Урок по алгебре в 10 классе &quot

Учитель: Панкратова Надежда Петровна
Школа: МОУ-СОШ №6 города Маркса Саратовской области
Предмет: Алгебра и начала анализа
Класс: 10
Тема: Методы решения показательных неравенств
Тип урока: Урок формирования знаний
Цели урока:
- познакомить учащихся с новыми для них видами показательных
неравенств, формирование знаний об основных методах решения
показательных неравенств.
– развитие умений сравнивать, выявлять закономерность, обобщать,
развитие логики, памяти.
– воспитание ответственного отношения к учебному труду
Этапы урока и их содержание
1. Организационный этап.
2. Постановка цели.
На уроке будут рассмотрены новые для учащихся неравенства –
показательные, решение которых требует хорошего знания теоретического
материала. Данные неравенства ежегодно присутствуют в вариантах ЕГЭ по
математике.
3. Актуализация знаний.
Теоретический опрос: а) определение показательной функции; б) какова
область определения показательной функции; в) какова область значений
показательной функции; г) в каком случае показательная функция является
возрастающей, убывающей; д) как расположен график; е) каковы основные
методы решения показательных уравнений (метод замены, однородное
уравнение, разложение левой части уравнения на множители и переход к
совокупности, функционально - графический, метод интервалов); ж) что
называется решением неравенства, что значит решить неравенство.
4. Введение знаний.
1) Простейшие показательные неравенства имеют вид
решений не имеет, а неравенство
выполняется при всех значениях аргумента, поскольку
сопровождается графической иллюстрацией)
При
выполняется равенство
. Если
возрастания показательной функции неравенство
, а неравенство
выполняется при
(Рассказ
, то в силу
выполняется при
. (Рассказ
сопровождается графической иллюстрацией)
Если
, то в силу убывания показательной функции неравенство
выполняется при
а неравенство
выполняется при
. . (Рассказ сопровождается графической иллюстрацией)
Рассмотреть примеры:
Используя свойство монотонности показательной функции делаем вывод,
что неравенство
при
равносильно неравенству
а при
равносильно неравенству
2) Рассмотрим методы решения показательных неравенств, не являющихся
простейшими. При их решении используются приёмы преобразования
выражений, стоящих в левой и правой частях неравенства, аналогичные тем,
которые использовались и при решении показательных уравнений.
а) Метод замены переменной. В этом случае новая неизвестная подбирается
так, чтобы относительно неё неравенство не было показательным.
Пример 1: Сведение к квадратному неравенству.
.
Ответ:
Пример 2: Сведение к рациональному неравенству, которое решаем,
применяя метод интервалов для непрерывных функций.
Ответ:
б) Решение однородных неравенств. При решении однородных неравенств
используется свойство показательной функции
, производим деление
обеих частей неравенства на положительную величину и вводим новую
переменную. Однородное неравенство первой степени
+n
решается делением обеих частей неравенства на
, а однородное
неравенство второй степени
решается делением на
Пример:
Решение:
Так как
для любых x, то разделив обе части неравенства на
получим неравенство, равносильное данному:
-
,
Ответ: (в) Метод интервалов.
Пример:
Решение.
Рассмотрим функцию f(x)
, областью определения
которой является множество неотрицательных чисел. Находим нули
функции, решив уравнение
уравнения на
. Делим обе части
, после преобразований получим уравнение
Последнее
откуда
уравнение не имеет решения, а уравнение
имеет единственный
корень, равный 4. Нуль функции разбивает область определения на
промежутки
и
, в которых функция (в силу своей
непрерывности) сохраняет знак.
f(1)
f(9)
Итак, исходное неравенство выполняется при
Ответ:
г) Функционально-графический метод.
Пример:
Решение. Функции
и
действительных чисел. Функция
определены на всём множестве
возрастающая на R, а функция
убывающая на R, значит, уравнение
имеет не
более одного корня. Не сложно убедиться в том, что 1 является
единственным корнем уравнения. Таким образом, графики функций имеют
одну точку пересечения. Неравенство имеет решение тогда, когда график
функции
лежит не выше графика функции
то есть
при
Ответ: (
5. Первичное осмысление изученного.
Из предложенных неравенств выбрать наиболее рациональный способ для их
решения:
а)
Ответ: однородное неравенство, делим обе части, например, на
введение новой переменной
и
.
б)
Ответ: с помощью замены
неравенства.
сводим к решению дробно-рационального
в)
Ответ: решается функционально-графическим способом.
г)
Ответ: использование свойства монотонности показательной функции.
6. Подведение итогов обучения. Домашнее задание и его инструктаж
(конспект, неравенства из пункта 5)