4. Расчет электрических цепей

Домашнее задание №2 «Расчет переходных процессов в цепях первого порядка»
Необходимо: а) скомпоновать схему согласно своему варианту; б) найти мгновенное
значение величин, указанных в табл., классическим методом расчета; в) найти мгновенное
значение величин, указанных в табл., операторным методом расчета; д) представить
найденные величины графиками на интервале времени [-τ, 4·τ].
Выполнить анализ переходного процесса в цепи первого порядка. Структура
электрической цепи изображена на рисунке 2.1 в обобщённом виде.
i1
u2
u1
u7
1
7
2
4
u4
5
u5
6
u6
Е
3
u3
i2
i3
9
u9
10
u10
8
u8
Рис. 2.1
Перед расчётом необходимо составить схему цепи, воспользовавшись информацией
таблиц 2.1.12.1.4. Ключ в цепи расположен последовательно или параллельно одному из
элементов, и до коммутации он находится замкнутом (З) или разомкнутом (Р) состоянии.
Рекомендованным преподавателем методом требуется определить и построить в
интервале времени 04 [c] заданные кривые ik(t), um(t).
Вариант
Элементы
E[В], R[Ом], L[Гн], C[Ф]
Искомые
величины
Расположение ключа
Ключ
при t<0
20
E=115; R1=R4=R5=R7=R8=1050;
C9=2105
i3 (t), u5 (t)
Параллельно
R5
Р
Домашнее задание №3 «Расчет цепей синусоидального тока»
Исходная схема находится на стр.65, а параметры к ней на стр.69 (табл.3.2.4).
Необходимо: а) скомпоновать схему согласно своему варианту; б) найти мгновенное
значение всех токов, напряжений и источника ЭДС методом комплексных амплитуд; в)
построить векторные диаграммы для любого контура и любого узла.
ЗАДАНИЕ 3.2
Анализу подлежит электрическая цепь, варианты схем которой
формально изображены на трех рисунках.
u1
u4
1
i1
u1
1
4
u3
3
u3 i3
3
i2
u1
4
i2
e
u4
i1
u4
1
i3
4
i2
i3
3
i1
e
u3
e
2
2
5
u2
Рис. 1
5
u2
u5
2
u2
u5
Рис. 2
5
u5
Рис. 3
Перед расчетом необходимо составить схему предложенного
преподавателем варианта (параметры элементов указаны в таблицах 3.2.1 …
3.2.4). В качестве примера показана схема тридцатого варианта из таблицы
3.2.1. Второго элемента в таблице нет и на схеме он заменён перемычкой.
C4 1250 мкФ
i1 = 23,18sin(400t+29,7) A
R1 7 Ом
L3
10 мГн
i3
i2
e
C5
Рекомендуется не изменять нумерацию
элементов, токов и напряжений.
1250 мкФзначения ЭДС источника, токов в ветвях и напряжений
1. Рассчитать мгновенные
на элементах.
20
Схема
Вариант
2. Определить активную, реактивную и полную мощности.
3. Построить векторную диаграмму токов и напряжений
амплитудных значений величин.
2
Элементы ветвей
R [Ом], L[мГн], C[мкФ]
L1=12,5, R2=4, C3=625, L5=12,5
Заданная величина
i [A]; e,u [B]
e = 38sin(400t)
для
Домашнее задание №4 «Расчет цепей с несинусоидальными источниками энергии»
Исходная схема находится на стр.83, а параметры к ней на стр. 75-77 и 90-91 (табл.4.4).
Необходимо: а) скомпоновать схему согласно своему варианту; б) найти действующее и
мгновенное значения величины, указанной в табл., используя первые пять слагаемых
несинусоидального источника энергии.
ЗАДАНИЕ 4
Для заданной схемы электрической цепи, структура которой представлена на рис 1
или 2 и параметрами из таблиц 4.1…4.4, выполнить:
1) представить заданную функцию источника ЭДС или тока рядом Фурье, ограничив
число членов ряда постоянной составляющей и тремя первыми гармониками.
2) построить графики спектров амплитуд и начальных фаз заданного источника.
3) определить функцию f н (t ) - напряжение uн (t ) или ток iн (t ) на нагрузке,
используя метод расчета по комплексным значениям;
4) построить графики спектральных составляющих для напряжения (тока) на
нагрузке.
5) определить действующее значение напряжения (тока) на нагрузке и мощность,
рассеиваемую на нагрузке.
2
Jвх
5
4
1
4
1
eвх
7
3
6
uн
iн
3
6
5
2
Рис.1
Рис.2
Перед расчетом в соответствии с вариантом задания необходимо составить
электрическую схему цепи, заменив элементы структуры элементами R, L и C. В качестве
примера составим схему варианта 29 таблицы 4.1
С1=5010-6 Ф
Размещаем в первой ветви элемент C, в
ветвях 2 и 5 элементы L, в ветвях 3 и 6
элементы R.
Индексы элементов
соответствуют
номерам
ветвей.
Отсутствующий
четвертый
элемент
структуры заменяем перемычкой.
eвх
R3
100 Ом
R6
100 Ом
uн
L2=0,025 Гн L5=0,025 Гн
Рис. 3
Указываем значения сопротивления, емкости и индуктивности элементов. В
результате мы получаем схему, представленную на рис 3.
Вариант
Рисунок
схемы
20
2
Параметры источника
Форма Fм [A,B]
1[1/c]
ЭДС
2
Рисунок
схемы
Вариант
20
Тип
Eм=70В
1
fН(t)
2000
uн(t)
Параметры элементов R[Ом], L[мГн], C[мкФ]
Н о м е р а в е т в е й
2
3
4
5
6
7
1
L=4
-
C=5
L=4
-
R=26
4. Расчет электрических цепей несинусоидального периодического тока
Методические рекомендации по выполнению задания
В электрических цепях несинусоидальный ток может присутствовать в двух случаях:
 при действии источников несинусоидального напряжения или тока;
 вследствие нелинейности элементов электрической цепи.
1. Способы представления несинусоидальных функций
При расчете цепей несинусоидального переменного тока используется разложение
периодических функций в одну из форм гармонического ряда Фурье. Если функция с
периодом T представлена суммой мгновенных значений гармонических колебаний
различных частот k  k 1  k 2 / T , где k=1, 2,  порядковый номер гармоники, то
ряд Фурье записывают в следующем виде


k 1
k 1
f (ωt )  A0   [ Bk sin(kω1t )  Ck cos(kω1t )]  A0   [ Akm sin(kω1t  k )]
T /2
1
f (ωt ) dt – постоянная составляющая функции f (t ) , равная ее среднему
T T/ 2
за период Т значению;
T /2
T /2
2
2
Bk 
f
(ω
t
)
sin(
k
ω
t
)
dt

A
cos

C

f (ωt ) cos(kω1t )dt  Akm sin k
и
–
1
km
k
k
T T/ 2
T T/ 2
коэффициенты ряда Фурье, соответствующие амплитудам гармоник квадратурных
составляющих;
где A0 
Akm  Bk2  Ck2 – амплитуда k-ой гармоники;
k  arctg(Ck / Bk ) – начальная фаза k-ой гармоники.
Зависимости Akm и  k от порядкового номера k-ой гармоники (или от ее частоты k1 )
принято называть амплитудным и фазовыми спектрами колебания соответственно. Для
периодических несинусоидальных колебаний амплитудный и фазовые спектры имеют
дискретный характер, а расстояние по оси частот между смежными спектральными
линиями равно 1 . Теоретически ряд Фурье содержит бесконечное число членов, однако
в большинстве практических случаев этот ряд достаточно быстро сходится, и при
расчетах можно ограничиться сравнительно небольшим числом гармоник.
2. Энергетические характеристики несинусоидального тока
При расчете энергетических характеристик в цепях несинусоидального
периодического тока используют следующие величины:
 действующие значения напряжения U и тока I;
 среднюю мощность Р;
 реактивную Q и полную S мощности, а также

мощность искажений D, коэффициент искажений и мощности k D , k M ;
Действующие значения напряжения и тока определяют как геометрическую сумму
действующих значений отдельных гармоник
U  U 02  U k2 ;
I  I 02   I k2 ;
где U k  U mk / 2 – действующее значение k-ой гармоники напряжения;
I k  I mk / 2 – действующее значение k-ой гармоники тока;
U 0 , I 0 – постоянные составляющие напряжения и тока, соответственно.
Среднюю мощность несинусоидального тока определяют как сумму мощностей
отдельных гармоник
P  P0   Pk ,
где Pk  U k I k cos  k – средняя мощность k-ой гармоники тока;
P0  U 0 I 0 – мощность постоянного тока.
Полную мощность несинусоидального тока определяют аналогично полной
мощности синусоидального тока по формуле S=UI.
По аналогии с синусоидальным током вводится понятие реактивной мощности
Q   Qk ,
где Qk  U k I k sin  k – реактивная мощность k-ой гармоники тока;
В отличие от синусоидального тока полная мощность S оказывается больше
геометрической суммы средней и реактивной мощностей
3. Расчет цепей несинусоидального переменного тока
При негармонических воздействиях алгоритм расчета цепи может быть
следующим:
1) периодическое негармоническое воздействие представляют в виде суммы
гармонических сигналов, используя ряд Фурье;
2) ограничивают бесконечный ряд Фурье некоторым числом гармоник, учитывая
при этом, что мощность каждой последующей гармоники убывает
пропорционально квадрату ее амплитуды;
3) выполняют расчет цепи для каждой отдельной гармоники напряжения или тока,
учитывая при этом, что структура цепи сохраняется, а сопротивления и
проводимости реактивных элементов изменяются с изменением частоты
гармоники;
4) результирующую реакцию цепи находят при помощи метода наложения путем
сложения реакций для отдельных гармоник воздействия.
В табл. 1. приведены некоторые типовые функции и их разложения в ряд Фурье.
Графики этих функций приведены на рис. 4.1. При этом приняты следующие обозначения:
x  1t ; 1  2 / T .
f1(х)
FM
FM
f2(х)
х

0
x
2
0
1
2
4

2
2
f4(х)
f3(х)
FM
FM
x

0
2
0
3
4
f5(х)
FM
FM
f6(х)
x
x
0
/2

0
2
5
FM
2
4
6
f8(х)
f7(х)
FM
x
0
/2

x
7
f9(х)
8
FM
2
/2
x
x

0

9
- FM
2
f10(х)
FM
0

0
2
2
10
- FM
Рис. 4.1. Графики типовых несинусоидальных функций
f12(x)
f11(x)
FM
FM
x
0
/2

2
x
/2
0
11
f13(x)

2
12
f14(x)
FM
FM
x

0
2
x
0
13
f15(x)
FM

/2
f16(x)
2
14
FM
FM/2
x

0
2
x

0
15
2
16
f18(x)
f17(x)
FM
FM
FM/2
FM/2
/3
x

0
2
17
0
f19(x)

2/3
x
2
18
f20(x)
FM
FM
x
0

2
x
0
19
-FM

2
20
Рис. 4.1. Графики типовых несинусоидальных функций (продолжение)
f22(х)
f21(х)
FM
FM
/3
х

0
0
2
21
-FM
х
2/3

2
22
-FM
f24(х)
f23(х)
FM
FM
х

0
х

0
2
2
23
24
-FM
-FM
f25(х)
FM
FM
/6
х
х
/2

0
f26(х)

0
2
2
25
26
-FM
-FM
f28(х)
f27(х)
FM
FM
FM/2
х
0
-FM/2
-FM

0
2
27
х
2/3
-FM
/3

2
28
Рис. 4.1. Графики типовых несинусоидальных функций (продолжение)
№ графика
функции.
Таблица 4.1. Ряды Фурье для несинусоидальных функций рис. 4.1. *
Разложение функции y ( x) в ряд Фурье
1
2
1
f1 ( x) 
FM 2 FM 
1
1


 sin x  sin 3x  sin 5 x   
2
π 
3
5

2
f 2 ( x) 
FM FM 
1
1


 sin x  sin 2 x  sin 3x   
2
 
2
3

3
f3 ( x) 
FM 4 FM 
1
1

 2  cos x  cos3x  cos5 x   
2
 
9
25

4
f 4 ( x) 
2 FM

4 FM  1
1
1

cos
2
x

cos
4
x

cos6 x   

 3
15
35

5
f 5 ( x) 
2 FM

4 FM  1
1
1

 cos 2 x  cos 4 x  cos6 x   
 3
15
35



f 6 ( x) 
6
f 7 ( x) 
7
FM 4 FM 
1
1
1

 2  cos x  cos 2 x  cos3x  cos5 x   
4
 
2
9
25

f8 ( x) 
8
FM FM 
1
1


 sin x  sin 2 x  sin 3x   
2
 
2
3

1
1
1

 2 FM  sin x 
cos 2 x 
cos 4 x   

3
15
4

FM
9
 2

1

1

sin(
x

32,5
)

sin(3
x

90
)

sin(5
x

90
)



3
 4



F
1
1
1
f9 ( x)  M   sin(7 x  90 )  sin(9 x  90 )  sin(11x  90 ) 

  3
5
5

 1


sin(13
x

90
)

 7



1
2
В таблице приведены разложение в ряд Фурье типовых функций, графики которых
приведены на рисунке. При этом приняты следующие обозначения: x  1t ; 1  2 / T .
*
f10 ( x) 
10
f11 ( x) 
11
f12 ( x) 
12
13
f13 ( x) 
FM 2 FM 
1
1


 cos x  cos3x  cos5 x   
2
 
3
5

1
1
1

 2 FM  cos x 
cos 2 x 
cos 4 x   

3
15
4

FM
FM FM  sin( x  32,5 ) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) sin(5 x) 






4  
0,843
2
3
4
5

f14 ( x) 
14
8FM 
1
1

sin x  sin 3x  sin 5 x   
2 
 
9
25

FM 4 FM 
1
1
1

 2  sin x  cos 2 x  sin 3x  sin 5 x  
4
 
2
9
5

15
f15 ( x) 
FM FM  sin( x  32,5 ) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) sin(5 x) 






4  
0,843
2
3
4
5

16
f16 ( x) 
3FM FM  sin( x  12 ) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) sin(5 x) 






8
  0,653
4
2
8
3,33 
17
f17 ( x) 
3FM FM  sin( x  12 ) sin(2 x) sin(3x) sin(4 x) sin(5 x) 






8
  0,653
4
2
8
3,33 
18
f18 ( x) 
FM
3FM 
1
1


 cos x  cos5 x  cos7 x   
2
 
5
7

19
f19 ( x) 
4 FM 
1
1

 sin x  sin 3x  sin 5 x   
 
3
5

20
f 20 ( x) 
2 FM 
1
1

 sin x  sin 2 x  sin 3x   
 
2
3

21
f 21 ( x) 
2 FM 
1
1

 sin x  sin 2 x  sin 3x   
 
2
3

22
23
1
f 22 ( x) 
6 3  FM 
1
1
1

sin11x   
 sin x  sin5 x  sin 7 x 
2

25
49
121


f 23 ( x) 

FM  sin( x  32,5 ) sin(3 x) sin(5 x) sin(7 x)






 
0,422
1,5
2,5
3,5

2
24
f 24 ( x) 

 FM FM  sin( x  12 ) sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) sin(5 x)








4
  0,326
2
1
4
1,67

f 25 ( x) 
25
6 3  FM 
1
1
1

cos11x   
 cos x  cos5 x  cos7 x 
2

25
49
121


f 26 ( x) 
26

FM  sin( x  32,5 ) sin(3x) sin(5 x) sin(7 x)



 

 
0,422
1,5
2,5
3,5

f 27 ( x) 
27

FM  sin( x  12 ) sin(3 x) sin(5 x) sin(7 x)



 

  0,326
1
1,67
2,33

f 28 ( x) 
28
2 3FM 
1
1

cos
x

cos5
x

cos7 x   

 
5
7

Следует помнить, что для расчетов данные функции нужно привести к виду:
f ( x)  A0  A1m sin(t  1 )  A2 m sin(2t  1 ) 
 Akm sin(k t   k ) 
Приведение осуществляется следующим образом:
 sin(t  )  sin(t    );
cos(t  )  sin(t     / 2);
 cos(t  )  sin(t     / 2).
ЗАДАЧА 4
Дано: К электрической цепи, схема которой приводится ниже, приложено
несинусоидальное периодическое напряжение, форма которого также показана.
Параметры цепи имеют следующие значения: R2  RН  10 [Ом]; L1  L3  0,1 [Гн];
C2  100 [мкФ]; EM  FM  100 [В]; 1  100 [рад/с].
1)
2)
3)
4)
5)
Требуется выполнить следующие операции:
представить напряжение источника f(x)=e(t) рядом Фурье, ограничив число
членов ряда постоянной составляющей и тремя первыми гармониками.
построить графики спектров амплитуд и начальных фаз заданного источника.
определить напряжение на нагрузке uн (t ) , используя метод расчета по
комплексным значениям;
построить графики спектральных составляющих для напряжения (тока) на
нагрузке.
определить действующее значение напряжения (тока) на нагрузке и мощность,
рассеиваемую в ней.
e(t)

L1
L3
EM
C2
e(t)
Rн
R2
t

0
б)
2
а)
Схема цепи (а) и форма входного напряжения (б) к примеру
Решение
1. Воспользуемся данными табл. 1 (функция f8 ( x ) ) и представим напряжение
источника в виде ряда Фурье, ограниченного постоянной составляющей и тремя первыми
гармониками
e(t )  E0  Em1 sin ω1t  Em 2 cos2ω1t  Em 4 cos41t  E0  e1 ( t )  e2 ( t )  e4 ( t ) 
 31,8  50sin100t  21, 2 cos 200t  4, 2 cos 400t 
 31,8  50sin100t  21, 2sin(200t  90 )  4, 2sin(400t  90 ). [B]
2. Построим графики спектров амплитуд и начальных фаз напряжения источника,
которые изображены на рис. 4.3 а, б. При построении графиков используем масштаб, при
котором одно деление по оси ординат соответствует 10 В, а по оси абсцисс – 100 Гц.
ek
Emk

60
0
Em1
50
40
E0
30
Em2
20
3
10
Em4
0
1
21
31
41

–30
o
–60
o
–90
o
1
21
 e2
31
41
e24

а)
б)
Рис. 4.3. Спектры амплитуд (а) и фаз (б) входного сигнала к примеру
3. Теперь выполним расчет напряжения на нагрузке, используя для этого метод
комплексных амплитуд.
Для постоянной составляющей напряжения на нагрузке, используя схему
замещения, приведенную на рис. 4.4 а, получим следующее значение
U Н0  E0  31,8 [В].
При выполнении этого расчета учтено, что на постоянном токе индуктивности L1 ,
L3 нужно заменить перемычками, а емкость C 2 – разрывом цепи, как показано ниже на
рисунке. Ток в нагрузке определим по закону Ома
I Н0  U Н0 / RН  31,8/10  3,18 [А].
При расчете напряжения на нагрузке для гармоник ЭДС e(t) источника можно
пользоваться схемой замещения, приведенной на рис 4.4 б. На этой схеме все элементы
цепи заменены их комплексными сопротивлениями, которые имеют двойные индексы.
Первый индекс соответствует порядковому номеру ветви, а второй – номеру гармоники.
Комплексные значения токов в ветвях определим по формулам
I 1k  E mk / Z k ,
Z k  Z 1k  Z 2k ( Z 3k  RН ) /( Z 2k  Z 3k  RН )
где
– эквивалентное
сопротивление цепи для k-ой гармоники напряжения источника;
комплексное
I 2k  I 1k ( Z 3k  RÍ ) /( Z 2k  Z 3k  RÍ ),
I Hk  I 1k Z 2k /( Z 2k  Z 3k  RÍ ),
в которых учтено, что ток I 1k делится в ветвях схемы на два тока, которые обратно
пропорциональны сопротивлениям ветвей.

I0
0
E0

I 1k
°
°
Rн
Z 1k
I 2k
Z 2k
E mk
Z 3k
I Нk
Rн
R2

а)
б
Рис. 4.4. Схемы для расчета постоянной (а) и переменных (б) составляющих
напряжения на нагрузке
Для первой гармоники, пользуясь схемой замещения, получим напряжения на
нагрузке
E m1  50 [В]; Z 11  Z 31  jX 11  jω1L1  j10 [Ом]; Z 21  R2  jX 21  (10  j100) [Ом];
Z 1  Z 11  Z 21 (Z 31  RН ) /(Z 21  Z 31  RН )  23e j 58 [Ом] – сопротивления цепи для
o
первой гармоники напряжения источника.
Комплексная амплитуда тока первой гармоники источника имеет значение
I m1  E m1 / Z 1  50/ 23e j 58  2,175e j 58 [А]
o
o
Этот ток делится обратно пропорционально сопротивлениям параллельно
включенных ветвей Z 2k и ( Z 3k  RН ) , поэтому ток в нагрузке
I mH1  I m1 Z 21 /(Z 21  Z 31  RН )  2,175e j 58 (10  j100) /(20  j90)  2,37e j 65 [А]
o
o
Комплексное значение напряжения на нагрузке определим по закону Ома
U mH1  I mН1RН  23,7e j 65 [В]
o
Полученное значение позволяет записать мгновенное значение первой гармоники
напряжения на нагрузке
uH1 (t )  23,7sin(100t  65o ) [В]
Вторую гармонику напряжения на нагрузке определим, используя в схеме
замещения рис. 4.4 б сопротивления цепи и напряжение источника для второй гармоники
E m 2  21,2e j 90 [В]; Z 12  Z 32  2 j1L1  j 20 [Ом];
Z 22  R2  j /(2ω1C2 )  (10  j 50) [Ом];
o
Z 2  Z 12  Z 22 (Z 32  RН ) /(Z 22  Z 32  RН )  47,4e j 60 [Ом].
o
Значение комплексной амплитуды тока второй гармоники в цепи источника
напряжения найдем по закону Ома
I m2  E m2 / Z 2  21,2e j 90 / 47,4e j 60  0,45e j150 [А]
o
o
o
Комплексную амплитуду тока второй гармоники в нагрузке Rн найдем аналогично
току первой гармоники путем деления тока источника обратно пропорционально
сопротивлениям параллельно включенных ветвей
I mH2  I m2 Z 22 /(Z 22  Z 32  RН )  0,45e j150 (10  j50) /(20  j30)  0,635e j172 [А]
o
o
Комплексное значение напряжения второй гармоники на нагрузке найдем с
помощью закона Ома
o
U mH2  I mН2 RН  6,35e j172 [В]
Полученное значение позволяет записать мгновенное значение второй гармоники
напряжения на нагрузке
uH2 (t )  6,35sin(200t  172o ) [В]
Определение напряжения четвертой гармоники выполним аналогично расчету
напряжения второй гармоники. Сопротивления цепи и напряжение источника для
четвертой гармоники имеют значения
E m4  4,2e j 90 В; Z 14  Z 34  4 jω1L1  j 20 [Ом]; Z 24  R2  j /(4ω1C2 )  (10  j 25)
o
[Ом]; Z 4  Z 14  Z 24 (Z 34  RН ) /(Z 24  Z 34  RН )  43e
[Ом].
Комплексную амплитуду тока четвертой гармоники определим по закону Ома
j 25o
I m4  E m4 / Z 4  4,24e j 90 / 43e j 25  0,098e j115 [А]
o
o
o
Используя ток четвертой гармоники в ветви с источником напряжения, рассчитаем
ток в нагрузке
I mH4  I m4 Z 24 /(Z 24  Z 34  RН )  0,106e j 220 [А]
o
Комплексное значение четвертой гармоники напряжения на нагрузке определим по
закону Ома
U mH4  I mН4 RН  1,06e j 220 [В]
o
Мгновенное значение второй гармоники напряжения на нагрузке определим по
формуле
uH4 (t )  1,06sin(400t  220o ) [В]
Результирующее напряжение на нагрузке найдем путем суммирования отдельных
составляющих, рассчитанных выше
uH (t )  U Í  uH1 (t )  uH2 (t )  uH4 (t ) 
 31,8  23,7sin(100t  65o )  6,35sin(200t  172 o )  1,06sin(400t  220o ) [B]
Представим графики ЭДС источника e(t) и напряжения нагрузки uH (t )
e,uн, В
100
eвх(t)
80
uн(t)
60
40
20
0
t,c
20
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
Рис. 4.5. Графики входного напряжения и напряжения на нагрузке
4. Построим графики спектральных составляющих напряжения на нагрузке, используя
полученное выше мгновенное значение напряжения. Эти графики показывают, что
электрическая цепь, включенная между источником и нагрузкой, оказывает определенное
сглаживающее действие: амплитуды спектральных составляющих уменьшаются по мере
увеличения частоты. Кроме этого, заметно существенное запаздывание сигнала по
отношению к напряжению источника.
ek
Um ,В
100
200 300
400
k

, рад/с
50
40
o
UН0
30
–100
Umн1
20
Umн2
10
Umн4
3
0
100
200
300
400
o
–200
 e1
 e2
 e4

Рис. 4.6. Амплитудный (а) и фазовый (б) спектры напряжения на нагрузке
5. Определим действующее значение напряжения на нагрузке и среднюю мощность,
рассеиваемую в ней. Действующее напряжение на нагрузке можно рассчитать по
формуле:
U Í  U Í2 0  U Í2 1  U Í2 2  U Í2 4  31,802  16,772  4, 492  0,752  36, 24 [B],
где U Н0 =31,80 В – постоянная составляющая напряжения на нагрузке;
U Н1  U mН1 / 2  16,77 В – действующее значение напряжения первой гармоники;
U Н2  U mН2 / 2  4,49 В – действующее значение напряжения второй гармоники;
U Н4  U mН4 / 2  0,75
В
–
действующее
значение
напряжения
четвертой
гармоники.
Средняя мощность несинусоидального тока определяется по формуле:
PÍ  PÍ 0  PÍ 1  PÍ 2  PÍ 4  101  28,12  2,02  0,06  131,2 [Âò],
где PН0  I Н0 RН  3,18  10  101 Вт – мощность постоянной составляющей тока;
2
2
2
PН1  I Н1
RН  28,12 Вт – средняя мощность первой гармоники тока;
2
PН2  I Н2
RН  2,02 Вт – средняя мощность второй гармоники тока;
2
PН4  I Н4 RН  0,06 Вт – средняя мощность четвертой гармоники тока.
Из полученных выражений следует, что средняя мощность почти полностью
определяется постоянной составляющей и первой гармоникой тока. Вклад высших
гармоник весьма незначителен и составляет всего 1,6% от полной мощности,
рассеиваемой в нагрузке.