Раздел 1. Теория поведения потребителя и экономика

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 06.09.2012
Темы: Теория поведения потребителя: бюджетное ограничение и бюджетное
множество; предпочтения потребителя; функция полезности.
План
1. Бюджетное множество и его свойства, бюджетная линия.
2. Предпочтения потребителя. Кривая
замещения. Функция полезности.
безразличия.
Предельная
норма
Основные понятия и определения
1) Бюджетное ограничение и бюджетная линия
x  ( x1 ,..., x N ) - потребительский набор (корзина), где xi объем потребления i -го
блага, i  1, N .
Бюджетное ограничение описывает множество доступных потребителю наборов
при данных ценах и доходе, т.е.
N
px
i 1
i
i
 m , где m  0 - доход потребителя.
n


Бюджетное множество B   x  X :  pi xi  m , где X  RN - потребительское
i 1


множество (множество допустимых потребительских наборов), pi  0 - цена
блага i .
p1 x1  p2 x2  m . Наклон
p
бюджетной линии (на плоскости ( x1 , x2 ) ) равен  1 ; он показывает
p2
альтернативные издержки приобретения товара 1, т.е. как много товара 2 надо
отдать чтобы потребить больше товара 1 или сколько стоит (с экономической
точки зрения) иметь одну единицу первого блага.
Уравнение бюджетной линии (в случае
N  2 ):
p1
m
описывают одну и ту же
x1  x2 
p2
p2
линию, то цену одного блага можно пронормировать, например, считать равной
единице и измерять относительно нее цену другого блага и доход. Благо, цена
которого приравнена к 1, называют благом-измерителем.
Поскольку уравнения p1 x1  p2 x2  m и
2) Предпочтения
Если для потребителя набор x не хуже, чем набор y , то будем говорить, что
данный потребитель нестрого предпочитает набор x набору y и записывать
x~
 y.
1
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 06.09.2012
Если для потребителя набор x лучше, чем набор y , то будем говорить, что данный
потребитель строго предпочитает набор x набору y и записывать x  y . По
определению x  y  x ~
 y и не верно, что y ~
 x.
Запись x ~ y означает, что наборы эквивалентны: x ~ y  x ~
y и y~
 x.
Аксиома полноты: Для любых наборов x, y  X либо x ~
 y , либо y ~
 x (либо и то
и другое).
Аксиома транзитивности. Для любых наборов x, y, z  X , если x ~
y и y~
 z , то
x~
 z.
Предпочтения, удовлетворяющие
называются рациональными.
аксиомам
полноты
и
транзитивности,
Аксиома строгой монотонности. Для любых наборов x, y  X , если x  y и x  y
(т.е. в наборе x каждого блага не меньше, чем в наборе y , и хотя бы одного строго
больше), то x  y .
Аксиома (строгой) выпуклости, если для любого x  X множество наборов не
хуже x (строго) выпукло.
Кривая безразличия, проходящая через точку x - это множество наборов y ,
эквивалентных набору x : { y : y ~ x} . Если предпочтения рациональны, то кривые
безразличия не пересекаются.
Предельная норма замещения второго блага первым (MRS 12 ( x1 , x2 )) –
максимальное количество второго блага, от которого готов отказаться потребитель,
чтобы увеличить потребление первого блага на малую величину; это наклон кривой
безразличия в точке ( x1 , x2 ) по абсолютной величине.
Функцией полезности, представляющей предпочтения ~
 , определенные на
множестве X, называют функцию u: X→R такую, что для любых наборов x и y из
X соотношение x ~
 y имеет место тогда и только тогда, когда u ( x)  u ( y ) .
Утверждение: Если предпочтения представимы с помощью функции полезности,
то эти предпочтения являются рациональными.
2
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 06.09.2012
Темы: Теория поведения потребителя: предпочтения потребителя и функция
полезности; задача потребителя.
План
1. Функция полезности: единственность функции полезности с точностью до
положительного монотонного преобразования; предельная норма
замещения и предельная полезность.
2. Примеры предпочтений и функции полезности (субституты, комплементы,
антиблаго, точка насыщения, Кобб-Дуглас, квазилинейные предпочтения).
3. Задача
потребителя:
формулировка
Характеристика решения.
и
обсуждение
структуры.
Основные определения
1. Утверждение: Функция полезности определена с точностью до положительного
монотонного преобразования, т.е. если f : R  R строго возрастающая функция и
 на
u : X  R функция полезности, представляющая отношение предпочтения ~
множестве X , то функция v : X  R , где vx   f ux  , также является функцией
полезности, представляющей отношения предпочтения ~
.
Кривая безразличия – множество наборов (в пространстве благ), дающих один и тот
уже уровень полезности (линия уровня функции полезности в пространстве благ):
u( x1 , x2 )  const .
Предельная норма замещения – наклон кривой безразличия (по абсолютной
величине).
MRS 12 ( x1 , x 2 ) 
MU i 
u ( x1 , x 2 ) / x1
dx
 2
u ( x1 , x 2 ) / x 2
dx1
или
u  const
MRS 12 ( x1 , x2 ) 
MU 1
,
MU 2
где
u
- предельная полезность блага i .
xi
2. Примеры предпочтений и функции полезности:
1) Субституты. Два блага называются субститутами, если потребитель готов
заместить одно благо другим в постоянной пропорции. Функция полезности имеет
вид: u( x1 , x2 )  x1  x2 ,  ,   0 (или любое ее положительное монотонное
преобразование). Потребитель готов заместить  единиц второго блага 
единицами первого блага. Кривые безразличия – прямые с наклоном равным
  /  , предельная норма замещения всюду постоянна и равна MRS 12   /  .
2) Комплементарные блага – это блага всегда потребляемые вместе в постоянной
x x 
пропорции. Функция полезности имеет вид: u ( x1 , x 2 )  min  1 , 2  ,  ,   0 (или
  
3
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 06.09.2012
любое ее положительное монотонное преобразование), тогда  единиц первого
блага потребляется с  единицами второго блага.
3) Антиблаго – увеличение потребления этого блага ухудшает положение
потребителя. Кривые безразличия имеют положительный наклон. Пример функции
полезности, где второй товар является антиблагом: u( x1 , x2 )  x1  x2 .
4) Предпочтения с точкой (глобального) насыщения. Пусть существует самый
лучший для потребителя набор в потребительском множестве X , x  ( x1 , x2 ) . Все
остальные наборы тем хуже для потребителя, чем дальше они лежат от набора
x  ( x1 , x2 ) . Пример функции полезности: u( x1 , x2 )  ( x1  x1 ) 2  ( x2  x2 ) 2 .
5) Функция полезности Кобба-Дугласа: u ( x1 , x2 )  ( x1 ) a ( x2 )  , где  ,   0 ,
Предельная норма замещения MRS 12 ( x1 , x2 )  x2 / x1 .
6) Квазилинейная функция полезности: u( x1 , x2 )  v( x1 )  x2 , где
v( x1 )  0 , Предельная норма замещения MRS 12 ( x1 , x2 )  v( x1 ) .
v( x1 )  0 ,
3. Задача потребителя:
max u ( x)
x0
N
p x
i 1
i
i
m
или в случае двух благ
max u ( x1 , x 2 )
x1 , x2  0
p1 x1  p 2 x 2  m
,
где pi  0 цена блага i , m  0 - доход потребителя. Будем считать, что
предпочтения потребителя представимы непрерывной функцией полезности u (x) .
Характеристика решения:
1) Поскольку бюджетное множество непусто и ограниченно ( 0  xi  m / pi ), а u (x)
непрерывная функция, то решение задачи потребителя существует (по теореме
Вейерштрасса).
2) Если функция полезности строго вогнута (предпочтения строго выпуклы), то
(поскольку бюджетное множество выпукло) решение задачи потребителя
единственно.
3) Если предпочтения потребителя строго монотонны, то на решении задачи
бюджетное ограничение выполняется как равенство, т.е. оптимальный набор лежит
на бюджетной линии.
4)
Во
внутреннем
решении
выполнено
соотношение:
(~
x ,~
x )  0
1
2
p
MRS 12 ( ~
x1 , ~
x2 )  1 , т.е. внутренне решение (если функция полезности
p2
дифференцируема) характеризуется касанием кривой безразличия и бюджетной
линии.
4
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 06.09.2012
Темы: Теория поведения потребителя: задача
натурального дохода; экономика обмена (начало)
потребителя;
случай
План
1. Задача потребителя: характеристика решения и примеры поиска функций
спроса.
2. Бюджетное ограничение и задача потребителя в случае натурального
дохода.
3. Экономика обмена: допустимые распределения, ящик Эджворта.
Основные определения
1. Задача потребителя:
max u ( x1 , x 2 )
x1 , x2  0
p1 x1  p 2 x 2  m
Решение задачи потребителя ~
x1  x1 ( p1 , p2 , m) , ~
x2  x2 ( p1 , p2 , m) - функции
(обычного или маршаллианского) спроса.
Функции спроса однородны нулевой степени по ценам и доходу, т.е.
xi ( p, m)  xi (tp, tm) для любого t  0 .
Если максимизируя свою полезность на бюджетном множестве потребитель
выбирает набор с положительным количеством обоих благ ( ( ~
x1 , ~
x2 )  0 p
внутреннее решение), то MRS 12 ( ~
x1 , ~
x2 )  1 .
p2
Если, максимизируя свою полезность на бюджетном множестве, потребитель
приобретает положительное количество блага i , то для блага j выполнено:
pj
.
MRS ji ( ~
x1 , ~
x2 ) 
pi
Функции спроса для функции полезности Кобба-Дугласа u ( x1 , x2 )  ( x1 ) a ( x2 )  , где
m
m
 ,   0 : x1 ( p1 , p 2 , m) 
, x 2 ( p1 , p 2 , m) 
.
(   ) p1
(   ) p 2
Функции спроса для квазилинейной функции полезности вида u( x1 , x2 )  x1  x2 :

p 22
4mp1  p 22
p 22
, x2 
при m 
 x1 
4 p1 p 2
4 p1
4 p12


2
 x  m , x  0 при m  p 2
 1 p 2
4 p1
1

5
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 06.09.2012
Задача потребителя и ее решение с помощью условий Куна-Таккера для функции
полезности u( x1 , x2 )  x1  x2 .
Задача потребителя:
max u ( x1 , x2 )  x1  x2
x1 , x2  0
p1 x1  p 2 x2  m
:
Пусть  – множитель Лагранжа, тогда условия Куна-Таккера для этой задачи
имеют вид:
1
(1)
 p1  0 и  0 , если x1  0
2 x1
1  p2  0 и  0 , если x2  0
(2)
m  p1 x1  p2 x2  0 и  0 , если   0
(3)
Заметим, что, во-первых, т.к. предпочтения потребителя строго монотонны, то на
решении задачи бюджетное ограничение будет выполняться как равенство
(поэтому условие (3) выполняется как равенство), во-вторых, т.к. доход
потребителя по предположению положителен, m  0 , то оптимальным не может
быть набор, в котором отсутствует оба блага; в-третьих, поскольку функция
полезности строго вогнута (а, следовательно, предпочтения строго выпуклы), то
условия первого порядка являются необходимыми и достаточными.
1
Заметим, что x1  0 , поэтому условие (1)
 p1  0 всегда выполняется как
2 x1
равенство. Т.к. из условия (2) следует, что 1   p2 , то
1
2 x1

2
1
2
2
1
2 x1

p1
, причем
p2
2
1
2
2
p1
p
p
если x2  0 . Таким образом, x1 
, и x1 
, если x2  0 .
p
4p
4p
С другой стороны расходы на приобретение блага 1, x1 , не превосходят доход:
m
m
, причем x1 
, если x2  0 .
p1 x1  m , то есть x1 
p1
p1
 p2 m 
 p2 m 
Поэтому x1  min  22 ,  . Покажем, что x1  min  22 ,  . Действительно,
 4 p1 p1 
 4 p1 p1 
p2
m
если x2  0 , то x1 
, а если x2  0 , то x1  22 .
p1
4 p1
6
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 06.09.2012
p 22
m
m
Поскольку x1 
 x2  0 , то
 x2  0 . Таким образом, x2  0 

p1
p1 4 p12
p 22
. В итоге получаем приведенные выше функции спроса.
m
4 p1
2. Поведение потребителя в случае натурального дохода. Предположим, что
индивид обладает некоторым запасом благ   (1 , 2 ) , которые предлагаются на
рынке по ценам p  ( p1 , p2 ) , и не имеет фиксированного дохода, тогда бюджетное
ограничение потребителя имеет вид: p1 x1  p2 x2  p11  p22 . Графически,
бюджетная линия проходит через точку первоначального запаса точка
( x1  1 , x2  2 ) и имеет наклон  p1 / p2 . Решение задачи потребителя, набор
( x1* , x2* ) , теперь зависит как от цен, так и от первоначального запаса благ:
xi*  xi* ( p1 , p 2 , p11  p 2 2 ) .
Если xi*   i , то говорят, что потребитель является чистым покупателем или
чистым потребителем данного блага.
Если xi*   i , то говорят, что потребитель является чистым продавцом или чистым
поставщиком данного блага.
В экономике с двумя благами при положительных ценах потребитель не может
быть чистым покупателем или чистым продавцом обоих благ одновременно.
3. Экономика обмена. Обозначим через
x ik
потребление блага i , i  1, 2
потребителем k , k  A, B , а через  ik - первоначальный запас блага i у
потребителя k .
Распределением называется пара потребительских наборов
x B  ( x1B , x2B ) , т.е. x  ( x A , x B ) .
x A  ( x1A , x2A )
и
Распределение называется допустимым, если потребляемое количество каждого
блага равно совокупному запасу этого блага, т.е. x1A  x1B  1A  1B и
x2A  x2B  2A  2B .
Допустимое распределение x называется Парето-оптимальным (эффективным),
если нельзя улучшить положение одного потребителя, не ухудшая положение
другого. Другими словами, распределение x Парето-оптимально, если для него
нельзя построить Парето-улучшение, т.е. не существует другого допустимого
xk ~
 x k для всех потребителей и хотя бы для одного
распределения ~
x такого, что ~
xk  xk .
потребителя ~
7
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 06.09.2012
Темы: Экономика обмена: равновесие
оптимальность (теоремы благосостояния)
по
Вальрасу;
равновесие
и
План
1. Равновесие по Вальрасу; закон Вальраса; пример поиска равновесия по
Вальрасу.
2. Равновесие и оптимальность: первая и вторая теоремы благосостояния.
Основные определения
x, ~
p ) называется равновесием по
1. Определение равновесия по Вальрасу: Набор ( ~
Вальрасу, если
x k является решением задачи этого
1). Для любого потребителя k набор ~
потребителя при равновесных ценах ~p :
max
u k (xk )
k
x 0
px
i
i
k
i
  pi  ik
i
2) Рынки уравновешены (сбалансированы), т.е. для любого блага i выполнено
соотношение:
~
x k  k .

k
i

i
k
Совокупным избыточным спросом на благо i называется разность между
совокупным спросом на благо i и его совокупным предложением (запасом), т.е.
z i ( p)   xik   ik .
k
k
Закон Вальраса. Если предпочтения потребителей строго монотонны, то стоимость
совокупного избыточного спроса равна нулю при любых ценах, при которых
определен избыточный спрос, т.е.  pi z i ( p)  0 .
i
Следствие закона Вальраса: Если в экономике N рынков, то достаточно найти
цены, при которых уравновешены N  1 рынков, а на рынке товара N спрос
автоматически будет равен предложению.
2. Первая теорема благосостояния: Если все потребители имеют строго
x, ~
p ) является равновесием по Вальрасу, то
монотонные предпочтения и набор ( ~
~
распределение x является Парето оптимальным.
~
x, ~
p, T )
Определение равновесия по Вальрасу в экономике с трансфертами: Набор ( ~
называется равновесием по Вальрасу в экономике с трансфертами, если
x k является решением задачи этого
1). Для любого потребителя k набор ~
~
потребителя при равновесных ценах ~p и трансферте T k :
8
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 06.09.2012
max
u k (xk )
k
x 0
p x
i
i
k
i
  pi  ik  T k
i
2) Рынки уравновешены (сбалансированы), т.е. для любого блага i выполнено
соотношение:
~
x k  k .

k
i

i
k
3) Выполнен финансовый баланс:
~k
T
 0.
k
Вторая теорема экономики благосостояния. Пусть все потребители имеют строго
монотонные выпуклые предпочтения (представимые дифференцируемыми
функциями полезности). Тогда любое внутренне (т.е. такое, в котором каждый
потребитель имеет положительное количество любого блага) Парето-оптимальное
распределение можно реализовать как равновесное в экономике с трансфертами.
Пример: Пусть u A ( x A )  ( x1A )1 / 4 ( x2A ) 3 / 4 и u B ( x B )  ( x1B )1 / 4 ( x2B ) 3 / 4 ,  A  (6, 1) и
 B  (2, 3) .
(а) Найдите равновесие по Вальрасу в данной экономике.
Ответ: ~
x A  3, ~
x B  5, ~
x A  3/ 2 , ~
x B  5/ 2 .
p /~
p  1/ 6 , ~
1
1
2
1
2
2
(б) Можно ли распределение {~
x A  (2, 2), ~
x B  (6, 2)} реализовать как равновесное
при каких-либо ценах и трансфертах?
Ответ: Данное распределение не является Парето-оптимальным, следовательно,
по первой теореме благосостояния оно не может быть равновесным ни при каких
ценах.
(в) Можно ли распределение {~
x A  (2, 1), ~
x B  (6, 3)} реализовать как равновесное
при каких-либо ценах и трансфертах?
Ответ: Данное распределение можно реализовать как равновесное при ценах
~
p1 1
~
~
 и трансфертах T A  4 , T B  4 (данные величины трансфертов получены
~
p2 6
при нормировке ~
p1  1, при выборе другой нормировки величины трансфертов
будут другими).
Пример экономики, в которой отсутствует равновесие: Рассмотрим экономику
обмена с двумя благами (1 и 2) и двумя потребителями (A и В). Предпочтения
потребителей
представимы
функциями
полезности
вида:

 
 

u k x1k , x2k   x1k  3  x2k  2 , k  A, B.
 A  1A , 2A   5, 3 и  B  1B , 2B  5, 3 .
2
2


Начальные
запасы
потребителей
9
МФТИ, 2012-2013 уч.г., 06.09.2012
Пример экономики, где равновесное отношение цен не единственно. Предпочтения
потребителей представимы функциями полезности: u A x1A , x2A  min{ x1A , x2A } и
u B x1B , x2B  min{ x1B , x2B } . Начальные запасы благ:  A  1A ,  2A  1, 1 и
 B  1B , 2B  1, 1 . Тогда точка первоначальных запасов будет равновесной при
~
p
любых ценах ~1  0 .
p2








10