И.А. Ферсман

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
__________________
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ ЛЕСОТЕХНИЧЕСКАЯ
АКАДЕМИЯ
Кафедра физики
Лабораторная работа № 10
ЗАКОНЫ КОЛЕБАНИЯ
УПРУГОЙ ПРУЖИНЫ
Методические указания
к лабораторной работе
с элементами научных исследований
в практикуме по физике
для студентов всех видов обучения
и всех специальностей
Санкт-Петербург
2011
Рассмотрены и рекомендованы к изданию
методической комиссией факультета химической технологии и биотехнологии
Санкт-Петербургской государственной лесотехнической академии
февраля 2011 года
Составитель
кандидат физико-математических наук, доцент
И.А. Ферсман
О т в. р е д а к т о р
доктор физико-математических наук, профессор
С.М. Герасюта
Рецензент
кафедра физики СПбГЛТА
2
Теоретическое пояснение
Деформация тела называется упругой, если после снятия нагрузки она
полностью исчезает. Это происходит за счет возникающих при деформации сил
упругости.
В случае одноосного растяжения (или сжатия), например, упругого
цилиндра длиной l0 и сечением S под действием внешней силы F возникает
абсолютная деформация х (рис. 1), которая в соответствии с законом Гука
связана с силой F следующим образом:
F=kx,
(1)
где k — коэффициент жесткости, численно равный внешней силе,
вызывающей единичное удлинение; Н/м в системе СИ
Напомним, что в соответствии с 3-м законом динамики при любой
деформации х упругого тела внешняя сила F численно равна упругой силе F y ,
направленной в противоположную сторону. Закон Гука для упругой силы,
следовательно, должен быть записан так
F у = - kx.
(2)
На рис. 2 графически представлена зависимость действующей силы от
величины деформации.
Угловой
жесткости k
коэффициент
этой
прямой
соответствует
коэффициенту
( t g a = k ) , имеющему размерность Н/м.
3
Абсолютно упругих тел, для которых закон Гука выполняется при любых
сколь угодно больших деформациях, в природе нет. Реальные тела только при
сравнительно
небольших
нагрузках
подчиняются
закону
Гука.
В
сопротивлении материалов и теории упругости принято оперировать силой,
приходящейся на единицу площади сечения материала, т. е. σ = F/S. В этом
случае эту силу называют напряжением σ, имеющим размерность давления
(Н/м2 или дин/см2).
Для каждого тела имеется свой предел напряжения, до которого тело ведет
себя
как
упругое.
обнаруживается
Наибольшее
остаточная
или
напряжение,
пластическая
при
котором
деформация
еще
не
материалов,
называется пределом упругости. Хорошим примером упругого тела, для
которого в широких пределах выполняется закон Гука, служит пружина.
Как известно, для любой изменяющейся по величине силы F работа этой
силы рассчитывается по формуле
x2
А   Fdx .
x1
Для силы упругости величина работы, как видно из рис. 2 и в соответствии
с вышеприведенной формулой, численно равна заштрихованной площади и
может быть определена по формуле
А=kx 2 /2
(3)
В соответствии с законом сохранения энергии работа упругой силы при
отсутствии рассеяния энергии (или диссипативных сил) переходит в
потенциальную энергию Wп деформированной пружины, т. е.
A = Wп .
4
На этом основании можно считать, что упруго деформированное тело
обладает потенциальной энергией, равной
W п =kx 2 /2
(4)
Если кратковременным воздействием (толчком) вывести упругое тело из
равновесия (например, растянуть пружину), а затем предоставить его самому
себе, то оно начнет совершать с в о б о д н ы е (или с о б с т в е н н ы е ) колебания.
В процессе колебания тело периодически возвращается в положение
равновесия под действием внутренней упругой силы. Эту силу называют
возвращающей, т. к. она всегда направлена к положению равновесия, т. е. в
сторону, противоположную смещению, т. е. в соответствии с формулой (2)
Fвозвр= - kx.
Выведем уравнение свободных колебаний, считая, что силы трения малы
и ими можно пренебречь. В таком случае второй закон Ньютона можно
записать в виде:
ma= Fвозвр
или
та= -kx,
где т - масса тела; а - ускорение.
Как известно, ускорение есть вторая производная от смещения по времени,
т. е.
a=(d 2 x/dt 2 )= x
Следовательно,
т x =-kx
или m x +kx=0.
Разделив оба члена уравнения на массу и введя обозначение k/m=ω2,
последнее уравнение представим а виде:
x +ω 2 x=0
(5)
5
А теперь надо решить это дифференциальное уравнение, т. е. надо найти
такую связь между смещением х и временем t, чтобы она удовлетворяла
уравнение (5). Легко проверить, что эта связь дается выражением:
х=А sin(ωt+φ0) или х=А cos(ωt+φ0).
(6)
Действительно, взяв вторую производную от x по времени, мы увидим, что
..
полученное значение x обращает уравнение (5) в тождество.
В выражение (6) введены следующие величины:
А - амплитуда колебаний, т.е. максимальное смещение от положения
равновесия;
φ = ωt+φ0 фаза колебаний, т.е. аргумент синуса или косинуса при
фиксированном времени, однозначно определяющим смещение точки;
φ0 - начальная фаза колебаний, соответствующая времени t=0;
ω - угловая или круговая частота собственных колебаний, связанная с
периодом собственных колебаний:
ω=2π/Т.
Под периодом полного колебания Т подразумевается промежуток времени,
в течение которого колеблющееся тело или точки пройдут каждую точку
своего пути дважды: один раз - двигаясь в одном направлении, а в другой раз двигаясь в другом направлении, т.е. это время возвращения точки в исходное
состояние движения.
Поскольку собственная угловая частота ω = k / m , то очевидно, что
Т=2π m / k .
(7)
Из последней формулы видно, что период собственных полных колебаний
зависит только от массы колеблющейся системы и от ее упругих свойств.
От того, каким было начальное воздействие, зависит полная механическая
энергия колеблющейся системы. При незатухающих колебаниях величина этой
6
энергии
остается
постоянной
и
происходит
периодически
переход
потенциальной энергии в кинетическую и наоборот. Поэтому можно считать,
что полная энергия W равна максимальному значению потенциальной энергии
или максимальному значению кинетической энергии. Тогда, принимая во
внимание, что хмакс= А , можно написать
W=Wп.макс=kA2/2.
Если сила трения велика, то часть энергии, расходуемая на ее преодоление,
преобразуется в тепло и рассеивается. Амплитуда колебаний в этом случае с
течением времени уменьшается. Такие колебания называют затухающими.
Цель работы и описание установки
В настоящей работе ставятся три задачи:
1. Определить коэффициент жесткости пружины k .
2. Найти запас потенциальной энергии растянутой пружины Wn .
3. Определить период Т собственных колебаний пружины с грузом.
Установка,
вертикальную
на
которой
стойку,
на
производится
которой
работа,
закреплена
представляет
зеркальная
собой
шкала
с
миллиметровыми делениями. Перед шкалой подвешена стальная пружина, на
нижнем конце которой укреплен подвес (рис. 3). К установке прилагается
набор гирь, которые следует помещать на подвес для растяжения пружины. Для
7
того, чтобы стойка находилась в вертикальном положении, основание ее
снабжено двумя установочными винтами.
Об удлинении пружины судят по изменению положения верхней
стороны подвеса. Во избежание параллакса при отсчете по шкале надо глаз
располагать так, чтобы верхняя сторона подвеса совпадала с ее отражением.
Порядок проведения работы
1. Отметить по шкале положение ненагруженного подвеса. Записать отсчет
( L  ) и вес подвеса Р0 (указан на лабораторном столе).
2. Поместив на подвес гирю в 50 г, снова сделать отсчет. Затем добавить еще
50 г и опять сделать отсчет. Так поступать до тех пор, пока не исчерпаются все
гирьки набора. После этого, разгружая пружину, повторить измерения в
обратном направлении, снимая отсчеты L".
Для идеальной пружины отсчеты L' и L" для данной пружины должны были
бы совпасть.
Можно считать, что для каждой нагрузки F реальный и наиболее точный
отсчет соответствует
L=(L'+L")/2.
Полученные данные заносить в табл. 1.
Таблица 1
№
Р
F=P0+P
L'
L"
L
п/п
Н
Н
мм
мм
мм
1.
2.
3.
8
3. По полученным данным построить график зависимости силы F от длины
пружины L.
Пользуясь графиком надо:
а ) найти коэффициент жесткости пружины k ;
б ) найти путем экстраполяции, какую длину L 0 имеет пружина без подвеса,
т. е. при F=0 (массу пружины не учитываем);
в) найти запас энергии растянутой пружины Wп (работу растяжения) при
самой большой нагрузке [формула (4)].
4. Чтобы определить период колебаний, надо на подвесе симметрично (во
избежание возникновения крутильных колебаний) разместить несколько гирек
набора. Затем, оттянув подвес на 1-3 см, отпустить его. По секундомеру надо
отметить время t , за которое совершается п (40  50) полных колебаний. Опыт
надо повторить три раза, занося результаты в табл. 2.
Таблица 2
№
n
t, c
T0, с
T0, с
п/п
1.
2.
3.
Среднее:
5. Вычислить по формуле (7) значение периода, соответствующего массе т,
использованной в предыдущем опыте, и сравнить со значением периода,
полученным в пункте 4.
Естественно, что под массой m в пунктах 4 и 5 подразумевается масса
гирек с подвесом.
9
Контрольные вопросы
1. Какие деформации называются упругими?
2. В чем заключается закон Гука?
3. Что называется пределом упругости?
4. Как рассчитать энергию упруго деформированного тела?
5. Какие колебания называются свободными? Под действием каких сил
совершаются свободные колебания?
6.Что называется смещением? По какому закону меняется смещение при
свободных колебаниях?
7. От чего зависит период свободных колебаний?
8. Учитываются ли силы трения в этой работе?
СОДЕРЖАНИЕ
Теоретическое пояснение
3
Цель работы и описание установки
7
Порядок проведения работы
8
Контрольные вопросы
10
10