбы космонавта на Луне в 2,5 раза
меньше, чем на Земле.
Ответ:  Л  0,4 м / с .
ЗАДАЧА 20. Оцените, на какой высоте Н и с какой скоростью 
должен вращаться спутник связи, чтобы находиться постоянно над одной и той же точкой земного экватора.
Анализ и решение задачи
Дано:
Эту
задачу рекомендуется реМ з  6 1024 кг
шить при закреплении учебного материала по теме «Движение искусRз  6,4  10 6 м
ственных спутников». Анализируя
G  6,67  10 11 м /(кг  с 2 )
условие задачи, необходимо обраН ?
тить внимание учащихся на особен ?
ность движения спутника, его орбиту, период обращения. Из условия задачи ясно, что период обращения
этого спутника должен быть равен 24 ч. Массу и радиус Земли, а также
универсальную гравитационную постоянную, считаем известными.
Спутник движется только под действием силы притяжения Земли
M m
F  G з2  gm , где m — масса спутника, g — ускорение свободr
ного падения, r  расстояние спутника от центра Земли (r  R  H ) .
Ускорение
является
центростремительным,
т.е.
g
Mз
2

.
( Rз  H ) 2 Rз  H
Линейная скорость вращения спутника связана с периодом его об2 ( R з  H )
ращения вокруг Земли следующим соотношением:  
..
T
Эту формулу используем для вычисления скорости.
Решив систему уравнений:
Mз
v2
G

,
( Rз  H ) 2 Rз  H
ац  g  G

2 ( Rз  H )
,
T
22
GM з T 2
 R.
4 2
Подставляя численные значения в последнюю формулу, определим
высоту
получаем для высоты H 
H 3
3
6,67  10 11  6  10 24  ( 24  3,6  10 3 ) 2
 6,4  10 6 
(4  3,14) 2
 29,5  10 6 м  29500 км.
Используя численное значение для высоты H и подставляя его в
формулу для скорости  , получим:
2 ( R з  H ) 2  3,14(6,4  10 6  29,5  10 6 )


 2,6  10 3 м / с 
T
24  3,6  10 3
 2,6 км / с .
Ответ: H  29500 км ,   2,6 км / с .
Задание для самостоятельной работы. Оцените величину скорости,
с которой должна двигаться Земля, чтобы не упасть на Солнце.
ЗАДАЧА 21. Представьте, что скорость вращения Земли уменьшилась настолько, что продолжительность суток возросла на Т  1 с .
Оцените, какая кинетическая энергия выделилась бы при этом.
Дано:
Анализ и решение задачи
Эту задачу, решение которой приведено
Т  1 с
ниже, рекомендуется решить со школьникаТ  24 ч  86400 с
ми профильных классов, изучающими курс
m  6  10 24 кг
физики повышенного уровня, знающих матеE k  ?
риал о динамике вращательного движения и
умеющих вычислять моменты инерции и кинетическую энергию вращающегося твердого тела.
Изменение кинетической энергии тела, совершающего вращательное
движение, является функционально зависимым от момента инерции и
I 2  2 mR 2
угловой скорости вращения этого тела E k 
.
~
2
T2
Поскольку масса и радиус Земли — величины постоянные, то изменение E k в нашей задаче определяется только изменением угловой
скорости. Запишем формулу, по которой определяется кинетическая
энергия вращающегося тела:
I 2 2
1
1
4
 2 
 mR 2   2  mR 2 
 2 mR 2 ,
 
2
5
2
5
5T 2
 T 
2
Ek 
23
где m  6  10 24 кг — масса Земли, Т  24 ч  86400 с — продолжительность суток, R  6,4  10 6 м — радиус Земли.
Определим изменение кинетической энергии при увеличении продолжительности суток на Т  1 с .
 1
 4 2
1
T ( 2T  T )
.

  mR 2 2
2 
2
T
5
T (T  T ) 2


T


T


Пренебрегая T по сравнению с T , получим
8
T
Е k   2 mR 2 3 .
5
T
Подставляя числовые значения в последнюю формулу после проведения вычислений, имеем:
8
1
Е k   3,14 2  6,0  10 24  (6,4 6 ) 2 
 6  10 24 Дж .
5
(86400) 3
После решения задачи обращаем внимание на численное значение
высвобождаемой энергии.
Ответ: E k  6  10 24 Дж .
Задание для самостоятельной работы. Представьте, что изменение кинетической энергии вращательного движения Земли удалось превратить в электрическую энергию. Оцените время, на которое хватило бы этого запаса электроэнергии жителям Земли.
4
5
Е k   2 mR 2 
ЗАДАЧА 22. На конце легкого стержня, поставленного вертикально
на пол, закреплен массивный шар. Стержень начинает падать без
начальной скорости. Оцените величину угла  между вертикалью и
стержнем, при котором конец стержня перестанет оказывать давление
на пол? При каком значении коэффициента трения  стержень не
начнет скользить до этого момента?
Дано:
Анализ и решение задачи
Эта
задача,
решение которой будет рассмотрено
g  10 м / с 2
ниже, может быть предложена учащимся классов с
углубленным изучением физики при повторении
 ?
курса механики и позволяет вспомнить материал
 ?
кинематики и динамики вращательного и поступательного движения, закон сохранения энергии.
Если тело движется по окружности радиуса R (рис. 1), то равнодействующая силы тяжести mg и реакции опоры обеспечивает возникновение центростремительного ускорения (рис.2).
24
mv 2
 mg cos   N .
R
Найдем сначала угол  , при котором сила реакции стержня N равна нулю. Вводя угловую скорость шара  , имеем:
Поэтому
m 2 R  mgcos .
Значение  найдем из закона сохранения
энергии
m ( R ) 2
mgR (1  cos  ) 
.
2
Рис 1.
g

и с учетом уравнения
sin
2
2

2
4 sin2  cos  ,
cos   ,
или
3
2
Отсюда   2
получаем
2
 48,2 o .
3
Теперь оценим значение коэффициента трения
 , при котором стержень не начнет скользить до
  arccos
этого
момента.
Сила
трения
Fтр
Рис. 2
определяется
соотношением
Fтр  N cos  , а горизонтальная составляющая силы реакции N , оче-
видно, равна: N x  N sin .
Проскальзывания стержня не будет, если F тр  N x или   tg .
Ответ:   tg .
ЗАДАЧА 23. Оцените массу атмосферы Венеры. Радиус Венеры
считать равным земному. Давление у поверхноДано:
сти планеты р  10 7 Па .
R  6,4  10 6 м
Анализ и решение задачи
g  10 м с 2
Анализируя ситуацию, описанную в условии
задачи, можно прийти к выводу о том, что давлер  10 7 Па
ние на поверхности Венеры обусловлено действиm ?
ем веса атмосферы на ее площадь поверхности.
mg
mg

Поэтому можем записать р 
.
S
4R 2
4R 2 р
Откуда определим массу m 
.
g
25
Подставляя численные значения и учитывая, что g B  g З , произведем количественную оценку массы атмосферы Венеры.
4  (6,4  10 6 ) 2  10 7
m
 5  10 20 кг .
10
Ответ: m  5 1020 кг .
Задание для самостоятельной работы. По данным условиям задачи
проведите оценку толщины атмосферной оболочки Венеры.
ЗАДАЧА 24. Оцените изменение натяжения нити, удерживающей
воздушный шарик, если в том месте, где крепится нить, в шарике появилось отверстие сечением S . Скорость истечения газа из шарика через отверстие равна  . Плотность газа равна  .
Дано:
Анализ и решение задачи
Изменение натяжения нити T равно по модуS  0,5 см 2
m 
  1 м/ с
лю реактивной силе F 
, возникающей при
t
  1,5 кг / м 3
вытекании газа из шарика (изменением выталкиT  ?
вающей силы и веса шарика в начальный момент,
пока изменение объема шарика мало, можно пренебречь). За время t
из шарика вытекает объем газа V  St , масса которого m  St .
Следовательно,
расход
газа

m
  S
t
и
реактивная
сила
Fp  T  S 2 .
Принимая, что S  0,5 см 2 ,   1 м / с ,   1,5 кг / м 3 , рассчитаем
изменение силы натяжения нити T  1,5  1  0,5  10 4  0,75  10 4 Н .
Ответ: T  0,75  10 4 Н .
Задание для самостоятельной работы. Подумайте и дайте ответ
на следующий вопрос. Будет ли зависеть скорость истечения газа от
температуры и давления газа и как это повлияет на изменение натяжения нити?
ЗАДАЧА 25. Известный английский популяризатор науки Джеймс
Джинс писал, что когда мы делаем вдох, в легкие попадает несколько
молекул, участвовавших в предсмертном вздохе Юлия Цезаря. Оцените
это количество молекул.
Дано:
Анализ и решение задачи
Предлагаемую задачу лучше всего реN A  6  10 2 3 моль 1
шить на занятии, посвященном повторению
Pa  10 5 Па
и обобщению учебного материала по темам
«Идеальный газ», «Физика атмосферы».
k ?
26
Пусть в последнем вздохе Юлия Цезаря участвовало n молекул, а в
наши легкие попадает k из них. Тогда соотношение между k и n можm
но выразить как k  n
, где m — масса воздуха, входящего в легкие
m0
при вдохе, а m 0 — масса земной атмосферы. Так как M — масса одного киломоля воздуха, а N A — число Авогадро, то n 
n
N A . Из поM
m2N
.
m0 M
Так как объем вдыхаемого человеком воздуха составляет около
V  3  10 3 м 3 , а атмосферный воздух имеет плотность   1,3 кг / м 3 ,
то масса воздуха поступающего в легкие m    V .
Оценим массу земной атмосферы, предполагая, что со времен Юлия
Цезаря она не изменилась. Атмосферное давление Pa  10 5 Па , значит
над каждым квадратным метром поверхности Земли находится столб
воздуха весом 105 Н , т. е. массой около 104 кг .
Учитывая, что радиус Земли R  6,4  10 6 м , оценим массу земной
атмосферы m 0  52  1017 кг .
следних формул получим k 
Молярная масса воздуха M  29  10 3 кг / моль , N A  6  10 2 3 моль 1 .
Подставляя
численные
значения
в
формулу,
получим
(4  10 3 ) 2  6  10 23
k
6
52  1017  29  10  3
Ответ: k  6 молекул.
Задание для самостоятельной работы. Магеллан, пересекая Тихий
океан, выплеснул за борт кружку воды. Считая, что за прошедшее время
вода в океане перемешалась, оцените, сколько молекул воды из тех, которые были в кружке, попадут туда повторно? Объем воды в Тихом
океане приблизительно равен 7  10 8 км 3 , объем кружки — 200 мл .
ЗАДАЧА 26. Оцените высоту поднятия лежащего на земле мяча, если бы в какой-то момент времени у всех молекул воздуха, находящегося
внутри мяча, скорость оказалась направленной вертикально вверх.
Дано:
Анализ и решение задачи
При поиске путей решения этой задаM  29  10 3 кг / моль
чи нужно обратить внимание на то, что,
r  0,1 м
если моделировать ситуацию, описанную
m 2  0,5 кг
в задаче, то мяч и воздух внутри него
можно представить в виде замкнутой си  4  10 2 м / с
стемы, к которой применим закон сохраh?
27
нения импульса: m1 v  m 2 u , где m 1 и  — масса и скорость молекул,
m 2 и u — масса и скорость мяча.
Применение закона сохранения импульса позволяет «прикинуть»
m v
начальную скорость мяча u  1 . Из кинематики известно, что высоm2
та, на которую поднимается брошенное вертикально вверх тело, проu2
порциональна квадрату начальной скорости h 
.
2g
Подставляя в это выражение начальную скорость, получим
m 2 2
h 1 2 .
2gm 2
Для оценки массы молекул воздуха, находящегося внутри мяча, восm
пользуемся уравнением Менделеева — Клапейрона pV  1 RT .
M
pVM
Откуда m1 
.
RT
Предполагая, что радиус мяча r  0,1 м , масса m 2  0,5 кг , запишем формулу для объема V 
4 3
r , и после вычислений, получим:
3
4
 3,14  0,1 3  4  10  3 м 3 .
3
Вопрос об оценке величины давления воздуха внутри мяча может
быть разрешен следующим образом. Поскольку мяч накачан, то давление воздуха внутри него должно быть больше, чем атмосферное давление p 0 . Предположим, что оно равно p  1,5 p0 . Учитывая, что молярV 
ная
масса
воздуха
M  29  10 3 кг / моль ,
скорость
молекул
  4  10 м / с и g  10 м / с , после подстановки в формулу для высо( pVM ) 2  2
ты h 
. Подстановки численных значений:
2( RT ) 2 gm 22
(1,5  10 5  4  10 3  29  10 3 ) 2  (4  10 2 ) 2
h
 0,16 м .
2  (8,3  300) 2  10  (0,5) 2
Ответ: h  0,16 м .
Задание для самостоятельной работы. Составьте и решите задачу
по нахождению высоты поднятия мяча, в котором вместо воздуха
находился бы гелий.
2
2
28
ЗАДАЧА 27. Оцените, до какой температуры может нагреться корпус самолета, который летит со скоростью звука.
Анализ и решение задачи
Дано:
При обсуждении возможной модели явления,
   зв  330 м / с
которая могла бы адекватно отражать процесс
m  3  10 26 кг
нагревания корпуса самолета, необходимо отвеT2  ?
тить на вопрос: за счет чего может повышаться
температура?
Повышение температуры происходит за счет получения энергии при
столкновении молекул воздуха, «налетающих» на поверхность самолета. Энергия молекулы воздуха в системе отсчета, связанной с самоле5
m 2
том, равна  1  кT1 
, где T1  температура воздуха, m  масса
2
2
молекулы воздуха,   скорость самолета. После столкновения и передачи энергии самолету молекула должна иметь энергию, соответствую5
щую температуре T2 ,  2  kT2 . Поскольку за счет разности между
2
этими энергиями и повышается температура самолета, то
5
5
m 2
kT2  kT1 
; отсюда
2
2
2
1 m 2
1 3  10 26  3302
T2 max  T1 
 273 
 273  47  320 K .
5 k
5 1,38  10  23
Ответ: T2 max  320 K .
Задание для самостоятельной работы. Составьте и решите задачу, в которой требуется оценить температуру ракеты-носителя при
выходе из плотных слоев атмосферы.
ЗАДАЧА 28. Оцените при нормальных условиях разность плотности
воздуха у пола и потолка комнаты, высота которой h.
Анализ и решение задачи
Дано:
При проведении занятий по решению задач на
h3 м
применение уравнения Менделеева — Клапейро  1,3 кг / м 3
на полезно решить задачи, в которых объектом
  ?
оценивания могут стать физические величины,
характеризующие окружающую среду — воздух,
находящийся в классной аудитории.
Считая воздух в аудитории идеальным газом, применим к нему
уравнение Менделеева — Клапейрона:
m
PV 
RT ,
M
29
МP
.
RT
Следовательно, разницу плотностей можно представить как
M
M
M
   1   2 
P1 
P2 
gh .
RT
RT
RT
Выберем высоту аудитории
h  3 м , плотность воздуха
откуда плотность воздуха  
  1,3 кг / м 3 .
 
29  10 3  1,3  10  3
 4,9  10 4 кг .
8,31  273
Ответ:   4,9  10 4 кг / м 3 .
Задание для самостоятельной работы. Проведите оценку относительного изменения выталкивающей силы, действующей на тело, находящееся на полу и на потолке аудитории.
ЗАДАЧА 29. Оцените, какая масса воздуха уйдет из аудитории объемом V при повышении в ней температуры на T  10 K .
Анализ и решение задачи
Дано:
Поскольку
давление и объем воздуха в аудиT  10 K
тории постоянны, анализ условия задачи позво ~ 1,3 кг / м 3
ляет сделать вывод о применении уравнения
Менделеева — Клапейрона для двух состояний
m  ?
газа до и после повышения температуры:
pV  mRT M ;
pV  (m  m)R(T  T ) / M .
m  m
m
R(T  T ) 
RT ,
M
M
T
T
T
m
 V
откуда m  m
.
T  T
T
T
Возьмем плотность воздуха   1,3 кг / м 3 , объем аудитории
V  300 м 3 , изменение температуры T  10 K и T  300 K .
T
10
 13 кг .
300
Ответ: m  13 кг .
Задание для самостоятельной работы. Оцените изменение внутренней энергии воздуха в аудитории при повышении в ней температуры
на указанную величину T  10 K . Объясните полученный результат.
Таким образом, m  m
T
 1,3  300
30
ЗАДАЧА 30. Спутник объемом V  200 м 3 заполнен воздухом при
нормальных условиях. Метеорит пробивает в корпусе спутника отверстие S  1 см 2 . Оценить время, за которое давление внутри спутника
изменится на 10 % . Процесс истечения газа считать изотермическим.
Анализ и решение задачи
Дано:
Для оценки будем считать, что все молекулы
V  200 м 3
движутся с одинаковыми скоростями, равными
S  1 см 2
средней квадратичной скорости. Из них за время t
р
достигнут отверстия и вылетят из спутника те мо 0,1
лекулы, которые находятся от отверстия на расстор
янии L   t , то есть молекулы, находящиеся в
t ?
начальный момент в объеме V  LS  L t , где
  средняя квадратичная скорость молекул. Приняв, что концентрация
1
молекул равна n , то за время t из спутника вылетит N  S tn моле6
кул. В результате вылета молекул концентрация изменится на
N 1 S tn
n 

. Разделив обе части уравнения на n , получим отноV
6 V
 n 1 S t

шение
, откуда определим время, за которое произойдет
n
6 V
n V
изменение концентрации молекул воздуха t  6
.
n S
Поскольку процесс истечения газа изотермический, то давление газа
пропорционально плотности или концентрации молекул р ~  ~ n .
Поэтому отношение изменения давления к первоначальному давлению
можно считать равным отношению изменения концентрации к первоначальной концентрации воздуха в спутнике. По условию задачи, это отP n

 0,1 . Средняя квадратичная скорость моленошение равно
P
n
кул воздуха, молярная масса которого M  29  103 кг / моль газа опре-
3 RT
, подставляя которую в формулу для
M
времени, получим выражение для определения времени, через которое
деляется по формуле  
давление газа изменится на 10 % : t  6
31
рV
рS
М
.
3 RT
Рассчитаем по числовым значениям, представленным в задаче, оценочную величину времени, за которое давление в спутнике изменится
на 10% :
29  103
 2400 c  40 мин .
3  8,3  273
Ответ: t  40 мин .
Задание для самостоятельной работы. Проведите оценку количества молекул, вылетающих ежесекундно через отверстие в корпусе
спутника.
t  6  0,1
200
10 4
ЗАДАЧА 31. Поверхность планеты покрыта толстым слоем замерзшей углекислоты. Если разлагать за 1 с 106 молей углекислоты на углерод и кислород, то на этой планете, спустя некоторое время, можно создать атмосферу. Оцените время, за которое можно получить давление
кислорода р  0,2 атм , при температуре Т  200 К . Масса планеты
М  7,5  1022 кг , радиус R  1750 км .
Анализ и решение задачи
Дано:
Если толщина атмосферы мала по сравнер  0,2 атм
нию с радиусом планеты (это обязательно нужТ  200 К
но будет проверить), то для массы кислорода
М  7,5  10 22 кг
можно записать:
R  1750 км
4R 2 р
m

.
t ?
g
Ускорение свободного падения g на поверхности планеты найдем
из закона всемирного тяготения: g 
GM
.
R2
4R 4 р
, а после подстановки числовых значений:
GM
4  3,14  (1,75  106 ) 4  0,2  105 4R 4 P
m

 5  1017 кг .
6,7  10 11  7,5  10 22
GM
Рассчитаем число молей углекислоты, необходимое для того, чтобы
создать атмосферу, в которой давление кислорода было бы равно
р  0,2 атм  0,2  10 5 Па ,
Тогда m 

m
5  1017

 1,1  1019 моль .
M 44  10  3
32
Поскольку каждая молекула углекислоты дает при разложении одну
молекулу кислорода, процесс займет t  1,1  1013 c  34,9  10 4 лет . Для
грубой оценки толщины атмосферы найдем плотность кислорода у поверхности планеты:   рМ /( RT )  0,4 кг / м 3 . При такой плотности
толщина атмосферы h  m /(4R 2  )  30 км . На самом деле толщина в
несколько раз больше (плотность с высотой падает), однако и эта величина во много раз меньше радиуса планеты.
Ответ: t  1,1  1013 c  34,9  10 4 лет .
Задание для самостоятельной работы. Оцените, при каком минимальном радиусе планета сможет удерживать атмосферу, состоящую из кислорода, при температуре Т  300 К . Среднюю плотность
вещества планеты определите из задачи, решенной выше.
ЗАДАЧА 32. Если заполнить трехлитровую банку на треть горячей
водой, а затем, закрыв крышкой интенсивно ее потрясти, то даже плотно закупоренная крышка слетает. Объясните это явление и оцените силу, действующую на крышку.
Дано:
Анализ и решение задачи
m  1кг
Объяснить наблюдаемое явление можно следующим образом. Если наливаем горячую воду в
 1 м/ с
банку и быстро закрываем, за это время воздух в
4
2
S  80  10 м
банке не успевает прогреться. Встряхивание
T  45 K
банки приводит к быстрому нагреванию воздуха
F ?
и повышению давления и силы, действующей на
крышку. Человек может встряхивать банку с частотой 2 Гц . Среднее
время взаимодействия разбрызгиваемой воды и крышки t  1 / 2 ,
скорость, с которой движется вода m  1 кг в банке, оценим в 1 м / с .
Тогда сила удара воды о ладонь может быть определена через изменение импульса воды: p  2m . Изменение импульса равно импульсу
2m 
 10 H .
t
Полученный результат позволяет сомневаться в том, что такая незначительная сила может сорвать крышку, поэтому оценим силу, действующую на крышку, связанную с увеличением давления воздуха.
р Т

Так как объем воздуха в банке постоянный,
.
р0 Т 0
Следовательно, изменение давления (повышение над атмосферным)
р Т
p S Т
р  0
, откуда сила F2  pS  0
.
Т0
Т0
силы F1t  2m , откуда F1 
33
Если подставить числовые значения величин (оценочно)
Т 0  273 K , p 0  10 5 Па , S  80  104 м 2 , T  45 K , то после вы-
10 5  80  10 4 40
 117 Па .
273
Эта сила существенно больше, чем сила F1 .
Однако есть еще один источник силы, действующей на крышку. Это
сила давления, возникающая за счет увеличения давления насыщенного
пара p н . При температуре 318 К (45 о С ) найдем по таблице зависимочислений получим — F2 
сти давления от температуры насыщенного пара  p н ~ 10 4 Па . За счет
этого давления создается дополнительная сила F3 ~ 80 H .
Таким образом, суммарная сила, действующая на крышку, равна
сумме всех сил
F  F3  F2  F1  207 H .
Ответ: F  207 H .
Задание для самостоятельной работы. Оцените давление, которое
устанавливается в сосуде после стерилизации и закупорки консервов.
ЗАДАЧА 33. Оцените, во сколько раз среднее расстояние между молекулами пара над кипящей водой больше расстояния между молекулами воды.
Дано:
Анализ и решение задачи
При выборе модели, позволяющей
T  373 K
успешно справиться с оценкой отличия
M в  18  10 3 кг / моль
средних расстояний между молекулами
 в  10 3 кг / м 3
воды и пара, последний будем считать
идеальным газом, плотность которого
Rп
~?
M р
MТ
Rв
п  в 0  в 0 .
RT
V0 T
Расстояние между молекулами водяного пара
 Mв
Rп ~ 3 
 п N А

TV 0
~3
, для воды это расстояние

N A T0

 Mв 
.
Rв ~ 3 

 в N A 
Таким образом, отношение расстояний между молекулами кипящей
 TV  
R
воды и пара, находящегося над водой п ~  0 в  .
Rв  T0 M в 
34
T  373 K ,
При
 в  10 3 кг / м 3 ,
M в  18  10 3 кг / моль ,
Rп
 10 .
Rв
Rп
 10 .
Rв
Задание для самостоятельной работы. Составьте и решите задачу, в которой требуется оценить отличие в средних расстояниях
между молекулами воды и пара, находящегося при температуре
t  120o C .
Ответ:
ЗАДАЧА 34. Оцените наибольшую температуру воздуха в стволе
гладкоствольного ружья, в который влетает пуля, выпущенная из другого такого же ружья.
Анализ и решение задачи
Дано:
m  0,01 кг
m 2
E

Кинетическая
энергия
пули
идет
k
2
  7  102 м / с
на увеличение внутренней энергии сжатого
L1 м
4
2
3
S  10 м
внутри ствола воздуха W  R(T  T0 ) (для
2
p 0  10 5 Па
простоты воздух считаем идеальным одноатомT0  300 К
ным газом). Поскольку T  T0 , на уровне оценТ ?
ки из закона сохранения энергии следует
2
m  3 R T . (Потерями тепла из-за быстроты процесса можно пренебречь.) По закону Менделеева—Клапейрона  0 l S   R T0 . Таким
m  2T0
.
3 p 0 LS
Выбрав (оценочно) приемлемые значения физических величин
образом, T 
m  0,01 кг ,
  7  10 2 м / с ,
длина
ствола
L1 м,
сечение
S  10 м , p0  10 Па , T0  300 К , получаем Т  5 10 K .
4
2
5
4
Ответ: Т  5 104 K .
ЗАДАЧА 35. Оцените плотность пламени свечи.
Анализ и решение задачи
Дано:
Решение указанной задачи будет
M CO2  44  103 кг / моль
полезным для учащихся после изучеp  10 5 Па
ния уравнения Менделеева — Клапейрона.
 ?
35
При поиске решения этой задачи, прежде всего, выясним, что представляет собой пламя горящей свечи. Пламя свечи — это результат процесса сгорания вещества (парафина, воска и т.д.), при котором образуется двуокись углерода в газообразном состоянии, находящийся при
температуре порядка T  103 К .
Плотность двуокиси углерода, если считать его идеальным газом,
находящимся при атмосферном давлении p  105 Па , можно опреде-
рМ
.
RT
 44  103 кг / моль , значения
лить из уравнения Менделеева — Клапейрона  
Подставляя молярную массу M CO2
универсальной газовой постоянной R  8,31 Дж /( моль K ) и температуры Т  103 К , получаем
105  44  10 3
 0,53 кг / м 3 .
8,31  10 3
Числовое значение, оцениваемой плотности пламени свечи меньше,
чем плотность воздуха  воздуха  1,2 кг / м 3 .

Ответ:   0,53 кг / м 3 .
Задание для самостоятельной работы. Проведите такую же оценку плотности пламени горелки газового сварочного аппарата.
ЗАДАЧА 36. Оцените минимальную работу, которую нужно затратить, чтобы накачать камеру баскетбольного мяча.
Анализ и решение задачи
Дано:
5
Эту
и
следующую
задачи рекомендуется реpa  10 Па
шить после проведения урока на тему: «ПрименеR  0,1 м
ние первого закона термодинамики к различным
А?
процессам». Чтобы накачать мяч, необходимо сделать определенное число ходов поршнем насоса, при каждом из которых захватывается и закачивается в мяч фиксированная масса воздуха,
определяемая атмосферным давлением р а и рабочим объемом насоса.
Пренебрегая работой по выпрямлению оболочки мяча до полного объема V , оценим минимальную работу по созданию перепада давления
V:
постоянном
объеме
p  0,5 р при
A  pV  0,5 paV  0,5 pa
4
 R 3 , где радиус мяча возьмем R  0,1 м ,
3
давление p a  10 5 Па .
36
4
 3,14  0,1 3  2,2  10 2  210 Дж .
3
Ответ: A  210 Дж .
Задание для самостоятельной работы. Оцените, какое число ходов
нужно совершить поршнем насоса, чтобы накачать мяч до давления
р  1,5 ра .
Отсюда A  0,5  10 5 
ЗАДАЧА 37. Волейбольный мяч массой М  0,2 кг и объемом
V  8 л накачан до избыточного давления p  0,2  10 5 Па . Мяч был
подброшен на высоту h  20 м и после падения на твердый грунт подскочил на ту же высоту. Оцените максимальную температуру воздуха в
мяче в момент удара о грунт. Температура наружного воздуха
Т  300 К , теплоемкость воздуха при постоянном объеме
сV  672 Дж / кг  К .
Анализ и решение задачи
Дано:
Оценивание
температуры воздуха в
сV  672 Дж / кг  К
мяче возможно на основе применения
Т  300 К
закона сохранения энергии. Так как
V  8  10 3 м 3
после удара о землю мяч поднялся
почти на ту же высоту, с которой паМ  0,2 кг
дал, потерями энергии при ударе мяча
5
p  0,2  10 Па h  20 м
можно пренебречь и считать, что сжаТ max  ?
тие воздуха в мяче во время удара
происходит адиабатически.
Согласно закону сохранения энергии (первому закону термодинамики) изменение внутренней энергии газа U  Q  A , где А — работа,
совершенная газом при сжатии. Так как в данном случае Q  0 , то
U  A . Как известно, изменение внутренней энергии газа не зависит
от процесса и равно U  с v mT  cV m(Tmax  T ), где T — начальная
температура газа, m — его масса. Работа по сжатию воздуха совершается за счет изменения механической энергии мяча. Если пренебречь
потенциальной энергией деформации камеры и грунта в момент
наибольшего сжатия (когда температура воздуха максимальна, а мяч
покоится), то работа равна A  Мgh , где M — масса мяча, h — высота, на которую он был подброшен.
Подставив выражение для U и А в формулу U  A , получим
cV m(Tmax  T )  Mgh .
37
Массу воздуха в мяче можно определить из уравнения газового соm
стояния: рV  RT , где р  ратм  ри .

Отсюда m 
( рат м  ри )V
.
RT


MghR
Окончательно находим Tmax  T 1 
.
 ( рат м  р и )Vcv 



0,2  10  20  8,3
Tmax  T 1 
  1,02T  306 K .
3
5
5
3
29  10 (10  0,2  10 )  8  10  672 

Ответ: Tmax  1,02 T  306 K .
Задание для самостоятельной работы. Оцените, на какую высоту
поднялся бы мяч, если бы изменение внутренней энергии воздуха, соответствующее найденному изменению температуры, удалось бы перевести в кинетическую энергию мяча.
ЗАДАЧА 38. В сосуде находится насыщенный водяной пар при
t  100o C . Оцените среднее время разлета двух столкнувшихся между
собой молекул на расстояние s  1 см друг от друга.
Дано:
Анализ и решение задачи
o
Условие
этой задачи позволяет сделать только
t  100 C
грубую
оценку.
Длина свободного пробега молекуs  1 см
1
t ?
лы в газе равна  
, где d — диаметр мо2d 2 n
лекулы воды, n — концентрация молекул водяного пара. При
t  100o C насыщенный пар создает давление р  1 атм , тогда конpn
pN A

 2  10 25 м  3 ,   10  7 м . ПоkT
RT
скольку нам понадобится размер молекулы воды, будем считать эту
молекулу шариком с диаметром d . Плотность воды   1 г / см 3 . Количество вещества воды в 1 моль имеет массу m  18 г , следовательцентрация молекул
n
но, ее объем V  18 см 3  18  10 6 м 3 , а на одну молекулу воды при-
V
18  10 6

 30  10  30 м 3 .
N A 6,02  10 23
Считая молекулы плотно прижатыми друг к другу (вода почти несжимаема), оценим размеры диаметра молекулы:
ходится объем
38
V
 3  10 10 м .
NA
Скорость движения молекул между ударами оценим из формулы для
d3
3 RT
 7  10 2 м / c ; время между
M
энергии теплового движения  
двумя последовательными столкновениями равно t 

. Будем счи
тать, что после столкновения скорость молекулы меняется случайным
образом. Тогда смещение молекулы от начального положения после N
ударов составит s   N  1 см и искомое время
N
s2 
s2
.
 2 
2
2  2
s2
(10 2 ) 2
t

1с .
2 2  7  10 2  10  7
t
Ответ: t  1 c .
Задание для самостоятельной работы. Составьте и решите задачу, в которой требовалось бы оценить число соударений молекул водяного пара за определенное время.
ЗАДАЧА 39. Оцените, какое количество теплоты будет передано работающим холодильником окружающей среде, если он заморозил
m  1 к г воды, у которой начальная температура была t  20 о С .
Мощность холодильника Р  100 Вт .
Анализ и решение задачи
Дано:
Эту
задачу
рекомендуется решить при изучении
P  100 Вт
холодильных машин, работа которых осуществляo
t  20 C
ется в полном соответствии с первым законом терm  1 кг
модинамики: за счет работы компрессора холодильник отдает в окружающее пространство больQ ?
шее количество теплоты, чем то, которое он отнимает у морозильной камеры.
Перед решением задачи объясняем учащимся, что из принципа работы любой холодильной установки следует, что в тепло переходит как
вся энергия, потребляемая холодильником от сети, так и энергия, которую отдают охлаждаемые продукты (в данном случае вода).
Это означает, что количество теплоты, выделившегося в комнате за
время t , Q  Pt  cв тв t  mв , при мощности холодильника
Р  100 Вт ,  t  20 o C , m  1 кг ,   3,35  10 5 Дж / кг .
39
Время (оценочно), в течение которого произойдет охлаждение воды
и ее замораживание, возьмем равным 3 часам или 10800 с .
Q  100  10,8  10 3  4,2  10 3  1  20  3,35  10 5  1 
 (10,8  8,4  3,35)  10 5  22,55  10 5  2,26  10 6 Дж
.
Ответ: Q  2,26  10 6 Дж .
Задание для самостоятельной работы. Оцените, на сколько градусов изменится температура воздуха в комнате, где находится холодильник.
ЗАДАЧА 40. Периодически действующая установка (тепловая машина) использует тепловую энергию океана. Оцените максимальную
полезную мощность, которую можно от нее получить, если скорость
течения воды в месте расположения установки   1 м / с , средняя температура воды в поверхностном слое океана, толщина которого
H  103 м , T1  300 К , температура воздуха вблизи поверхности воды
Т 2  280 К , размер установки в поперечном течению направлении
L  10 3 м , теплоемкость воды c  4,2  10 3 Дж / кг  К , плотность
воды   10 3 кг / м 3 .
Дано:
  1 м/ с
H  10 3 м
T1  300 К
Т 2  280 К
L  103 м
  10 3 кг / м 3
c  4,2  10 3 Дж / кг  К
Анализ и решение задачи
Максимальная полезная мощность
может быть получена при использовании цикла Карно. Количество теплоты
с избыточной температурой, которое
может быть использовано за единицу
времени m  HL , где  — плотность воды. Пусть в некоторый момент времени работы установки по
циклу Карно температура воды равна
T , тогда за малый промежуток време-
h?
ни T  const . По теореме Карно
Т  Т2
dА

,
Т
mcdT
где dT — малое изменение температуры воды, dA — полезная работа
за время его изменения, а c — теплоемкость воды. Полезная мощность
P при изменении температуры воды от T1 до T2 :
40
T2
P   dA    mc (1 
T1

T2
T 
)  mc T1  T2   T2 ln 1  .
T
T
2 

При (T1  T2 )  T2 ,
P
(T  T2 ) 2 1
1
400
mc 1
  10 8  4,2  10 3
 3  10 8 кВт .
2
T2
2
280
Ответ: P  3  10 8 кВт .
ЗАДАЧА 41. В морозную погоду на поверхности озера начинает
нарастать лед и за t 1  10 ч достигает толщины h  0,1 см . Оцените,
какой толщины достигнет лед, если такая температура продержится без
изменений в течение t  1000 ч ? Считайте что теплопроводность льда
намного больше, чем теплопроводность воды.
Анализ и решение задачи
Дано:
При
замерзании
воды все выделяющееся тепло
h0  0,1 м
рассеивается в воздухе. Поток тепла пропорционаh1 м
лен разности температур воды и воздуха и обратно
t 1  10 ч
пропорционален толщине h льда в каждый момент
t  1000 ч
времени. Поэтому для изменения толщины льда на
T
h?
t ,
h за время t можно записать h ~
h
или учитывая, что T  const , hh ~ t . Отсюда получаем h 2 ~ t и
1000
1м.
10
Ответ: h  1 м .
Задание для самостоятельной работы. Проведите оценку количества теплоты, выделяющегося в процессе, описанном в условии задачи,
при замерзании озера средних размеров.
h ~ t . Через t  1000 ч лед достигнет толщины h  h0
ЗАДАЧА 42. Для получения сверхвысоких температур используется
установка, состоящая из закрытого с одного конца цилиндра и поршня.
Оцените верхний предел температуры одноатомного газа, подвергнутого сжатию в такой установке, если поршень массой m  0,1 кг влетает в
цилиндр, имеющий объем V  200 см 3 , с начальной скоростью
  250 м / с . Начальная температура и давление газа соответственно
равны: T0  300 K и Р 0  10 5 Па . Газ считать идеальным.
41
Анализ и решение задачи
Кинетическая энергия поршня идет на увеличение
внутренней
энергии
гаm  02
3
 U  RT , где T — изменение
за:
2
2
температуры газа,  — количество молей аргона.
Количество вещества найдем из уравнения соPV
стояния идеального газа:   0 0 .
RT0
Дано:
m  0,1 кг
V  200 cм 3
 0  250 м / с
Т 0  300 К
Р 0  105 Па
T ?
Поэтому изменение внутренней энергии U 
m 0
m 0
T  T0
3
, откуда T  T0 (1 
 P0V0
).
2
2
T0
3 P0V0
2
2
довательно,
T  T0
3
P0V0
. Сле2
T0
Таким образом T  T0  T  3  10 4 K  300 K  3,03  10 4 K .
Ответ: T  3,03  104 K .
Задание для самостоятельной работы. Оцените максимальное давление в конце процесса сжатия газа.
ЗАДАЧА 43. Один из спаев термопары находится в комнате при
температуре T1  300 K , а второй — в теплоизолированном сосуде со
льдом, имеющим температуру T2  273 K . Мощность, развиваемая
термопарой, выделяется на сопротивлении нагревателя, который помещен в другой теплоизолированный сосуд, содержащий воду. Оцените,
насколько повысится температура воды к моменту окончания плавления
льда, если считать, что все сопротивление цепи сосредоточено в нагревателе. Массы воды и льда одинаковы. Удельная теплоемкость воды
с  4,2  10 3 Дж / кг  К ,
удельная
теплота
плавления
льда
  335  10 3 Дж / кг.
Дано:
T1  300 K
T2  273 K
с  4,2  10 3 Дж / кг  К
T  ?
Анализ и решение задачи
Можно сказать, что между сосудами
со льдом и водой работает тепловая
машина. Считая эту машину идеальной,
запишем формулу для определения
КПД:
T T
A
A
cmT
 1 2 


.
T1
Q1 Q2  A m  cmT
42
Отсюда искомая величина повышения температуры
 T  T1
335  10 3  300  273 
T  ( 2
)

  7,2 K .
c
T2
4,2  10 3  300 
равна
Ответ: T  7,2 K .
ЗАДАЧА 44. Оцените максимальную полезную мощность, которую
можно получить от периодически действующей установки, использующей тепловую энергию океана в той его части, где скорость течения
воды   0,1 м / с . Считать, что верхний слой воды глубиной
H  1 км имеет температуру T1  300 K , температура воздуха у поверхности океана T2  280 K , ширина установки в направлении, перпендикулярном
течению,
теплоемкость
L  1 км ,
с  4200 Дж /(кг  К ) , ее плотность   10 3 кг / м 3 .

T 
P  HLc (T1  T2 )  T2 ln 1  ;
T
2 

2
(T  T1 )
1
P   HL c 2
.
2
T1
при
(T1  T2 )  T2
воды
мощность
1
20 2
 10 3  10 3  10 3  0,1  4,2  10 3 
 2,8  10 11 Вт 
.
2
300
 2,8  10 8 кВт
P
Ответ: P  2,8  10 8 кВт .
ЗАДАЧА 45. Оцените максимальную толщину ледника.
Анализ и решение задачи
Дано:
Требование,
сформулированное в условии задачи,
  332 кДж
приводит нас к мысли о зависимости предельной
H ?
высоты от какого-то параметра ледника. Чем может быть вызвано ограничение высоты роста ледника? По-видимому,
увеличение высоты ледника приводит к какому-то явлению, в результате которого этот рост прекращается. Таким явлением может быть плавление льда в основании этого ледника. Плавление, таяние льда — это
фазовый переход, параметры которого: температура и давление являются взаимозависимыми. Причем известно, что температура фазового перехода, в нашем случае плавления льда, понижается с увеличением давления. Давление, создаваемое ледником, определяется отношением его
веса к площади основания.
43
Обозначим через H максимальную высоту ледника. Как было
раньше установлено, она ограничена из-за плавления льда в основании
ледника. При плавлении льда массой m   Sx , где  — плотность
льда, S — площадь сечения ледника, поглощается энергия
W1  m  Sx . Эта энергия равна изменению потенциальной
энергии ледника, высота которого уменьшается на x и, следовательно,
W 2  gHSx , поэтому gHSx  Sx откуда H 

.
g
Для льда удельная теплота плавления   332 кДж/ кг . Поэтому
после
подстановки
в
формулу
для
высоты
получим
332  10 3
Н
 3,32  104 м  33,2 км .
10
Ответ: Н  33,2 км .
ЗАДАЧА 46. Оцените силу, которую нужно приложить для того,
чтобы отделить друг от друга две стеклянные пластинки, смоченные
водой.
Анализ и решение задачи
Дано:
Свободная
поверхность жидкости у торца
  70  10 3 Н / м
сложенных стекол представляет собой цилиндрическую поверхность (рис. 3). Будем
  10 3 кг / м 3
считать, что смачивание полное. Тогда радиR?
ус r этой поверхности равен d / 2 , где d —
расстояние между стеклами. Давление под изогнутой поверхностью
жидкости меньше атмосферного на величину  p , которую можно
найти, рассмотрев равновесие выделенного элемента жидкости и воздуха. Учитывая силы поверхностного натяжения на
границе
стекло
—
жидкость,
запишем
2 
 .
( p0  p)dl  2l , откуда p  p0  p 
d
r
Поскольку
атмосферное
давление
больше,
чем
Рис. 3
давление между пластинками, то оно прижимает
пластинки друг к другу. Так как стекла обычно неровные, то они касаются друг друга в некоторых местах, что ограничивает сближение стекол. Для того, чтобы оторвать одно стекло от другого, нужно приложить
силы, большие, чем pS , где S — площадь стекол. Если расстояние
между стеклами d ~ 10 6 м , то p 
44
2
 1,4  10 5 H / м 2 .
d
При площади пластины порядка S  102 м2 определим силу, которую нужно приложить для того, чтобы отделить друг от друга две стеклянные пластинки, смоченные водой:
F  p  S  1,4  105  10 2  1,4  10 3 H .
Ответ: F  1,4  10 3 Н .
Задание для самостоятельной работы. Оцените массу воды, которая будет сосредоточена между стеклянными пластинами.
ЗАДАЧА 47. Какое максимальное количество капель ртути, лежащих на гладкой горизонтальной поверхности, могут слиться в одну
большую каплю.
Анализ и решение задачи
Дано:
Согласно одному из важнейших следствий
  0,51 Н / м
из закона сохранения энергии все в природе
  13,6  10 3 кг / м
стремится к минимуму потенциальной энергии.
Поэтому система объединяющихся капель буn?
дет сливаться до тех пор, пока уменьшение
энергии поверхностного слоя будет меньше (или в критической ситуации) станет равным увеличению потенциальной энергии капли в поле
силы тяжести.
Пусть n капель ртути слились в одну. Из закона сохранения массы
4
4
плотность ртути считаем постоянной: n  r 3    R 3  , следова3
3
тельно, радиус большой капли R , состоящей из малых капель радиусом r , R  r 3 n .
Изменение поверхностной энергии


E пов  4 n r 2  4  R 2  4 r 2 n  3 n 2  , должно быть равно
изменению потенциальной энергии системы.
4
4
4
E пот  n r 3  gR   r 3  g nr    g r 4 n3 n  n ,
3
3
3
так как E пов  Е пот ,

3

  
 .
откуда n  
2 
  gr 
В реальном случае число слившихся капель меньше из-за потерь
энергии при слиянии на нагрев вещества.
45
Для примера, оценим число капель при их радиусе равном
r  10 3 м , а коэффициент поверхностного натяжения и плотность ртути соответственно   0,51 Н / м ,   13,6  10 3 кг / м .

0,51
n  
3
6
 13,6  10  10  10
3

  52 .

Ответ: n  52 .
Задание для самостоятельной работы. Оцените наибольший из
возможных размеров дождевой капли. Почему капли дождя не бывают
размером с арбуз? Поверхностное натяжение воды примите равным
  0,07 Н / м .
ЗАДАЧА 48. На металлический изолированный шар радиуса R
направили «протяженный» пучок заряженных частиц, имеющих массы
m и заряды q . Скорости частиц равны  0 и направлены к центру шара. Оцените, сколько частиц смогут достигнуть поверхности шара, если
при попадании на шар частица остается на нем.
Анализ и решение задачи
Дано:
Частицы
не смогут достичь поверхности шара с
R
того момента, когда заряд шара Q max будет создаm
q
вать такое электрическое поле, что кинетическая
энергия зарядов далеко от шара будет меньше их
0
потенциальной энергии на поверхности шара, т.е.
n?
m 02
Q q
отсюда
найдем,
что
 ma x ,
2
4 0 R
Qmax 
4 0 m 02 R
. Этот заряд создают «осевшие» на шаре частицы,
2q
число которых может быть определено n 
Qmax 2  0 m 02 R
.

q
q2
2  0 m  02 R
.
q2
Задание для самостоятельной работы. Составьте и решите задачу
для случая, когда пучок заряженных частиц будет двигаться не по оси,
проходящей через центр шара, а вдоль линии параллельной оси, но смещенной относительно центра на расстояние r  R .
Ответ: n 
ЗАДАЧА 49. Над тонкостенным металлическим шаром, радиус которого R , на высоте h , находится капельница с заряженной жидкостью
(рис. 4). Капли жидкости падают из капельницы в небольшое отверстие
46
в шаре. Оцените максимальный заряд шара Q , если заряд каждой капли
q . Радиус капель r .
Анализ и решение задачи
Дано:
Эту задачу можно реR  0,1 м,
шить после изучения учебh  0,1 м,
ного материала о потенциале электрического поля,
r  0,001 м,
1 1
созданного
заряженным
q  1  10 Кл
телом. Важно напомнить
Q ?
учащимся, что потенциал
электрического поля, созданный несколькими точечными зарядами, равен алгебраической сумме
Рис. 4
потенциалов полей, создаваемых каждым зарядом в
отдельности.
Анализируя условие задачи, на первый взгляд кажется, что заряд
шара может быть определен через максимальное количество капель,
попавших в отверстие шара. А максимальное количество капель ограничивается объемом шара. Это количество капель легко определить
через отношение объемов шара и объема одной капли:
(4 3) R 3  R 
 
4 3r 3
r
Однако более совершенная модель явления должна быть несколько
иной. Дело в том, что по мере накопления заряда (капель), будут возрастать потенциал шара, потенциальная энергия и сила отталкивания.
Вновь падающие капли будут отталкиваться, и наступит момент, когда
капли просто перестанут отрываться, а следовательно, падать и увеличивать заряд шара. Обозначим через Q  Kq заряд шара, здесь K —
3
N
число капель, попавших в шар и сообщивших ему указанный заряд Q .
Из закона сохранения энергии
qQ
m 2
qQ
mgh  k

k
,
Rh
2
R
где m  4 / 3r 3  — масса капли,   10 3 кг / м 3 — плотность воды,
 — скорость капли при попадании в отверстие шара. При максимальном заряде Q max скорость   0 :
mgh  k
qQmax
qQmax
k
.
Rh
R
47
Отсюда получаем: Qmax 
K max 
mgR( R  h)
,
kq
mgR ( R  h) 4 / 3r 3 gR( R  h)

.
kq 2
kq2
Приняв R  0,1 м, h  0,1 м, r  0,001 м, q  1  10 1 1 Кл
.
3
 0,1 
 R
N     
  1  10 6 .
r
0
,
001
 



4 / 3r 3 gR( R  h) 1,33  3,14  10 9  10 3  10 1  10 1  0,2


kq 2
9  10 9  1  10  22
3
K max
 0,93  10 6 .
Таким образом, получаем, что максимальный заряд шара определяется максимальным числом капель K max  N .
Ответ: Kmax  0,93  106 .
Задание для самостоятельной работы. Представьте графически
зависимость изменения потенциала шара от числа попадающих в него
капель.
ЗАДАЧА 50. В протонном ускорителе протоны приобретают кинетическую
энергию,
равную
E k  3,2  10 16 Дж . Узкий пучок протонов, выведенный из ускорителя,
направляют на металлический шар радиусом r , установленный далеко от ускорителя так, что центр шара не лежит на
прямой, вдоль которой протоны вылетаРис. 5
ют
из ускорителя (рис. 5). Расстояние от
r
центра шара до этой прямой равно d  . Оцените величину потенциа2
ла, достигнутую шаром после достаточно долгой работы ускорителя.
Анализ и решение задачи
Дано:
При поиске путей решения этой задачи
16
E k  3,2  10 Дж
необходимо понять, что каждый новый протон,
r
попадающий на металлический шар, увеличиd
2
вает его заряд, следовательно, потенциал и
напряженность создаваемого электрического
e  1,6  10 19 Кл
поля. С ростом напряженности электрического
 ?
48
поля возрастает и сила отталкивания, действующая на бомбардирующие
его протоны. В конце концов, протоны начинают двигаться по траектории 3 (см. рис.) проходящей вблизи поверхности шара, не сталкиваясь
с ним и не передавая шару заряд. После этого процесс электризации
шара прекращается, и потенциал шара не повышается. Для оценки потенциала воспользуемся законом сохранения энергии:
1
Е  еU  m 2 , где е  заряд протона,   скорость протонов в
2
точке А , m p  масса протонов. Начальная потенциальная энергия равна нулю, поскольку протон находится далеко от шара. Отметим, что
сила, действующая на протоны, является центральной силой. Взаимодействие каждого летящего протона с зарядом на шаре таково, как если
бы весь заряд шара был сконцентрирован в его геометрическом центре O .
Поскольку взаимодействие между шаром и протоном можно считать
обусловленным центральной силой, воспользуемся законом сохранения
момента импульса относительно центра шара:
m p 0 d  m p r , или
 0 d  r .
2
1
1
d
m 2    E k , где E k  m 02 .
2
2
r
 
Подставляя это выражение в закон сохранения энергии, получим:
2
E
d2
d
E k  eU    E k , откуда U  k (1  2 ) .
e
r
r
Отсюда находим
При подстановке в полученную формулу
E k  3,2  10 16 Дж ,
r
, e  1,6  10 19 Кл , после соответствующих вычислений получим:
2
3,2  10 16
r2
U
(
1

)  2  0,75  10 3  1500 В .
1,6  1019
4r 2
Ответ: U  1500 В .
d
ЗАДАЧА 51. Оцените частоту колебаний полярной молекулы в однородном электрическом поле, напряженность которого Е . Полярную
молекулу можно представить в виде жесткой гантели длиной
L  10 1 0 м , на концах которой находятся две материальные точки массой m  10 27 кг , несущие на себе заряды e и  e соответственно.
49
Анализ и решение задачи
В классах углубленного изучения физики предполагается изучение системы, состоящей из двух
L  10 10 м
зарядов с жесткой связью между ними (диполь).
Именно о такой системе и идет речь в условии
m  10 27 кг ,
указанной выше задачи, решение которой дает
19
e  1,6  10 Кл
возможность не только проиллюстрировать осо ?
бенности взаимодействия электрического поля с
диполем, но и повторить материал о вращательном движении тел и механических колебаниях.
В положении устойчивого равновесия молекула располагается вдоль
поля. Если молекулу вывести из этого состояния, то возникает вращательный момент, поворачивающий молекулу вокруг ее центра тяжести.
Этот момент создают силы F1 и F 2 , действующие на заряды со стороны электрического поля. Если рассматривать заряды каждый в отдельности, то можно сказать, что электрические силы для них играют роль
возвращающих сил. Поэтому заряды колеблются подобно математичеl
ским маятникам длиной
. Воспользуемся этой аналогией и запишем
2
1
1
формулу для частоты колебаний молекулы так:   
, где
Т
L
2
2а e
Дано:
Е  3  10 4 В / м
а e — ускорение, которое электрическое поле сообщает каждому заряду.
eE
, то подставляя выражение для а e в формулу для чаm
1 2а e
1 2eE
стоты, окончательно получим:  
.

2
L
2 Lm
При числовых значениях, например Е  3  10 4 В / м , L  10 1 0 м ,
Так как а e 
m  10 2 7 кг , e  1,6  10 19 Кл и после подстановки в формулу для частоты и вычисления, получим искомую частоту:
1
2  1,6  10 19  300  10 2
 0,5  1011 Гц .
2  3,14
10 10  10  27
Ответ:   0,5  101 1 Гц .
Задание для самостоятельной работы. Оцените точность часов, в
которых роль маятника выполняла бы полярная молекула с указанной
частотой колебаний.

50
ЗАДАЧА 52. Плоский конденсатор емкостью С и воздушным диэлектриком состоит из двух больших пластин, расположенных очень
близко друг к другу. Одна из пластин не заряжена, другая несет заряд
Q . Соединим пластины проводником. Оцените количество теплоты,
которое выделится в проводнике за большое время.
Анализ и решение задачи
Дано:
Анализ
процесса
разрядки конденсатора привоС
дит к выводу: заряды с одной пластины на другую
q
будут перетекать, пока потенциалы пластин не
Q ?
сравняются. Равенство потенциалов наступит, коQ
гда перетечет заряд
. При этом поле в пространстве между пластина2
ми исчезнет, а поле снаружи не изменится. Следовательно, в виде тепла
выделится энергия поля, которое существовало в пространстве между
пластинами до перетекания заряда. Это поле создавалось пластиной с
зарядом Q ; но точно такое же поле будет у конденсатора, если его пластины получат заряды 
составит Q 
Q
Q
и  . Энергия конденсатора в этом случае
2
2
q2
q2

.
4( 2C ) 8C
Ответ: Q 
q2
.
8C
ЗАДАЧА 53. В результате импульсного разряда конденсатора через
разреженный гелий происходит нагревание газа от температуры
T0  300 К до температуры T . Оценить эту температуру, если напряжение на конденсаторе U  200 B , емкость конденсатора С  2  105 Ф и
газ занимает объем V  10 2 м 3 при давлении р  1,33  10 2 Па .
Анализ и решение задачи
Дано:
2
Предлагаемая
задача, как и предыдущая,
р  1,33  10 Па
может
быть
использована
для закрепления
С  2  105 Ф
учебного материала по теме «Энергия электростатического поля». При ее решении имеV  10 2 м 3
ется возможность повторить материал об изT0  300 К
менении внутренней энергии идеального газа.
T ?
Заряженный конденсатор обладает энергиCU 2
ей, которая определяется как W 
. Если предположить, что вся
2
51
запасенная энергия на конденсаторе превращается в тепловую, при этом
пренебрегаем нагреванием проводов, то можно прийти к выводу, что
результатом разрядки должно быть повышение внутренней энергии газа
m
3
W  RT . В этой формуле  
— количество вещества, число
2
M
молей гелия, T  T  T0 — изменение его температуры.
Количество вещества определим по начальным параметрам состояния гелия из уравнения Менделеева — Клапейрона P0V0  RT0 .

P0V0 CU 2 3 P0V0
 R
(T  T0 ) . Откуда получим
.
2
2 RT0
RT0
T
CU 2

 1  21 , считая, что газ находится при температуре
T0 3 P0V0
T0  300 K , T  300  21  6,3  10 3 K .
Полученный результат, как показывает опыт, всегда удивляет учащихся. Поэтому следует еще раз проанализировать решение задачи и
подчеркнуть, что в предложенной модели явления мы пренебрегли процессом теплообмена между газом и окружающей средой, излучением
электромагнитных волн при разряде конденсатора, нагреванием его
пластин и подводящих проводов. В реальных ситуациях, при проведении экспериментальных исследований подобных процессов, изменение
температуры составляет около тысячи градусов.
Ответ: T  6,3  10 3 K .
Задание для самостоятельной работы. Проведите оценку изменения давления гелия, происходящего в результате разряда конденсатора.
ЗАДАЧА 54. Двигатель постоянного тока мощностью P  150 Вт ,
рассчитанный на работу при напряжении U , питается от аккумуляторов, каждый из которых имеет ЭДС
 1,5 В и внутреннее сопротивление R  0,45 Ом . Оцените наименьшее количество аккумуляторов,
необходимое для работы двигателя со своими расчетными параметрами?
Дано:
Анализ и решение задачи
Эту задачу и методику ее решения можно
R  0,45 Ом
предложить школьникам после изучения материа 1,5 В
ла о работе и мощности электрического тока, выделяющейся во внешней цепи, воспользовавшись
P  150 Вт
тем, что мощность будет максимальной тогда, коn?
гда внешнее сопротивление цепи будет равным
внутреннему сопротивлению источника.


52
Прежде всего установим, какая максимальная мощность выделяется
на внешнем сопротивлении Rz , подключенном к источнику с внутренним сопротивлением
и ЭДС
R
 1,5 В . Рассмотрим участок цепи
(рис.6). Ток в этой цепи равен

I

R  Rz
, напряжение на резисторе Rz
равно U  IRz . Тогда мощность P , выделившаяся на резисторе
равна
Rz ,
Рис. 6
P  UI  I Rz . После подстановки в эту формулу выражение для тока
2
2
 2 RR z 

 .
I и преобразования получим P 
4R  R z  R 
ε
2
Выражение в скобках является отношением среднего геометрического внутреннего сопротивления источника R и сопротивления цепи
Rz к среднему арифметическому этих величин. Наибольшая величина
этого отношения соответствует равенству Rz  R и равна 1 . Максимальная мощность Pmax , которую можно получить от данного источника, равна Pma x 
2
. Такая мощность потребляется в том случае, если
4R
сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника.
Двигатель потребляет мощность P . Значит, батарея питания должна
P
4 PR

содержать не меньше n 0 
элементов. Иначе говоря, колиPmax
2
чество элементов n должно удовлетворять условию n  n 0 . В нашем
4  150  0,45
 120 , следовательно, n  120 . Минимальное
(1,5) 2
необходимое количество элементов не должно быть меньше 120 штук.
Ответ: n  120 .
Задание для самостоятельной работы. Подумайте, каким образом
нужно соединить эти элементы, чтобы мощность, выделяющаяся на
двигателе, была действительно равна P , а напряжение на клеммах
электродвигателя было равно U .
случае n 
53
ЗАДАЧА 55. В электронном генераторе использован триод, в котором расстояние между катодом и анодом равно d  1 мм . Оценить максимальную частоту колебаний, которые можно получить, используя
этот генератор, если анодное напряжение составляет U  200 B .
Анализ и решение задачи
Дано:
При объяснении решения этой задачи учащимся
d  1 мм
напоминают принцип работы лампового генератоU  200 B
ра, роли сетки в управлении работой лампы и су max  ?
ществующие ограничения в получении колебаний
высокой частоты, одним из которых является конечное время пролета
электронов внутри вакуумного триода. Это время должно быть не
меньше времени, за которое происходит одно колебание потенциала
сетки, управляющей колебаниями тока в анодной цепи. Обозначив это
время через t1 , а время пролета через t 2 и приравнивая их, максималь-
1
.
t2
Рассматривая движение электрона между анодом и катодом как равноускоренное под действием электрической силы Fk  eE  m e a , опреную частоту определим как  max 
делим ускорение электрона a 
электрона a 
eE
U
. Учитывая что E  , ускорение
d
me
eU
. Следовательно, расстояние которое пролетает
me d
электрон, может быть выражено как d  a
t 22
, откуда определим время
2
2d 2 m e
2d

. Поэтому максимальная частота колебаний, котоa
Ue
рую можно получить от генератора с такими параметрами будет определяться по формуле:
t2 
 ma x 
Ue
200  1,6  10 1 9

 4190  10 6 Гц  4,2 ГГц .
2
6
31
2d m e
2  10  9,1  10
Ответ:  max  4,2 ГГц .
Задание для самостоятельной работы. Предложите варианты увеличения частоты генератора на ламповом триоде.
ЗАДАЧА 56. Фотограф хочет снять финиш бега спортсменов с точки, лежащей на прямой, перпендикулярной беговой дорожке. Расстоя54
ние от объектива фотоаппарата до ближайшего бегуна d  10 м . Фокусное расстояние объектива фотоаппарата F  100 мм , размытость
контуров изображения на фотопленке не должна превышать
l  0,1 мм . Оцените время экспозиции, если спортсмены финишируют со скоростью около   10 м / с .
Анализ и решение задачи
Дано:
Расстояние
s    t , на которое переместится
d  10 м
ближайший бегун за время экспозиции, и расстояF  100 мм
ние r , на которое переместится за это же время
l  0,1 мм
r f
 .
его изображение, связаны соотношением
  10 м / с
s d
t  ?
1 1
1
 
Кроме того,
. По условиям задачи
d
f
F
r  l . Решая данную систему уравнений и неравенств, получим
l (d  F )
(предлагаем сделать это самостоятельно): t 
. Подставляя
F
данные из условия задачи после вычислений, получим t  103 c .
Ответ: время экспозиции («выдержка»)
должна быть не более 0,001 с .
ЗАДАЧА 57. Предлагаемые ниже задачи по разделу «Специальная
теория относительности» могут быть использованы в кружковой и индивидуальной работе с наиболее сильными учащимися профильных
классов, обладающими способностями и интересом к физике.
С космической станции стартует со скоростью  космический корабль. На станции остается любимая девушка космонавта. Она хочет
поздравить его с днем рождения, который, как ей известно, должен
наступить спустя время Т после старта (по календарю станции). Когда
нужно послать радиосигнал с поздравлением, чтобы оно пришло на
космический корабль вовремя?
Анализ и решение задачи
Дано:
Согласно принципу относительности день рож
дения космонавта наступит после старта спустя
Т
промежуток собственного времени  0  T . Под
t  ?
собственным временем понимается промежуток времени между любыми двумя событиями. Момент времени, соответствующий наступлению
этого события в системе отсчета станции, будет равен
55
 
0
1 
=
2
T
1  2
.
Следовательно, за это время космический корабль удалится от станции на расстояние
T
l   
.
1  2
Если t — промежуток времени, спустя который после старта надо
послать радиопоздравление, то для момента прихода его на космический корабль (по расчету в системе станции), очевидно, можно записать
равенство:
T
T
t 

, откуда определится искомая величина:
2
c 1 
1  2
t  T
1 
.
1 
Ответ: t  T
1 
.
1 
ЗАДАЧА 58. Оцените максимальную скорость лунохода — работающего на Луне самоходного аппарата — управляемого с Земли.
Анализ и решение задачи
Дано:
Величина скорости лунохода ограничена
3
L  380 10 км
временем прохождения сигнала от Луны до
с  3  10 8 м / с
Земли и временем принятия решения оператол ?
ром, управляющим перемещением лунохода.
Предположим, что в какой-то момент телекамера лунохода «обнаружила» на поверхности Луны препятствие
(расщелину, большой камень или неровность лунной поверхности), и
после этого был послан сигнал об этом на Землю. До момента получения команды как двигаться дальше пройдет время
L
380  10 3 км
t  2   2
 0,1 с  2, 6 с ,
c
300  10 3 км / с
где L — расстояние от Земли до Луны, с — скорость распространения радиоволн,  — длительность принятия решения оператором.
Для оценки скорости движения лунохода будем считать, что она во
столько раз меньше скорости   20 км/ ч движения автомобиля по
плохой земной дороге, во сколько раз время t «принятия решения» лу56
ноходом больше времени  реакции земного водителя. Следовательно,
максимальная скорость лунохода
л  

t
 1 км / ч .
Ответ:  л  1 км / ч .
Задание для самостоятельной работы. Составьте и решите задачу, в которой требовалось бы рассчитать максимальную скорость
марсохода.
ЗАДАЧА 59. Глаз человека реагирует на свет, если мощность, попадающего в него видимого излучения, не менее P0  2,3  10 17 Вт .
Оцените число фотонов, попадающих в глаз за единицу времени, если
длина волны света равна   500 нм .
Анализ и решение задачи
Дано:
Искомое число фотонов N равно отно17
Р  2,3  10 Вт
шению энергии, попадающей в глаз за едини  500 нм
цу времени (мощности излучения), к энергии
N ?
hc
Е ф одного фотона E ф  h 
, т.е.

P  1c P0   1c
N 0

. После подстановки числовых значений, полуEФ
hc
чим N  60 .
Ответ: N  60 .
ЗАДАЧА 60. Оцените, какой мощности лампочку нужно ввернуть в
рефлектор настольной лампы, чтобы она («фотонная ракета») взлетела.
Масса лампы m  1 кг .
Анализ и решение задачи
Дано:
При
мощности
источника света P за время t
m  1 кг
Pt
с  3  10 8 м / с
излучается n 
фотонов (  — энергия одного

Р ?
фотона). Каждый из них передает импульс
p   / c , где с  3  10 8 м / с — скорость света. Условие взлета «ракеPt 
. Откуда для оценки мощности
 c
лампочки получаем P  mgc  3  10 9 Вт .
ты» можно записать в виде mgt 
Ответ: P  3  10 9 Вт .
57
ЗАДАЧА 61. Оцените ускорение, сообщаемое силой давления солнечного излучения спутнику массой m  70 кг , находящемуся на орбите вблизи поверхности Земли. Площадь поперечного сечения спутника
S  100 cм 2 . Солнце испускает по всем направлениям излучение мощностью Р  4  10 26 Вт .
Анализ и решение задачи
Если мысленно окружить его сферой радиусом R , равным расстоянию от него до Земли
(фактически от Солнца до спутника), то на
спутник попадает излучение Солнца мощностью, равной P '  P  S / 4r 2 . Сила его давления равна изменению импульса р фотонов в
Дано:
m  70 кг
S  100 cм 2
Р  4  10 2 6 Вт
а ?
единицу времени: F 
p
.
t
I
Выразим p через энергию E и мощность P , попавших на спутник за время t :
p E P t
PS
.



t ct
ct
4r 2 c
I
F
Сообщаемое этой силой ускорение найдем по второму закону Ньютона:
F
PS
а

;
m 4mr 2 c
после подстановки числовых значений, получим
a  5  105 м / с 2 .
Значение а во много раз меньше ускорения свободного паде
ния g .
Ответ: a  5  105 м / с 2 .
Задание для самостоятельной работы. По данным решенной задачи
оцените величину силы, действующей на спутник.
ЗАДАЧА 62. Искусственный хрусталик для глаза сделан так, что
позволяет видеть удаленные предметы. В отличие от естественного хрусталика, кривизна которого может меняться (при этом глаз фокусируется на выбранных объектах — это называется аккомодацией глаза), искусственный хрусталик жесткий и перестраиваться не может. Оцените
оптическую силу очков, дающих возможность читать книгу. Расстояние
от глаза до книги принять равным примерно l  0,3 м .
58
Анализ и решение задачи
Назначение очков — располагать изображения
предмета на оптимальном расстоянии. В нашем
случае читатель держит книгу на расстоянии
l  0,3 м от глаза, а изображение должно получиться вдали. Это означает, что книга находится практически в фокальной плоскости линзы,
т.е. фокусное расстояние линзы составляет F  0,3 м . Оптическая сила
Дано:
l  0,3 м
D ?
1
 3,3 дптр . Большая точность при таком расчеF
те неуместна, нужно взять очки 3 или 3,5 дптр . Учет расстояния
между глазом и линзой (примерно 1 см) практически не меняет результат.
Ответ: D  3,3 дптр.
при этом равна D 
ЗАДАЧА 63. Оцените ежегодное уменьшение массы Солнца за счет
излучения. Экваториальный диаметр Солнца равен d  1,4  10 9 м .
Анализ и решение задачи
Дано:
Произвести
оценку ежегодного уменьшения
d  1,4  10 9 м
массы Солнца можно, если считать, что наше
m  ?
светило представляет собой абсолютно черное
тело, интегральная светимость которого определяется его температурой
R  T 4 (закон Стефана—Больцмана), а длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения, обратно пропорциональна абсоb
лютной температуре — закон смещения Вина —  max  ,
T
8
2
4
где   5,67  10 Вт /( м  К ) — постоянная Стефана,
b  2,9  10 3 м  К — постоянная Вина.
Максимум энергии излучения Солнца приходится примерно на
  470 нм . Используя эти данные, определим температуру поверхно-
сти Солнца. T 
b
 max

2,9  10 3
 6,2  10 3 K .
470  10  9
Энергию, излучаемую Солнцем с площади 1 м 2 за 1 с , определим
по закону Стефана — Больцмана:
R  T 4  5,67  10 8  (6,2  10 3 ) 4 Вт / м 2  8,2  10 7 Вт / м 2 . Определим энергию, излучаемую за год всей поверхностью Солнца:
E  RSt  Rd 2 t  8,2  107  3,14  (1,4  109 ) 2  31,6  106 Дж  5  1033 Дж .
Оценим годовую потерю массы:
59
m 
E 5  10 33

кг  5,6  1016 кг .
c 2 9  1016
Ответ: m  5,6  1016 кг .
Задание для самостоятельной работы. Оцените время, за которое
масса Солнца уменьшится на 5 % .
ЗАДАЧА 64. Время жизни электрона на втором энергетическом
уровне атома водорода составляет около t  10 9 c . Оцените ширину
второго энергетического уровня (т.е. неопределенность его энергии).
Анализ и решение задачи
Дано:
Эту задачу желательно решить с уче9
t  10 c
никами профильных классов, содержание
h  6,63  10 34 Дж  с
курса физики которых предполагает изуE  ?
чение особенностей физической природы
объектов микромира. Для решения задачи воспользуемся соотношением неопределенностей х  р х   ,
смысл которого заключается в следующем. При любой попытке все более точного определения положения частицы в пространстве (ее координаты) обязательно будут все менее определенными сведения об импульсе частицы. Если же каким-либо способом более точно определять
значение импульса частицы, то сведения о координатах будут все менее
точными.
Наряду с выражением, связывающим неопределенности координаты
и импульса, можно получить выражение, связывающее неопределенности энергии  Е и времени  t . Для фотона, излучаемого атомом, неопределенности его импульса p x и его координаты x можно предЕ
, х  с  t .
с
Перемножив эти равенства и учитывая соотношение неопределенностей, получим: Е  t   . Здесь Е — неопределенность значения
энергии системы (электрона) в некотором состоянии с энергией Е ,  t —
неопределенность времени t пребывания системы в данном состоянии.
Таким образом, оценка ширины второго энергетического уровня

h
(неопределенность его энергии)  Е 
. Подставляя число
 t 2  t
вые значения, получим:
6,63  10 34
Е 
 1,055  10  25 Дж  0,66  10  6 эВ .
9
2  3,14  10
ставить так: р х 
Ответ: Е  0,66  10 6 эВ .
60
ЗАДАЧА 65. При прохождения потока нейтронов через металлическую пластинку толщиной d количество частиц в потоке уменьшатся
на 20% , а их скорость не изменяется. Оцените, какая доля потока
нейтронов проходит через пластинку толщиной 10 d .
Анализ и решение задачи
Дано:
Задача
такого
содержания может быть предлоk  0, 2
жена
школьникам
11 класса при изучении прониh  10d
кающей способности радиоактивного излучения.
N
Ее решение позволяет продемонстрировать боль?
N0
шую проникающую способность таких частиц как
нейтроны.
Пусть на пластинку толщиной h  10d изначально падает число
нейтронов равное N 0 . После прохождения слоя толщиной d в потоке
их останется N 1  (1  k ) N 0 . Аналогично второй слой такой же толщины пройдет число нейтронов: N 2 (1  k ) N 1  (1  k ) 2 N 0 . Очевидно, что
после слоя номер n в потоке останется N n  (1  k ) k N 0 нейтронов.
Тогда число протонов, прошедших пластинку толщиной h  10d ,
будет равным N 10  (1  k ) 10 N 0  (1  0,2) 10 N 0  0,8 10 N 0 . Отсюда, для
оценки доли потока нейтронов, прошедших через пластинку толщиной
после
постановки
числовых
значений,
получим
h  10 d
N 10
 0, 8 10  0, 11 .
N0
Ответ:
N 10
 0,11 .
N0
ЗАДАЧИ-ОЦЕНКИ
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Попробуйте свои силы
в самостоятельном решении задач-оценок
1. На высоте плотность атмосферы равна   1,6  10 10 кг / м 3 . Оцените силу сопротивления, испытываемого спутником с поперечным
сечением S  0,5 м 2 и массой m  10 кг , летящим на этой высоте.
Ответ: F  4,8  10 -3 H .
2. Оцените, на какую высоту поднимется стрела, пущенная из лука
вертикально вверх. Масса стрелы m  20 г , длина тетивы L  1 м .
61
Тетиву оттягивают на х  5 см . Натяжение тетивы считать постоянным и равным Fн  250 Н .
Ответ: h  5 м .
3. Длина разбега перед взлетом S  500 м , масса самолета
т  19  10 3 кг , коэффициент трения k  0,02 . Движение во время
разбега считать равноускоренным. Какова должна быть минимальная мощность двигателей, чтобы обеспечить взлет самолета?
Ответ: Pmin  4125 кВт .
4. По одной из гипотез, звезды образуются из космической пыли путем сжатия под действием гравитационных сил. Оцените время образования звезды из гигантского сферического облака космической
пыли плотностью   2  10 20 г / см 3 . Можно считать, что при сжатии частицы не обгоняют друг друга.
Ответ: t  10 6 лет .
5. Оцените минимальную мощность, потребляемую холодильником от
сети, если известно, что через стенки внутрь холодильника проникает количество теплоты Q  790 кДж . Температура внутри холо-
дильника t 1  5 o C , в комнате — t 2  20 0 C .
Ответ: Р  12Вт .
По траектории, соединяющей центры Земли и Луны, с Земли выпущен неуправляемый космический аппарат. Найти минимальную
скорость его удара о поверхность Луны.
Ответ:  min  7,5  10 3 м / с .
7. Оцените, на какую высоту вы смогли бы подпрыгнуть на Луне.
Ответ: h  6,1 м .
8. Оцените максимальную скорость автомобиля, с которой он может
двигаться по мосту с радиусом кривизны R , если длина моста L , а
коэффициент трения шин о дорогу  .
6.
Ответ:  max 
gR /  (  cos l / 2 R  sin l / 2 R) .
Оцените, какое количество воды можно унести в решете с квадратными ячейками размером 2 2 мм . Диаметр решета d  20 cм .
Нити решета не смачиваются водой.
Ответ: m  0,458 кг .
10. В воздухе при нормальных условиях молекула сталкивается с другими молекулами, причем путь между столкновениями (длина сво9.
62
бодного пробега) равен в среднем   10 5 см . Оцените размер молекулы воздуха.
Ответ: d  1,7  10 8 cм .
11. Оцените, каким должно быть давление азота в сосуде, чтобы при
температуре 0 о С длина свободного пробега его молекул была равна   1 м . Эффективное сечение молекулы азота принять равным
4,3  10 19 м 2 .
Ответ: Р  10 2 Па .
12. Сосуд с водой, масса которой m1  100 г и температура t 1 0 o C
был подвешен посреди комнаты. Через  1  15 мин температура
воды поднялась до t 2 2 o C . В другой раз в тот же сосуд вместо воды поместили лед массой m 2  100 г при температуре t 1 0 0 C .
В тех же условиях лед растаял за  2  10 ч . Оцените по этим данным удельную теплоту плавления льда. Удельная теплоемкость воды с  4200 Дж /(кг  К ) .
m1  2
 336 кДж / кг .
m2  1
13. По водопроводной трубе течет вода со скоростью   10 м / с . Каким будет давление на кран, если его быстро закрыть?
Ответ: P  1,5  10 7 Па .
14. Оцените изменение давления в парной после того, как на раскаленные камни плеснули воду из ковша. Предполагается, что вы, представляя явление, можете сами задать необходимые величины, выбрать достаточно правильно их числовые значения и получить численный ответ.
Ответ: P  0,03 атм .
15. Оцените размер атома ртути, если известны:   0,51 Н / м — коэфОтвет:   ( t 2  t 1 )
фициент поверхностного натяжения ртути;   13,6  10 3 кг / м 3 —
плотность ртути, r  0,3  10 6 Дж / кг — удельная теплота парообразования ртути.
4
 5  10 10 м .
Ответ: d 
r
16. Внутрь камеры автомобильного колеса радиусом R попал небольшой камешек. При какой минимальной скорости автомобиля каме63
шек будет вращаться вместе с колесом, если коэффициент трения
камешка о камеру  .
Ответ:  min 
gR
1  2

.
17. Колба-шар емкостью V  1 л была откачана и закрыта. На стенках
колбы остался мономолекулярный слой воздуха. Оцените давление,
которое будет в колбе, нагретой до Т  300 о С , если известно, что
при такой температуре на стенках колбы не остается ни одной молекулы (все молекулы с поверхности колбы «уходят» в объем).
Ответ: Р  40 Па .
18. В кастрюлю наливают воду ( m  0,3 кг ), опускают термометр и
кипятильник, мощность которого можно менять. При мощности
P1  50 Вт вода нагревается не выше t1  500 C , при мощности
P2  100 Вт — не выше t 2  650 C . За какое время эта порция воды нагреется от комнатной температуры t 0  200 C до t 3  700 C
при мощности нагревателя P3  200 Вт ? Оцените предельную
температуру при этой мощности. Удельная теплоемкость воды
с  4200 Дж /(кг  К ) .
Ответ:   7,2 мин .
19. Земной шар обладает отрицательным электрическим зарядом, приблизительно равным по модулю q  5,7  10 5 Кл . Оцените напряженность электрического поля, создаваемого этим зарядом, на расстоянии L  1 км от поверхности Земли.
Ответ: Е  142 В .
20. Оцените время свободного пробега электрона в медном проводнике, удельное сопротивление которого   1,72  10 8 Ом м .
Ответ: t  5  104 c .
21. При электрическом разряде в разреженном неоне ( Ne ) при комнатной температуре очень небольшая часть атомов неона распадается на электроны и ионы. Масса атома неона в 4 10 4 раз больше
массы электрона. Длина свободного пробега электронов (т.е. среднее расстояние, которое электрон проходит без соударений)
l  0,1 мм . Газ находится в электрическом поле с напряженностью
64
22.
23.
24.
25.
Е  10 В / см . Оцените «температуру» электронов, соответствующую их средней кинетической энергии.
Ответ: Т  4 10 4 К .
Оцените порядок скорости, с которой человек должен бежать по
воде, чтобы не тонуть.
Ответ:  ~ 10 2 м / с .
Загарпуненный кит способен в течение нескольких часов тащить за
собой судно с двигателем, включенным на «полный назад». Оцените мощность кита. Сколько жира израсходует кит за три часа такой
работы,
если
теплотворная
способность
жира
равна
3
q  4,2  10 кал / г и при этом лишь четвертая часть химической
энергии обращается в механическую работу?
Ответ: Р  450 л.с.
Оцените диаметр молекулы воды.
Ответ: d  3  10 9 м .
Оцените количество вещества, попадающего на экран телевизора за
t  1 c , если сила тока в электронном луче I  10 4 A . Заряд электрона равен q  1,6  10 19 Кл .
Ответ:   1,04  10 9 моль .
65
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Какие выводы можно сделать в результате рассмотренных нами физических задач-оценок и процессов их решения?
Хотя мы и не смогли с достаточной полнотой рассмотреть все аспекты, все стороны и особенности решения физических задач-оценок,
главный вывод заключается в том, что задачи данного типа достаточно
сложны, а процессы их решения многообразны и многоаспектны.
Решение задач-оценок необходимо строить как развернутый процесс
изучения ситуаций отражаемых в задаче, создания их моделей и как
процесс конкретизации физических теорий, лежащих в основе определенных задачных ситуаций.
Всякая физическая задача-оценка представляет собой проблемное
описание какого-либо конкретного физического явления, процесса.
Проблемность ситуации состоит в том, что требуется провести оценку
какой-либо физической величины, и решение задачи представляет собой процесс построения различных моделей и последовательности действий по применению к ее условию различных физических теорий, законов, формул. Ценность задач-оценок состоит в том, что при их решении, у учащихся формируется подлинно физический научноисследовательский подход к явлениям окружающего мира, способность
видеть в этом мире проявление физических теорий и законов.
Надеемся, что пособие поможет студентам, учителям и школьникам
развить свои умения по решению задач такого типа.
66
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Всероссийские олимпиады по физике / Под ред. С.М. Козела. — М.:
ЦентрКом, 1997. — 240 с.
2.
Горшковский, В. Польские физические олимпиады / В. Горшковский. —
М.: Мир, 1982. — 198 с.
3.
Балаш, В.А. Задачи по физике и методы их решения / В.А. Балаш.—
М.: Просвещение, 1983. — 308 с.
4.
Енохович, А.С. Справочник по физике / А.С. Енохович. — М.: Просвещение, 1978. — 176 с.
5.
Задачи для заочного тура физической олимпиады // Физика в школе. —
1990. №5. — С.78—79.
6.
Задачи московских физических олимпиад / Под ред. С.С.Кротова. —
М.: Наука, 1988. — 216 с.
7.
Задачник «Кванта»: Физика. Часть 1. / Под ред. А.Р. Зильбермана и
А.И. Черноуцана. — М.: Бюро Квантум, 1997. — 128 с.
8.
Задачник «Кванта»: Физика. Часть 2. / Под ред. А.Р. Зильбермана и
А.И. Черноуцана. — М.: Бюро Квантум, 1997. — 128 с.
9.
Коган, Б.Ю. Сто задач по физике: Учеб. руководство / Под ред.
И.Е Иродова. — М.: Наука; Гл. ред физ-мат. лит. 1986 — 64 с.
10. Капица, П.Л. Эксперимент, теория, практика / П.Л. Капица. — М.:
Наука, 1981. — С. 238—244.
11. Коржуев, А.В. Оценочные задачи по волновой и квантовой оптике /
А.В.Коржуев, Л.Н. Седакова // Физика в школе. — 1999. №2. — С. 49—50.
12. Лернер, Г.И. Физика. Решение школьных и конкурсных задач. Уроки
репетира / Г.И. Лернер. — М.: Новая школа, 1995. — 272 с.
13. Малинин, А.Н. Занимательные задачи по теории относительности //
Физика в школе. — 1979. — №2. — С.74—76.
14. Меледин, Г.В. Физика в задачах: Экзаменационные задачи с решениями: Учеб. пособие / Г.В. Меледин. — М.: Наука,1985. — 272 с.
15. Одаренные дети: Пер. с англ. / Общ. ред. В.Г. Бурменской и
В.М. Слуцкого. — М.: Прогресс, 1991. — 376 с.
16. Слободецкий, И.Ш. Всесоюзные олимпиады по физике / И.Ш. Слободецкий, В.А. Орлов. — М.: Просвещение, 1985. — 184 с.
17. Слободецкий И.Ш. Задачи по физике / И.Ш. Слободецкий, Л.Г. Асламазов. — М.: Наука; Главная редакция физико-математической литературы,
1980. — 176 с.
18. Физика: Учеб. пособие для 10 кл. шк. и классов с углубл. изуч. физики
/ Ю.И. Дик, О.Ф. Кабардин, В.А. Орлов и др.; Под ред. А.А. Пинского. — М.:
Просвещение, 1993. — 416 с.
19. Физика: Учеб. для 11 кл. шк. и кл. с углубл. изуч. физики / А.Т. Глазунов, О.Ф. Кабардин, А.Н. Малинин и др.; Под редакцией А.А. Пинского. — М.:
Просвещение, 1998. — 432 с.
20. Шапиро, А.И. Оригинальные методы решения физических задач: Пособ. для учителя / А.И. Шапиро, В.А. Бодик. — Киев: «Магистр-S», 1996. — 158 с.
21. Эсаулов, А.Я. Психология решения задач / А.Я. Эсаулов. — М.: Высшая школа, 1972. — 164 с.
67
Учебно-методическое издание
Валерий Ильич Гриценко
Физические задачи-оценки и методика их решения
Учебно-методическое пособие
для студентов физико-математического факультета,
обучающихся по специальности «Физика»
Редактор
Корректор
М.Б. Иванова
Н.Н. Дробышева
Изд. л. ИД №01591 от 19.04.2000.
Подписано в печать 24.08.04. Формат 60х84 1/16.
Бумага офсетная. Гарнитура "Times".
Уч.-изд.л. 2,25. Усл. печ.л. 4,25.
Тираж 100 экз. Заказ №.
Издательство "Николаев",
г.Балашов, Саратовская обл., а/я 55.
Отпечатано с оригинал-макета,
изготовленного издательской группой
Балашовского филиала
Саратовского государственного университета
им. Н.Г. Чернышевского.
412300, г. Балашов, Саратовская обл., ул. К. Маркса, 29.
Печатное агентство "Арья",
ИП " Николаев", Лиц. ПЛД № 68-52
412340, г. Балашов, Саратовская обл.,
ул. Советская, 164а,
E-mail: [email protected]
68
В .И. Г Р ИЦЕ НК О
ФИЗ ИЧ Е С К ИЕ
З АДАЧ И-ОЦЕ НК И
И МЕ Т ОДИК А ИХ Р Е ШЕ НИЯ
69
Б а л а шо в 2004
70