Исследовательская работа Оценка погрешностей измерений Автор: Тукмакова О.А. Чувашская республика г.Чебоксары МОУ “Гимназия№1” 11 класс Научный руководитель: Сафиуллина Л.В. Преподаватель математики МОУ “Гимназия№1” Чебоксары 2003 Содержание Введение………………………………………………………………………………………3 1 Линейное уравнение……………………………………………………………………..…3 2 Линейная функция……………………………………………………………………..……4 3 Квадратичная функция………………………………………………………………..……5 4 Дробно-инейная функция…………………………………………………………………..6 5 Определение погрешностей исходных параметров функции по данной относительной погрешности функции…………………………………………………………………..……7 Литература……………………………………………………………………………………..9 2 Введение При всяком измерении физическая величина сравнивается с однородной величиной, принятой за единицу. В физике и технике не существует абсолютно точных приборов и других средств измерения, следовательно, нет и абсолютно точных способов измерения. Процесс измерения только тогда считается завершенным, когда указано не только число x, которое принято за результат измерения, но и число x , которое позволяет определить интервал x x; x x , достоверно содержащий неизвестное экспериментатору истинное значение измеряемой величины. Основной целью данной работы является изучение погрешностей различных параметров при вычислении линейной, квадратичной и дробно-линейной функции. В учебной литературе рассматриваются погрешности конкретных измерений. В данной работе выедены формулы вычисления погрешностей различных параметров при вычислении различных функции. При выводе формул нами используются методы приближенных решений уравнений и алгебраические преобразования. §1. Линейное уравнение Теорема 1.1 Если коэффициент b в линейном уравнении k*x+b=0, где b 0 вычислен с погрешностью | b b0 | 1 то значение переменной x вычисляется с погрешностью | x0 x | 1 |k| (1.1) где b - точное значение коэффициента b, b0 - его приближенное значение k Доказательство. Выразим переменную x через k и b и получим x , то b b b b b имеем x0 x1 0 1 1 0 1 1 . Получили x0 x1 1 k k k k k k Теорема доказана. Замечание. Погрешность переменной x для данного линейного уравнения возрастает с увеличением погрешности коэффициента b. Теорема 1.2 Если коэффициент k в линейном уравнении k*x+b=0, где k 0 k0 вычислен с погрешностью 2 , то значение переменной x вычисляется с k1 погрешностью x0 2 x1 (1.2) k Доказательство. Выразим переменную x через k и b и получим x , то имеем b x0 x b b k0 2 . Получили 0 2 x1 k0 k1 k1 x1 Теорема доказана. 3 §2. Линейная функция Теорема 2.1 Если коэффициент b в линейной функции y=k*x+b, где k 0 вычислен с погрешностью│b0-b1│ 1 , то значение функции вычисляется с погрешностью (2.1) y0 y1 1 где b0 – точное значение коэффициента b, b1 – его приближенное значение, y0 – точное значение функции, y1 – ее приближенное значение. Доказательство. Если коэффициент b в линейной функции y=k*x+b, где k 0 вычислен с погрешностью│b0-b1│ 1 , то имеем y0 y1 kx b0 kx b1 b0 b1 1 Теорема доказана. Теорема 2.2 Если коэффициент k линейной функции y=k*x+b, где k 0 на промежутке m x n вычислен с погрешностью k0 k1 2 , то значение функции вычисляется с погрешностью (2.2) y0 y1 1 * n Доказательство. Если коэффициент k линейной функции y=k*x+b, где k 0 на промежутке m x n вычислен с погрешностью k0 k1 2 , то имеем y0 y1 k 0 x b k1 x b k 0 k1 * x 2 x 2 n Теорема доказана. Теорема 2.3 Если коэффициент k в линейной функции y=k*x+b, где k 0 вычислен с погрешностью k0 k1 1 , а коэффициент b вычислен с погрешностью│b0-b1│ 2 , то значение функции вычисляется с погрешностью (2.3) y0 y1 1 * x 2 Доказательство. Если коэффициент k в линейной функции y=k*x+b, где k 0 вычислен с погрешностью k0 k1 1 , а коэффициент b вычислен с погрешностью│b0- b1│ 2 , то имеем y0 y1 k 0 x b0 k1 x b1 k 0 k1 x b0 b1 1 x 2 Теорема доказана. Теорема 2.4 Если переменная x в линейной функции y=k*x+b, где k 0 вычислена с погрешностью x0 x1 1 , то значение функции вычисляется с погрешностью y0 y1 1 k Доказательство. Если переменная x в линейной функции y=k*x+b, где k 0 вычислена с погрешностью x0 x1 1 , то имеем (2.4) y0 y1 kx0 b kx1 b x0 x1 k 1k Теорема доказана. Теорема 2.5 Если коэффициент k в линейной функции y=k*x+b, где k 0 вычислен с погрешностью k0 k1 1 , переменная x вычислена с погрешностью x0 x1 2 , а коэффициент b вычислен с погрешностью│b0-b1│ 3 , то значение функции вычисляется с погрешностью (2.5) y0 y1 x1 1 + k1 2 +2 1 2 + 3 Доказательство. Если коэффициент k в линейной функции y=k*x+b, где k 0 вычислен с погрешностью k0 k1 1 , переменная x вычислена с 4 погрешностью x0 x1 2 , а коэффициент b вычислен с погрешностью│b0-b1│ 3 , то имеем y 0 y1 k 0 x0 b0 k1 x1 b1 k 0 x0 b0 b1 k1 x1 k1 x0 k1 x0 k 0 k1 x k1 x0 x1 b0 b1 1 x1 2 k 0 3 k0- 1 k0- 1 k0 k k 0 k1 21 , то имеем y0 y1 x1 1 k1 21 2 3 x1 1 k1 2 21 2 3 Теорема доказана. §3. Квадратичная функция Теорема 3.1 Если коэффициент a квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где a 0 на промежутке m x n вычислен с погрешностью│a0-a1│ 1 , то значение функции вычисляется с погрешностью (3.1) y0 y1 1 *n2 Доказательство. Если коэффициент a квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где a 0 на промежутке m x n вычислен с погрешностью│a0-a1│ 1 , то имеем y 0 y1 a0 x 2 bx c a1 x 2 bx c a0 a1 x 2 1 x 2 1 n 2 Теорема доказана. Теорема 3.2 Если коэффициент b квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где a 0 на промежутке m x n вычислен с погрешностью│b0-b1│ 2 , то значение функции вычисляется с погрешностью (3.2) y0 y1 1 *n 2 Доказательство. Если коэффициент b квадратичной функции y=a*x +b*x+c, где a 0 на промежутке m x n вычислен с погрешностью│b0-b1│ 2 , то имеем y 0 y1 ax 2 b0 x c ax 2 b1 x c b0 b1 x 1 x 1 n Теорема доказана. Теорема 3.3 Если коэффициент c квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где a 0 вычислен с погрешностью│c0-c1│ 3 , то значение функции вычисляется с погрешностью (3.3) y0 y1 3 2 Доказательство. Если коэффициент c квадратичной функции y=a*x +b*x+c, где a 0 вычислен с погрешностью│c0-c1│ 3 , то имеем y 0 y1 ax 2 bx c0 ax 2 bx c1 c0 c1 3 Теорема доказана. Теорема 3.4 Если коэффициент a квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где a 0 на промежутке m x n вычислен с погрешностью│a0-a1│ 1 , а коэффициент b на промежутке m x n вычислен с погрешностью│b0-b1│ 2 , то значение функции вычисляется с погрешностью (3.4) y0 y1 1 * n2 2 * n Доказательство. Если коэффициент a квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где a 0 на промежутке m x n вычислен с погрешностью│a0-a1│ 1 , а коэффициент b на промежутке m x n вычислен с погрешностью│b0-b1│ 2 , то имеем 5 y 0 y1 a0 x 2 b0 x c a1 x 2 b1 x c a0 a1 x 2 b0 b1 x 1 n 2 2 n §4. Дробно-линейная функция Теорема 4.1 Если переменная x в функции y 1 вычислена с погрешностью x x0 1 , то значение функции вычисляется с погрешностью x1 y0 1 y1 1 Доказательство. Если переменная x в функции y (4.1) 1 вычислена с погрешностью x 1 y x x 1 x0 1 , то имеем 0 0 1 1 y1 x0 1 x1 x1 Теорема доказана. ax b Теорема 4.2 Если коэффициент a в дробно-линейной функции y вычислен с cx d погрешностью│a0-a1│ 1 , то значение функции вычисляется с погрешностью 1 x y0 y1 (4.2) cx d ax b Доказательство. Если коэффициент a в дробно-линейной функции y cx d a x b a1 x b 1 x вычислен с погрешностью│a0-a1│ 1 , то имеем y 0 y1 0 cx d cx d cx d Теорема доказана. ax b Теорема 4.3 Если коэффициент b в дробно-линейной y функции вычислен с cx d погрешностью│b0-b1│ 2 , то значение функции вычисляется с погрешностью 2 y0 y1 (4.3) cx d ax b Доказательство. Если коэффициент b в дробно-линейной y функции cx d ax b0 ax b1 2 вычислен с погрешностью│b0-b1│ 2 , то имеем y 0 y1 cx d cx d cx d Теорема доказана. ax b Теорема 4.4 Если коэффициент b в дробно-линейной функции y вычислен с cx d c погрешностью 0 3 , то значение функции вычисляется с погрешностью c1 1 3 d y1 3 y0 c1 x d 6 (4.4) коэффициент b в дробно-линейной функции y Доказательство. Если вычислен имеем y1 y 01 с погрешностью ax b cx d c0 3 , c1 то c0 ax b 1 d 1 3 d c1 c0 x d c0 c1 x d 3 ax b c1 x d c1 c1 x d c1 x d c0 x d Теорема доказана. §5. Определение погрешностей исходных параметров функции по данной относительной погрешности функции 1. Линейная функция 1) По теореме 2.1 имеем: если коэффициент b в линейной функции y=k*x+b, где k 0 вычислен с погрешностью│b0-b1│ 1 , то значение функции вычисляется с погрешностью y0 y1 1 если значение функции в линейной функции y=k*x+b, где k 0 вычисляется с погрешностью y0 y1 2 , то коэффициент b вычисляется с погрешностью │b0-b1│ 2 (5.1) 2) По теореме 2.2 имеем: если коэффициент k в линейной функции y=k*x+b, где k 0 вычислен с погрешностью k0 k1 2 , то значение функции вычисляется с погрешностью y0 y1 1 * x если значение функции в линейной функции y=k*x+b, где k 0 вычисляется с погрешностью y0 y1 2 ,то коэффициент k вычисляется с погрешностью k 0 k1 2 (5.2) x 2. Квадратичная функция 1) По теореме 3.1имеем: если коэффициент a в квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где a 0 на промежутке m x n вычислен с погрешностью│a 0 -a 1 │ 1 , то значение функции вычисляется с погрешностью (5.3) y0 y1 1 *n2 если значение функции в квадратичной функции y = a *x 2 +b*x+c, вычислено с y y 2 погрешностью 0 1 ,то коэффициент a вычисляется с погрешностью a0 a1 23 . n 2) По теореме 3.2 имеем: если коэффициент b в квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где a 0 на промежутке m x n вычислен с погрешностью│b0-b1│ 2 , то значение функции вычисляется с погрешностью y0 y1 1 *n если значение функции в квадратичной функции y=a*x2+b*x+c, где a 0 на промежутке m x n вычислено с погрешностью y0 y1 2 , то коэффициент b вычисляется с погрешностью │b0-b1│ 7 2 n (5.4) 3) По теореме 3.3 имеем: если коэффициент c в квадратичной функции y=a*x +b*x+c, где a 0 вычислен с погрешностью│c0-c1│ 1 , то значение функции вычисляется с погрешностью y0 y1 1 если значение функции в квадратичной 2 функции y=a*x2+b*x+c, где a 0 вычислено с погрешностью y0 y1 2 ,то коэффициент c вычисляется с погрешностью │c0-c1│ 2 (5.5) 3. Дробно-линейная функция ax b cx d вычисляется с 1) По теореме 4.2 имеем: если коэффициент a в дробно-линейной функции y погрешностью│a0-a1│ 1 , то значение функции 1 x погрешностью y0 y1 если значение функции в дробно-линейной функции cx d ax b y вычисляется y0 y1 2 ,то коэффициент a вычисляется с погрешностью cx d cx d │a0-a1│ 2 (5.6) x вычислен с ax b cx d вычисляется с 2) По теореме 4.3 имеем: если коэффициент b в дробно-линейной функции y погрешностью│b0-b1│ 2 , то значение функции 2 если значение функции в дробно-линейной функции погрешностью y0 y1 cx d ax b y вычислено с погрешностью y0 y1 2 ,то коэффициент b вычисляется с cx d погрешностью │b0-b1│ 2 cx d (5.7) вычислен с 3) По теореме 4.4 если коэффициент b в дробно-линейной функции y вычислен с погрешностью погрешностью c0 3 , c1 то значение функции ax b cx d вычисляется с 1 3 d . y1 3 y0 c1 x d ax b вычислено с cx d погрешностью y0 y1 2 ,то коэффициент с вычисляется с погрешностью если значение функции в дробно-линейной функции y c xd c1 2 1 d c0 c1 x d d (5.8) Заключение В ходе работы были рассмотрены погрешности при вычислении линейной, квадратичной и дробно-линейной функции при известных погрешностях различных параметров и переменной. 8 Литература 1. Н.Я.Виленкин,С.И.Шварцбурд.Алгебра и математический анализ. –М.:Мнемозина, 2000.-335с.:ил. 2. А.Г.Корн,Т.Корн.Справочник по математике для научных работников и инженеров.-М.:Наука,1984._831с. 9