Часть 2. Практическая работа

ГОУ СПО «Череповецкий Индустриальный колледж»
И.В.Калинина
Векторы в пространстве
Прямые на плоскости
Учебно-методические материалы по дисциплине «Математика»
для студентов 2-го курса специальностей СПО
Череповец
2007
Рассмотрено на заседании методической комиссии
Протокол №________________ от____________20___г.
Рецензент:
кандидат физико-математических наук, профессор Череповецкого
государственного университета
Толстиков А.В.
Преподаватель высшей квалификационной категории
Фефёлова Н.А.
Разработала:
преподаватель математики высшей квалификационной категории
Калинина И.В.
Данные материалы предназначены для студентов II курса
специальностей СПО и содержат теоретическое обоснование и
практическую работу по теме «Векторы в пространстве. Прямые на
плоскости.».
Первая часть данных материалов содержит теоретическое
обоснование и контрольные вопросы по рассматриваемой теме.
Во вторую часть материалов входит практическая работа,
которая включает в себя: цели работы, порядок выполнения
работы, указания к оформлению и 20 вариантов заданий.
2
Оглавление
Введение ................................................................................................. 4
Часть 1. Теоретическое обоснование ................................................... 6
1. Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве ......... 6
1.1 Введение декартовых координат в пространстве ........................... 6
1.2 Расстояние между двумя точками .................................................... 6
1.3 Деление отрезка в данном отношении ............................................. 7
2. Векторы в пространстве .......................................................................... 8
2.1 Понятие вектора. Вектора на координатной плоскости ................. 8
2.2 Действия над векторами .................................................................. 10
2.3 Скалярное произведение двух векторов. Угол между двумя
векторами ................................................................................................ 12
3. Прямая на плоскости ............................................................................. 14
3.1 Общее уравнение прямой ................................................................ 14
3.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом ............................. 15
3.3 Уравнение прямой, проходящей через 2 точки ............................. 16
3.4 Угол между двумя прямыми ........................................................... 17
3.5 Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых . 18
3.6 Расстояние от точки до прямой ...................................................... 19
4. Контрольные вопросы ........................................................................... 20
Часть 2. Практическая работа ............................................................. 21
2.1 Цели работы.......................................................................................... 21
2.2 Порядок выполнения работы .............................................................. 21
2.3 Указания к оформлению ..................................................................... 21
2.4 Варианты заданий ................................................................................ 22
Литература ............................................................................................ 32
3
Введение
Данные материалы написаны в соответствии с действующей
рабочей программой для студентов ГОУ СПО «Череповецкий
Индустриальный колледж имени академика И.П.Бардина» в
соответствии с Государственными требованиями к минимуму
содержания и уровню подготовки выпускников.
Данные материалы предназначены для студентов II курса
специальностей СПО и содержат теоретическое обоснование и
практическую работу по теме: «Векторы в пространстве. Прямые
на плоскости.»
Основными целями данных материалов являются:
-прочное
и
сознательное
овладение
студентами
математическими знаниями и умениями, необходимыми для
успешного усвоения математики и использование её при изучении
обще профессиональных и специальных дисциплин, в курсовом и
дипломном проектировании;
-развитие логического и алгоритмического мышления;
-воспитании умений действовать по заданному алгоритму и
конструировать новые;
-формирование представления о математике как форме
описания и методе познания действительности.
Данные материалы начинаются с необходимого минимума
теоретического материала, изучение которого позволит более
успешно выполнять контрольные задания, расположенные во
второй части данных материалов, т. е. студенты будут более
прочно овладевать необходимыми умениями и навыками, которые
потом они могут использовать на уроках спецдисциплин.
После теоретического изложения материала приведены
контрольные вопросы по теме, ответы на которые являются
обязательным
условием
начала
выполнения
студентами
практической части.
4
Критерием успешного усвоения материала является
выполнение не менее 4 заданий практической части.
В результате изучения данной темы студент должен:
знать:
-определение декартовой системы координат;
-определение вектора, операции над векторами, свойства,
координаты вектора, скалярное произведение;
-уравнение прямой на плоскости;
-общее уравнение прямой;
-условие параллельности и перпендикулярности прямых;
уметь:
-находить координаты точек и строить точки в декартовой
системе координат;
-находить координаты векторов, длину вектора, угол между
векторами;
-находить модули, скалярное произведение векторов в
пространстве;
-составлять общее уравнение прямой, уравнение прямой с
угловым коэффициентом.
уметь:
-находить координаты точек и строить точки в декартовой
системе координат;
-находить координаты векторов, длину вектора, угол между
векторами;
-находить модули, скалярное произведение векторов в
пространстве;
-составлять общее уравнение прямой, уравнение прямой с
угловым коэффициентом.
5
Часть 1. Теоретическое обоснование
1. Прямоугольная (декартова) система
координат в пространстве
1.1 Введение декартовых координат в пространстве
Возьмём три взаимно перпендикулярные
прямые х, y,z, пересекающиеся в одной точке О.
Проведём через каждую пару этих прямых
плоскость. Плоскость, проходящая через прямые
х и y, называется плоскостью хy. Две другие
плоскости называются соответственно xz, yz.
Прямые x, y, z называются координатными
осями, точка их пересечения O – началом
координат, а плоскости xy, xz, yz –
координатными плоскостями. Точка О разбивает
каждую из осей координат на две полупрямые –
полуоси. Условимся одну из них называть положительной, а
другую – отрицательной. Возьмём теперь произвольную точку А и
проведём через неё плоскость, параллельную плоскости yz.
Координатой х точки А будем называть число, равное по
абсолютной величине длине отрезка ОАх: положительное, если
точка Ах лежит на положительной полуоси х, и отрицательное,
если она лежит на отрицательной полуоси. Аналогично
определяются координаты y, z точки А. Точку А обозначают
А(x,y,z). Точка О имеет координаты (0,0,0).
1.2 Расстояние между двумя точками
Расстояние d между точками М1(х1, y1, z1) и
определяется по формуле:
М2(х2, y2, z2)
d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
В частности, расстояние d от точки М(x,y,z) до начала
координат определяется формулой:
6
d
x2  y 2  z 2
Пример 1:
На оси ОХ найти точку, равноудалённую от точек А(2;-4;5) и
В(-3;2;7).
Решение:
Пусть т. М – искомая точка. Так как т. М лежит на оси Ох, то
она имеет координаты (х,0,0). По условию задачи AM  BM .
AM  ( x  2)2  (4)2  52 ; BM  ( x  3)2  22  72 .
Приравняем эти равенства и возведём в квадрат:
(х-2)2+41=(х+3)2+53. Решая это уравнение, получим:
10х=-17, х=-1,7. Значит координаты т.М будут (-1,7;0;0)
Ответ: М (-1,7;0;0)
1.3 Деление отрезка в данном отношении
Координаты точки С(х,у,z), делящий отрезок между точками
М1(х1; y1; z1) и М2(х2; y2; z2) в заданном отношении λ определяется
по формулам:
x
x1  x2
y   y2
z  z 2
;y  1
;z  1
1 
1 
1 
В частности, при λ=1 получаются формулы середины отрезка:
x
x1  x 2
y  y2
z  z2
;y 1
;z  1
2
2
2
Пример 2:
Точка С (2;3;6) является серединой отрезка АВ. Определить
координаты точки А, если В(7;5;8).
7
Решение:
x1  x 2
y  y2
z  z2
;y 1
;z  1
2
2
2
x 7
y 5
z 8
2 1
;3  1
;6  1
2
2
2
x
х1=4-7=-3; у1=6-5=1; z1=12-8=4
Ответ: А(-3;1;4)
2. Векторы в пространстве
2.1 Понятие вектора. Вектора на координатной плоскости
В пространстве, как и на плоскости, вектором называется
направленный отрезок и обозначается a, AB . Буквально также,
как и на плоскости определяются основные понятия для векторов в
пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора,
равенство векторов.
Вектор, длина которого равна единице, называется
единичным вектором .
Векторы a и
b называются коллинеарными, если они лежат
на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: a II
b.
Свободный вектор a (т.е. такой вектор, который без
изменения длины и направления может быть перенесён в любую
точку пространства), заданный в координатном пространстве 0xyz,
может быть представлен в виде
a  ax i  a y j  az k
Такое представление вектора a называется его разложением
по осям координат, или по ортам.
8
Здесь
a x ; a y ; a z – проекции вектора a
на соответствующие
оси координат ( их называют координатами вектора a ), i, j, k орты этих осей ( единичные векторы, направление каждого из
которых
совпадает
с
положительным
направлением
соответствующей оси).
Векторы
представлен
a x i, a y j , a z k ,
вектор
a,
в
виде
суммы
называются
которых
составляющими
(компонентами) вектора a по осям координат.
Длина (модуль) вектора a обозначается
a
и определяется
по формуле:
a 
a x2  a y2  a z2
Вектор OM , начало которого находится в начале
координат, а конец – в точке М(x;y;z) называют радиусом –
вектором точки М и обозначают r (М) или просто r . Так как его
координаты совпадают с координатами точки М, то его разложение
по ортам имеет вид:
r  xi  y j  z k
Вектор AB , имеющий начало в точке А( х1; y1; z1) и конец в
точке В(х2; y2; z2) может быть записан в виде AB =
r2 - r1 , где
r1 - радиус- вектор точки А, r2 - радиус – вектор точки В.Поэтому
разложение вектора AB по ортам имеет вид:
AB  ( x2  x1 )i  ( y2  y1 ) j  ( z2  z1 )k
9
Его длина совпадает с расстоянием между точками А и В:
AB = d  ( x2  x1 ) 2  ( y2  y1 ) 2  ( z2  z1 ) 2
Пример 3:
Разложить вектор AB по ортам и найти длину данного
вектора, если А(-2;-1;0), В(4;-3;5).
Решение:
AB =(4-(-2)) i +(-3-(-1)) j +(5-0) k =6 i -2 j +5 k
AB = d
Ответ:
 (4  2) 2  (3  1) 2  (5  0) 2  36  4  25  65
65 .
2.2 Действия над векторами
1. Если векторы a и b заданы их разложениями по ортам, то
их сумма и разность определяются по формулам:
a  b  (ax  bx )i  (a y  by ) j  (az  bz )k
a  b  (ax  bx )i  (a y  by ) j  (az  bz )k
Сумма векторов a и b начала которых совмещены,
изображается вектором с тем же началом, совпадающим с
диагональю параллелограмма, сторонами которого являются
векторы a и b . Разность a - b этих векторов изображается
вектором, совпадающим со второй диагональю того же
параллелограмма,
10
причём начало этого вектора находится в конце
вектора
b, а
конец – в конце вектора a .
2. Произведение вектора a на постоянный множитель m
определяется формулой:




ma  ma x i  ma y j  ma z k
Пример 4:
Найти
вектор
a  2b  3c ,
если
a = 2i  j  3k ,
b  3i  5 j , c  5i  6k
Решение:
2b  6i  10 j , 3c  15i  18k ,
a  2b  (2  6)i  (1  10) j  3k  4i  11 j  3k
a  2b  3c  (4  15)i  11 j  (3  (18)) k 
 19i  11 j  15k
Ответ:
 19i  11 j  15k.
Условие коллинеарности
координатами a (х1;,у1;z1) и
соотношением:
двух векторов, заданных своими
b (х2;,у2;z2) определяется следующим
x1
y
z
 1  1
x2 y 2 z 2
11
Пример 5:
При каком значении n векторы
a ( 4;6; n) и b( 1 ; 3 ;3) будут
2
4
коллинеарны?
Решение:
Составим пропорцию:
4
6
n

 , возьмём 1 и 3 отношения:
1
3 3


2
4
4
n
 из которого найдём n: n=-24
1 3

2
Ответ: при n=-24 вектора будут коллинеарны.
2.3 Скалярное произведение двух векторов.
Угол между двумя векторами
Скалярным
произведением
2-х
ненулевых
векторов
называется число равное произведению длин этих векторов на
косинус угла между ними
Обозначается
a  b , т.е. если φ – угол между векторами, то
a  b  a  b  cos 
Свойства скалярного произведения:
10.
a  a  a2
20. a  b  b  a
30. a (b  c)  ab  ac
40. (ma)  b  a  (mb)  m(a  b)
12
b заданы своими координатами
Пусть векторы a и
a  x1 i  y1 j  z1 k , b  x2 i  y2 j  z 2 k . Тогда скалярное
произведение этих векторов находится по формуле:
a  b  x1 x2  y1 y2  z1 z2
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности 2-х
ненулевых векторов a и
b:
a  0; b  0; a  b  a  b  0
Зная скалярное произведение 2-х векторов
a  x1 i  y1 j  z1 k , b  x2 i  y2 j  z 2 k можно найти угол
между ними:
cos  
x1 x2  y1 y2  z1 z2
x12  y12  z12  x22  y22  z22
Пример 6:
Будет ли вектор c  2i  j  3k перпендикулярен вектору
d  2i  j  k ?
Решение:
Найдём скалярное произведение этих векторов:
c  d  2  2  (1)  (1)  3  (1)  2
Так как скалярное произведение не равно нулю, то вектора не
перпендикулярны.
Ответ: нет.
13
Пример 7:
Заданы 2 вектора своими координатами
a (-4;3;0), b
Решение:
cos  
(3;-4;1). Найти косинус угла между ними.
 4  3  3  (4)  0  1
(4) 2  32  02  32  (4) 2  12
 24
cos  
5  26
Ответ:

 24
5  26
3. Прямая на плоскости
3.1 Общее уравнение прямой
Уравнение первой степени относительно переменных х и у,
т.е. уравнение Ах+Ву+С=0
при условии, что коэффициенты А и В одновременно не
равны нулю, называется общим уравнением прямой.
Частные случаи общего уравнения прямой Ах+Ву+С=0:
Значение
коэффициентов
Вид уравнения
Положение прямой
С=0, А≠0, В≠0
Ах+Ву=0 (у=кх)
Проходит через
начало координат
А=0, В≠0, С≠0
Ву+С=0 (у=в)
Параллельна оси Ох
В=0, А≠0, С≠0
Ах+С=0 (х=а)
Параллельна оси Оу
А=С=0, В≠0
Ву=0 (у=0)
В=С=0, А≠0
Ах=0 (х=0)
14
Совпадает с осью Ох
(уравнение оси Ох)
Совпадает с осью Оу
(уравнение оси Оу)
3.2 Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть прямая, не параллельная оси 0у, пересекает ось 0у в
точкеА(0;в), а ось 0х пересекает под углом α.
Выберем на прямой точку В(х;у).Построим прямоугольный
треугольник АВС такой, что АС II 0х, ВС II 0у, ВС=у-в, <ВАС=α..
y b
Имеем tgα=
, или y  tg  x  b .
x
Обозначим tgα=к, получим уравнение прямой с угловым
коэффициентом:
у=кх+b
Пример 8:
Составить уравнение прямой, отсекающей на оси 0у отрезок
b=3 и образующий с осью 0х угол α=300.
Решение:
1
Найдём угловой коэффициент к=tgα=tg300=
. Подставив k
3
1
и b в уравнение с угловым коэффициентом, получим: у=
х+3,
3
или 3 y  x  3 3  0
Ответ: 3 y  x  3 3  0 .
Можно вывести уравнение с угловым коэффициентом из
общего уравнения прямой. В общем уравнении прямой
A
C
Ах+Ву+С=0, где В≠0, выразим у. Получим: y   x  .
B
B
A
C
у=kх+b
Обозначим
k=  , b=  , тогда
B
B
15
уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Часто возникает необходимость составить уравнение прямой,
зная одну её точку М1(x1, у1) и угловой коэффициент k. Такое
уравнение выглядит следующим образом:
у-у1=к(х-х1)
Пример 9:
Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(2;-4)
и пересекающей ось 0х под углом 450.
Решение:
k=tg450=1, подставим координаты точки А в уравнение с
угловым коэффициентом: -4=1*2+b, отсюда b=-4-2=-6. Получим
уравнение прямой у=х-6.
Ответ: у=х-6.
3.3 Уравнение прямой, проходящей через 2 точки
Пусть даны 2 точки М1(x1, у1) и М2(x2, у2). Можно составить
уравнение прямой, проходящей через эти 2 точки:
y  y1
x  x1

y2  y1 x2  x1
Пример 10:
Составить уравнение прямой, проходящей через точку
М1(2;3) и М2(-3;4).
Решение:
Подставим координаты точек в формулу:
y 3
x2
y 3 x2



; -5у+15=х-2; 5у+х-17=0- искомая
43 32
1
5
прямая.
Ответ: 5у+х-17=0
16
3.4 Угол между двумя прямыми
Угол φ между двумя прямыми, заданными общими
уравнениями А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2 =0, вычисляется по
формуле:
cos  
A1 A2  B1B2
A12  B12  A22  B22
Если
прямые
заданы
уравнениями
с
угловыми
коэффициентом у=k1х+b1 и у=k2х+b2, то угол φ между ними
вычисляется по формуле:
tg 
k2  k1
1  k1k2
Пример 11:
Две прямые, проходящие через начало координат, образуют
1
между собой, угол равный arctg . Отношение угловых
3
коэффициентов этих прямых составляет 2:7. Составьте уравнения
этих прямых.
Решение:
у=kх – уравнение прямых, проходящих через начало
координат, т.е. чтобы решить задачу, нужно найти угловой
коэффициент.
Пусть m – коэффициент пропорциональности, тогда k1=2m,
k2=7m. Используем формулу угла между прямыми, заданными
уравнениями с угловым коэффициентом:
1
7 m  2m
1
5m
tg (arctg ) 
; 
; 14m2-15m+1=0 .
2
3 1  7 m  2m
3 1  14m
Решая квадратное уравнение, получаем 2 решения: m1 =1 и
1
m2= .
14
Рассмотрим оба случая.
17
1 случай. m1 =1: k1=2 и k2=7; уравнения прямых: у=2х и у=7х.
1
1
1
1
2 случай. m2= : k1= и k2= ; уравнения прямых: у= х и
14
7
2
7
1
у= x .
2
Ответ: у=2х и у=5х; у=
1
1
х и у= x .
7
2
3.5 Условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых
Условие параллельности двух прямых, заданных общими
уравнениями
А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2 =0, записывается в виде:
A1 B1

A2 B2
Условие параллельности прямых, заданных уравнениями с
угловыми коэффициентами у=к1х+b1 и у=к2х+b2, имеет вид:
k2=k1
Пример 12:
Составить уравнение прямой, проходящей через точку А(-2;4)
параллельно прямой L: 2х-3у+6=0.
Решение:
Преобразуем уравнение прямой L в уравнение с угловым
2
2
коэффициентом: у= х+2, угловой коэффициент k1= . Так как
3
3
2
прямые параллельны, то k2=k1= , следовательно уравнение
3
2
прямой L1: у-4= (х+2), или 2х-3у+16=0.
3
18
Ответ: 2х-3у+16=0
Условие перпендикулярности двух прямых, заданных
общими уравнениями
А1х+В1у+С1=0 и А2х+В2у+С2 =0, записывается в виде:
А1А2+ В1В2=0
Условие параллельности прямых, заданных уравнениями с
угловыми коэффициентами у=k1х+b1 и у=k2х+b2, имеет вид:
k2  
1
k1
Пример 13:
В ∆АВС точка А(6;2), уравнение прямой ВС: х-4у-7=0.
Составить уравнение высоты АN, проведённой из точки А на ВС.
Решение:
Преобразуем ВС в уравнение с угловым коэффициентом:
1
1 7
1
k


у= х- ;k1= , так как AN  ВС, то 2
=-4; следовательно
k1
4 4
4
уравнение прямой AN: у-2=-4(х-6) или у+4х-26=0
Ответ: у+4х-26=0
3.6 Расстояние от точки до прямой
Расстояние d от данной точки М(х0;у0) до прямой, заданной
общим уравнением Ах+Ву+С=0, определяется формулой:
d
Ax0  By 0  C
A2  B 2
Пример 14:
Дана прямая L: 3х-4у+10=0 и точка М(4;3). Найти расстояние
от точки М до прямой L.
19
Решение:
3  4  4  3  10
d
 2.
32  42
Ответ: 2
4. Контрольные вопросы
1). Объясните, как получается прямоугольная система координат в
пространстве?
2). Объясните, как определяются координаты точки в пространстве?
3). Запишите формулу для определения расстояния между двумя
точками, заданными своими координатами?
4). Дайте определение вектора.
5). Какие 2 вектора называются коллинеарными?
6). Запишите разложение вектора по ортам.
7). Что называется ортом?
8). Как найти длину вектора?
9). Что называют радиус-вектором?
10). Дайте определение действий над векторами: сложение, разность,
умножение на число.
11). Что называют скалярным произведением 2-х ненулевых
векторов?
12). Перечислите свойства скалярного произведения.
13). Сформулируйте необходимое и достаточное условие
перпендикулярности 2-х векторов.
14).Сформулируйте
необходимое
и
достаточное
условие
коллинарности 2-х векторов.
15). Выразите угол между двумя векторами.
16). Запишите общее уравнение прямой.
17). Исследуйте общее уравнение прямой при А=0, В=0, С=0.
18). Выведите уравнение с угловым коэффициентом из общего
уравнения прямой.
19). Что называют угловым коэффициентом прямой?
20). Выведите уравнение прямой с угловым коэффициентом.
21). Запишите уравнение прямой, которая проходит через заданную
точку и имеющая угловой коэффициент k.
22). Запишите уравнение прямой, проходящей через 2 точки.
23). Запишите формулу угла между двумя прямыми.
24). Запишите условия параллельности и перпендикулярности двух
прямых.
20
25). Запишите формулу расстояния от точки до прямой.
Часть 2. Практическая работа
2.1 Цели работы
 научиться производить действия над векторами;
 научиться находить скалярное произведение двух векторов,
угол между векторами;
 научиться составлять общее уравнение прямой; уравнение
прямой с угловым коэффициентом; уравнение прямой,
проходящей через 2 точки;
 научиться
применять
условие
параллельности
и
перпендикулярности 2-х прямых для решения задач.
2.2 Порядок выполнения работы
2.1 Проработать теоретический материал по теме.
2.2 Ответить на контрольные вопросы.
2.3 Получить вариант задания.
2.4 Выполнить задание.
2.5 Оформить отчёт о работе.
2.3 Указания к оформлению
Отчёт по практической работе выполняется на листах А4 (210х297)
и должен содержать:
 точное наименование работы;
 цель работы;
 ход работы (условие задачи);
 результаты работы (подробное решение задач);
 вывод
Отчёт должен быть сдан не позднее 3-х дней со дня проведения
работы.
21
2.4 Варианты заданий
Вариант 1
1. Дано: a(2;0;1) и b  5i  j  2k . Найти модуль вектора 2a  b .
2. Будет ли вектор c  3i  j перпендикулярен вектору d  2i  j  k .
3. При каких значениях m и n вектор a(3;7; m) будет коллинеарен
вектору b(6; n;4) ?
4. Найти cos(a,2b) , если a(2;0;0) ; b(1;1;1) .
5. Составить уравнение прямой, проходящей через начало
координат, если она образует с положительным направлением оси
0х угол α=450.
6. Треугольник задан вершинами А(-1;3), В(2;1), С(5;1). Найти
уравнение медианы AN.
7. Определить косинус угла между прямыми L 1 : 3х-2у+6=0;
L2: х+5у-1=0
Вариант 2
1. Дано: c  i  2 j  3k и d  4i  j  k . Найти модуль вектора 3c  d .
2. Будет
ли
вектор
a  2i  j
перпендикулярен
вектору
b(1;1;2) .
3. При каких значениях α и β вектор m(5;  ;2) будет коллинеарен
вектору n   i  6 j  4k ?
4. Найти cos(a,2b) , если a(2;1;3) ; b  2i  j  k .
5. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой
2х+5у-1=0.
6. Составить уравнение высоты СК в треугольнике АВС: А(1;2),
В(5;-2), С(3;1).
7. Составить уравнение стороны АВ в треугольнике АВС таком
же, что и в предыдущем задании.
22
Вариант 3
1. Дано a  2i  j  4k и b  i  3k . Найти скалярное произведение
a  (b  3a) .
2. При каком значении β вектор m(9;3;5) будет коллинеарен
вектору n(3;1;  ) ?
3. При каком значении α вектор p(0;3;5) будет перпендикулярен
вектору q(1;5;  ) ?
4. Дано: p  5; q  2;  ( p, q)  900 . Найти скалярное произведение
3q  p 2q  4 p.
5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-3;1),
В(4;-2)
6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(3;-2)
параллельно заданной прямой L: у=-(1/2)х-2.
7. Определить угол между прямыми L 1 : 2х-у+9=0; L2: х+2у-1=0
Вариант 4
1. Даны вектора a  2i  j  k и b  3i  2k . Найти модуль вектора
a  2b .
2. Будет ли вектор c(2;5;1) перпендикулярен вектору d (0;5;1) ?
3. Дано c  3; d  6;  (c, d )  30 0 . Найти скалярное произведение

c  d  3c
.
4. При каком значении m вектор a(m;3;4) будет коллинеарен
вектору b(2;6;8) ?
5. Найти угловой коэффициент прямой, перпендикулярной
прямой 2х-3у+1=0.
6. Найти координаты точки пересечения прямых L 1 : 3х-2у+3=0;
L2: х+2у-7=0.
7. Составить уравнение прямых, проходящих через точку А(-3;2)
перпендикулярно осям координат.
23
Вариант 5
1. Дано m  4; n  6;  (m, n)  60 0 . Найти скалярное произведение


2m  m  2n .
2. Дано c3;2;1 и d 0;1;5 . Найти скалярное произведение
3c  (c  2d ) .
3. При каком значении α вектор p(2;  ;0) будет перпендикулярен
вектору q(1;3;1) ?
4. Даны вектора a  2i  j  k и b  3i  k . Найти модуль вектора
a  2b .
5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(2;1),
В(-3;-2).
6. При каком значении k прямые L1 и L2 перпендикулярны, если
L 1 : у=2х-5; L2: у=kх+1.
7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А и
середину отрезка CD, если А(1;-1), С(2;-3), D(4;-2).
Вариант 6
1. Дано: p  7i  2 j  k и q  3i  6 j  3k . Найти косинус угла между
векторами
2 p и(1/3) q .
2. Найти модуль вектора c  2i  3 j  4k .
3. Дано a5;1;2 и b  i  j . Найти скалярное произведение
2a  (a  2b) .
4. Будет ли вектор c(3;2;4) коллинеарен вектору d (6;4;8) ?
5. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной данной
прямой 2х-5у+1=0.
6. Составить уравнение стороны АС в треугольнике АВС: А(2;-2),
В(1;3), С(4;-2).
7. Составить уравнение медианы АК в треугольнике АВС таком
же, что и в предыдущем задании.
24
Вариант 7
1.Дано: p  i  2 j  3k и q  6i  4 j  2k . Найти косинус угла между
векторами 2 p и(1/2) q .
2. Найти модуль вектора
2 p , если
p1;3;7 .
3. Дано a3;1;2 и b 3;1;4 . Найти скалярное произведение
a  b  (3a  b) .
 
4. Будет ли вектор c(30;4;2) коллинеарен вектору d (15;2;1) ?
5. Составить уравнение сторон АВ и АС в треугольнике АВС:
А(1;2), В(0;-3), С(2;6).
6. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной данной
прямой 3х-2у-5=0.
7. Составить
уравнение прямой, проходящей через начало
координат, если она образует с положительным направлением оси
0х угол α=300.
Вариант 8
1. Дано: a3;2;1 и b4;5;2 . Найти косинус угла между векторами
2a
и
b.
 3c , если c2;3;1.
d 0;5;1 . Найти скалярное
2. Найти модуль вектора
3. Дано c1;2;4 и
произведение
d  (2c  d ) .
4. Дано p  2; q  4;  ( p, q)  60 0 . Найти скалярное произведение
 
3q  p  q .
5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки М(0;1),
N(2;-3).
6. Составить уравнение прямых, проходящих через точку P(-2;3)
перпендикулярно осям координат.
7. При каком значении k прямые L1 и L2 перпендикулярны, если L 1 :
у=-5х+1; L2: у=kх-6.
25
Вариант 9
1. Дано: a3;1;5 и b0;4;2 . Найти косинус угла между
векторами
3a
и (1/2) b .
2. Найти модуль вектора
3. Дано m  2i  j  4k
произведение 3n  (m  n) .
2c , если c  i  2 j  3k .
и
n  3i  2 j  k . Найти скалярное
4. Дано p  4; q  3;  ( p, q)  180 0 . Найти скалярное произведение
p  q 2 p .
5. Составить уравнение прямой, проходящей через середину
отрезка АВ перпендикулярно ему, если А(1;3), В(2;5).
6. Составить уравнение стороны АВ в треугольнике АВС: А(-2;-1),
В(0;4), С(3;-2).
7. Составить уравнение медианы АК в треугольнике АВС таком
же, что и в предыдущем задании.
Вариант 10
1. Дано c  3; d  4;  (c, d )  90 0 . Найти скалярное произведение
2c  d  c  2d .
2. Дано m2;1;4 и n  2i  j  k . Найти скалярное произведение
m  n (m 2n) .
3. При каком значении β вектор a(3;1;6) будет перпендикулярен
вектору b(  ;2;0) ?
4. Даны вектора c2;1;0 и d 3;1;4 . Найти модуль вектора c  2d .
5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(-2;1),
В(3;-4).
6. Определить угол между прямыми L 1 : у=3х+4; L2: 2х+у-5=0
7. В треугольнике АВС: А(2;-1), В(-3;-2), точка пересечения высот
М(-1;1). Составить уравнение стороны АС.
26
1.Дано

Вариант 11
c  3; d  4;  (c, d )  60 0 . Найти скалярное произведение

d  c  2d .
2.Дано a2;1;4 и b  3i  3k . Найти скалярное произведение
2a  b (a b) .
3. При каком значении m и n вектор c(3;n;2) будет коллинеарен
вектору d  mi  3 j  2k ?
4. Даны вектора c2;1;3 и b 1;1;4 . Найти модуль вектора 3c  b .
5. Найти угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой
3х-2у+7=0.
6. Составить
уравнение прямой, проходящей через начало
координат, если она образует с положительным направлением оси
0х угол α=450.
7. Определить угол между прямыми L 1 : у=3х+4; L2: у=-2х+1.
Вариант 12
1. Дано a  2; b  3;  (a, b)  60 0 . Найти скалярное произведение


3a  a  2b .
2. Дано a2;1;1 и b  i  2 j  3k . Найти скалярное произведение
a  b  (2a  b) .
3. При каком значении α вектор a(2;1;0) перпендикулярен вектору
b(2 ;1;3) ?
 
4.Даны вектора a2;0;1 и b3;1;4.Найти модуль вектора 2a  3b .
5. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой 3х-у5=0.
6. Составить уравнение высоты ВD в треугольнике АВС: А(2;-1),
В(-3;2), С(5;4).
7. Составить уравнение стороны АВ в треугольнике АВС таком же,
что и в предыдущем задании.
27
Вариант 13
1.Дано a  3i  j  k и b  5i  4 j . Найти скалярное
произведение 2a  (a  2b) .
2. Даны вектора c5;3;2 и d 1;2;4 . Найти модуль вектора
c  2d .
3. При каком значении α и β вектор
вектору
c(2; ;3) будет коллинеарен
d  3i  j   k ?
4. Дано: p3;1;2 и q4;2;1 . Найти косинус угла между ними.
5. Найти угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой
5х-7у+1=0.
6.Доказать, что прямые L1║L2, L1: 10х-4у-1=0; L2: у=(5/2)х-1/4.
7. Составить
уравнение прямой, проходящей через начало
координат, если она образует с положительным направлением оси
0х угол 300.
Вариант 14
1. При каком значении m вектор
вектору
a(5;m;20) будет коллинеарен
b2;4;8 ?
2. Будет ли вектор c(2;1;1) перпендикулярен вектору d (2;4;3) ?
3. При каком значении α равны между собой модули векторов
p(3;  ;0) ; q(0;5;0) .
4. Дано: a  5i  2 j  4k ; b  i  3 j . Найти a  (b  3a) .
5. Найти угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой
5х-2у+7=0.
6. Составить уравнение прямой, проходящей через середину
отрезка MN перпендикулярно ему, если M(2;-1), N(5;-2).
7. Составить уравнение медианы АD в треугольнике АВС: А(2;1),
В(-3;-1), С(4;-3).
28
Вариант 15
c(2;4;8) будет
1. При каком значении m вектор
коллинеарен
вектору d  i  m j  4k ?
2. Будет ли вектор c(7;2;4) перпендикулярен вектору d (0;2;1) ?
3. При каком значении α равны между собой модули векторов
p(1;3;0) ; q( ;2;0) .

4. Найти cos( 2m, n) , если m(3;1;4) ; n  2i  5 j  6k .
5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(0;2),
В(1;2).
6. При каком значении k прямые L1 и L2 перпендикулярны, если
L 1 : 3х-у+2=0; L2: у=kх+1.
7. Найти угловой коэффициент прямой 3х-2у-7=0.
Вариант 16
1. При каком значении m вектор
вектору
a(2; m;4) будет
коллинеарен
b 3;12;6 ?
2. Будет
ли
вектор
c(1;2;3)
перпендикулярен
вектору
d (2;3;1) ?
3. При каком значении k равны между собой модули векторов
p  3i  j ; q  k i  8 j ?
4. Дано: c  2i  j ; d  4i  5 j  k . Найти 3c  (c  2d ) .
5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(0;2),
В(-3;0).
6.Найти угловой коэффициент прямой, перпендикулярной прямой
х=3.
7. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой у=2.
29

Вариант 17

1.Дано: p2;4;0 и q 6;2;2 5 . Найти косинус угла между
ними.
2. При каком значении α и β вектор
вектору
a( ;1;  ) будет коллинеарен
b  4i  3 j  k ?
3. Дан вектор a  2i  3 j  4k . Найти модуль вектора 3a .
4.
Дано
p  2; q  3;  (a, b)  45 0 .



Найти
скалярное
произведение p  5q  3 p  2q .
5. Найти угловой коэффициент прямой, параллельной прямой -2х3у+7=0.
6. Составить
уравнение прямой, проходящей через начало
координат, если она образует с положительным направлением оси
0х угол 600.
7. Составить уравнение прямой, проходящей через точку А отрезка
АВ перпендикулярно ему, если А(2;-1), В(-3;-2).
Вариант 18
1.Дано: p  3i  j  4k и q  4i  j  3k . Найти косинус угла между
ними.
2. При каком значении α и β вектор
a  2i   j  4k будет
коллинеарен вектору b  6i  8 j   k ?
3. Дан вектор
a  3i  2 j  4k . Найти модуль вектора 2a .
4. Дано: a  3i  2 j  4k ; b  i  3 j . Найти 2a  (a  2b) .
5. Определить взаимное положение прямых L1 и L2, если
L 1 : 2х+3у+6=0; L2: 4х+6у-5=0.
6. Определить тангенс угла между прямыми L 1 : 3х-у+1=0; L2: х+у5=0.
7. Найти координаты точки пересечения прямых L 1 : х+у-4=0;
L2: 2х+у-7=0.
30
Вариант 19
1.Дано: p  2i  3 j  4k и q  i  j  k . Найти косинус угла между
векторами 2
p и q.
2. При каком значении α и β вектор p ;1;4будет коллинеарен
вектору q(2;3;  ) ?
3. Даны вектора c2;1;4 и d 0;3;5 . Найти модуль вектора c  2d .
4. При каком значении α вектор p(3; ;0) перпендикулярен вектору
q(6;8;1) ?
5. Составить уравнение прямой, проходящей через точки А(1;3),
В(2;-3).
6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(3;-1) и
имеющую такой же угловой коэффициент, как и прямая 2х-у-6=0.
7. Доказать, что прямая L1 перпендикулярна прямой L2, если
L 1 : 2х-3у+1=0; L2: 3х+2у-7=0.
Вариант 20
1. Даны вектора a2;1;1 и b3;0;4 .Найти модуль вектора
a  2b .
2. Даны вектора c3;8;4 и d 0;2;16 . Будут ли они
перпендикулярны?
3. При каком значении m и n вектор c3;m;2 будет коллинеарен
вектору d  ni  2 j  4k ?
4. Найти cos(m,2n) , если m  2i  j  4k ; n  i  2 j  3k .
5. Составить
уравнение прямой, проходящей через начало
координат, если она образует с положительным направлением оси
0х угол α=-600.
6. Определить взаимное положение прямых L1 и L2, если
L 1 : у=(2/5)х-2; L2: 2х-5у+9=0.
7. Найти координаты точки пересечения прямых L 1 : 3х+у-3=0;
L2: х-у-5=0.
31
Литература
1 Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.Л. Математика для
техникумов.- М.: Наука, 1991.- 420 с.
2. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное
пособие для средних специальных учебных заведений.М.: Высшая школа, 1997.-250 с.
3. Богомолов Н. В. Математика.- Москва: Дрофа, 2006.- 396 с.
4. Данко П. Е.
Высшая математика в упражнениях и задачах,
ч.1-М.: ОНИКС 21 век,2003.-304 с.
5. Омельченко В. П. Математика.- Ростов н/Д: Феникс, 2007.-380 с.
6. Циркунов А.Е. Справочник по математике. -С.-П.: Питер, 2000.160с.
7. Шнейдер В.Е. Краткий курс высшей математики. -М.:
Просвещение, 1992.- 328 c.
32