Импульс и закон сохранения - Нео

Импульс тела.
Основная задача механики-определение положения тела в любой момент времени. Большинство
физических величин, которые используются в механике являются векторными, т.е. имеют направление и
численное значение (модуль вектора). К ним относятся перемещение, скорость тела, ускорение, сила.
Скалярными величинами (не имеющими направления) являются масса тела и время движения. Условимся
векторные величины обозначать буквами, выделенными жирным шрифтом, а скалярные-обычным
шрифтом.
Для решения основной задачи механики мы применяем законы Ньютона. Второй закон Ньютона говорит о
том, что ускорение, сообщаемое телу массой m действующей на него силой F, равно a=F/m. Но эту же
задачу механики можно решить гораздо проще, если воспользоваться следствием из 2 закона Ньютона.
Получим его.
Пусть на тело массой m действует сила F и сообщает ему ускорение а. По определению ускорение а=v-v0/t,
где а-ускорение, v-конечная скорость тела или скорость спустя время движения t, v0-начальная скорость
тела или скорость в момент времени, равный 0. Подставим эту формулу в формулу 2 закона Ньютона и
умножим обе части равенства на t. Получим Ft=m(v-v0).
Произведение силы на время ее действия называется импульсом силы.
Эта величина является векторной, т.к. сила-векторная величина. Особой буквы обозначения импульс силы не
имеет, обозначается Ft, измеряется в Н*с. Векторная физическая величина, численно равная произведению массы
тела на его скорость, называется импульсом тела. Обозначается р, измеряется в кг*м/с. Произведение mv0
называется начальным импульсом тела р0, произведение mv- конечным импульсом тела р.
Импульс тела и скорость всегда сонаправлены.
Разность между конечным и начальным импульсом тела называется изменением импульса тела. Полученное
равенство Ft=m(v-v0) означает следующее: импульс силы равен изменению импульса тела. Это и есть 2 закон
Ньютона в новой для Вас формулировке.
Вопросы. (Задания части А.)
1. Тело массой m движется под действием силы F с ускорением а в течение времени t. Чему равен импульс силы,
действующей на тело?
Ответ Ft.
2. Тележка массой 100 г движется равномерно по горизонтальной поверхности со скоростью 5 м/с. Чему равен ее
импульс?
Ответ 0,5 кг ∙ м/с;
3.Материальная точка двигалась по прямой под действием силы 20 Н и изменила свой импульс на 40 кг ∙ м/с. За
какое время это произошло?
Ответ 2 с;
Проверь себя.
Материальная точка массой m равномерно движется по окружности радиусом R со скоростью v. Чему равен
модуль изменения импульса за половину периода?(Вспомните, как направлен вектор скорости при движении
материальной точки по окружности, где окажется точка через половину периода вращения).
Ответ 2mv;
V
Закон сохранения импульса.
Третий закон Ньютона говорит нам, что силы, с которыми взаимодействуют два тела, равны по модулю и
противоположны по направлению, F1 =-F2. Рассмотрим два тела, которые взаимодействуют только друг с
другом. Такая система тел называется замкнутой (консервативной). Обозначим силу действия первого тела на
второе F1, а силу действия второго тела на первое F2. Импульс первой силы будет равен F1t = m1u1—m1v1, где m1масса первого тела, v1-скорость первого тела до взаимодействия, u1- скорость первого тела после
взаимодействия. Аналогично для импульса второй силы F2t = m2u2— m2v2, t-время взаимодействия тел.
Подставим в выражение для третьего закона Ньютона значения сил, полученных из импульсов сил, поделенные
на время взаимодействия t. Получим m1u1— m1v1 =-m2u2— m2v2, перенесем все величины для первого тела в
левую часть равенства, а для правого тела-в правую часть равенства и учтем знак минус.
Окончательно получим m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2.
Это и есть закон сохранения импульса.
Векторная сумма импульсов тел, составляющих замкнутую систему, остается постоянной при любых
взаимодействиях тел этой системы между собой.
Задачи на применение закона сохранения импульса решать просто и интересно, если не забывать следующее:
1.закон применяется только для замкнутой системы тел.
2.прежде, чем решать задачу, выясните, в чем заключается взаимодействие тел. Если происходит соударение тел,
то знайте, что удар бывает абсолютно упругий- тела после такого удара движутся раздельно, неупругий удар тела соединяются и дальше движутся как единое целое.
3.имеем дело с векторными величинами, а значит необходимо будет проецировать..
Вопросы для самоконтроля. Все задания части А
1.Материальная точка летит в направлении неподвижной стенки со скоростью v, перпендикулярной стене.
Происходит абсолютно упругий удар. Найдите изменение проекции импульса точки на ось X.
Ответ -2mv0 ;
2. Два шара с одинаковыми массами двигались навстречу друг другу с одинаковыми по модулю
скоростями v. После неупругого столкновения оба шара остановились. Каково изменение суммы
импульсов шаров в результате столкновения?
Ответ 0;
3. Автомобиль массой 1т, двигаясь прямолинейно, увеличил скорость от 36 км/ч до
72 км/ч. Изменение модуля импульса автомобиля равно:
Ответ 1 ∙ 104 кг ∙ м/с.
Попробуй сам.
Два шарика массой 200 г и 100 г движутся со скоростями 4 м/с и 3 м/с соответственно. Направления движения
шаров составляют друг с другом угол 90°. Чему равен модуль суммарного импульса шариков?
p2
p1
Ответ 0,85 кг ∙ м/с
Алгоритм решения задач на закон сохранения импульса.
1.Определить вид системы тел: если замкнутая-можно применять закон.
2.Определить характер взаимодействия тел. Возможные варианты: удар абсолютно упругий, удар неупругий,
разделение тела на части.
3.Сделать рисунок, на котором показать тела, их скорости до и после взаимодействия, ось координат х, вдоль
которой происходит движение тел. При необходимости показать две оси координат x и y.
4.Записать закон сохранения импульса в векторном виде.
5.Найти проекции векторов на выбранную ось, т.е. спроецировать импульсы тел.
6.Из полученного уравнения проекций выразить нейзвестную величину и вычислить ее.
Прим. Если этого уравнения недостаточно для решения задачи, применит формулы кинематики или динамики.
Пример ршения задачи.
Два тела массами 2кг и 3кг движутся без трения навстречу друг другу со скоростями 6м/с и 2м/с. Определите
скорости тел после неупругого удара.
Отвечаем на вопросы алгоритма.
1.Система замкнута, т.к. тела взаимодействуют только между собой, трения нет.
2.Взаимодействием тел, в результате которого изменится их скорость, является неупругий удар.
3.Сделаем рисунок, соответствующий условию задачи. Предположим, что после удара тела будут двигаться
вправо.
v1
v2
m1
u
m2
m1+m2
Х
4.Запишем закон сохранения импульса: m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2.
5.Найдем проекции каждого вектора по порядку их записи в законе. Проекция вектора m1v1 положительна, т.к.
Вектор сонаправлен с осью Х, и равна модулю вектора, т.к. Вектор параллелен оси Х. Аналогично поступим с
другими векторами. В итоге получим уравнение
m1v1 - m2v2 = -m1u1 – m2u2. Т.к. Скорости u1 u2 равны и обозначены u, ее можно вынести за скобки. m1v1 - m2v2 = (m1 + m2 )u.
6.Выразим неизвестную скорость u. u= (m1v1 - m2v2)/-(m1 + m2).
Произведем вычисления: u=(2кг*6м/с – 2кг*4м/с)/- (2кг+3кг)=-0.8м/с.
Ответ получился отрицательный. Это означает, что направление скорости после удара было выбрано неверно.
Чтобы впредь не создавать такой проблемы и не объяснять знак найденной скорости, нужно запомнить
следующее правило. Скорость тел после неупругого удара всегда направлена в сторону большего импульса тел
до удара. В данной задаче импульсы тел были у первого тела 12кгм/с, у второго-8кгм/с. Больший импульс был
направлен вправо, значит и скорость тел после удара будет направлена вправо.
Разберем еще одну задачу.
По горизонтальным рельсам движется платформа массой 1т со скоростью 6м/с. На нее сверху насыпают щебень
массой 200кг. С какой скоростью дальше будет двигаться платформа?
1.Система тел платформа – щебень замкнута, взаимодействие -неупругий удар.
m2
v1
v2
m1
u
m1+m2
Х
2.m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2.
3.В проекции на ось Х
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)u, но проекция v2 на ось Х равна 0 (вектор и ось перпендикулярны друг другу),
окончательно получаем
m1v1 = (m1 + m2)u.
4.Выразим u = m1v1 / (m1 + m2) и вычислим u= 1000кг*6м/с / 1200кг = 5м/с.
Попробуй решить задачи. (Такие задания встречаются в частях А и В).
1.На тележку массой 20 кг, движущуюся по горизонтальной поверхности со скоростью 0,1 м/с, положили
кирпич массой 5 кг. Чему будет равна скорость тележки?
Ответ 0,08 м/с;
2.Тележка массой 2 кг, движущаяся со скоростью 3 м/с, сталкивается с неподвижной тележкой массой 4 кг
и сцепляется с ней. Чему будет равна скорость обеих тележек после взаимодействия?
Ответ 1 м/с;
3.Человек массой 70 кг прыгнул с берега в неподвижную лодку, находящуюся у берега, со скоростью 6 м/с.
С какой скоростью станет двигаться лодка вместе с человеком, если масса лодки 35 кг?
Ответ 4 м/с;
А теперь проверка.
Снаряд, летящий горизонтально со скоростью 200 м/с, разрывается на два одинаковых осколка, один из
которых летит в противоположную сторону со скоростью 200 м/с. С какой скоростью летит второй
осколок?
Ответ 600 м/с.(ответ будет скрыт)
Реактивное движение.
Закон сохранения импульса-один из важнейших законов физики, а значит и природы. Его
проявление можно наблюдать в мире живых организмов. Например, морские животные кальмары
передвигаются под водой, выбрасывая струю жидкости. Существует растение, которое называется
«бешеный огурец». Семена этого растения выбрасываются на большое расстояние, а сам огурец
отлетает в противоположном направлении. Применение закона сохранения импульса в технике
привело к созданию реактивного движения. Большая роль в его разработке принадлежит русским
и советским ученым К.Э.Циолковскому, С.П.Королеву и многим другим. Первый в мире
искусственный космический спутник Земли был запущен в СССР в 1957г.
Рассмотрим принцип реактивного движения. Оно возникает при отделении от тела какой-либо его
v
2
v
1
Х
части.
Пусть в начальный момент времени тело общей массой m1+m2 покоилось. Импульс тела был
равен 0.
V1
V2
Х
m1+m2
m1
m2
Затем тело разделилось на части массами m1 и m2, движущиеся со скоростями u1 и u2 соответственно.
Запишем закон сохранения импульса для данного случая: 0=m1v1 + m2v2. Т.к. векторы u1 и u2
направлены в противоположнве стороны, то их проекции на ось Х будут иметь противоположные
знаки.
Получаем 0=-m1u1 + m2u2. Отсюда следует m1v1 = m2v2. Если представить, что первое тело – это
оболочка ракеты, а второе тело – вытекающие из нее газы, образованные при сгорании топлива, то
скорость оболочки будет равна
vоб = mгазаvгаза /mоб.
В действительности масса истекающего из ракеты газа непрерывно уменьшается. Следовательно,
уменьшается и масса ракеты, в которой находится топливо. Пусть в начальный момент времени масса
ракеты с топливом была M. Тогда через промежуток времени Δt масса ракеты М1 станет меньше на
величину массы израсходованного топлива. Величина расхода топлива определяется отношением
массы сгоревшего топлива ко времени, за которое оно сгорело. Обозначается расход топлива μ
=mтопл./Δt.
М1 = М - μ Δt. За время Δt скорость ракеты изменится на Δu. Если применит закон сохранения импульса
для ракеты и вытекающих газов, масса которых равна массе сгоревшего топлива, то получим
следующее уравнение:
М Δv/Δt =- μ vгаза. Δv/Δt – изменение скорости ракеты в еденицу времени.
Это уравнение носит имя профессора Петербургского университета И.В.Мещерского, создателя
теоретических основ ракетной техники.
Вопрос.
Будет ли увеличиваться скорость ракеты, если вытекающие из сопла ракеты газы летят вслед за
ракетой? (Нет).
Пример решения задачи на реактивное движение.
Охотник стреляет с легкой надувной лодки. Какую скорость приобретет лодка в момент выстрела, если
масса охотника вместе с лодкой 70кг, масса дроби 35г и средняя начальная скорость дроби 320м/с?
Ствол ружья образует 60° к горизонту.
m
u1
M+m
u2
60°
M
Х
От тела “охотник-лодка-дробь” отделяется часть “дробь”, возникает реактивное движение. Запишем
закон сохранения импульса для реактивного движения, обозначив массу лодки с человеком М, массу
дроби-m, скорость лодки после выстрела u1, скорость вылета дроби u2.
m1u1 = m2u2. Спроецируем это уравнение на ось Х. Получим m1u1 = m2u2cos 60°. Выразим
из этого равенства скорость лодки с человеком u1 и вычислим ее.
u1 = m2u2cos 60°/ m1 = 0,035кг*320м/с*0,5/70кг=0,08м/с.
Решите задачи.
1.Конькобежец массой 50 кг бросает горизонтально кирпич массой 5 кг со скоростью 1 м/с. Какую
скорость при этом конькобежец приобретает?
Ответ 0,1м/с.
2.Ракета испускает раскаленные газы со скоростью 2000м/с относительно корпуса. Чему равна сила
тяги двигателя, если каждую секунду отбрасывается масса 100кг?
Ответ 200кН.
Проверь себя.
Предположим, что Вы едете на велосипеде со скоростью 5м/с и держите в руке рюкзак массой 15кг.
Ваша масса вместе с велосипедом и рюкзаком 85кг. Если Вы уроните рюкзак на землюю и он будет на
ней лежать, то какова будет Ваша скорость?(примените полный вид закона сохранения импульса).
Ответ 6м/с.
Список литературы.
1.”Физика. Механика.”. Учебник для углубленного изучения физики.. М.М.Балашов, А.И.Гомонова,
А.Б.Долицкий и др.; под ред.Г.Я.Мякишева. 5-е изд., стереотип. М., Дрофа, 2005.
2“Физика – 9”. Учебники для классов и школ с углубленным изучением физики под ред А.А.Пинского.
М., Просвещение, 2005.
3.“Физика – 10”. Учебники для классов и школ с углубленным изучением физики под ред
А.А.Пинского. М., Просвещение, 2005.
4. “Сборник вопросов и задач по физике. Для 10-11 классов общеобразовательных учреждений”.
А.Н.Малинин, М., Просвещение, 2006.
5.“Сборник вопросов и задач по физике. Для 10-11 классов общеобразовательных учреждений”.
Составитель Г.Н.Степанова, М., Просвещение, 2007.
6.”Физика 2010”.Сборник заданий для подготовки к ЕГЭ. Н.К.Ханнанов, Г.Г.Никифоров, В.А.Орлов.
Допущено ФИПИ. Москва, 2009.
7.”Элементарный учебник физики” под ред. Акад. Ландсберга Г.С. М., Просвещение,, 2001.