Вторая часть Расчет заданной цепи в установившемся режиме

Вторая часть
Расчет заданной цепи переменного тока
в установившемся режиме
В заданной цепи (задана схема цепи и параметры ее элементов) после
подключения источника рассчитать токи и напряжения для всех элементов,
используя метод комплексных амплитуд. По результатам расчета построить
векторную диаграмму токов и напряжений на заданной частоте.
Получить выражения комплексного сопротивления заданного двухполюсника, а также его модуля и аргумента как функции частоты. Построить графики
двух последних функций, предварительно рассчитав их значения не менее чем на
пяти частотах.
Из заданного двухполюсника образовать четырехполюсник (выходное
напряжение снимать с R3) и получить выражения комплексного коэффициента
передачи заданного четырехполюсника, а также его модуля и аргумента как
функции частоты. Построить графики двух последних функций, предварительно
рассчитав их значения не менее чем на пяти частотах.
Номер конкретной схемы, подлежащей расчету, из таблицы 3 и номер
набора параметров ее элементов из таблицы 4 можно получить используя
формулы, приведенные в первой части.
Таблица 3
Таблица 3 (продолжение)
10
L1
R1
R2
L2
R3
Таблица 4
N
12
R1,кОм R2,кОм R3,кОм C1*10-8 C2*10-8 L1,мГн L2,мГн Em,B
0,6
0,5
0,55
0,7
0,8
2,1
2,4
10
e*p
f,кГц
-0,1
60
Пример расчета
Выполним расчет для цепи, приведенной на рис. 4,
R1
Z1
R3
R2
Em
Em
Z2
L1
Z3
L2
Z4
Umâûõ
R4
Рис. 4
Рис. 5
параметры элементов которой даны в следующей таблице:
R1,кОм R2,кОм R3,кОм R4,кОм L1, мГн L2, мГн Em,В e,pад f, кГц
0,3
0,4
0,5
0,6
1,1
1,7
20
-0,15
150
Прежде всего перейдем к комплексным сопротивлениям элементов и
комплексной амплитуде воздействия.
Z L1  jL1  j 2fL1  j1,0367 k; Z L 2  jL2  j1,6022k; E m  20 exp(  j 0,15 )V .
Рассчитаем комплексное сопротивление.
Z A  j L 2 R 4
 0 ,56188 exp( j 20 ,53  ) k  ;
( R 4  j L 2 )
Z B  R3  Z
YB  1
ZB
A
 1,0449 exp( j10 ,87  ) k  ; Z D  R 2  j  L1  1,1112 exp( j 68 ,9  ) k  ;
;YD  1
ZD
; Y E  Y B  Y D  1,6241 exp(  j 38 ,91  )(1 / k  ); Z E  1
Z  R1  Z E  0 ,8692 exp( j 26 , 4  ) k  .
Далее, используя законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, найдем
токи и напряжения в двухполюснике.
YE
;
ImR1  E m / Z  22 ,993 exp(  j 53,4  )mА; U mR1  ImR1 R1  6,8979 exp(  j 53,4  )V ;
U mD  U mE  Im1 Z E  14 ,157 exp(  j14 ,49  )V ;
I  I
 I  U Y D  12 ,740 exp(  j 83,39  )mА;
mD
mR 2
mL1
mD
U mR 2  5,0960 exp(  j 83,39  )V ; U mL1  13,208 exp( j 6,61 )V ;
I
 U Y B  13,548 exp(  j 25,36  )mА; U
 6,7740 exp(  j 25 ,36  )V ;
mR 3
mD
mR 3
U mR 4  U mL 2  ImR 3 Z A  7,6124 exp(  j 4,83  )V ;
I
 4,7512 exp(  j 94 ,83  )mА; I
 12 ,687 exp(  j 4,83  )mА..
mL 2
mR 4
Используя полученные результаты, построим векторную диаграмму токов и
напряжений, которая приведена на рис. 6.
UmR4
UmL1
ImR4
UmR3
UmD
ImL2
UmR2
UmR1
ImR3
Em
ImL1
Рис. 6.
ImR1
Получим выражение Z ( ) .
jL 2R 4
R R  jL 2 (R 3  R 4 )
ZA 
; Z B  R3  Z A  3 4
;
R 4  j L 2
R 4  j L 2
Y E  Y D Y B 

R 4  jL 2
1


R 2  jL1 R 3R 4  jL 2 (R 3  R 4 )
R 4 (R 2  R 3 )   2L1L 2  j (L 2 (R 2  R 3  R 4 )  L1R 4 )
R 2R 3R 4   2L1L 2 (R 3  R 4 )  j (L 2R 2 (R 3  R 4 )  L1R 3R 4 )
Z ( )  R 1 
;
R R (R  R 3 )  R 2R 3R 4   2L1L 2 (R 1  R 3  R 4 ) 
1
 1 4 2

YE
R 4 (R 2  R 3 )   2L1L 2 
 j (R 1L 2 (R 2  R 3  R 4 )  L1R 4 (R 1  R 3 )  L 2R 2 (R 3  R 4 ))
.
 j (L 2 (R 2  R 3  R 4 )  L1R 4 )
Из него получим Z(w) и (w).

Z ( ) 

( R1 R4 ( R2  R3 )  R2 R3 R4   2 L1 L2 ( R1  R3  R4 )) 2 

( R4 ( R2  R3 )   2 L1 L2 ) 2 
  2 ( R1 L2 ( R2  R3  R4 )  R2 L2 ( R3  R4 )  R4 L1 ( R1  R3 )) 2
;
  2 ( L2 ( R2  R3  R4 )  R4 L1 ) 2
  ( R1 L2 ( R2  R3  R4 )  R2 L2 ( R3  R4 )  R4 L1 ( R1  R3 )) 
 
2
R
R
(
R

R
)

R
R
R


L
L
(
R

R

R
)
1
4
2
3
2
3
4
1
2
1
3
4


 ( )  arctg 
  ( L2 ( R2  R3  R4 )  R4 L1 ) 
.
 arctg 
2
 R4 ( R2  R3 )   L1 L2 
Анализируя полученные функции, выясним характер их поведения при
изменении частоты от нуля до бесконечности. После этого, подставив в выражения
заданные параметры элементов, рассчитаем значения характеристик на нескольких
(не менее пяти) частотах (Таблица 5) и построим их графики (Рис. 7 и 8).
f, Гц 0
105
2.105 3.105 4.105 5.105 
Таблица 5
Z, Ом 522 733 984 1141 1230 1282 1400
, ° 0
24,8 25,5 21,6 18,1 15,3 0
3
1.4 10
1600
26.399
5
1.5 10
1300
5
1.5 10
Z( f )

30
( f)
1000
869. 84
Z( q )
20
( q)
10
700
400
0
5
1 10
5
2 10
5
3 10
q
Hz
f
5
4 10
5
5 10
0
5
1 10
5
2 10
Рис. 7.
5
3 10
f
q
Hz
5
4 10
5
5 10
Рис. 8.
Перейдем к анализу комплексного коэффициента передачи заданной цепи.
Для облегчения вывода воспользуемся упрощенной схемой (Рис. 5), где
jL 2R 4
Z 1  R 1; Z 2  R 2  jL1; Z 3  R 3 ; Z 4 
(R 4  jL2 ).
Дважды воспользовавшись методом делителя напряжения получим K ( ) .
U
K  mâû õ  E m
E m
Z 2 (Z 3  Z 4 )
Z2 Z3 Z4
Z4
1




Z 2 (Z 3  Z 4 ) Z 3  Z 4 E m
Z1 
Z2 Z3 Z4
Z 2Z 4
.
Z 1Z 2  Z 1Z 3  Z 1Z 4  Z 2 Z 3  Z 2 Z 4
Подставляя значение каждого из сопротивлений, получим

  2L1L2R 4 
K ( ) 

  2L1L2 (R1  R 3  R 4 )  R1R 2R 4  R1R 3R 4  R 2R 3R 4 
 jL2R 2R 4

.
 j (L1R 4 (R1  R 3 )  L2 (R1R 2  R1R 3  R1R 4  R 2R 3  R 2R 4 ))
Отсюда получим K(w) и Q(w).
K ( ) 

 4 (L1L2R 4 )2 
( 2L1L2 (R1  R 3  R 4 )  R1R 2R 4  R1R 3R 4  R 2R 3R 4 )2 

  2 (L2R 2R 4 )2
  2 (L1R 4 (R1  R 3 )  L2 (R1R 2  R1R 3  R1R 4  R 2R 3  R 2R 4 ))2
;
 R 
( )  arctg  2  
  L1 
  (L1R 4 (R1  R 3 )  L2 (R1R 2  R1R 3  R1R 4  R 2R 3  R 2R 4 ))
 arctg 
.
2
   L1L2 (R1  R 3  R 4 )  R1R 2R 4  R1R 3R 4  R 2R 3R 4 
Анализируя полученные функции, выясним характер их поведения при
изменении частоты от нуля до бесконечности. После этого, подставив в выражения заданные параметры элементов, рассчитаем значения характеристик на
нескольких (не менее пяти) частотах (Таблица 6) и построим их графики
(Рис. 9 и 10).
Таблица 6

f, Гц 0
105
2.105 3.105 4.105 5.105
K
0
0,344 0,398 0,414 0,420 0,423 0,429
Q, ° 90
29,6 17,5 12,2 9,3
7,5
0
0.5
100
1.5 10
0.4
0.3806 4
5
1.5 10
80
K( f ) 0.3
( f)
K( q )
( q )
0.2
5
60
40
22.171
0.1
20
0
1 10
5
2 10
5
3 10
q
Hz
5
f
Рис. 9.
4 10
5
5 10
5
0
1 10
5
2 10
5
3 10
q
Hz
5
f
4 10
5
5 10
5
Рис. 10.
Анализируя полученные характеристики, следует обратить внимание на то:
совпадают ли результаты расчета цепи на заданной частоте (в нашем случае это
была f = 150кГц), когда рассчитывались все токи и напряжения в цепи, с теми
данными, которые дает применение формул характеристик. На рисунках с 7 по 10
эти "контрольные точки" специально показаны с помощью маркеров. Конечно,
если результаты применения формул совпадают с результатами полного расчета
цепи на конкретной частоте, можно говорить о правильности этих результатов и
выведенных формул.
Успешного Вам выполнения домашнего задания!