1. Дифференциал функции, его геометрический смысл.

Экзаменационные вопросы по математике для ZBМ-Физ-2-1
1. Дифференциал функции, его геометрический смысл.
2. Инвариантность формы записи дифференциала.
3. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. Пример.
0

4. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей
и .
0

5. Первообразная. Неопределенный интеграл, его основные свойства (с доказательством).
6. Таблица основных формул интегрирования.
7. Инвариантность формул интегрирования. Доказать теорему. Интегрирование
подстановкой.
8. Интегрирование по частям.
9. Интегрирование рациональных алгебраических функций. Метод неопределенных
коэффициентов.
10. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.
11. Определенный интеграл, как предел интегральных сумм. Геометрический и
механический смысл определенного интеграла.
12. Основные свойства определенного интеграла.
13. Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Доказать.
14. Формула Ньютона-Лейбница. Доказать.
15. Вычисление определенного интеграла по частям и подстановкой.
16. Несобственные
интегралы
с
бесконечными
пределами.
Геометрическая
интерпретация.
17. Вычисление площадей плоских фигур в декартовых координатах.
18. Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений. Объем шара.
19. Вычисление объемов тел вращения.
20. Длина дуги кривой (вывод формулы). Длина окружности.
21. Функции нескольких переменных. Область определения. График.
22. Частные и полное приращение функции. Частные производные.
23. Частные производные высших порядков.
24. Полное приращение и полный дифференциал функции. Применение полного
дифференциала к приближенным вычислениям.
25. Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.
26. Двойные интегралы и их свойства.
27. Вычисление двойных интегралов в декартовых координатах.
28. Вычисление объема тел вращения и площадей плоских фигур с помощью двойного
интеграла.
Тестовые задания к экзамену.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
1. Символ x / P( x) означает:
M
множество элементов x, из которого исключено множество P (x ) ;
N
множество элементов x, к которому присоедено множество P (x ) ;
K
множество элементов x, обладающих свойством P (x ) (характеристическим
свойствам).
M
N
2. Символ А  В означает:
множество А является подмножеством множества В;
множество В содержится (включено) в множество А;
K
элемент А принадлежит множеству В.
3. Объединение и пересечение двух множеств А и В соответственно изображается
геометрически:
Рис. 1
Рис. 2
M
F
рис.2 и рис.3;
рис.1 и рис.2 ;
M
N
K
4. Символы а)  б)  с)  означают соответственно:
а - эквивалентны, б - следует, с - принадлежит;
а - следует, б - принадлежит, с - эквивалентны;
а - следует, б - эквивалентны, с - принадлежит.
M
N
K
5. Символы а)  , б)  , с)  означают:
а - всякий, любой, б - существует по крайней мере, с - не  ;
а - существует по крайней мере, б - всякий, любой, с - не  ;
а - всякий, любой, б - эквивалентны, с - не  .
б)
M
N
K
M
N
K
N
D
рис.1 и рис. 3;
рис.2 и рис. 1;
Рис. 3
Рис. 4
K рис.2 и рис. 3;
P рис.3 и рис. 2.
6. Множество вещественных чисел x, удовлетворяющих неравенствам а) a  x  b ,
a  x  b с) a  x  b , обозначается соответственно:
а) ( a ; b ); б) [a; b) ; с) [a; b] ;
а) [a; b] ; б) (a; b] ; с) (a; b) ;
а) [a; b] б) (a; b) ; с) (a; b] .
7. Числовой последовательностью называется множество:
занумерованных действительных чисел, расположенных в порядке возрастания их
по абсолютной величине;
занумерованных вещественных чисел, подчиняющихся заданной функциональной
зависимости xn  f (x) ;
занумерованных вещественных чисел, полученных по некоторому закону,
зависящему от n  N .
8. Последовательность x n  называется ограниченной, если существуют такие
числа m и М , что для  n  N выполняется:
m  x   M ;
M
N
m  xn   M ;
K
m  xn  M .
9. Число а называется пределом последовательности { x n }, если для всякого:
M
числа n 0 найдется   0 такое, что выполняется неравенство xn  a   ;
N
числа n 0 найдется   0 такое, что выполняется неравенство xn  a   ;
K
  0 найдется число n0  n0 ( ) такое, что выполняется неравенство xn  a   ;
P
  0 найдется число n0  n0 ( ) такое, что выполняется неравенство xn  a   ;
10. Переменная x n называется бесконечно малой величиной (БМВ), если:
M
для любой   0 , найдется n0 ( ) , что для всех n  n0 выполняется   xn  0 ;
N
для любой   0 , найдется n0 ( ) , что для всех n  n0 выполняется xn   ;
K
для любой   0 , найдется n0 ( ) , что для всех n  n0 выполняется xn   .
11. Если lim x n  a , то величина:
n 
M
N
K
 n  xn  a - величина, равная нулю;
 n  xn  a - бесконечно большая величина;
 n  xn  a - бесконечно малая величина.
12. Переменная x n называется бесконечно большой величиной, если для любого
числа А>0
найдется n0 ( A) такое, что для всех n  n0 выполняется:
M
xn  A   ;
N
xn  A ;
K
| xn | A ;
F
xn  A   .
13. Если
lim x n  a , lim y n  b , то:
n 
n 
M
lim ( x n y n )  ay n  bx n ;
N
lim ( x n y n )  a  b;
K
lim ( x n y n )  a lim y n  b lim x n .
n 
n 
n 
n 
n 
xn
0
представляет неопределенность вида , если при n   :
0
yn
значения xn и y n принимают величины, равные нулю;
lim x n   n , lim y n   n , где  nn  n - бесконечно малые величины;
14. Отношение
M
N
K
n 
lim xn  0, lim y n  0 .
M
N
xn

представляет неопределенность вида , если при n   :

yn
для любого наперед заданного числа A  0 выполняется xn  A и y n  A ;
lim x n   ; lim y n   ;
K
lim x n  An ; lim y n  Bn , где An и Bn – бесконечно большие величины.
15. Отношение
n 
n 
n 
n
16. Число b по Гейне называется пределом (предельным значением) функции
y  f (x) в точке x  a (при x  a ), если для любой последовательности значений
аргумента x1 , x2 , ..., xn ,... ,
M
сходящейся
к
f ( x1 ), f ( x2 ), ...,
N
сходящейся
к
f ( x1 ), f ( x2 ), ...,
K
сходящейся
к
f ( x1 ), f ( x2 ), ...,
a и при x n  a ,
f ( xn ), ... сходится к числу
a и при x n  a ,
f ( xn ), ... сходится к числу
b и при x n  a ,
f ( xn ), ... сходится к числу
соответствующая
f (a ) ;
последовательность
соответствующая
последовательность
b;
соответствующая
a.
последовательность
17. Число b называется пределом функции y  f (x) в точке x  a (или при x  a
) по Коши, если для любого положительного   0 найдется отвечающее ему    ( )  0
такое, что для всех x, удовлетворяющих:
M
0  x  a   , справедливо неравенство f ( x)  b   ;
N
0  x  a   , справедливо неравенство f ( x)  b   ;
K
0  x  a   , справедливо неравенство f ( x)  b   .
18. Символ lim f ( x)  b или f (a  0)  b называется правосторонним пределом
x a  0
функции f(x) в точке x  a и означает, что :
lim f ( x)  b ;
M
 x a
 xa

N
K
lim f ( x)  b ;
 x a
 xa

lim f ( x)  b .
 x a
 xa

19. Символ lim f ( x)  b или f (a  0)  b называется левосторонним пределом
x a 0
функции f(x) в точке x  a и означает, что:
lim f ( x)  b ;
M
 x a
 xa

N
K
lim f ( x)  b ;
 x a
 xa

lim f ( x)  b .
 x a
 xa

20. Функция y   (x) называется бесконечно малой в точке x  a , если предел
lim  ( x ) равен:
xa
M
N
P
 (a ) ;
нулю;
близко к нулю.
21. Функция y   (x) называется бесконечно малой функцией в точке a ( x  a ) ,
если для любого   0 найдется  ( )  0 , для которых справедливы неравенства:
M
N
K
P
|  ( x) |  ( ) , если 0  | x  a |   ;
|  ( x) |   ( ) , если 0  | x  a |   ;
|  ( x) |  , если 0  | x  a |   ;
|  ( x) |  , если 0  | x  a |   .
22. Доказать теорему: если функция y  f (x) имеет предел, равный b при x  a ,
то функция  ( x)  f ( x)  b является бесконечно малой в точке a .
23.  (x ) является в точке x  a бесконечно малой функцией более высокого
порядка малости чем  (x) , если:
 ( x)
lim
 0;
M
xa  ( x)
 ( x)
lim
 0;
N
xa  ( x)
 ( x)
lim
 1.
K
x a  ( x)
24. Функция f (x) на множестве {x} имеет порядок функции  (x ) , если введение:
M
f ( x)
 C;
 ( x)
N
f ( x)
C;
 ( x)
K
lim
f ( x)
 0.
x a  ( x)
1
x
M
N
K
x
sin x
 1
25. Пределы a ) lim (1  x) , b ) lim 1   , c ) lim
называют соответственно:
x

0
x 
x 0
x
x

a - второй замечательный предел; b - второй замечательный предел; c - первый
замечательный предел;
a - первый замечательный предел; b - первый замечательный предел; c - второй
замечательный предел;
a - второй замечательный предел; b - первый замечательный предел; c - первый
замечательный предел.
M
26. Функция y  f (x) называется непрерывной в точке x  a , если:
lim f ( x)  b , где | f ( x)  b |  ;
N
lim f ( x)  b , где b  f (a) ;
K
lim f ( x)  b , где b определяется из определения предела f (x ) в точке x  a .
xa
xa
xa
27. Функция f (x) называется непрерывной в точке x  a , если для любого   0
найдется  ( )  0 такое, что для
| x  a |  справедливо неравенство | f ( x)  f (a) |  ( ) ;
M
| x  a |  ( ) справедливо неравенство | f ( x)  f (a) |  ;
N
| x  a |  ( ) справедливо неравенство | f ( x)  f (a) |  .
K
28. Функция f (x) называется непрерывной в точке x  a , если приращение
функции y  f ( x)  f (a) при x  x  a  0 стремится:
M
к постоянной величине, не равной нулю;
N
к нулю.
29. Если предел функции y  f (x) в точке x  a существует, но в этой точке f (x)
либо не определена, либо f (a )  lim f ( x) , то точка x  a называется:
x a
M
N
K
точкой разрыва первого рода;
точкой разрыва второго рода;
устранимой точкой разрыва.
30. Если в точке x  a lim f ( x)  lim f ( x) , то эта точка называется:
x a  0
M
N
K
x a 0
устранимой точкой разрыва;
точкой разрыва второго рода;
точкой разрыва первого рода.
31. Если в точке x  a функция y  f (x) не имеет, по крайней мере, одного из
односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, то
точка x  a называется:
M
устранимой точкой разрыва;
N
точкой разрыва первого рода;
K
точкой разрыва второго рода.
M
32. Если функция y  f (x) непрерывна на [ a ; b] , то эта функция:
ограничена и достигает наименьшего и наибольшего значения;
N
имеет точку разрыва первого рода и достигает наименьшего и наибольшего
значения;
33. Приращением функции y  f (x) в точке x 0 при приращении аргумента x
называется число:
y  f (x)  f ( x0 ) ;
M
N
y  f ( x0 )  f ( x0  x) ;
K
y  f ( x0  x)  f ( x0 ) .
M
N
K
34. Производной функции y  f (x) в точке x 0 называется:
x
lim
;
x 0 y
lim
x  x 0
y
;
x
y
.
x  0  x
lim
35. Функция y  f (x) , определенная в точке x 0 и в ее окрестности, называется
дифференцируемой при x  x0 , если:
M
y  A( x0 )  x   (x)  x , где  (x) - бесконечно малая функция;
N
y  A( x0 )  x   (x)  y ;
y  A( x0 )  f ( x0 )   (x)  x .
K
36.
Если
приращение
функции
y  f (x)
в
точке
x0
равно
x0
равно
y  A( x0 )  x   (x)  x , то дифференциалом функции называется:
М
A( x0 )x и обозначается y ( x0 ) ;
 ( x)x и обозначается d f ( x0 ) ;
A( x0 )x и обозначается d f ( x0 ) .
N
K
37.
Если
приращение
функции
y  f (x)
в
точке
y  A( x0 )  x   (x)  x , то:
A( x0 )  dy ;
M
A( x0 )  y  ;
N
A( x0 )x  y  .
K
38. Если в точке x 0 к графику функции y  f (x) проведена касательная, то
производная и дифференциал функции геометрически истолковывается соответственно
как:
M
приращение ординаты касательной на [ x0 ; x0  x] и тангенс угла наклона
касательной к оси Ox в точке x 0 ;
тангенс угла наклона касательной к оси Ox и приращение функции на [ x0 ; x0  x]
;
тангенс угла наклона касательной к оси Ox в точке x 0 и приращение ординаты
N
K
касательной на [ x0 ; x0  x] .
U 
и V (x ) дифференцируемы, то (U V ) и  
V 
вычисляются соответственно по формулам:
U  V  V  U
M
;
U  V  V  U и
V2
V  U  U  V
N
;
U  V  V  U и
V2
U  V  V  U
K
.
U  V  V  U и
V2

39. Если функции U (x)
40. Доказать теорему: пусть функция y  f (x) непрерывна и строго монотонна в
некоторой окрестности точки x 0 и при x  x0 существует производная f ( x0 )  0 , тогда
обратная
1
функция
df ( y 0 )
1

.
dy
f ( x0 )
x f
1
( y)
имеет
производную
вычисляемую
по
формуле
41. Если функция y  f (x) задана параметрически, т.е. x   (t ) и y   (t ) , где t –
параметр, то y (x) вычисляется по формуле:
d (t )
M
;
dt
d (t )
N
;
d (t )
d (t )
K
.
d (t )
42. Доказать теорему Ролля: Если функция f (x) определена и непрерывна на
[ a ; b] , дифференцируема на ( a ; b) , f (a )  f (b) , то между точками a и b найдется, по
крайней мере, хотя бы одна точка С, что f (C )  0 .
43. Доказать теорему Лагранжа. Пусть f (x) определена и непрерывна на [a; b] ,
существует производная f (x) , по крайней мере, на (a; b) , тогда между a и b найдется
f (b)  f (a )
такая точка C , что f (c) 
.
ba
44. Правило Лопиталя: если f (x) и g (x ) непрерывны и дифференцируемы в
некоторой проколотой окрестности точки x  C , g ( x)  0 и lim f ( x)  0 , lim g ( x)  0 , то:
x C
M
lim
x C
x C
f ( x)
f ( x) lim
 x С
;
g ( x) lim g ( x)
x С
N
K
M
N
K
T

 f ( x) 
f ( x)
 ;
lim
 lim 
x C g ( x )
x C g ( x ) 


f ( x)
f ( x)
lim
 lim
.
x C g ( x )
x C g ( x )
45. Достаточным условием возрастания функции y  f (x) на (a; b) является:
f ( x)  0 в любой точке x  (a; b) ;
f ( x)  0 в любой точке x  (a; b) ;
f ( x)  0 в любой точке x  (a; b) ;
f ( x)  0 в любой точке x  (a; b) .
46. Критическими (1) и стационарными (2) точками функции y  f (x) называются
точки, в которых:
M
(1) y   0 и (2) y   0 либо y  не существует;
N
(1) y   0 либо (2) y  не существует и y   0 ;
K
(1) y  0 либо (2) y не существует и y   0 .
47. Если функция y  f (x) непрерывна в окрестности критической точки x  C и
дифференцируема в ее проколотой окрестности, тогда максимум и минимум функции
соответственно будут:
M
если f ( x)  0 при x  C и f ( x)  0 при x  C ;
N
K
T
если f ( x)  0 при x  C и f ( x)  0 при x  C ;
если f ( x)  0 при x  C и f ( x)  0 при x  C ;
если f ( x)  0 при x  C и f ( x)  0 при x  C .
48. Если x  C - критическая точка функции y  f (x) , в которой f (C )  0 , то в
точке x  C будет минимум, если:
f (C )  0 ;
M
f (C )  0 ;
N
f (C )  0 ;
K
f (C )  0 при x  C и f (C )  0 при x  C .
T
49. Если функция y  f (x) определена на (a; b) и для всех x  (a; b) f (C )  0 , то
функция y  f (x) на (a; b) :
M
убывает;
N
возрастает;
K
выпукла;
T
вогнута.
M
N
K
50. Достаточным условием точки перегиба С является:
f (C )  0 и f (x) слева и справа от точки C имеет разные знаки;
f (C )  0 и f (x) слева и справа от точки C имеет разные знаки;
f (C )  0 и f (x) слева и справа от точки C имеет одинаковые знаки.
51. Прямая y  kx  b является наклонной асимптотой для функции y  f (x) , если:
f ( x)
lim
 k и lim ( f ( x)  kx)  b ;
M
xa
xa
x
f ( x)
lim
 b и lim ( f ( x)  kx)  k ;
N
xa
xa
x
f ( x)
lim
 k и lim ( f ( x)  kx)  b ;
K
x 
x 
x
f ( x)
lim
 b и lim ( f ( x)  kx)  k .
T
x 
x 
x
Неопределенный интеграл
1. Функция F (x) , называется первообразной для функции f (x) , если
выполняется:
f ( x)  F ( x) ;
N
F ( x)  f ( x)  C ;
P
f ( x)  F ( x)  C ;
R
F ( x)  f ( x) .
S
2. Неопределенным интегралом от функции f (x) называется:
f ( x)  C ;
L
F (x) ;
N
F ( x)  C
P
и обозначается символом
R
 F ( x)dx ;
S
 f ( x)dx ;
 ( f ( x)  C )dx .
M
3. Укажите, какой ответ правильно отражает свойства неопределенного интеграла:

f
(
x
)
dx
 f ( x) ;
d  f ( x)da  f ( x)  C ;

 df ( x)  f ( x)dx ;
M
N
P


 f ( x)dx   f ( x) ;
 f ( x)dx   f ( x) ;
d  f ( x)dx  f ( x)dx ;
 df ( x)  F ( x)  C ;
d  f ( x)dx  f ( x)dx ;
 df ( x) 
f ( x)  C .
4. Укажите, какой ответ правильно отражает свойства неопределенного интеграла:
M
S
N
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx ;
 af ( x)dx  a  f ( x)dx  f ( x  b)dx   f ( x)dx   f (b)dx ;
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx ; a  f ( x)dx   af ( x)dx ;
 f ( x  b)dx  F ( x  b)  C ;
  f ( x)  g ( x)dx   f ( x)dx   g ( x)dx ;  af ( x)dx  F ( x  a)  C ;
 f ( x  b)dx  F ( x  b)  C .
5. Первообразными для функций
1
;
cos 2 x
1
;
a  x2
2
1
a2  x2
;
1
x
будут
соответственно:
x
1 xa
C;
ln 
3.
C ;
a
2a  x  a 
1
x
tg x  C ; 6. ln x  C ;
7. arctg .
a
a
P
1; 3; 2; 6;
R
5; 3; 2; 6;
S
5; 2; 3; 6;
F
5; 7; 2; 6;
N
5; 2; 7; 6.
1. a x  C ;
2. arcsin
4. ctg x  C ;
6. Замена переменной в неопределенном интеграле
 f ( x)dx
5.
при x   (t )
осуществляется по формуле:
K
 f ( (t ))dt ;
M
R
N
 f ( (t ))  t dt ;
 f ( (t ))  f (t )dt ;
 f ( (t ))   (t )dt .
7. Метод интегрирования по частям состоит в том, что  U dV будет равен:
R
UV   VdU ;
K
M
N
UV   VdU ;
U V  V U ;
UV   VdU .
8. Назовите первообразные для функций
B
xb
и
B
, где b, n, B ( x  b) n
постоянные.
9. Интеграл вида
 R(sin x, cos x)dx
в случае R(sin x,  cos x)   R(sin x, cos x)
вычисляется путем подстановки:
P
t  sin x ;
R
t  cos x ;
S
t  tg x ;
x
t  tg .
N
2
10. Интеграл вида  R(sin x, cos x)dx в случае R( sin x, cos x)   R(sin x, cos x)
вычисляется путем подстановки:
N
t  sin x ;
P
t  cos x ;
x
t  tg ;
M
2
K
t  tg x .
11. Интеграл вида
 R(sin x, cos x)dx
в случае R( sin x,  cos x)  R(sin x, cos x)
вычисляется путем подстановки:
S
t  sin x ;
K
t  cos x ;
x
t  tg ;
N
2
P
t  tg x .
12. Интеграл вида
 R(sin x, cos x)dx
вычисляется с помощь «универсальной»
подстановки:
P
t  sin x ;
S
t  cos x ;
x
t  tg ;
N
2
K
t  tg x .
13. Задано комплексное число z  x  iy . Выберите правильные ответы для Re z ,
Im z , z , если:
1. Re z  y ;
6. Im z  y ;
P
1; 4; 9;
R
3; 5; 8;
2. Re z  iy ;
3. Re z  x ;
7. z  x 2  y 2 ; 8. z  x  y ;
4. Im z  x ;
5. Im z  iy ;
9. z  x 2  y 2 .
N
M
S
2; 4; 9;
3; 6; 9;
3; 5; 7.
P
14. Умножение комплексных чисел z1 и z 2 осуществляется по формуле:
z1 z 2  cos1   2   i sin 1   2  ;
N
K
N
S
R
K
z1 z 2  cos 1 2  i sin 1 2  ;
z1 z 2  sin 1   2   i cos1   2  .
15. Деление комплексных чисел z1 и z 2 осуществляется по формуле:
z1 

 
 cos 1  i sin 1  ;
z2 
2
2 
z1
cos1   2   i sin 1   2  ;
z2
z1
z2
sin 1   2   i cos1   2  ;
z1  1
 
 sin
 i cos 1  .
z2  2
2 
16. Возведение в степень
осуществляется по формуле:
n
z cos n   i sin n   ;
S

z cos  n  i sin  n ;
K
  2k
  2k 
n
z  cos
 i sin
;
n
n 

F
z
K
N
M
P
n
комплексного
числа
z  z cos   i sin  

R
n
n
cosn     i sin n    .
17. Извлечение корня n -й степени осуществляется по формуле:
  2k
  2k 

n z cos
 i sin

;
n
n 

  2k 
   2k
n z sin
 i cos

;
n
n 




n z cos
 i sin  ;

n
n



z cos n   i sin n  .
n
Определенный интеграл
2. Интегральной суммой функции f (x) на сегменте [a; b] называется:
n
P
 f (U ) ;
i 1
i
n
M
  f (U ) ;
i
i 1
n
K
 f (U )y
i 1
i
i
;
n
N
 f (U )x .
i 1
i
i
Дайте определение определенного интеграла.
b
2. Если отрезок [a; b] разбит точкой С на [a; с] и [с; b ] , то
 f ( x)dx
a
c
P
N
c
 f ( x)dx   f ( x)dx ;
a
b
c
b
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx ;
c
K
M

b
f ( x)dx 
 f ( x)dx ;
a
c
c
b
a
c
 f ( x)dx   f ( x)dx .
b
3. Определенный интеграл
 f ( x)dx
будет равен:
a
a
M
 f ( x)dx ;
b
b
N
  f ( x)dx ;
a
b
P

 f ( x)dx ;
a
b
L

 f ( x)dx ;
a
a
K
  f ( x)dx .
b
b
4. В теореме о среднем чему равен
 f ( x)dx .
a
5. Интегралом с переменным верхним пределом называется:
x
P
F ( x)   f (t )dt ;
c
t
N
F ( x)   f ( x)dx ;
c
будет равен:
x
K
F ( x)   F (t )dt ;
c
t
M
F ( x)   F ( x)dx .
c
6. Формула Ньютона-Лейбница, если F (x) - первообразная для f (x) , имеет вид:
b
K
 f ( x)dx  F (a)  F (b) ;
a
b
F
 f ( x)dx  F (b)  F (a) ;
a
b
P
 f ( x)dx  F (b)  F (a) ;
a
b
S
 f ( x)dx  F (b)  F (a) .
a
7. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла имеет вид:
b
K
 UdV  UV
b
b
a
  VdU ;
a
b
R
a
U
 UdV  V
a
b
a
b
  VdU ;
a
b
S
b
b
a
b
P
dU
;
V
a
 UdV  UV a  
 UdV  UV
a
b
b
a
  VdU .
a
8. Если x  g (t ) и если g ( )  a, g (  )  b , то формула замены переменной имеет
вид:
b
R
S

b
f ( x)dx   f ( g (t )) g (t )dt ;
a
a
b

 f ( x)dx   f ( g (t )) g (t )dt ;
a
b
M
K
P


f ( x)dx   f ( g (t )) dt ;
a

b
b
 f ( x)dx   f ( g (t )) dt ;
a
a
b

 f ( x)dx   f (t ) g (t )dt .
a
9. Несобственный интеграл I-го рода обозначается:
b
R
 f ( x)dx ;
a

N
 f ( x)dx ;
a
0
S
 f ( x)dx ;
a
b
P
 df ( x) .
a
10. Несобственный интеграл I-ого рода называется:
b
S
lim
x 
 f ( x)dx ;
a
R
F
lim
R 
 f ( x)dx ;
a
x
R
lim
t 
 f (t )dt ;
a
1
R
P
lim
R 
 f ( x)dx .
a