Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«Южный федеральный университет»
факультет математики, механики и компьютерных наук
кафедра алгебры и дискретной математики
В.Б. Дыбин
11 лекций по линейной алгебре
Методическое пособие первокурснику
Часть 2
Модуль 1
Линейное пространство
Модуль 2
Подпространство
Ростов-на-Дону
2009 г.
1
Глава 1.
Линейное пространство.
Вторая часть нашего курса – «Линейная алгебра», посвящена изучению
алгебраической
структуры,
называемой
линейным
(векторным)
пространством. Эта структура порождается заданием на некотором
множестве L     двух операций: внутреннего закона композиции,
записываемого как сложение элементов из L , и внешнего закона
композиции, записываемого как умножение элементов из L на числа из
некоторого поля F . Заданные операции обладают определенным набором
свойств, неоднократно встречавшихся в первой части нашего курса.
Например, это свойства операций сложения матриц и умножения матриц на
скаляры.
Вначале на двух примерах из уже знакомых слушателям областей:
теории СЛАУ и векторной алгебры, - мы проследим, как структура
линейного пространства проявляется естественным образом при обсуждении
вопросов разрешимости системы линейных алгебраических уравнений и
разложения геометрических векторов в линейные комбинации.
После этого, вводя общее определение линейного пространства, мы
обнаружим, что этому определению подчиняется большое количество
объектов различной природы (чисел, арифметических и геометрических
векторов, матриц, функций и многочленов). Это дает нам основание
осознать, что все эти множества должны обладать одинаковыми свойствами,
если эти свойства сформулированы в терминах двух исходных операций.
Преимущества такого подхода (он называется алгебраическим) очевидны,
так как он позволяет изучать одновременно целый класс множеств, избегая
однообразных и утомительных повторений при переходе от изучения одного
множества данного класса к другим.
После этого мы приступим к изучению строения общего линейного
векторного пространства и в результате обнаружим, что все линейные
векторные пространства (над данным полем) на данном уровне изучения
настолько схожи друг с другом, что каждое из них можно отождествлять с
пространством F n (пространством Rn , если F  R , пространством C n , если
F  C , и т.д.). В качестве первого важного приложения мы построим
завершенную теорию разрешимости систем линейных алгебраических
уравнений, изучение которых было начато в предыдущей части нашего
курса.
2
Лекция 1.
План
1.1 Введение
1.2 Структура линейного пространства
1.3 Примеры
1.1 Введение
Начнем с рассмотрения двух ранее обещанных примеров.
Пример 1. Для системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными
вида
 1   2  1
(1.1)

21   2   2
поставим вопрос - «для каких наборов b   1 ,  2   R 2 правых частей эта

система уравнений совместна?»
Для решения этого вопроса воспользуемся матричной формой системы
(1.1) ( ),
(1.2)
Ax  b ,
где
 1 
1 1 
A
,
x

  .

 2 1
 2
Равенство (1.2) имеет вид
 1 1   1   1 
 2 1         

  2  2
и может быть записано в следующей форме
1
 1   
1     2     1  или 1 A1  2 A2  b.
 2
 1    2 
(1.3)
Из (1.1) и (1.2) следует, что существование решения 1 ,2  равносильно

тому, чтобы правая часть b являлась линейной комбинацией вида (1.3). В
результате мы получаем следующее утверждение: «для того, чтобы
система (1.1) была совместна при данной правой части b, необходимо и
достаточно, чтобы b являлась линейной комбинацией столбцов матрицы А
этой системы». Тем самым мы получили утверждение о совместности
3
СЛАУ в терминах сложения арифметических векторов и умножения их на
число.
Имея достаточно разработанную теорию СЛАУ, мы можем пойти и
дальше. Так как
1 1
A
 3  0,
2 1
то по теореме Крамера () СЛАУ (1.1) является определенной при любой
правой части b. Откуда мы получаем еще одно утверждение, выводящее нас
за рамки теории СЛАУ: «любой арифметический вектор b  R 2 представим
единственным образом в виде линейной комбинации вида (1.3), где 1 ,  2  R ».
Пример 2. Обратимся к множеству V 2 геометрических векторов на
плоскости, выходящих из начала координат О. Пусть a и b любые два
вектора в V 2 , не лежащие на одной прямой. Как известно, сложение таких
векторов осуществляется по правилу параллелограмма (см. Рис.1), а
умножение на число – по правилу сжатия-растяжения и отражения (см.
Рис.2)
b
a b
a
O
b  0    1
b  1    0 
O
b
a
 a    1
Рис.1
Рис. 2
1
Следующие рисунки 1.1 - 1.4 фактически дают геометрическое
доказательство уже знакомого по форме утверждения: « любой вектор c V 2
можно представить в виде линейной комбинации неколлинеарных векторов
a и b , c   a  b ,  ,   R ». Ниже предполагается, что вектора a и b
фиксированы, а скаляры  и  отличны от нуля и имеют четыре
комбинации знаков в зависимости от положения вектора
a с .
c
a
a
c
a
b
О
4
b
О
b
b
Рис. 1.1
Рис. 1.2
a
b
b
b
a
О
c
О
a
b
a
c
Рис. 1.3
Рис. 1.4
В результате мы замечаем, что на множествах объектов различной
природы (арифметических и геометрических векторов) в терминах операций
сложения и умножения на число справедливы одинаковые утверждения. Эти
примеры роднит то, что в каждом из полученных утверждений мы
воспользовались языком теории линейных пространств. Структура
линейного пространства уже проявилась. Естественно возникающий вопрос «каковы все системы векторов из R 2 или (и) из V 2 , для которых
справедливы полученные утверждения?» - это уже вопрос новой теории, к
систематическому изучению которой мы приступаем в следующем пункте.
1.2 Структура линейного пространства
В первой части нашего курса ([], п.1.9) уже было дано определение
линейного пространства над полем F. Пусть L непустое множество, элементы
которого будем обозначать строчными латинскими буквами a, b, c,..., x, y, z и
называть векторами, а F – поле, элементы которого будем обозначать
строчными греческими буквами  ,  ,  ,...,  ,  ,  и называть скалярами.
Говорят,
что на L задана структура линейного (векторного) пространства над полем
F , если на L определены две операции: операция сложения векторов
5
(внутренний закон композиции), сопоставляющая каждой паре векторов a и
b из
L вектор a  b , принадлежащий L и называемый суммой a и b , и операция
умножения вектора на скаляр (внешний закон композиции над полем F ),
сопоставляющая каждому вектору a из L и каждому скаляру  из F вектор
a , принадлежащий L и называемый произведением вектора a на скаляр
 . При этом указанные операции обладают следующими свойствами (эти
свойства называются аксиомами линейного пространства):
1.
2.
a  b  b  a,
a   b  c    a  b   c для любых a, b, c  L;
3.
aL ;
существует вектор   L такой, что a    a для любого вектора
4.
a  b ;
5.
для любого вектора a  L существует вектор b  L такой, что
6.
7.
8.
1 a  a,
   a      a,
     a   a   a,
  a  b    a  b для любых векторов
a, b  L и скаляров
,   F.
Вектор  из аксиомы 3) называется нуль – вектором, а вектор b из
аксиомы 4) называется противоположным вектору a и обозначается a.
Если F  R , то есть на L определено умножение на вещественные числа,
тогда L называется вещественным линейным (векторным) пространством и
обозначается L  R  , если F  C , тогда L называется комплексным линейным
(векторным) пространством и обозначается L  C . Всюду в дальнейшем
будем предполагать, что поле F бесконечно, а линейное пространство L с
умножением на скаляры из F обозначать L  F  . Отметим, однако, что все
основные положения изучаемой ниже теории справедливы и для конечных
полей F .
Прежде, чем рассмотреть примеры линейных пространств, отметим ряд
простейших свойств, вытекающих из определения линейного пространства и
несколько «смягчающих» абстрактные формулировки 1) – 8).
1. Единственность нуль – вектора.
6
◄ Если предположить, что наряду с вектором 
удовлетворяет еще и вектор 1 , тогда
3)
1)
аксиоме 3)
3)
1 1     1   1   . ►
2. Единственность противоположного вектора.
◄ Если предположить, что для некоторого вектора a наряду с вектором
b аксиоме 4) удовлетворяет вектор b1 , тогда
4)
1)
4)
1)
2)
  a  b1  b1  a  b     b   b1  a   b 
4)
3)
 b1   a  b   b1    b1  b  b1. ►
3. Для любого вектора
◄ Действительно,
0a   .
5)
7)
5)
a  0  a 1  a  0  a  1  0  a  1 a  a 
2)
1),4)
1),3)
  a    a  0  a    a   a   0  a    0  a  0  a 
1),4)
  a   a    0  a   . ►
4. Для любого скаляра   F      .
◄ Так как случай   0 только, что рассмотрен, положим   0. Для
любого вектора a  L
a     1  a         1a          1a        1a   a      
5)
5),6)
8)
3),5),6)
по свойству единственности нуль – вектора.►
5. Если a   , тогда либо   0 , либо a   .
◄ Действительно, если   0 тогда справедливо свойство 3. Если же
  0, тогда  a     1   a    1    1  a   (по аксиоме 6) и свойству
4))  a   . ►
6. Для любого вектора a  L a   1  a.
◄ Заметим, что скаляр 1 является противоположным элементом
единицы поля F . Далее,
a   1 a 1  a   1 a  1   1  a  0  a  
1)
7)
7
по свойству 3)   1 a  a по свойству единственности противоположного
вектора.►
7. Для любого вектора a  L и любого скаляра   F
   a    a     a . 
На основании последних двух свойств полезно ввести операцию
вычитания векторов по формуле
def
a  b  a   b .
8.
Для любых векторов a, b  L и любых скаляров  ,   F
  a  b   a  b,      a  a  a.

1.2 Примеры линейных пространств.
Пример 3. Пусть L  F n , n  1  множество матриц – столбцов вида
a  1 , 2 ,..., n  , где  j  F . Операции поэлементного сложения матриц и

умножения матрицы на число задают на L структуру линейного
пространства над полем F . Оно называется координатным пространством.
Векторы из пространства R n обычно называются арифметическими, а само
пространство R n - арифметическим пространством.
При n  1 L  F . Тем не менее, легко заметить, что операции сложения и
умножения чисел задают на поле F структуру линейного пространства над
самим полем F .
Пример 4. Через V 1,V 2 ,V 3 обозначим множество всех геометрических
(физических) векторов, лежащих соответственно на прямой, плоскости или в
пространстве, выходящих из начала координат. Стандартные операции
сложения векторов (в V 2 и V 3 по правилу параллелограмма) и умножения
вектора на действительное число по правилу сжатия – растяжения и
отражения от начала координат задают на этих множествах структуру
линейного вещественного пространства.
Пример 5. Пример 3 допускает обобщение. Если в качестве L
рассмотреть множество матриц M mn  F  , m  1, n  1, а операции сложения
матриц и умножения матрицы на число оставить прежними (см.[],п.п.1.4 и
1.5), то тем самым на M mn  F  мы задаем структуру линейного пространства
над полем F .
8
Пример 6. Через C  a, b ,   a  b  , обозначим множество всех
вещественных функций, определенных и непрерывных на отрезке
 a, b  .
Операции сложения функций и умножения функции на вещественное число
f
def
def
 g  x   f  x   g  x  ,   f  x    f  x  , x a, b, f , g  C a, b ,   R,
задают на C  a, b структуру линейного вещественного пространства. Это
утверждение опирается на следующие свойства непрерывных функций:
1) сумма функций, непрерывных на  a, b , является функцией,
непрерывной на  a, b ;
2) произведение функции, непрерывной на
 a, b  ,
на число является
функцией, непрерывной на  a, b .
Пример 7. Через Fn  x  обозначим множество всех многочленов от одной
переменной x степени не выше n, n  0, с коэффициентами из поля F .
Операции стандартного сложения многочленов (приведением подобных
членов) и умножения многочлена на число из поля F задают на Fn  x 
структуру линейного пространства над полем F .
То же самое верно для множества F  x  всех многочленов произвольных
степеней от одной переменной x с коэффициентами из поля F .
Замечание 1. Обилие примеров линейных пространств (одних только
бесконечных полей, с которыми мы уже сталкивались, не менее трех:
рациональное, вещественное и комплексное) наводит читателя на мысль о
«легкости» задания структуры линейного пространства на том или ином
множестве, что далеко не так.
Например, стоит вместо V 1, V 2 или V 3 в примере 4 взять в качестве L
полупрямую, полуплоскость или соответственно полупространство, как мы
получаем отрицательный результат, так как мы удалили векторы,
являющиеся противоположными оставшимся, и тем самым разрушили
описанную ранее структуру вещественного линейного пространства.
Точно также, ограничившись в примере 7 лишь многочленами точно (!)
степени n , мы не можем на новом множестве ввести прежнюю структуру
линейного пространства, так как сумма двух многочленов степени n , вообще
n
говоря,
не
является
многочленом
степени
(например,
f  x   x 2  x  1, g  x    x 2 , f  z   g  x   x  1 ). Следовательно, обычная
операция сложения многочленов
композиции на этом множестве.
не
9
является
внутреннем
законом
Предлагаем читателю самостоятельно выяснить, почему множество всех
или множество всех
1,  2 ,..., n 
f  x  , удовлетворяющих условию f  a   1, с

арифметических векторов вида
непрерывных на  a, b функций
рассмотренными
выше
операциями,
не
являются
линейными
пространствами.
Другие примеры подобного сорта будут рассмотрены ниже в теме
«Подпространство».
Лекция 2.
План
1.4 Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
1.5 Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем
1.6 Критерии линейной зависимости и независимости
1.7 Алгоритмы определения линейной зависимости и линейной
независимости
1.4 Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов
Основным рабочим понятием рассматриваемой теории является понятие
линейной комбинации векторов.
Определение. Будем говорить, что вектор a  a  L  F   является линейной


комбинацией векторов a1 , a2 ,..., ak ai  L  F  , i 1, k , если найдутся такие


скаляры 1 ,  2 ,...,  k i  F , i 1, k , что
a  1a1   2 a2  ...   k ak .
(1.4)
Если равенство (1.4) выполнено, то будем говорить также, что вектор a
линейно выражается через векторы a1 , a2 ,..., ak .
2
Пример 8. 1) В пространстве R 2 вектор a    линейно выражается
 1
 2
 0
через векторы a1    , a2    , так как a  a1  a2 .
1
 2 
10
2)
В пространстве
выражается
через
R2  x  многочлен
многочлены
f  x   x 2  3x  4 линейно
f1  x   x 2 , f 2  x   x, f 3  x   1,
так
как
f  x   1  f1  x   3  f 2  x   4  f 2  x  .
Определение. Непустое конечное множество векторов из линейного
пространства L  F  , каждый из которых принимает номер от 1 до n, в
дальнейшем будем называть системой из n векторов и обозначать
a1, a2 ,..., an .
Системы векторов a1 , a2 ,..., an  и b1, b2 ,..., bm  из пространства L  F  будем
называть равными или одинаковыми, если n  m и ai  bi , i 1, n.
Замечание 2. Из определения системы векторов следует, что векторы в
данной системе могут повторяться. Кроме того, конечное множество
попарно различных векторов из данного пространства при разной
перенумерации порождает, вообще говоря, различные системы векторов.
Определение. Система векторов линейного пространства, состоящая из
одного вектора, называется линейно зависимой системой (сокращенно ЛЗС),
если этот вектор равен нуль – вектору. Система векторов a1, a2 ,..., ak  , k  1,
называется линейно зависимой системой, если хотя бы один из векторов этой
системы является линейной комбинацией остальных векторов этой системы.
Определение. Система векторов линейного пространства, состоящая из
одного вектора, называется линейно независимой системой (сокращенно
ЛНЗС), если этот вектор не равен нуль – вектору. Система векторов
a1, a2 ,..., ak  , k  1, называется линейно независимой системой, если ни один
из векторов этой системы не является линейной комбинацией остальных
векторов этой системы.
Пример 9. Как следует из примера 8, система векторов
2
 2
 0
a    , a1    , a2   
 1
1
 2 
является ЛЗС в пространстве R 2 . Заметим, что в этой системе каждый из ее
векторов является линейной комбинацией остальных,
a  a1  a2 , a1  a   1 a2 , a2  a   1 a1.
Из этого же примера следует, что система многочленов
f  x   x 2  3x  4, f1  x   x 2 , f 2  x   x, f 3  x   1
является ЛЗС в пространстве R2  x .
11
В то же время система векторов из примера 8 является ЛНЗС в
пространстве R 2 (сокращенно a1 , a2  = ЛНЗС).
Действительно, если положить, что a1   a2 , то
 2  0 
a1     
   a2  2  0,1  2
 1     1 
Если же положить, что a2   a1 , то
.
 0   2 
a2         a1  2  0,   2
.
 2    
То есть ни один из векторов этой системы не является линейной
комбинацией остальных.
1.5 Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем.
Отметим простейшие свойства рассматриваемых ниже систем векторов.
1) Любая перестановка векторов данной системы не меняет ее
линейной зависимости или независимости.
2) Система векторов, содержащая нуль – вектор, является линейно
зависимой системой.
◄ Действительно, вектор  является линейной комбинацией любой
системы векторов a1 , a2 ,..., ak  с коэффициентами 1   2  ...   k  0 .►
Под конечным расширением системы векторов будем понимать
добавление к этой системе конечного числа векторов.
3) Конечное расширение линейно зависимой системы векторов
является линейно зависимой системой.
◄ Доказательство достаточно провести лишь для случая расширения
системы одним вектором. Пусть a1 , a2 ,..., ak  =ЛЗС в L  F  . Тогда один из
векторов этой системы линейно выражается через остальные векторы этой
системы. Не нарушая общности рассуждений, можем считать, что
a1   2 a2  ...   k ak .
(1.5)
В противном случае можно поменять местами векторы данной системы, что
в силу свойства 1) не меняет ее линейной зависимости. Равенство (1.5) можно переписать в виде
a1   2 a2  ...   k ak  0  b,
(1.6)
где b произвольный вектор рассматриваемого пространства. Но тогда для
любого b, b  L  F  , a1, a2 ,..., ak , b  ЛЗС. ►
12
Прием, использованный при переходе от равенства (1.5) к равенству (1.6),
позволяет доказать еще одно свойство линейно зависимых систем векторов.
4) Если какой-нибудь вектор из данной системы векторов является
линейной комбинацией некоторой подсистемы этой системы векторов,
тогда этот вектор является линейной комбинацией всей оставшейся
системы векторов. 
Под сужением данной системы векторов будем понимать произвольное
непустое подмножество этой системы, не совпадающее со всей системой.
5). Сужение линейно независимой системы векторов является линейно
независимой системой.
◄ Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что


система a1, a2 ,..., ak   ЛНЗС, но ai1 , ai2 ,..., aim  a1, a2 ,..., ak , 1  m  k , и
a , a ,..., a   ЛЗС. Так как исходная система векторов является конечным
расширением системы векторов a , a ,..., a  , в силу свойства 3) она
 a , a ,..., a   ЛНЗС.►
должна быть линейно зависимой.
i1
i2
im
i1
i2
im
i1
i2
im
6). Система векторов, содержащая вместе с каким – нибудь вектором
ему противоположный вектор, является линейно зависимой.
◄ Пусть вначале система векторов состоит из двух векторов a и a . Так
как по свойству 6) из п.1.2 предыдущей лекции a   1 a , то эта система
векторов является линейно зависимой. В общем случае при k  2 достаточно
воспользоваться свойством 3).►
1.6 Критерии линейной зависимости и независимости
Вначале рассмотрим первый критерий линейной зависимости и
независимости системы векторов, который одновременно дает алгоритм для
решения соответствующих практических задач.
Теорема 1. 1) Для того, чтобы система векторов a1 , a2 ,..., ak  в проcтранстве L  F  была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы
нашлись такие скаляры 1 ,  2 ,...,  k  F , среди которых есть хотя бы один
ненулевой, что выполняется равенство
1a1   2 a2  ...   k ak   .
(1.7)
2) Для того, чтобы система векторов
a1, a2 ,..., ak 
в пространстве
L  F  была линейно независимой, необходимо и достаточно, чтобы
равенство (1.7) выполнялось только в одном случае, когда
1   2  ...   k  0.
13
◄ Необходимость. Пусть
a1, a2 ,..., ak  =ЛЗС.
Не нарушая общности
рассуждений, можем считать, что вектор a1 линейно выражается через
остальные векторы системы,
a1   2 a2  ...   k ak .
В противном случае поменяем векторы местами и учтем свойство 1) линейно
зависимых систем. Из последнего равенства следует, что
 1 a1  2a2  ...  k ak   .
То есть равенство (1.7) выполняется и 1  1  0.
Достаточность. Пусть равенство (1.7) выполнено и, например, 1  0.
Тогда существует число 11 и
a1    211  a2  311  a3  ...   k11  ak ,
то есть a1 , a2 ,..., ak  =ЛЗС.
Утверждение 2) рассматриваемой теоремы может быть доказано методом
от противного.  ►
Теорема 2. Если в системе векторов a1 , a2 ,..., ak  a1   , то для того,
чтобы эта система векторов была линейно зависимой, необходимо и
достаточно, чтобы один из векторов этой системы был линейной
комбинацией предыдущих векторов этой системы.
◄ Необходимость. Пусть a1 , a2 ,..., ak  =ЛЗС. Выпишем следующие ее
подсистемы:
a1 ,
a1, a2 ,
… …
a1, a2 ,..., ai1,
a1, a2 ,..., ai1, ai ,
… … … …
a1, a2 , ............ , ak  .
Первая подсистема a1 =ЛНЗС, так как a1   . Последняя подсистема
a1, a2 ,..., ak  =ЛЗС по условию. Поэтому найдется
что a1 , a2 ,..., ai 1 =ЛНЗС, а a1 , a2 ,..., ai 1 , ai  =ЛЗС.
такой номер i, 2  i  k ,
По теореме 1 существуют такие числа 1 ,  2 ,..., i  F , среди которых есть
хотя бы одно ненулевое, что выполняется равенство
14
1a1  ...  i 1ai 1  i ai   .
(1.8)
Но  i  0, так как в противном случае (то есть при i  0 )
1a1  ...  i 1ai 1   ,
и по теореме 1 a1 , a2 ,..., ai 1 =ЛЗС.
что
Поэтому из равенства (1.8) следует,
ai   1i1  a1  ...  i 1i1  ai 1.
Достаточность. Является следствием свойства 4 из п.1.5 и определения
ЛЗС. ►
1.7 Алгоритмы определения линейной зависимости и независимости
Основной алгоритм определения линейной зависимости или линейной
независимости системы векторов основан на теореме 1 и опирается на тот
факт, что равенство ( а на самом деле уравнение относительно 1 ,  2 ,...,  k )
(1.7), как правило, равносильно некоторой системе линейных однородных
уравнений относительно 1 ,  2 ,...,  k . Поэтому вопрос о линейной зависимости
(независимости) исходной системы векторов сводится к вопросу
существования ненулевого
(только нулевого) решения получаемой
однородной СЛАУ. (см.[], п.2.4).
Пример 10. Выяснить, является ли следующая система векторов
пространства R 3 линейно зависимой
1
 2
8




a1   1 , a2   1  , a3   1  .
1
1
 5
 
 
 
◄ Составим уравнение (1.7),
1
 2
8  0




1a1   2 a2  3a3  1  1   2  1   3  1    0 
1
1
 5  0
 
 
   
или
 1  2 2  83 
0
         0  .
3 
 1 2
 
0
     5 
3 
 
 1 2
По принципу равенства матриц
15
1  2 2  83 = 0,
1   2  3 = 0,
1   2  53 = 0.
Полученную систему уравнений решаем методом Гаусса ([], п.2.2)
1 2 8

 1 1 1
1 1 5

c2  c1  1

0
c3  c1  0
2
3
8
9
1
3
c1  2c3
c2  3c3
 1 c3
1

0
0

0
0
2
0 .
1
3
Наличие свободной переменной  3 говорит о том, что полученная
однородная СЛАУ имеет ненулевое решение. Следовательно,
a1, a2 , a3  ЛЗС.
Более того, мы имеем возможность показать, как некоторой вектор
данной системы выражается в виде линейной комбинации остальных ее
векторов. Для этого достаточно найти какое – нибудь частное решение
изучаемой однородной СЛАУ.
Например, пусть 3  1 . Тогда из последней матрицы следует, что
1  2 2  0 , то есть 1  2, и  2  33  0, то есть  2  3. Следовательно,
2a1  3a2  a3   ,
то есть
a3  2a1  3a2 ,
в чем читатель может убедиться самостоятельно, сделав контрольную
проверку.►
Пример 11. Выяснить, является ли следующая система векторов
пространства V 2 линейно зависимой,
a  3i  5 j , b  7i  6 j .
◄ Составим уравнение вида (1.7),
1a   2b  1  3i  5 j    2  7i  6 j   
или
 31  72  i   51  7 2  j  0  i  0  j .
Равносильная однородная СЛАУ имеет вид
16
31  72
51  72
 0,
 0.
Решая ее методом Гаусса, получаем, что
 3 7 c2  c1  3 7 c2 /8  3
7 c1  3c2  0
7




1
1
0
0
 5 7
8 0


То есть рассматриваемая СЛАУ имеет лишь нулевое решение.
Следовательно,
.
a, b  ЛНЗС.►
Отметим, что в примерах 10 и 11 использован универсальный алгоритм
определения линейной зависимости или независимости системы векторов.
При этом во время решения конкретных задач не следует пренебрегать и
частными методами, например, «теоретическими» признаками линейной
зависимости и независимости. Часто внимательный взгляд на изучаемую
систему векторов позволяет определить ее линейную зависимость (или
независимость) без выписывания и решения соответствующей однородной
СЛАУ.
Пример 12. Являются ли следующие системы векторов, матриц,
многочленов линейно зависимыми или линейно независимыми системами:
1)
 5
 1
 2
a1   4  , a2  1 , a3   2  в R 3 ;
 2
 1
 2
 
 
 
2)
 1 1
 2 1 
 0 0
A1  
, A1  
, A1  


 в M2  R ;
2
1
1
5
0
0






3)
f1  x   x  x  1 , f 2  x   x 2 , f1  x   x  x 2 в Q2  x  ;
4)
 1
1
 0
b1  1 , b2   1 , b3   2  в R 3 ;
 1
3
 2 
 
 
 
5)
 1 0 
0 7
 0 0
B1  
,
B

,
B

 2  0 0  3 11 0  в M 2  R  ;
 0 0




17
6)
◄ 1)
1
 3
 1
c1    , c1    , c1    в R 2 .
1
8
5
a1, a2 , a3  ЛЗС, так как a3  2a2
(свойство 4, п.1.5).
2)
 A1, A2 , A3  ЛЗС, как содержащая нуль –матрицу
3)
 f1, f 2 , f3 
A3 (свойство 2, п.1.5).
ЛЗС, так как f 3   f1 (свойство 6, п.1.5).
4) b1 , b2 , b3 = ЛЗС, так как легко усмотреть, что b1  b2  b3 (определение
ЛЗС).
5) B1, B2 , B3 =ЛНЗС, так как никакими линейными комбинациями матриц
B1 , B2 , B3 нельзя получить нуль-матрицу. У матриц B1 , B2 , B3 ненулевые
элементы стоят на разных местах ! (1-й критерий ЛЗС и ЛЗНС).
6) c1 , c2 , c3 =ЛЗС, так как получаемая однородная СЛАУ будет иметь два
уравнения и три неизвестных, то есть является неопределенной (см. []).►
Лекции 3 и 4
План
1.8 Полные системы векторов
1.9 Базисы
1.10 Размерность и базис
1.11 Описание полных систем и дополнение
линейно независимых систем до базисов
1.8 Полные системы векторов
В первой лекции, в ее вводной части мы столкнулись с системами
векторов, обладающих тем свойством, что любой вектор линейного
пространства линейно выражается через векторы рассматриваемой системы
(любые 2 неколлинеарных вектора в пространстве V 2 , система столбцов
невырожденной матрицы в пространстве R 3 ). Такое свойства системы
векторов называется ее полнотой.
Определение.
Система
векторов
линейного
a1, a2 ,..., ak 
пространства L  F  называется полной (в пространстве L  F  ), если любой
вектор пространства L  F  может быть представлен в виде линейной
комбинации векторов этой системы.
18
Полноту системы векторов часто будем обозначать так:
a1, a2 ,..., ak  =ПС.
Пример 13. Система векторов
1
0
0
0
0
1
0
0
 
 
 
 
e1   0  , e2   0  , e3   1  , ... , en   0 
 
 
 
 
 ... 
 ... 
 ... 
 ... 
0
0
0
1
 
 
 
 
является полной в пространстве F n .
T
◄ Действительно, любой вектор a  1 , 2 ,..., n  , i  F , можно
(1.9)
представить в виде
a  1e1   2e2  ...   nen . ►
Пример 14. Система векторов
i , j , k  является полной в пространстве
V 3 , так как любой вектор этого пространства с использованием правил
параллелепипеда, параллелограмма, растяжения-сжатия и поворота вектора
можно представить в виде линейной комбинации указанной тройки векторов.

Пример 15. Система матриц
E1, E2 , E3 , E4 , где
1 0
0 1
0 0
 0 0
E1  
, E2  
, E3  
, E4  



,
0 0
0 0
1 0
0 1
является полной в пространстве M 2  F  .

Указание. Воспользоваться идеей примера 12.
Пример 16.
пространстве
Система многочленов
1, x, x ,..., x 
2
n
является полной в
Fn  x  ввиду определения произвольного многочлена p  x 
степени  n как линейной комбинации многочленов этой системы,
p  x   p0  p1 x  ...  pn x n , pi  F .
Отметим следующие свойства полных систем.
1) Конечное расширение полной системы есть полная система.
◄ Указание. Воспользоваться свойством 4 из п.1.5.►
19

2) Для того, чтобы сужение полной системы было полной системой,
необходимо и достаточно, чтобы выбрасываемые векторы являлись
линейными комбинациями оставшихся векторов.
◄ Необходимость. Пусть полная система после выбрасывания
нескольких ее векторов остается полной. Тогда любой вектор линейного
пространства (в том числе и выброшенные векторы !) является линейной
комбинацией оставшихся векторов данной системы.
Достаточность. Пусть выброшенные векторы являются линейными
комбинациями оставшихся векторов полной системы. Так как любой вектор
пространства линейно выражается через векторы исходной системы, а
выброшенные векторы линейно выражаются через оставшиеся векторы этой
системы, то любой вектор пространства линейно выражается через
оставшиеся векторы системы. Это и есть полнота системы оставшихся
векторов.►
1.9 Базисы
Представление произвольного вектора линейного пространства в виде
линейной комбинации полной системы векторов этого пространства, как
правило, не является единственным.
Пример 17. Система векторов
1
0
 2
a1    , a2    , a3   
0
1
 3
является полной системой векторов в пространстве R2 как расширение полной системы a1 , a2  (см. пример 13). Очевидно, что вектор
1
a     a1  a2 . В то же время легко проверить, что a  a3  a1  2a2 . ►
1
Причиной
этого
явления
является
линейная
зависимость
рассматриваемой полной системы. Если же полная система линейно
независима, тогда любой вектор пространства единственным образом
представим в виде линейной комбинации векторов этой системы. Условие
линейной независимости выделяет среди всех полных систем класс систем,
носящих название базисов.
Определение. Полная, линейно независимая система векторов в линейном
пространстве называется базисом этого пространства.
Теорема 3. (Основное свойство базиса) Любой вектор линейного
пространства единственным образом представим в виде линейной
комбинации базисных векторов.
◄ Пусть e1, e2 ,..., en  - базис в пространстве L  F  ( кратко e1, e2 ,..., en  =Б)
и пусть a  L  F  . Тогда существуют такие числа 1 ,  2 ,...,  n  F , что
20
a  1e1   2e2  ...   nen .
(1.10)
Если предположить, что существует еще одно аналогичное разложение
вектора a по данному базису,
(1.11)
a  1e1  2e2  ...   nen ,
где i  F , i 1, n, тогда вычитая из равенства (1.10) равенство (1.11),
получаем, что
  1  1 e1   2   2 e2  ...   n   n en .

 



(1.12)
Так как e1, e2 ,..., en  =ЛНЗС, то в силу первого критерия линейной
независимости системы векторов (теорема 1) из равенства (1.12) следует, что
1  1  2  2  ...  n  n  0.
Откуда 1  1 , 2  2 ,..., n  n. ►
Пример 18. Система векторов вида (1.9) является базисом в пространстве
n
F . Полнота этой системы доказана в примере 13. Ее линейная
независимость является вытекает из теоремы 1. В самом деле, равенство
1e1   2e2  ...   nen  
при подстановке в него векторов e1 , e2 ,..., en , принимает вид
1,2 ,...,n 
  0,0,...,0 
и равносильно системе числовых равенств
T
T
1   2  ...   n  0.
Следовательно, e1 , e2 ,..., en   ЛНЗС+ПС=Б.►

Пример 19. Система векторов i , j , k
 является базисом в пространстве
V 3 . Полнота этой системы обсуждена в примере 14, а линейная
независимость векторов вытекает из их взаимной перпендикулярности. Из
теории векторной алгебры известно, что линейная комбинация взаимно перпендикулярных векторов равна нуль – вектору только в том случае, когда
все коэффициенты этой линейной комбинации равны нулю.
Пример 20. Система многочленов 1, x, x 2 ,..., x n  является базисом в
пространстве Fn  x . Полнота этой системы обсуждена в примере 16, а
линейная независимость векторов является следствием определения нуль –
многочлена как многочлена, у которого все коэффициенты равны нулю,
0  x   0  1  0  x  ...  0  x n .
Пример 21. Система матриц
21
0




...



Eij  0 0 ... 0 1 0 ... 0  , i 1, m, j 1, n


...




0


(1.13)
порядка m  n , у которых все элементы кроме одного, равного 1, равны нулю,
является базисом в пространстве M mn  F  . Полнота этой системы матриц
доказывается так же как в примерах 13 и 15. А линейная независимость – так
же как в примере 18.
Базисы, описанные в примерах 18-21, мы будем называть
стандартными базисами пространств F , V 3 , Fn  x  и M mn  F  . Ближайшей
же нашей задачей является описание всех базисов в линейных пространствах.
1.10 Размерность и базис
Поскольку только что поставленная задача в общем случае является
сложной, мы вынуждены ограничиться сравнительно узким классом
линейных пространств, так называемых конечномерных пространств, для
которых задача описания всех базисов имеет полное решение. Для этого
необходимо ввести понятие размерности линейного пространства.
Определение. Линейное пространство называется бесконечномерным,
если в нем существует любое число векторов, образующих линейно
независимую систему.
Если же существует такое натуральное число n, что в линейном
пространстве не может быть линейно независимых векторов больше чем n,
такое линейное пространство называется конечномерным.
Определение. Максимальное число линейно независимых векторов
конечномерного пространства L  F  называется его размерностью и
обозначается dim L  F  .
Замечание 3. Отметим, что равенство dim L  F   n равносильно
справедливости двух следующих утверждений:
1) в пространстве L  F  существует ЛНЗС, состоящая из n векторов;
2)
любая система, состоящая из n+1 вектора пространства L  F  ,
является ЛЗС.
Для бесконечномерного пространства L  F  размерность считается
равной бесконечности и записывается dim L  F   .
22
Пример 22. Пространство F  x  всех многочленов с коэффициентами из
поля F является бесконечномерным (напомним, что в данном курсе мы
рассматриваем только бесконечные поля).
◄Действительно, из примера 20 следует, что система многочленов
1, x,..., x n   ЛНЗС при любых n  0. Поэтому dim F  x  . ►
Пример 23. Пространство C  a, b , a  b, всех функций одной переменной,
непрерывных на отрезке  a, b , является бесконечномерным, так как та же
самая система 1, x,..., x n  состоит из непрерывных на R , а значит и на  a, b
функций, и является линейно независимой
dim C  a, b  .
([],). Таким образом,
Пример 24. Пространство R n является конечномерным и dim R n  n.
◄Действительно, на основании п.1.7 (см. пример 10) любая система
векторов a1, a2 ,..., an1 из пространства R n является линейно зависимой,
поскольку порождаемая уравнением (1.7) однородная СЛАУ всегда имеет n
уравнений с n +1 неизвестными и поэтому обладает ненулевым решением
([],п.2.4). С другой стороны, система векторов вида (1.9) состоит из n
векторов и линейно независима (см. пример 18). ►
Замечание 4. Понятие размерности линейного пространства позволяет
очертить границы той области математики, которая называется «линейной
алгеброй». Линейная алгебра это теория конечномерных линейных
пространств. За ее границами находится уже другая ( родственная!)
дисциплина - функциональный анализ, изучающая бесконечномерные
пространства.
Теорема 4. Пусть dim L  F   n  . Тогда в пространстве L  F 
существует базис, состоящий из n векторов.
◄ Из определения размерности конечномерного пространства следует,
что в пространстве L  F  существует ЛНЗС= a1 , a2 ,..., an  и любая система
из n +1 вектора является ЛЗС. Пусть a  L  F   произвольный вектор.
Тогда a1 , a2 ,..., an , a =ЛЗС. По теореме 2 один из векторов этой системы
является линейной комбинацией предыдущих векторов этой системы. Ни
один из векторов ai , i  2, n, не может быть таковым, поскольку
a1, a2 ,..., an  =ЛНЗС. Поэтому линейной комбинацией предыдущих может
быть только вектор
a  1a1  ...   n an . Откуда следует полнота, а поэтому и базисность системы
векторов a1 , a2 ,..., an  . ►
Теорема 5. Пусть в пространстве L  F  существует базис, состоящий
из n векторов. Тогда пространство L  F  конечномерно и dim L  F   n.
23
◄ Для доказательства этой теоремы применим метод вытеснения
(см.[],§8), который будет полезен нам и в дальнейшем.
Пусть e1 , e2 ,..., en   базис в L  F  . Покажем, что любая система из n  1
вектора в пространстве L  F  является ЛЗС,
a1, a2 ,..., an , an1 =ЛЗС.
(1.14)
Не нарушая общности рассуждений, можем считать, что все подсистемы
a1,a2 , a1, …, an , an1,..., a2 , a1
являются линейно независимыми. В противном случае утверждение (1.14) в
доказательстве не нуждается ввиду свойств 1 и 3 из п.1.5.
На первом шаге рассмотрим систему векторов
e1 , e2 ,..., en ,
(1.15)
которая, будучи базисом, является полной системой. Добавим к этой системе
слева вектор a1 . Новая система векторов
a1 , e1 ,..., en ,
(1.16)
оставаясь полной (как расширение ПС), будет линейно зависимой (вектор a1
является линейной комбинацией векторов e1 , e2 ,..., en ). По теореме 2 один из
векторов ei будет линейной комбинацией предыдущих векторов системы
(1.16) а, следовательно, и линейной комбинацией остальных векторов
системы (1.16) (свойство 4 п.1.5). Выбросив его из системы (1.16), мы
получим полную систему (второе свойство ПС), состоящую из n векторов,
(1.17)
a1 , e j1 ,..., e jn 1 ,
в которой вектор ei заменен (вытеснен) вектором a1 .
На втором шаге мы добавляем слева к системе (1.17) вектор a2 и
применяем к полученной системе векторов
a2 , a1, e j1 ,..., e jn1
(1.18)
последовательность рассуждений, использованную на первом шаге. Система
(1.18) вновь полна и линейно зависима, а один из ее векторов является
линейной комбинацией предыдущих. Ввиду сделанных предположений им
не может быть вектор a1 ( a2 , a1  ЛНЗС). Значит, таковым является
некоторый вектор
e jk , k 1, n  1. Отбрасывая его, мы получаем полную
систему из n векторов, в которой уже два базисных вектора ei и e jk
заменены векторами a1 и a2 .
24
Продолжая процесс вытеснения базисных векторов, мы на каждом шаге
будем заменять один из векторов базиса e1, e2 ,..., en  на очередной вектор
системы (1.14). Но тогда на n -ом шаге мы получим полную
систему an ,..., a2 , a1 , и, следовательно, вектор an 1 является линейной
комбинацией векторов последней системы. Тем самым утверждение (1.14)
доказано. Теперь, учитывая замечание 3, получаем, что dim L  F   n. ►
В качестве следствия теорем 4 и 5 мы получаем описание всех базисов
конечномерного пространства.
Следствие 1. Если dim L  F   n , то любые n (и только n ) линейно
независимых векторов пространства L  F  образуют в нем базис.
В качестве второго следствия теорем 4 и 5 мы получаем наиболее простой
способ вычисления размерности данного конечномерного пространства.
Следствие 2. Для вычисления dim L  F  достаточно найти
произвольный базис
e1, e2 ,..., en 
пространства L  F  . Тогда dim L  F  с
числом базисных векторов, dim L  F   n .
Теорема Крамера позволяет дать еще одно описание всех базисов
пространства R n .
Следствие 3. Система векторов a1 , a2 ,..., an  пространства R n
является базисом в R n тогда и только тогда, когда матрица A  M n  R  ,
столбцами которой являются векторы данной системы, Ak  ak , k 1, n,
невырожденная ( A  0 ).
◄ Необходимость. Пусть a1, a2 ,..., an   Б. Тогда любой вектор b  R n
единственным образом представим в виде линейной комбинации
b  1a1   2 a2  ...   n an ,
где i  R, i 1, n. Это означает, что для данных векторов
 11 
 12 
 1n 
 
 
 
21 
22 


a1 
, a2 
, ... a1   2 n 
 ... 
 ... 
 ... 
 




  n1 
n2 
  nn 
уравнение (1.19) разрешимо при любой правой части
25
(1.19)
b   1 ,  2 , ,  n   R n
T
и имеет единственное решение
T
1,2 , ,n   R n .
Последнее означает, что система уравнений
111  12 2  ...  1n n  1 ,
 211   22 2  ...   2 n n   2 ,
...
(1.20)
...
 n11   n 2 2  ...   nn n   n
при любых правых частях  k  R, k 1, n является определенной. Но тогда по
теореме Крамера (см. [], ) матрица
 11 11

 22
A   21


  n1  n1
11 
 2 n 


 nn 
является невырожденной.
Достаточность. Пусть матрица A невырожденная. Тогда по теореме
Крамера СЛАУ (1.20) является определенной, то есть уравнение (1.19)
разрешимо при любом b  R n . Откуда следует полнота системы a1 , a2 ,..., an  .
Полагая в (1.20)
1   2    n  0,
по теореме Крамера получаем, что единственное решение СЛАУ (1.20) в
этом случае имеет вид
1   2    n  0.
(1.21)
Следовательно, уравнение (1.19) при b   имеет только нулевое
решение (1.21). В силу первого критерия линейной независимости системы
векторов a1 , a2 ,..., an  =ЛНЗС  a1 , a2 ,..., an  =Б.►
Пример 25. Чему равна
3
V , Qn  x , M mn  F  ?
◄ Применим следствие 2.
размерность
26
пространств R n ,
Cn ,
1) dim R n  n, так как система векторов вида (1.9) является базисом в R n
(см. пример 18 и сравни с примером 24).
2) dim C n  n, векторов вида (1.9) является базисом в
C n (см. пример 18).
3) dim V 3  3, так как система векторов i , j , k является базисом в


пространстве V 3 (см. пример 19).
4) dim Qn  x   n  1, так как система многочленов 1, x,..., x n  является
базисом в пространстве Qn  x  (см. пример 20).
5) dim M mn  F   mn, так как система матриц
E , i 1, m, j 1, n вида
ij
(1.13) является базисом в пространстве M mn  F  (см. пример 21).►
Пример 26. При каких значениях параметра  система векторов
 
1
a1   1  , a2   1 ,
1
0
 
 
2
a3   1 
 1
 
образует базис в пространстве R3 ?
◄ Так как dim R3  3 (см. пример 25,1), то по следствию 3 a1, a2 , a3  Б
тогда и только тогда, когда выполняется условие

1
2
1
1
1  0.
1
0
1
(1.22)
Но

1
1
1
1
0
2 c1  2c3   2
1

2
1 c2  c3 1
1
1
0
0 c1  c2   4
0

2
1
1
0
1
0
0
0 ,
1
откуда следует, что условие (1.22) выполняется только при   4  0. В итоге
получаем, что a1, a2 , a3  Б    4. ►
1.11 Описание полных систем и дополнение линейно независимых
систем до базисов
27
Метод вытеснения, использованный при доказательстве теоремы 5,
основан на втором критерии линейной зависимости системы векторов
(теорема 2). Сейчас мы рассмотрим еще два применения этого критерия:
описание всех полных систем векторов в конечномерном пространстве и
дополнение линейно независимых систем векторов до базисов.
Теорема 6. Для того чтобы система векторов a1 , a2 ,..., ak  была полной
в
n  мерном
пространстве
L F 
( dim L  F   n ),
необходимо
и
достаточно, чтобы число векторов k в данной системе удовлетворяло
условию k  n и чтобы среди векторов этой системы нашлось n линейно
независимых векторов.
Иными словами, все полные системы в конечномерном пространстве это
либо базисы, либо конечные расширения базисов.
◄ Достаточность. Пусть k  n и система a1 , a2 ,..., ak  в качестве своей
подсистемы содержит базис. Так как базис является полной системой, а
конечное расширение полной системы является полной системой, то при
k  n a1 , a2 ,..., an  =Б, а при k  n a1 , a2 ,..., ak  =ПС.
Необходимость. Пусть a1 , a2 ,..., ak  =ПС. Можем считать, что a1   .
Если a1  a2  ...  am   , m  k , am1   , то отбросив a1 , a2 ,..., am , вновь
получим полную систему
am1,..., ak  ,
у которой am1   . Применим 2-й
критерий линейной зависимости системы векторов (Теорема 2), по которому
один из векторов системы a j есть линейная комбинация предыдущих
векторов. Выбросим вектор a j , 2  j  k , из исходной системы. По второму
свойству полных систем (см.п.1.8) полученная система остается полной. Если
полученная система векторов линейно независима, то она является базисом,
и теорема доказана ( k  n  1 и a1 ,..., a j 1 , a j 1 ,..., ak  =Б). Если же полученная
система векторов линейно зависима, то продолжим процесс применения
теоремы 2 и выбрасывания векторов, являющихся линейными комбинациями
оставшихся. Сохраняя на каждом таком шаге полноту системы, рано или
поздно придем к линейно независимой системе, то есть к базису. При этом
ясно, что k  n , так как по следствию 1 в n  мерном пространстве все базисы
состоят из n векторов.►
Теорема 7. Любую линейно независимую систему векторов произвольного
конечномерного линейного пространства можно дополнить до базиса в
этом пространстве.
28
◄ Пусть
a1, a2 ,..., ak  =ЛНЗС
в пространстве
L  F  и dim L  F   n.
Очевидно, что k  n. Если k  n, тогда по следствию 1
a1, a2 ,..., ak  =Б.
Поэтому достаточно рассмотреть лишь случай k  n.
Так как dim L  F   n, то в L  F  найдется базис, например, e1,..., en  ,
содержащий n векторов. Составим систему векторов
a1 ,..., ak , e1 ,..., en .
(1.22)
По теореме 6 эта система является полной. В то же время она является
линей- но зависимой системой, так как число ее векторов k  n  dim L  F  .
К системе векторов вида (1.22) применим процедуру, использованную
при доказательстве теоремы 6 (т.е. второй критерий линейной зависимости и
отбрасывание
векторов,
являющихся
линейными
комбинациями
предыдущих). При этом ни один из векторов системы a1 , a2 ,..., ak  не будет
выброшен, так как по условию ни один из векторов этой системы не является
линейной комбинацией предыдущих. Значит, отбрасываться будут только
векторы базиса e1,..., en  . После конечного числа шагов (таких шагов будет
n  k  ) мы получим полную линейно независимую систему
a1 ,..., ak , e j1 ,..., e jn k ,
которая является базисом и одновременно содержит все векторы исходной
системы.►
Лекция 5
План
1.12
1.13
1.14
1.15
Координаты вектора в базисе
Матрица перехода
Связь между координатами вектора в разных базисах
Алгоритмы определения координат вектора в базисе
1.12 Координаты вектора в базисе
Пусть e  e1 , e2 ,..., en  - базис в пространстве L  F  . Так как
произвольный вектор a пространства L  F  единственным образом
представим в виде линейной комбинации базисных векторов, числа
1 ,  2 ,...,  n в равенстве (1.10) однозначно определяются вектором a и
базисом e . Эти числа называются координатами вектора a в базисе e , а
вектор
29
 1 
 
ae   2   F n
 ... 
 
 n 
и называется вектором координат вектором a и базисом e или просто
координатным вектором
(вектора
a в базисе
e ).
Этим, кстати,
объясняется название пространства F n как координатного пространства.
Роль координатных векторов и координатного пространства в линейной
алгебре настолько велика, что к этому вопросу мы вернемся ниже в лекции
специально. Сейчас же мы рассмотрим простейшие свойства координат и
поострим алгоритмы их вычисления.
1.Координаты вектора в базисе определяются единственным образом.
◄ Это свойство является следствием основного свойства базиса, из
которого следует, что любой вектор пространства разлагается по базису
единственным образом.►
2. Для любого базиса e , любых векторов а и b и любых чисел  ,   F
  a  b e    ae    be .
◄ Пусть ae  1 ,...,n  , be  1,...,n  . Тогда
T
T
n
n
k 1
k 1
a    k ek , b  k ek 
n
n
n
k 1
k 1
k 1
 a  b    k ek   k ek     k  k  ek ,
то есть
  a  b e   1  1,..., n  n 
T
   ae    be . ►
1.13 Матрица перехода
Бесконечность числа базисов в конечномерном пространстве ставит
проблему установления связей между координатами одного и того же
вектора в разных базисах. Эта проблема решается в терминах матрицы
перехода от одного базиса к другому.
Рассмотрим два базиса e  e1 , e2 ,..., en  и u  u1, u2 ,..., un  в n-мер -ном
пространстве L  F  . Каждый из векторов второго базиса разложим по
первому базису,
30
u1  11e1   21e2  ...   n1en ,
u2  12e1   22e2  ...   n 2en ,
(1.23)
un  1ne1   2 ne2  ...   nnen .
В результате появляется матрица
Peu
 11 12

 22
  21


  n1  n 2
 1n 
 2 n 
(1.24)


 nn 
порядка n, которая называется матрицей перехода от базиса e к базису u .
Заметим, что эта матрица имеет вид
Peu
 |
   u1 e
 |

|

 un e  ,
| 
|
 u2 e
|
то есть ее столбцами являются координатные столбцы векторов базиса u в
базисе e .
Изучим свойства матрицы перехода от одного базиса к другому.
1). Рассмотрим три базиса e ,u и v . Тогда
Peu  Pu v  Pev .
◄ Пусть
Peu   ij  , Pu v   ij  , Pev    ij  .
Тогда из формул (1.23) следует, что
n
n
n
j 1
k 1
j 1
uk   jk e j , vi   kiuk , vi    ji e j .
Следовательно,
n
n
n
j 1
k 1
k 1
vi    ji e j    kiuk    ki
n
n

j 1
j 1
 k 1
n

 jk e j     jk ki  e j .

Но координаты вектора в базисе определяются единственным образом.
Поэтому для любых i, j 1, n
31
(1.25)
 P  , P 
n
 ji   jk  ki 
j
T
eu
k 1
i
u v
.
Откуда и вытекает равенство (1.25).►
2). Если базисы e и u одинаковы, тогда Pee  E.
◄ Действительно,
e1  1  e1  0  e2 
 0  en ,
e2  0  e1  1  e2 
 0  en ,
en  0  e1  0  e2 
 1  en ,
поэтому Pee  E. ►
3). Матрица перехода от одного базиса к другому всегда невырожденная
и
 Peu 
1
 Pue .
(1.26)
◄ Положим e  u и воспользуемся свойствами 1 и 2. Из равенства
(1.25) следует, что
Peu  Pu e  E.
(1.27)
Откуда следует невырожденность матрицы перехода
Peu  Pue  E  1  0,
а, следовательно, и ее обратимость. Формула (1.26) получается из равенства
(1.27) умножением его обеих частей слева на матрицу  Peu  . ►
1
1.14 Связь между координатами вектора в разных базисах
Пусть a - произвольный вектор пространства L  F  , а e и u  два
базиса в L  F  c матрицей перехода Peu вида (1.24). Выведем связь между
координатными векторами
T
T
ae  1 ,  2 ,...,  n  и au  1 ,2 ,...,n  .
Используя определение координатного вектора и выражая векторы базиса
u через векторы базиса e , получаем, что
n
n
k 1
k 1
a  k uk  k
n

j 1
n
jk
ej  
32
j 1
n
 n

  jkk  e j   j e j .
j 1
 k 1

В силу единственности координат вектора a в базисе e
n
 j   jkk , j 1, n.
k 1
Последние формулы можно записать в виде
ae  Peu  au .
(1.28)
Это и есть искомая связь между координатными векторами ae и au .
1.15 Алгоритмы определения координат вектора в базисе
Если e  e1 , e3 ,..., en  базис в пространстве L  F  и a  L  F  , то
источником отыскания координатного вектора ae является равенство
a  1e1   2e2  ...   nen ,
(1.29)
в котором числа 1 ,  2 ,...,  n определяются единственным образом.
Пример 27. Найти координаты вектора a  1,2,3  R3 в базисе
T
e1  1,1,1 , e1  1,1,0  , e1  1,0,0  .
T
T
T
◄ Составим уравнение вида (1.29),
 1
1
1 1




1e1   2e2  3e3  1 1   2  1   3  0    2   a ,
 1
0
0  3
 
 
   
или
 1   2  3   1 
       2 .
 1 2   

  3
1

  
Используя принцип равенства матриц, получаем неоднородную систему
уравнений
1   2  3  1,
1   2
 2,
1
 3,
которую решаем методом Гаусса,
1

1
1

1 1 1  c1  c2  0 0 1 1 c1  c2  1 0 0 3 





1 0 2
 0 1 0 1
 0 1 0 1 .
 0 0 1 1
0 0 3  c2  c3  1 0 0 3 


33
Откуда следует, что
ae   3, 1, 1 .
T
Рекомендуем сделать проверку, подставив найденные решения в
равенство (1.29).►
Часто задача ставится следующим образом. Выяснить, является ли данная
система векторов базисом данного пространства (обычно число векторов
данной системы совпадает с размерностью пространства), и в случае
положительного ответа найти координаты данного вектора в данном базисе.
На первый взгляд эта задача распадается на две: определения базисности
данной системы векторов и нахождения координат данного вектора в базисе.
Целесообразно эти две задачи решать одновременно, сразу рассматривая
неоднородное уравнение (1.29) (а не сначала однородное уравнение (1.7),
позволяющее выяснить линейную независимость, а значит и базисность
заданной системы векторов). Определенность получаемой при этом
неоднородной системы уравнений является сигналом того, что исходная
система векторов есть базис.
Пример 28. Выяснить, является ли следующая система многочленов
базисом пространства R2  x  ,
f1  x   x  1, f 2  x   x 2  1, f3  x    x  1 ,
2
(1.30)
и при положительном ответе на этот вопрос найти координаты многочлена
f  x   x в этом базисе.
◄ Составим уравнение вида (1.29)
1  x  1  2  x2  1  3  x  1  x,
2
приведем подобные члены
 1  2  3   1  1  2 2   x   2  3   x 2  x.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях многочленов,
стоящих в правой и левой частях последнего равенства, получаем
следующую систему линейных алгебраических уравнений,
 1
 2
1
2
3  0,
 23  1,
 3  0,

которую решаем методом Гаусса,
34
 1 1 1 0  c1  c2  0



1
0

2
1
1


 0 1 1 0
0



1
0
1
1 1  c3  c1  0


2 1 
1
0
1 0 

1
0
0
1 1

2 1 .
0 1
В этот момент мы обнаруживаем, что эта система уравнений несовместна и,
следовательно,  f1 , f 2 , f3  Б.►
Предлагаем читателю проверить самостоятельно, что если в системе
(1.30) многочлен f 2  x   x 2  1 заменить на многочлен x2  1, то новая
система многочленов уже будет базисом в R2  x  , и найти координаты
многочлена x в этом базисе.
Пример 29. Найти координаты вектора a в базисе e :
1)
 2
a   2  ,
 2
 
 1
1
 1




e1  1 , e2   1  , e3   0 
 1
 0
 0
 
 
 
2)
 3
1
 2
a    , e1    , e2   
 3
 2
1
3)
1 1
1 1
0 0
1 0
A
, E1  
, E2  
, E3  



,
1
1
0
0
1
1
0
1








в R2 ,
0 0
E4  
 в M 2  R .
0
1


◄ 1) Легко заметить, что
T
a  2  e1  a  2  e1  0  e2  0  e3  ae   2,0,0  .
2) Легко заметить, что
T
a  e1  e2  1  e1  1  e2  ae  1,1 .
3) Легко заметить, что
A  E1  E2  A  1  E1  1  E2  0  E3  0  E4  AE  1,1,0,0  . ►
T
35
Глава 2.
Подпространство.
Лекции VI и VII
План
2.1. Определения и примеры.
2.2. Свойства подпространств. Сумма и пересечение
подпространств.
2.3. Связь между размерностями суммы и пересечения
подпространств.
2.4. Линейные оболочки.
2.5. Размерность и базис линейной оболочки.
2.1. Определения и примеры.
Примеры задания на множестве структуры линейного пространства,
приведенные в Лекции 1 (см.[10]), далеко не исчерпывают потребностей как
самой линейной алгебры, так и ее приложений. Часто возникает
необходимость самостоятельного функционирования такой структуры не на
всем множестве, а на некоторых его подмножествах. Более того, обычно
представляют большой интерес подмножества векторов данного линейного
пространства, на которых исходные операции сложения векторов и
умножения вектора на скаляр также порождают структуру линейного
пространства. Эти подмножества называются подпространствами данного
линейного пространства.
Определение. Непустое подмножество L линейного пространства L  F 
называется его подпространством, если оно замкнуто относительно
операций сложения векторов и умножения вектора на скаляр, то есть из
того, что a,b L следует, что a  b  L и  a L для любого  из F .
Отметим следующие свойства подпространств, вытекающие из
определения.
1) Вместе с любыми векторами a и b подпространству принадлежат и
все возможные их линейные комбинации a  b , где  ,  F. 
Замечание 1. Свойство 1) можно взять за определение
подпространства. 
2) Нуль-вектор пространства L  F  принадлежит любому его
подпространству L.
◄ L    a L  0  a    L.►
3). Вместе с каждым вектором a пространства L  F  , принадлежащим
подпространству L, ему принадлежит противоположный вектор a .
◄ a L   1 a  a  L .►
36
Следующее основное свойство подпространств линейного
пространства L  F  вытекает из свойств 1) и 2).
4). Операции сложения векторов и умножения вектора на скаляр,
первоначально определенные в пространстве L  F  , порождают на любом
его подпространстве структуру линейного векторного пространства над
полем F.
◄ Из определения подпространства следует, что сложение векторов
является внутренним законом композиции на L, а умножение вектора на
скаляр – внешним законом композиции на L над полем P. Выполнение
аксиом линейного пространства 1), 2), 5)-8) (см.[10], 1.1) очевидно. Аксиомы
3) и 4) доказаны выше (это свойства 2) и 3) соответственно).►
Приведем примеры подпространств в основных линейных пространствах,
рассмотренных выше в Лекции I (см. [10], 1.3).
Пример 1. Пусть L  F   F n , n  1. Тогда множество L всех векторов вида
a  0, 2 ,..., n  ,
T
где
 j  F , j  2,n,
образует
подпространство
в
пространстве F n . 
Пример 2.
Если
V 3  стандартное трехмерное пространство
геометрических векторов, выходящих из начала координат, V 2  плоскость
XOY , а V 1  ось OX , то V 1 является подпространством пространства V 2 , а
V 1 и V 2  подпространствами пространства V 3 . 
Пример 3. Пусть L  F   M 2  R  , а L - множество «полумагических»
матриц второго порядка, содержащихся в M 2  R  , то есть множество матриц
вида
  
A
 , где                .




Тогда L - подпространство в пространстве M 2  R  . 
Пример 4. Линейные пространства многочленов
F  F0 [ x ], F1 [ x ], …, Fn 1 [ x ]
являются подпространствами линейного пространства Fn [ x ]. Последнее
пространство при любом n  0 является подпространством линейного
пространства P [ x ]. 
Пример 5. Пусть a,b  0,  , a  b и x0  a,b  . Множество C x0  a,b  всех
функций, определенных и непрерывных на отрезке  a,b и обращающихся в
ноль в точке x  x0 , является подпространством линейного пространства
C  a,b  .
Указание. Для доказательства утверждений, содержащихся в примерах
37
1-5, следует воспользоваться определением подпространства и проверить
замкнутость рассматриваемых множеств относительно операций исходного
пространства.
2.2. Свойства подпространств. Сумма и пересечение подпространств.
Перейдем к изучению дальнейших свойств подпространств.
1) Одноэлементное множество L0    является подпространством в
любом линейном пространстве L  F  . Оно называется нулевым
подпространством. 
2) Любое линейное пространство является своим подпространством.
Оно называется несобственным подпространством пространства L  F  .
Любое подпространство L пространства L  F  , не совпадающее с L  F  ,
называется его собственным подпространством.
3) Если L1 и L 2  подпространства линейного пространства L  F  ,
тогда множество
L1+L2 = { x  L  F  x  x1  x2 , x1,2  L 1,2 }
является подпространством пространства L  F  . Оно называется суммой
подпространств L1 и L 2 .
◄ Пусть
x  x1  x2  L1+L2 , y  y1  y2  L1+L2 , где x1 , y1  L 1 , x2 , y2  L 2 и  ,  F.
Тогда
 x   y    x1  x2     y1  y2     x1   y1     x2   y2   L1+L2 ,
так как
  x1   y1   L 1 ,   x2   y2   L 2 . ►
4) Если L k , k  1,m,  подпространства линейного пространства
L  F  , тогда множество
L 1 ...  L m = { x  L  P  x  x1  ...  xm , xk  L k }
 подпространство пространства L  F  . Оно называется суммой
подпространств L k , k  1,m. 
Часто последнее свойство формулируется так: сумма любого числа
подпространств данного линейного пространства является его
подпространством.
5) Если L 1 и L 2  подпространства линейного пространства L  F  ,
тогда множество
L 1 L 2 = { x  L F  x  L 1 , x  L 2 }
38
является подпространством пространства L  F  . Оно называется
пересечением подпространств L 1 и L 2 .
◄Пусть x, y L 1 L 2 ,  ,  F. Тогда по определению подпространства
  x   y  L 1 ,   x   y  L 2    x   y   L 1
L 2 .►
6) Если L k , k  1,m, подпространства линейного пространства L  F  ,
тогда множество
L 1 ... L m   x  L  F 
x  L k , k  1,m

является подпространством пространства L  F  . Оно называется
пересечением подпространств L k , k  1,m. 
Часто последнее свойство формулируется так: пересечение любого числа
подпространств данного линейного пространства является его
подпространством.
Основной задачей при изучении подпространств в данном линейном
пространстве является определение их размерностей и базисов. Отсутствие
единого рецепта для решения данной проблемы заставляет решающего
вырабатывать в себе умение выделять особенности, которыми обладает
данное множество векторов, превращающие его в подпространство
рассматриваемого линейного пространства.
Прежде, чем привести примеры решения подобных задач, сделаем
несколько замечаний. Пусть L  подпространство конечномерного пространства L  P  .
Замечание 2. Если a1 ,...,am   линейно независимая (линейно зависимая)
система векторов в подпространстве L, тогда она является линейно
независимой (линейно зависимой) системой в пространстве L  P  . Отсюда
следует, что любое подпространство конечномерного линейного
пространства является конечномерным.
Замечание 3. Если dim L  F   n, тогда L= L  F  является единственным
подпространством пространства L  F  , размерность которого равняется n. 
Замечание 4. Размерность нулевого подпространства полагается равной
нулю, dim L 0  0. Это согласуется с определениями линейно зависимой и
линейно независимой систем векторов (см. [10], п. 1.3).
Замечание 5. Для любого подпространства L линейного пространства
L  P  справедливо неравенство 0  dim L  dim L  P  . 
Решение задач рассматриваемого ниже типа следует начинать с
отыскания базиса в подпространстве L, так как число базисных векторов
совпадает с dim L (см. [10], п.1.9, следствие 2 и пример 24).
39
Пример 6. Найти размерность и базис подпространства L координатного
T
пространства R3 , состоящего из векторов вида a  0, 2 , 3  .
◄ Так как
T
T
a   2 0,1,0    3 0,0,1 ,
то векторы e1  0,1,0  , e2  0,0,1 образуют в подпространстве L ПС.
T
T
Вместе с тем e2 ,e3   ЛНЗС как подсистема стандартного базиса в R3 . Следовательно, e2 ,e3   Б в подпространстве L. Но тогда dim L = 2.►
Пример 7. Пусть
L   p  x   R3  x  p  x0   0, x0  R  .
Показать что L  подпространство в пространстве R3  x  , найти его
размерность и базис.
◄ Пусть p,q  R3  x  и p  x0   q  x0   0 . Тогда для любых
 ,  R  p   q  R3  x  и  p  x0    q  x0   0. Следовательно, L 
подпространство в пространстве R3  x  .
Стандартный базис в R3  x  имеет вид 1,x,x 2 ,x 3  . Но любой многочлен
p  x   R3  x  можно разложить по степеням  x  x0  , k  0,3,
p  x0 
p  x0 
2
3
p  x   p  x0   p  x0  x  x0  
 x  x0  
 x  x0  .
2
6
Откуда следует, что система многочленов
k
 1, x  x  , x  x  , x  x  
2
0
0
3
0
(2.1)
(2.2)
является базисом в пространстве R3  x  . Если же p  x   L, то из (2.1)
получаем, что
p  x0 
p  x0 
2
3
p  x   p  x0  x  x0  
 x  x0  
 x  x0  ,
2
6
то есть система многочленов
  x  x  , x  x  , x  x   = ПС
2
0
0
3
0
в подпространстве L. Так как она линейно независима (как подсистема
линейно независимой системы (2.2)), то является базисом в L.
Следовательно, dim L  3. ►
Пример 8. Найти размерность и базис подпространства из примера 3.
◄ Из определения полумагической матрицы второго порядка следует,
что она имеет вид
  
1 0
0 1
A
 



.


0
1
1
0






40
Но тогда система матриц
e1 ,e2  , где
1 0
0 1
e1  
, e2  

,
0
1
1
0




образует базис, так как она линейно независима и полна в рассматриваемом
подпространстве, а размерность этого подпространства равна 2.►
2.3. Связь между размерностями суммы и пересечения
подпространств.
Содержанием следующей теоремы является формула Грассмана,
описывающая связь между размерностями двух подпространств и
размерностями их суммы и пересечения.
Теорема 1.
Пусть L 1 и L 2  подпространства конечномерного
пространства. Тогда
(2.3)
dim (L1+L2) + dim (L 1 L 2 ) = dim L 1 + dim L 2 .
◄ Вначале предположим, что L 1  L 0 , L 2  L 0 , то есть оба
подпространства ненулевые. Пусть
m1  dim L 1 , m2  dim L 2 , m  dim (L 1 L 2 ).
В подпространстве L 1 L 2 выберем произвольный базис Б = c1 ,...,cm  .
Ясно, что Б  L 1 и Б  L 2 . Вначале дополним систему векторов Б до базиса
Б1 в подпространстве L 1 ,
Б1  a1 ,...,ar1 ,c1 ,...,cm  , m1  r1  m.
После этого дополним туже самую систему векторов Б до базиса Б2 в
подпространстве L 2 ,
Б2  c1 ,...,cm ,b1 ,...,br2  , m2  r2  m,
и покажем, что система векторов
a ,...,a
1
r1
,c1 ,...,cm ,b1 ,...,br2

(2.4)
является базисом в подпространстве L 1  L 2 .
Полнота системы векторов (2.4) вытекает из определения базисов Б1 и Б2.
Остается доказать лишь линейную независимость системы векторов (2.4).
Пусть
(2.5)
1a1  ...  r1 ar1  1c1  ...  mcm   1b1  ...   r2 br2   .
Так как вектор b   1b1  ...   r2 br2 L 1 , а из равенства (2.5) следует, что b L2,
то b (L 1  L 2 ). Поэтому в силу единственности разложения по базису Б
41


b   1a1  ...  r1 ar1  1c1  ...  mcm   1c1  ...  mcm  .
Но тогда 1a1  ...  r1 ar1   . Следовательно, 1  ...  r1  0 .
Возвращаясь к равенству (2.5), видим, что
1c1  ...  mcm   1b1  ...   r br   .
2
2
Откуда следует, что 1  ...  m   1  ...   m  0 . В силу первого критерия
линейной независимости системы векторов система векторов (2.4) является
линейно независимой, то есть (2.4) – базис в подпространстве L 1  L 2 .
Значит,
dim (L 1  L 2 )  r1  r2  m   m1  m    m2  m   m  m1  m2  m 
= dim L 1  dim L 2  dim (L 1
L 2 ).
Пусть теперь хотя бы одно из подпространств L 1 или L 2 нулевое,
например, L 1 = L 0 . Тогда L 1 + L 2 = L 2 , L 1
L 2 = L 0 , и равенство (2.3)
очевидно. Остальные случаи рассматриваются аналогичным образом.►
Следствие 1. Пусть L 1 L 2 = L 0 . Тогда
dim (L 1  L 2 )= dim L 1  dim L 2 .
(2.6)
◄ Так как L 1 L 2 =L 0  dim (L 1 L 2 )  0, то для получения равенства
(2.6) достаточно воспользоваться формулой (2.3).►
Следствие 2. Пусть L 1
L 2 = L 0 , Б1  a1 ,...,am1  и Б2  b1 ,...,bm1  
базисы соответственно в L 1 и L 2 . Тогда
a ,...,a
1
m1

,b1 ,...,bm2  базис в
подпространстве L 1  L 2 .
◄См. доказательство теоремы 1, формулу (2.4).►
2.4. Линейные оболочки.
Пусть векторы a1 ,...,am  L  F  . Совокупность всевозможных линейных
комбинаций векторов a1 ,...,am называется линейной оболочкой, натянутой
на векторы a1 ,...,am , и обозначается
L  a   span  a1 ,...,am  .
(2.7)
Систему векторов  a   a1 ,...,am  будем называть остовом линейной
оболочки L  a  .
Отметим ряд свойств линейных оболочек.
1) Линейная оболочка L  a  вида (2.7) является подпространством
пространства L  F  .
42
m
m
m
k 1
k 1
k 1
◄ x, y L  a   x   k ak , y  k ak   x   y     k  k  ak 
L  a  для любых  и  из F  . Ввиду замечания 4 L  a  является
подпространством пространства L  F  .►
2) Если a1 ,...,am   ПС в пространстве L  F  , тогда
L  F   span  a1 ,...,am  .
Если a1 ,...,am   ПС в подпространстве L ( пространства L  F  ), тогда
L = spana1 ,...,am  .
В частности, если  a   a1 ,...,am  = Б в L  F  ( или в L ), тогда L  F  =
=L  a  ( или L = L  a  ). 
Из свойств 1) и 2) следует, что язык линейных оболочек является
универсальным при описании подпространств данного линейного
пространства. Любое подпространство можно представить в виде линейной
оболочки, натянутой на некоторую систему векторов данного линейного
пространства.
3) Пусть  a   a1 ,...,am  ,  b   b1 ,...,bn  и  b   L  a  . Тогда
L b  L  a  ◄
n
x L  b   x   k bk . Но все векторы
k 1
bk , k  1,n,
являются линейными комбинациями векторов из  a   x является линейной комбинацией
векторов из  a  .  x  L  a   L  b   L  a  .►
2.5. Размерность и базис линейной оболочки.
Вначале дадим определение ранга конечной системы векторов.
Определение. Пусть  a   a1 ,...,am   L  F  . Будем говорить, что ранг
этой системы векторов равен r и писать
rang  a  = rang a1 ,...,am   r,
если существует линейно независимая подсистема данной системы
векторов, состоящая из r векторов, а любая подсистема данной системы
векторов, состоящая из r+1 вектора, является линейно зависимой.
Заметим, что
1) rang  a  = 0  ak  0, k  1,m,
2) rang a1  1  a1  0 ,
3) для любых m  N
0  rang a1 ,...,am   min( m,dim L  F  ).
43
Теорема 2. Размерность линейной оболочки L  a   span  a1 ,...,am 
совпадает с рангом ее остова, dim L  a  = rang  a  .
Если r = rang  a  , любая линейно независимая подсистема  a  остова
 a  , состоящая из r векторов, является базисом в L  a  .


◄ Пусть r = rang  a  и  a  = ai1 ,...,air = ЛНЗС   a  . Покажем, что
L  a  = L  a  . По свойству 3) линейных оболочек L  a   L  a  . Остается
доказать, что  a   L  a  . Действительно, система векторов
(2.8)
ai1 ,...,air , ak ,
состоящая из r+1 вектора, является ЛЗС для любого вектора ak из  a  , так
как rang  a  = r. По второму критерию линейной зависимости ([11],1.5,
теорема 2) в системе (8) вектор ak является линейной комбинацией
предыдущих. Следовательно, ak  L  a  , k  1,m .  L  a   L  a   L  a  =
L  a  . Система векторов  a  , будучи линейно независимой и полной в L  a 
системой, является в L  a  базисом. По теореме о связи между размерностью
и базисом в конечномерном линейном пространстве
dim L  a  =  a  r = rang  a  .►
Лекции
VIII и IX
Ранг матрицы
План
2.6. Постановка задачи и основная теорема.
2.7. Совпадение строчного и столбцового рангов.
2.8. Доказательство основной теоремы о ранге.
2.9. Дополнительные свойства ранга матрицы.
2.10. Ранг матрицы и отношение эквивалентности.
2.11. Алгоритмы вычисления ранга матрицы и первые
приложения.
2.6. Постановка задачи и основная теорема.
Пусть A  M mn  F  . Строчный и столбцовый ранги матрицы
A
определяются как ранги rang  A1 ,...,An  и rang  A1 ,...,Am  соответственно
системы строк и столбцов этой матрицы,
44
Определение 1. Строчным рангом rC  A матрицы A называется
максимальное число ее линейно независимых строк. Столбцовым рангом
r C  A  матрицы A называется максимальное число ее линейно независимых
столбцов.
Наряду с этим введем понятие минорного ранга матрицы A , который в
литературе, как правило, называется просто «рангом матрицы A ».
Определение 2. Минорным рангом rM  A матрицы A называется
наивысший порядок ненулевых миноров этой матрицы.
Основная теорема о ранге матрицы утверждает, что все три ранга:
строчный, столбцовый и минорный;  совпадают. Эта теорема является
одним из самых глубоких результатов конечномерного линейного анализа.
Ее доказательство распадается на несколько этапов и опирается на ряд
изученных раннее в этом курсе разделов. Вначале, используя технику
элементарных матриц и линейных оболочек, мы покажем, что проведение в
матрице элементарных преобразований не меняет ее как строчного, так и
столбцового рангов. Это свойство исключительно важно для вычисления
ранга матрицы. После этого, опираясь на теорему о разложении матрица в
произведение простейших матриц, мы докажем совпадение строчного и
столбцового рангов произвольной матрицы. Наконец, используя
разработанную в первой части этого курса теорию определителей, мы
получим доказательство совпадения всех трех рангов.
2.7. Совпадение строчного и столбцового рангов.
Теорема 3 ( о копреобразованиях ). Пусть матрица B получена из
матрицы A с помощью конечного числа строчных (столбцовых)
элементарных преобразований. Тогда
rC  B  = rC  A ( r C  B  = r C  A  ).
◄ Введем две линейных оболочки
L  A   span  A1 ,...,Am  и L  B   span  B1 ,...,Bm 
и заметим, что при каждом строчном элементарном преобразовании матрицы
A Bk  L  A  , k  1,m. По свойству 3 линейных оболочек L  B   L  A  . Но
элементарные преобразования обратимы. Следовательно, матрица A получается из матрицы B также с помощью конечного числа строчных элементарных преобразований. Поэтому L  A   L  B   L  A  =L  B  . По теореме 2
rC  A = dim L  A  = dim L  B  = rC  B  .
Случай столбцовых преобразований рассматривается аналогичным
образом.►
45
Теорема 4 ( о контрапреобразованиях ). Пусть матрица B получена из
матрицы A с помощью конечного числа строчных (столбцовых)
элементарных преобразований. Тогда
r C  B  = r C  A  ( rC  B  = rC  A ).
◄ Пусть A  M mn  F  . Так как матрица B получена из матрицы A с
помощью конечного числа строчных элементарных преобразований, то
существует такая матрица C, C  GM m  F  , что B  CA ([8], П. 1.13). Откуда
следует, что B j  CA j , j  1,n.
Пусть теперь у матрицы A некоторая система столбцов
A
j1

,...,A jk 
= ЛНЗС. Покажем, что B j1 ,...,B jk  = ЛНЗС. Для этого введем матрицы
A   A j1 ,...,A jk   M mk  F  , B   B j1 ,...,B jk   M mk  F 
и заметим, что B  CA. Система столбцов  A j1 ,...,A jk   ЛНЗС тогда и
только тогда, когда однородная СЛАУ с матрицей A , а вместе с ней и
матричное
уравнение Ax   , имеют только нулевое решение. Но матричные уравнения
Ax   и Bx  CAx   равносильны ([8], п. 1.14, предложение 1.9).
Поэтому уравнение Bx   , а вместе с ним и однородная СЛАУ с матрицей
B имеют только нулевое решение. Следовательно, B j1 ,...,B jk  = ЛНЗС.
Из обратимости элементарных преобразований следует, что если
некоторый набор столбцов матрицы B образует ЛНЗС, то и набор столбцов
матрицы A с
аналогичными номерами образует ЛНЗС. Поэтому
C
C
r  B  = r  A .
Случай столбцовых преобразований рассматривается аналогичным
образом.►
Следствие. Пусть матрица B получена из матрицы A с помощью
конечного числа элементарных преобразований. Тогда
rC  A = rC  B  и r C  A  = r C  B  .
Теорема 5. Пусть A  M mn  P  . Тогда
rC  A = r C  A  .
◄ В силу предложения 1.4 ([8], п. 1.11) найдется конечное число
элементарных преобразований, приводящих матрицу A к виду Dr ,
 E r  O 
Dr  
,
O
O


где E  r   единичная матрица порядка r. Ввиду следствия из теорем 3 и 4
rC  A = rC  Dr  , r C  A  = r C  Dr  . Но rC  Dr  = r C  Dr  = r.  rC  A = r C  A  .►
46
2.8. Доказательство основной теоремы о ранге.
Теорема 6. Пусть A  M mn  P  . Тогда
rC  A = r C  A  = rM  A .
◄ Вначале покажем, что определитель квадратной матрицы A  M n  P  ,
все столбцы которой образуют ЛНЗС, отличен от нуля. В самом деле, из
предложения 3.14 ([9], п. 3.7) следует, что найдется конечное число строчных
трансвекций, приводящих матрицу A к верхнетреугольному виду В∆. При
этом
11 12 ... 1n
0  22 ...  2n
 11   22  ...  nn  A .
B∆ =
... ... ... ...
0
0 ...  nn
r C  A  = r C (В∆) = n, то 11  0 . Проводя
Так как по теореме 4
соответствующие столбцовые трансвекции в матрице В∆, получаем, что
C∆ =
11
0
0
...
 22
...
... 0
...  2n
 B∆ = A ,
... ...
0
0
...  nn
а r C (С∆) = n. Поэтому  22  0 и так далее. Окончательно получаем, что
A  11   22  ...   nn  0.
Остается показать, что
rC  A = r C  A  = r  rM  A = r.
Во-первых, заметим, что все миноры матрицы А порядка r+1 равны
нулю. На самом деле, пусть минор M r 1 расположен на некоторой системе из
r+1 столбца матрицы А. Так как r C  A  = r, то эта система столбцов линейно
зависима. Следовательно, в ней найдется столбец A j , который является ЛКО
столбцов этой системы. Но тогда фрагмент столбца A j , входящий в минор
M r 1 , будет ЛКО фрагментов столбцов данной системы столбцов, входящих
в M r 1 (с теми же коэффициентами). Поэтому M r 1 =0.
Во-вторых, покажем, что в матрице А существует ненулевой минор M r
порядка r . Для этого в А выделим r линейно независимых строк. Отбросив
остальные строки матрицы А, получим матрицу B  M rn  F  , у которой
rC  B  = rC  A = r . По тереме 6
r C  B  = r . После этого в матрице B
47
выделим r линейно независимых столбцов. Отбросив в ней остальные
столбцы, получим квадратную матрицу С порядка r , у которой r C  C  =
r C  B  = r . Но тогда по доказанному выше C  0 .  rM  A  r. ►
2.9. Дополнительные свойства ранга матрицы.
Из теоремы 6 следует, что под рангом матрицы мы можем понимать
любое из чисел rC  A , r C  A  и rM  A . В дальнейшем ранг матрицы А
будем обозначать rang A или кратко r  A и рассмотрим ряд дополнительных
его свойств.
1) Пусть A  M mn  F  . Тогда
0  rang A  min  m,n  .
◄ r  A = rC  A  m и r  A = r C  A   n  r  A  min  m,n  . ►
2) rang AT  rang A. 
3) Если матрица В получена из матрицы А с помощью конечного числа
элементарных преобразований, то r  B  = r  A .
◄ См. следствия из теорем 3 и 4 и теорему 6. ►
4) Если A,B  M mn  F  , A  UBV , гдеU  GM m  F  , V  GM n  F  . Тогда
r  B  = r  A .
◄ В силу первого критерия обратимости матрицы ([8], п. 1.13) матрицы
U и V представимы в виде произведений элементарных матриц
соответствующего порядка. Отсюда следует, что матрица А может быть
получена из матрицы B
с помощью конечного числа элементарных
преобразований. В силу предыдущего свойства r  B  = r  A .►
5) Пусть A  M mn  F  , B   ij   M ms  F  , C    ij   M sn  F  и A  BC.
Тогда
0  rangA  min  r  B  ,r C   .
(2.9)
◄ По правилу умножения матриц
A  BC    kj B k  span  B1 ,...,B s   LС  A  = span  A1 ,..., An   LС  B  =
s
j
j
k 1
= span  B ,...,B s   r C  A   dim LС  A   r C  B   dim
1
LС  B   r  A  r  B  . Аналогично
s
Aj  B jC    jk Ck  span  C1 ,...,Cs   LС  A   span  A1 ,...,Am   LС  C  =
k 1
= span  C1 ,...,Cs   rC  A  dim LС  A   rC  C   dim LС  C   r  A  r  C  
48
 r  A  min  r  B  ,r  C   .►
Предлагаем читателю показать точность неравенства (2.9) и привести
примеры матриц В и С, подтверждающие что r  A может принимать любое
значение из отрезка [ min  r  B  ,r  C   ]. 
В качестве следствия основной теоремы о ранге матрицы получаем
следующий критерий равенства нулю определителя квадратной матрицы.
Теорема 7. Пусть A  M n  F  . Следующие утверждения равносильны:
1) A  0 ;
2) найдется строка A j , являющаяся ЛКО строк матрицы А;
3) найдется столбец A j , являющийся ЛКО столбцов матрицы А.
◄ Нижеследующее доказательство называется «цепным». Оно
предполагает проверку истинности импликаций: 1)  2), 2)  3) и 3)  1).
В самом деле,
1)  rM  A  rC  A  n,   A1 ,...,An   ЛЗС,  2)   A1 ,...,An   ЛЗС, 
 rC  A   r C  A   n, 
 A ,...,A   ЛЗС,  3)   A ,...,A   ЛЗС, 
1
n
1
n
 r C  A   rM  A  n ,  1).►
2.10.
Ранг матрицы и отношение эквивалентности.
Напомним ([8], п.п. 1.11, 1.12), что две матрицы А и В, A,B  M mn  F  ,
называются эквивалентными, если одна из них может быть получена из
другой с помощью конечного числа элементарных преобразований.
Эквивалентность матриц А и В обозначается формулой A B.
Теорема 8. Пусть A,B  M mn  F  . Для того, чтобы матрицы А и В были
эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы rangA  rangB.
◄ Необходимость. Пусть A B. Тогда r  A  r  B  по свойству 3 ранга
матрицы.
Достаточность. Пусть r  A  r  B   r. Тогда ([9], п. 1.11, предложение
1.4) A Dr и B Dr  A B. ►
Рассматриваемое отношение эквивалентности разбивает множество
матриц M mn  F  на классы эквивалентных между собою матриц. В силу
Теоремы 8 таких классов будет 1  min  m,n   ровно столько, сколько
значений может принимать ранг матрицы с m строками и n столбцами
M mn  F  = K0 K1 ... K  , где   min  m,n  .
Классу K 0 принадлежит одна матрица 0, так как только она одна имеет
нулевой ранг. Классу K 1 принадлежат все матрицы ранга 1. Каноническим
представителем этого класса является матрица
49
 E  1 0 
D1  
.
0
 0
Классу K 2 принадлежат все матрицы ранга 2 и т.д. Наконец, классу K 
принадлежат все матрицы ранга  . Каноническим представителем этого
класса является матрица D , которая в зависимости от соотношений между
m и n имеет вид:
 Dn  E  n  , если m  n,

 E n 

D   Dn  
 , если m  n,
0



 D   E  n  0  , если m  n.
 m
Замечание 6. В третьей части этого курса будет проведена более
тонкая классификация множества квадратных матриц одинакового
размера. При этом вместо отношения эквивалентности «одинаковый ранг»
будет использовано другое отношение эквивалентности - «подобие».([ ], )
2.11. Вычисление ранга матрицы и первые приложения.
Прежде всего заметим, что ранг матрицы равен рангу любой матрицы
приведенного вида, полученной из данной с помощью строчных
элементарных преобразований, а ранг матрицы приведенного вида равен
числу ее ненулевых строк ([8], п. 1.11, доказательство предложения 1.4).
Однако, для вычисления ранга матрицы достаточно привести ее к так
называемому «ступенчатому виду», в любой строке которого содержится
ненулевой элемент, ниже (!) которого в столбце стоят нули. Например,
ступенчатый вид имеет матрица






2
1
3
1
0
0
0
0
0
0
7
0
0
1
1
0
2

1 
.
5

0
Нетрудно заметить, что такая матрица эквивалентна матрице Dr , у
которой число r совпадает с числом ненулевых строк любой матрицы
ступенчатого вида, полученной из данной матрицы с помощью строчных
элементарных преобразований.
Пример 9. Вычислить ранг матрицы
50
1 1
 1 1 3
A   1 1 3 2 2  .
 1 1 3 3 0 


◄ Приведем матрицу А к ступенчатому виду с помощью строчных
элементарных преобразований
 1 1 3 1 1  c2  c1  1



A   1 1 3 2 2 
 0
 1 1 3 3 0  c  c  0

 3 1
 1

 0
 0

1 3
0 0
0 0
1
1
0
1 3
0 0
0 0
1
3
5
1
1
2
1  c1  2c2

3
1 


.


Откуда следует, что r  A  3.►
В качестве первых приложений ранга матрицы рассмотрим алгоритмы
нахождения базиса и размерности линейной оболочки, определения полноты
системы векторов и дополнения линейно независимой системы до базиса в
пространстве R n .
Пример 10. Определить размерность и базис линейной оболочки,
натянутой на систему векторов
a1  (1,1,-1,1)Т, а2 = (1,-1,1,1)Т, а3 = (1,0,0,1)Т, а4 = (2,1,-1,2)Т.
◄ По теореме 2 dim L(a)= dim span  a1 ,a2 ,a3 ,a4   rang  a   r C  A  , где
1 1

 
1 1


A   a1 a2 a3 a4  = 


  1 1


1 1
1 2
0 1 
.
0 1 

1 2
Заметив, что r C  A   rC  AT  , приведем матрицу AT к ступенчатому виду,
51


T
A 



1
1
1
2
1 1
1 1
1 0
1 1
c2  c1

1
 c3  c1 
1


1
 c4  2c1 
2

1
0
0
0
1
2
1
1
1
2
1
1
1

0
0

0






1
1
0
0
0
2
0
0
1 1 

2 0
 BT .
0 0

0 0
Так как r  BT   r  AT   r  A   2, то dim L  a   2. Поскольку L(a) =
= span  A1 ,A2 ,A3 ,A4   span  B1 ,B 2  , то базис в L(a) образуют векторы
b1  a1  1,1,1,1 ,b2  0,2,2,0  . ►
Замечание 7. После вычисления ранга матрицы А нетрудно заметить,
что в качестве базиса в L(a) можно взять любые (!) два вектора остова
 a  .
Пример 11. Выяснить, является ли система векторов
T
T
a1  1,1,1 ,a2   2,2,1 ,a3   1,1,0  ,a3   3,3,2 
T
T
T
T
полной в пространстве R 3 .
◄ Для того, чтобы система векторов была полной в пространстве R 3 ,
необходимо и достаточно, чтобы она содержала в качестве своей подсистемы
базис этого пространства, то есть линейно независимую систему из трех
векторов  dim R 3  3  .
Рассмотрим матрицу

  1 2 1 3 


A   a1 a2 a3 a4    1 2 1 3 

  1 1 0 2 


 
и вычислим ее ранг, совпадающий с рангом рассматриваемой системы
векторов,
 1 2 1 3  c2  c1  1
2 1 3 




A   1 2 1 3 
0
0
0
0

,
 1 1 0 2  c  c  0
1 1 5 

 3 1
откуда следует, что r  A  2. Таким образом, данная система векторов не
является полной в пространстве R 3 . ►
Пример 12. Следующую линейно независимую систему векторов
a1   4,2,1,1 ,a2   9,11,3,2 
T
T
52
дополнить до базиса в пространстве R 4 .
◄ Матрицу
 4 2 1 1 
AT  

 9 11 3 2 
приведем строчными преобразованиями к ступенчатому виду,
AT
4 2

 1 15
1
1
1 
.
0 
Заметив, что r  AT   2, построим матрицу В следующего вида


B



4
2
1
1
15
1
0
1
0
1
0
0
1 

0 
.
0 

0 
Так как B  0,r  B   4, а строки матрицы В образуют линейно независимую
систему векторов в пространстве
эквивалентна следующей матрице
4
9
C 
0

1
R 4 . Легко заметить, что матрица В
2 1 1 
1 3 2 
1 0 0

0 0 0
и поэтому r  C   4. Отсюда следует, что система векторов
a1 , a2 , b1  0,1,0,0  , b2  1,0,0,0  ,
T
T
будучи ЛНЗС, образует базис в пространстве R 4 . ►
Лекции Х и ХI
Общая теория разрешимости СЛАУ
План
2.12. Подпространства KerA и Im A.
53
2.13. ФСР и общее решение однородной СЛАУ.
2.14. Теорема Кронекера-Капелли.
2.15 Общее решение неоднородной СЛАУ и критерий
неопределенности.
2.16. Приложения.
2.11. Подпространства KerA и ImA.
Разработанные выше теория подпространств в линейном пространстве
и теория ранга матрицы позволяют завершить общую теорию разрешимости
систем линейных алгебраических уравнений, начатую в первой части нашего
курса.
Рассмотрим неоднородную СЛАУ
  111   12 2  ...   1n n  1 ,
       ...      ,
 21 1
22 2
2n n
2

 ............................................
 m11   m2 2  ...   mn n   m
(2.10)
с основной матрицей
  11  12

 22
A   21
 ...
...

  m1  m2
...  1n 
...  2n 
... ... 

...  mn 
(2.11)
  11  12


 22
B   21
 ...
...

  m1  m2
...  1n 1 

...  2n  2 
.
... ... ... 

...  mn  m 
(2.12)
и расширенной матрицей
С системой уравнений вида (2.10) свяжем два множества: KerA 
множество решений однородной СЛАУ с матрицей А и Im A  множество
T
b   1 ,..., m  системы уравнений (2.10), для которых
правых частей
последняя является совместной.
Теорема 10. Множество KerA является подпространством в
пространстве F n , а множество Im A является подпространством в
пространстве F m .
54
◄ Напомним, что KerA совпадает с множеством решений матричного
уравнения Ax  0, а Im A совпадает с множеством правых частей, для
которых матричное уравнение Ax  b разрешимо.
◄Пусть x1 ,x2  KerA, то есть Ax1  Ax2  0. Тогда для любых 1 ,2  F
A 1 x1  2 x2   1 Ax1  2 Ax2  0  1 x1  2 x2  KerA  KerA 
подпространство в пространстве F n .
Для справедливости второго утверждения достаточно показать, что
Im A = span  A1 ,...,An  .
В самом деле, b  Im A тогда и только тогда, когда найдется такой вектор
T
x   1 ,..., n   F n , что b   1 A1  ...   n An  b  span  A1 ,...,An   Im A 
подпространство в пространстве F m . ►
Следствие. Пусть r  A  r. Тогда dim Im A  r, а базис в Im A образуют
любые r столбцов матрицы А.
◄ По теореме о размерности и базисе линейной оболочки (теорема 2)
dim Im A  rang  A1 ,...,An   r C  A   r. ►
Фундаментальная система решений и общее решение
однородной СЛАУ.
Следующая теорема 11 позволяет не только вычислять dim KerA , но и
находить базис в KerA , который называется фундаментальной системой
решений (ФСР). В качестве ее следствия мы получим описание общего
решения однородной СЛАУ.
Теорема 11. Пусть A  M mn  F  , r  A  r. Тогда dim KerA  m  r.
2.12.
◄ Однородная СЛАУ с матрицей А =  ij  имеет вид
  111   12 2  ...   1n n  0,
       ...     0,
 21 1
22 2
2n n

 .........................................
 m11   m2 2  ...   mn n  0.
(2.13)
Не нарушая общности рассуждений, можем считать, что первые r строк
матрицы А образуют ЛНЗС. В противном случае мы можем поменять
местами уравнения в (2.13) таким образом, чтобы обеспечить это условие.
Ясно, что при этом мы получим систему уравнений, равносильную исходной
СЛАУ. Отбрасывая в системе (2.13) последние m-r уравнений, получаем
равносильную ей однородную СЛАУ
55
 111   12 2  ...   1n n  0,
      ...     0,
 21 1
22 2
2n n

 .........................................
  r11   r 2 2  ...   rn n  0
(2.14)
с матрицей В, где
  11  12

 22
B   21
 ... ...

  r1  r 2
В самом деле,
...  1n 
...  2n 
.
... ... 

...  rn 
 A1 ,...,Ar   ЛНЗС,
где
r  rC  A  Ak  ЛКП для всех
k  r  1,m. Поэтому найдется конечное число элементарных преобразований
СЛАУ, приводящих систему вида (2.13) к виду (2.14). Равносильность систем
(2.13) и (2.14) следует из [8], п.2.2.
Ясно, что r  B   rC  B   r C  B   r. Не нарушая общности рассуждений,
можем считать, что r первые столбцов матрицы В образуют ЛНЗС. В
противном случае произведем такие переименования неизвестных в системе
(2.14), которые обеспечат это требование. Систему (2.14) запишем в виде
  111   12 2  ...   1r r   1,r 1 r 1  ...   1n n ,
      ...        ...    ,
 21 1
22 2
2r r
2 ,r 1 r 1
2n n
(2.15)

.......................................

  r11   r 2 2  ...   rr r   r ,r 1 r 1  ...   rn n
и заметим, что по теореме 7
 11  12 ...  1r
 21  22 ...  2r
...
...
 r1  r 2
... ...
...  rr
 0.
Очевидно, что система (2.15) равносильна системе (2.13). Назовем ее
«инкубатором» для выращивания решений. Если
f   1 ,..., r  r 1 ,..., n 
T
(2.16)
решение системы (13), а значит, и системы (15), то фрагмент  1 ,..., r
T
будем
называть «телом» решения f , а фрагмент  r 1 ,..., n  - его «хвостом». ПокаT
56
жем, что подстановка «хвоста» в «инкубатор» (2.15) позволяет однозначно
определить «тело» решения (2.16).
Действительно, подставляя числа  r 1 ,..., n в правые части системы (2.15),
мы получаем систему r уравнений с r неизвестными
  111   12 2  ...   1r r  d1 ,
      ...     d ,
 21 1
22 2
2r r
2

...........................

  r11   r 2 2  ...   rr r  d r
и определенными правыми частями. Так как основная матрица этой системы
невырожденная, по теореме Крамера эта система имеет единственное
решение. Но  1 ,..., r очевидное решение этой системы. Следовательно,
других решений у нее нет, и «хвост» решения с помощью «инкубатора»
однозначно определяет «тело» этого решения. В частности, нулевой «хвост»
может иметь только нулевое «тело».
Переходя к построению ФСР (фундаментальной системы решений),
задаем n  r «хвостов» так как это сделано в правой части Табл.1.
Подставляя их
в «инкубатор», определяем недостающие «тела» решений f1 ,..., f nr . Эти ре
шения образуют ЛНЗС в пространстве P n , так как матрица

...



F   f1 f 2 ... f nr  ,


...


составленная из векторов f1 ,..., f nr пространства P n , принадлежит
пространству M n nr   P  и r C  F   rM  F   n  r.
T
 r 2
n
1
0
0
 2r
0
1
0
 nr ,r
0
0
1
r
 r 1
 r 2
n
1
2
r
 r 1
f1T
 11
 12
 1r
f 2T
 21
 22
f nTr
fT
 nr ,1  nr ,2
1
2
57
fT
///
///
///
0
0
0
Табл.1
Остается доказать полноту построенной системы решений в подпрост странстве KerA. Пусть f - произвольное решение системы уравнений (2.13),
записанное в виде (2.16). По теореме 10 (см. Табл.1)
f  f   r 1 f1   2 f 2  ...   n f nr   //////// 0,...,0   KerA.
T
Но решение с нулевым «хвостом» может иметь только нулевое «тело».
Поэтому
f  0  f   r 1 f1   2 f 2  ...   n f nr 
 f1 ,..., f nr   ПС в
KerA 
  f1 ,..., f nr   ФСР в KerA  dim KerA  |ФСР|  n  r. ►
Следствие 1. Общее решение X îî á однородной системы уравнений (2.13)
может быть представлено в виде
nr
X   ñk f k , где ck  P, а  f1 ,..., fnr   ФСР в KerA.
î
îá
(2.17)
k 1
Следствие 2. Пусть A  M n  P  . Для того, чтобы система однородных
уравнений (2.13) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы
матрица А была вырожденной, то есть A  0.
◄ Из теоремы 11 следует, что
KerA  0  r  rM  A  n  A  0. ►
Следствие 3. Пусть A  M mn  F  . Тогда
dim KerA  dim Im A  n,
(2.18)
где n – количество неизвестных в СЛАУ (2.10), совпадающее с
размерностью пространства, в котором разыскиваются ее решения.
◄ Действительно, dimKerA  n  r (теорема 11), а dim Im A  r (следствие
к теореме 10). Откуда и вытекает формула (2.18).►
Замечание 8. Доказательство теоремы 11 содержит алгоритм
нахождения ФСР для однородной СЛАУ. Подробнее он рассмотрен в
методическом пособии [12], п.5.
2.13. Теорема Кронекера-Капелли.
Критерий совместности неоднородной СЛАУ в терминах ранга матрицы
имеет следующий вид.
58
Теорема 12 (Кронекер-Капелли). Для того чтобы неоднородная
система линейных алгебраических уравнений вида (2.10) была совместной,
необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы совпадал с рангом ее
расширенной матрицы,
(2.19)
r  A  r  B  .
Здесь матрица А имеет вид (2.11), а матрица В – вид (2.12).
◄ Система уравнений (2.10) совместна тогда и только тогда, когда ее
правая часть
b  B n1  Im A  B L(A)  span  A1 ,..., An  (теорема 10)  L(A) = L(В) =
 span  B1 ,...,B n1  (свойство 3 линейных оболочек).
Так как для любых b  P n линейная оболочка L(A) является
подпространством в пространстве L(В), то L(A) = L(В)  dim L(A) =
dim L(В)   r C  A  r C  B  (теорема 2)  r  A  r  B  (основная теорема о
ранге матрицы).
Таким образом, система уравнений (2.10) совместна тогда и только
тогда, когда выполняется условие (2.19).►
2.14. Общее решение неоднородной СЛАУ и критерий ее
определенности.
В первой части этого курса под общим решением системы линейных
алгебраических уравнений мы понимали множество всех ее решений. Теперь
мы можем более подробно описать это множество.
Теорема 13. Общее решение X îí á неоднородной системы линейных
алгебраических уравнений имеет вид
X îíá  X îî á  x÷í ,
(2.20)
где X îî á имеет вид (17), а x÷í  любое фиксированное решение СЛАУ (2.10).
◄ Формулировка теоремы предполагает доказательство двух
утверждений: во-первых, что любой вектор, имеющий вид (2.20), является
решением СЛАУ вида (2.10) или матричного уравнения Ax  b , а во-вторых,
что для любого решения x системы уравнений (2.10) найдутся такие
nr
числа ck  P, k  1,n  r, что x   ck f k  x÷í , где
k 1
 f1 ,..., fnr 
однородной системы (2.13).
Действительно, пусть
nr
x   ck f k  x÷í , где Af k  0, Ax÷í  b .
k 1
Тогда
59
 ФСР для
 nr

Ax  A   ck f k  x÷í  
 k 1

nr
 c Af
k 1
k
k
 Ax÷í  b ,
то есть x - решение системы вида (2.10).
Обратно, пусть x - решение системы вида (2.10), то есть Ax  b. Но
Ax÷í  b  Ax  Ax÷í  A  x  x÷í   0  x  x÷í  KerA ,
то есть найдутся такие числа ck  P, k  1,n  r, что
x  x÷í 
nr
nr
k 1
k 1
 ck f k  x   ck fk  x÷í .►
Из теоремы 13 вытекает следующий критерий определенности СЛАУ.
Теорема 14. Для того чтобы система уравнений вида (2.10) была
определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
(2.21)
r  A  r  B   n,
где n  число неизвестных в системе (2.10).
◄ Если система уравнений (2.10) определена, то она совместна и имеет
только одно решение. Отсюда по теореме Кронекера-Капелли r  A  r  B  , а
по теореме 13
X îî á  0  n  r  A   dim KerA  0  r  A   n  (21).►
2.15.
Приложения.
Выше было отмечено, что любое подпространство данного линейного
пространства можно задать в виде линейной оболочки, натянутой на
произвольную полную систему векторов этого подпространства. Если
ограничить-ся подпространствами пространства F n , то любое из них можно
задать как подпространство решений однородной СЛАУ с n неизвестными.
Теорема 15. Пусть L  a   span  a1 ,...,am  - линейная оболочка в
пространстве F n и

12 ...  1m 
  11

   21  22 ...  2m 
.
   ...

...
...
...
 

 
 n1  n2 ...  nm 
Тогда найдется такая матрица B  M sn  F  , что L  a   KerB.
◄ Рассмотрим неоднородную СЛАУ с матрицей А и правой частью
T
b  1 ,2 ,...,n  ,

...

A   a1 a2 ...am

...

60
  11 x1   12 x2    1m xm  1 ,
 x   x    x   ,
 21 1
21 2
2m m
2
(2.22)


 n1 x1   n2 x2    nm xm   n .
Вектор b L  a  в том и только том случае, когда СЛАУ (2.22) совместна.
Считая, что r  A  r, применим к данной системе уравнений метод Гаусса.
Пусть матрица приведенного вида, получаемая из матрицы А строчными
элементарными преобразованиями, имеет вид
 p11 p12 p1r // // 
0 p
p2r // // 
22





P 0 0
prr // //  .
0 0
0 0 0 




0 0
0 0 0 

Тогда
 A b
 p11 p12

 0 p22


0 0
0 0


0 0

 1n n 

  2n n 
p2r //


  rn n  .
prr // //  r11   r 2 2 
 r 1,11   r 1,2 2   r 1,n n 
0 0 0


 n11   n2 2 
  nn n 
0 0 0
p1r //
// 111  12 2 
//  211   22 2 
Для того чтобы система уравнений (2.22) была совместной, необходимо и
достаточно, чтобы выполнились равенства
  r 1,11   r 1,2 2    r 1,n n  0,
           0,
 r  2 ,1 1
r  2 ,2 2
r  2 ,n n


  n11   n2 2 
  nn n  0.
(2.23)
Откуда следует, что b L  a  тогда и только тогда, когда b является
решением системы (2.23), то есть b  KerB , где
61
  r 1,1

B   r  2 ,1


  n1
 r 1,2
 r  2 ,2
 r 1,n 
 n2
 nn
r  2 ,n

 .►



Теперь мы можем рассмотреть алгоритмы нахождения базисов в сумме и
пересечении подпространств. Пусть
L1 = L  a  = span  a1 ,...,am  , L2 = L  b  = span  b1 ,...,bn  .
Покажем, что
L  a,b  = L1+ L2 = span  a1 ,...,am ,b1 ,...,bn  .
Действительно,
L  a  , L  b   L  a,b   L  a  + L  b   L  a,b  .
Обратно,
m
n
k 2
j 1
x  L  a,b   x  k ak   jb j  x1  x2  L1+ L2  L  a,b  
 L1+ L2  L  a,b  = L1+ L2.
Отсюда следует, что
dim (L1+ L2) = rang  a1 ,...,am ,b1 ,...,bn  ,
а отыскание базиса в L1+ L2 сводится к нахождению базиса линейной
оболочки L  a,b  .
Пример 13. Найти размерность и базис в подпространстве L1+ L2, где
L1 = span  a1 ,a2  , a1  1,1,1,1 , a2  1,1,1,1 ,
T
T
L2 = span  b1 ,b2  , b1  1,0,1,0  , b2  1,1,1,0  .
T
T
◄ Находим базис в span  a1 ,a2 ,b1 ,b2  ,






1
1
1
1
1  c2  c1 


1 1 1  c3  c1 

0 1 0


1 1 0  c4  c1 
1
1
1
1
0
2
0
1
0
2

1
 c2  2c3 
0 2 


0 1 
 c4  2c3 
0 1 

1
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
Откуда следует, что базис в L1+ L2 образуют векторы
T
T
T
e1  a1   1,1,1,1 , e2  0,1,0,1 , e3  0,0,0,1 ,
а dim (L1+ L2) = 3.►
62
1 

0 
.
1 

1 
Для нахождения базиса в подпространстве L1  L2 нужно представить
подпространства L1 и L2 как множества решений однородных СЛАУ с
некоторыми матрицами А и В или, что равносильно, как множества решений
матричных уравнений Аx=0 и Вх=0. Пусть, например, A  M mn  R  ,
B  M pn  R  . Тогда
 A
x  L1  L2  Cx  0, где C     M  m p n  R  .
B
В самом деле,
x  KerA  Ax  0  Ak ,x  0, k 1,m,
x  KerB  Bx  0  B j ,x  0, j  1, p,

 Ak ,x  0, k  1,m,
x  KerA  KerB  
 Ck ,x  0, k  1,m  p  Cx  0.
B
,x

0,
j

1,
p
j


Пример 14. В условиях примера 13 найти dim ( L1  L2) и базис в L1  L2.
◄ Вначале находим ОСАУ1 с матрицей А такую, что L1= KerA :






1
1
1
1
1  c2  c1 


1  2  c3  c1 

1 3 


1 4  c4  c1 
1
1
0
0
0
1

 c4  c2
2  2  1 
0  3  1 

2 4  1 
1






1
0
0
0
1


2  2  1 
.
0  3  1 

0 4   2 
1
Откуда следует, что ОСЛАУ1 и ее матрица А имеют соответственно вид
1  3  0,
 1 0 1 0 
и A

.




0
0
1
0

1


 2 4
После этого находим ОСЛАУ2 с матрицей В такую, что L2 = KerB :






1
0
1
0
1 1 
 c3  c2
1  2 
1 3 

0 4 






1
0
0
0
1 

1  2  1   2  0,
 1 0 1 0 
,
и B
.
4  0
0  3  1  
0 0 0 1

4 
0
1
Откуда следует, что для подпространства L1  L2 ОСЛАУ3 и ее матрица С
имеют вид
63
1   3  0,
    0,
 2
4

1   3  0,

4  0
и
1
0
C 
1

0
0 1 0 
1 0 1 
.
0 1 0 

0 0 1
Фундаментальная система решений ОСЛАУ3 является базисом в L1  L2.
Найдем ее:






1
0
1
0
0 1 0   1
 
1 0 1   0
0 1 0   0
 
0 0 1   0
0
1
0
0
1 0   1
 
0 1   0
0
0   0
 
0
1   0
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0


 .



Откуда получаем, что r  C   3, а фундаментальная система решений состоит
из одного вектора u1  1,0,1,0  .
Таким образом, dim ( L1  L2) = 1, а базисом в L1  L2 является u1 . ►
T
Пусть теперь подпространства L1 и L2 заданны в виде множеств решений
однородных систем линейных алгебраических уравнений с матрицами А и В
соответственно, L1= KerA и L2 = KerB . Тогда для нахождения базиса в
подпространстве L1  L2 можно использовать алгоритм, рассмотренный в
примере 14, а для нахождения базиса в подпространстве L1+ L2 необходимо
представить L1 и
L2
в виде линейных оболочек, натянутых на
фундаментальные системы решений соответвующих однородных систем
линейных алгебраических уравнений, а после этого применить алгоритм,
рассмотренный в примере 13.
Пример 15. Найти dim (L1+ L2) и базис в L1+ L2 , если L1= KerA , L2
= KerB , где
 2 1 3 1 1 
 0 1 1 1 1 


A   1 1 1 1 0  , B   3 0 2 2 1  .
 1 2 4 0 1 
 1 1 1 1 1




◄ Вначале находим ФСР1 для ОСЛАУ1 с матрицей А:
64
 2 1 3 1

A   1 1 1 1
 1 2 4 0

1
0
1
 2 1 3
1

 1 1 1 1
 1 1 1 1

1
0
0
 1 2 4

 1 1 1
0 0 0

0
1
1
0 ,
0
0
r  A  2, n  r  A   3, свободные переменные: x1 ,x2 ,x3 , связанные
переменные: x4 ,x5 , «инкубатор» имеет вид
 x5   x1  2x2  4x3 ,

 x4   x1  x2  x3 ,
а ФСР1 = u1 ,u2 ,u3  определяем из таблицы
x4
x5
x1
x2
x3
u1 -1
-1
1
0
0
u 2 -1
2
0
1
0
u3 1
4
0
0
1
u1   1,0,0,1,1, , u2  0,1,0,1,2  , u3  0,0,1,1,4  .
T
T
T
После этого находим ФСР2 для ОСЛАУ2 с матрицей В:
 0 1 1 1

B  3 0 2 2
1 1 1 1

1
1
1
 0

 3
 1

1
0
0
 0

 0
 1

2 8
1 9
0 2
1
0 ,
0
1 1 1
1 1 3
0 0 2
 0

 0
 1

0
1
0
1
1
0
1 1
1 9
0 2
1
0
0
r  B   3, n  r  B   2 , свободные переменные: x3, x4 , связанные переменные:
x1 , x2 , x5, «инкубатор» имеет вид
2x4 ,
 x1 

 x2  x3  9x4 ,
 x  2x  8x ,
3
4
 5
65
а ФСР2 = v1 ,v2  определяем из таблицы
x1
x2
x5
x3
x4
0
1
-2
1
0
v2 2
9
-8
0
1
v1
v1  0,1,1,0,2  , v2   2,9,0,1,8  .
T
T
Так как
L1+ L2 = KerA  KerB  span  u1 ,u2 ,u3   span  v1 ,v2  ,
то базис в подпространстве L1+ L2 определяется так же как в примере 13,

















0 0 1 1 


1 0 1 2  c5  2c1 

0 1 1 4 


1 1 0 2 



9 0 1 8 

1
0
0
0
2
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
3

1 1 


1 2  c4  c3 

1 4 


1 4   1 / 4  c5 

4 8 

0 1 1  c4  c2

0 1 2  c5  3c3
1 1 4 

1 0 2 
0 1 2 
1
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1 1 

1 2 
1 4  .

0
0 
1 2 
Откуда следует, что dim (L1+ L2) = 4, а базис в L1+ L2 образуют векторы
T
T
T
T
e1  1,0,0,1,1 ,e2  0,1,0,1,2  ,e3  0,0,1,1, 4  ,e4  0,0,0,1,2  . ►
66
Основная литература
1. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М: Наука, 1971.
2. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М: Наука,
1974
3. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М: Наука, 1974.
4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Часть 2. Линейная алгебра. М.:
Физико-математическая литература, 2000.
5. Дыбин В.Б. Лекции по линейной алгебре, ч.II, выпуск 1. Линейное
пространство. Ростов-на-Дону, Изд.РГУ, 1996.
6. Козак А.В., Пилиди В.С. Линейная алгебра. М.: Вузовская книга, 2001.
7. Дыбин В.Б. Лекции по линейной алгебре, Часть II, выпуск 2,
Подпространство. Ростов-на-Дону, 2006, 32 стр. (электронный вид).
8. Дыбин В.Б. ХII лекций по алгебре. Пособие для первокурсника. 2006,
77 стр.(электронный вид).
Дополнительная литература.
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
М: Наука, 1980.
2. Шилов Г.Е. Введение в теорию линейных пространств. Гостехиздат,
1956.
3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974.
4.
Дополнительные методические материалы.
1. Дыбин В.Б., Семигук В.М. Линейные пространства. Базисы и
координаты. Методические указания, выпуск 5. Ростов-на-Дону,
Изд.РГУ, 1995.
2. Дыбин В.Б., Семигук В.М. Подпространства. Методические указания,
выпуск 7. Ростов-на-Дону, Изд.РГУ, 1997.
67
3. Дыбин В.Б. Евклидовы пространства. Методические указания, выпуск
6. Ростов-на-Дону, Изд.РГУ, 1996.
Задачники.
1. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.:
Наука, 1972.
2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.-С.-П.:
Физматлит,2001.
3. Кряквин В.Д. Линейная алгебра в задачах и упражнениях. М.:
Вузовская книга, 2006.
68