СУНЦ ПРИ МГТУ им. Н.Э.Баумана ГОУ Физико

СУНЦ ПРИ МГТУ им. Н.Э.Баумана
ГОУ Физико-математический лицей №1580
Семестровая контрольная работа по математике
10-й кл.(1-й сем.)
15 декабря 2006 г.
2006-07 уч.г.
Вариант 1
1. При каких значениях параметра а уравнение (a 2  1) x  a 2  2a  3 имеет
единственное решение, лежащее на луче [1, ) ?
2. При всех p  R решить уравнение: | x  3| 1  ( p  1) x .
3. Решить неравенство:
(| x 2  6 x  8 |  | x  2 |)  (
1
2
x  6x  5
) 1  0 .
4. Найти все a  R , при которых неравенство f ( x)  0 выполнено при всех
x  R , если f ( x)  x 2  2  (| a | 4)  x  | a 2  8 | a | 8 | 0.
5. При каких значениях параметра b уравнение
(b 2  4b  3) x 2  3(b  3) x  2  0
не имеет отрицательных корней?
6. Построить график соответствия: (2 | x | 3 y)  (| x | 2 y  3)  0.
7. Решить неравенство:
( x  1)( x 4  x3  10 x 2  4 x  24)
x 4 ( x 4  1)
 0.
8. Упростить выражение: tg  tg +(tg  tg )  ctg(   ) .
9. В трапеции ABCD основание AD вдвое длиннее основания ВС. Точка К
делит сторону АВ в отношении 2:3, считая от вершины А. Точка О лежит на
пересечении отрезка СК и диагонали BD, а точка М – на пересечении лучей
СК и DA. Найти разложение вектора DC по базису {MA, KO}.
10. Доказать, что число π (отношение длины окружности к ее диаметру)
лежит на интервале (3; 4).
1
СУНЦ ПРИ МГТУ им. Н.Э.Баумана
ГОУ Физико-математический лицей №1580
Семестровая контрольная работа по математике
10-й кл.(1-й сем.)
15 декабря 2006 г.
2006-07 уч.г.
Вариант 2
1. При каких значениях параметра b уравнение (b 2  4) x  b 2  4b  12 имеет
единственное решение, лежащее на луче [1, ) ?
2. При всех bR решить уравнение: | 2 x  3| 1  2(b  1) x .
3. Решить неравенство:
(| x 2  6 x  5 | 2 | x  1|)  (
1
 x 2  x  156
) 1  0 .
4. Найти все bR , при которых неравенство f ( x)  0 выполнено при всех
x  R , если f ( x)   x 2  2  (| b | 8)  x  | b 2  16 | b | 16 | .
5. При каких значениях параметра b все корни уравнения
(b 2  7b  10) x 2  3(b  5) x  4  0
положительны?
6. Построить график соответствия: y 2  2 | x | y  3x 2  0.
7. Решить неравенство:
( x  2)( x 4  x3  21x 2  9 x  108)
( x  16)( x  1)
4
 0.
sin 3  cos   cos 3  sin 
3
8. Упростить выражение:
2
3
sin 
4
9. Дан треугольник АВС. Точка F делит основание ВС в отношении 3:1,
считая от вершины В. Точки М и Р делят боковые стороны АВ и АС в
отношении 1:5, считая соответственно от вершины А и от вершины С. Отрезки МР и АF пересекаются в точке Т. В каком отношении делится каждый из
отрезков МР и АF точкой Т?
10. Окружность касается середины гипотенузы АВ прямоугольного треугольника АВС, у которого катеты соответственно равны 5  2 и 2  2 .
Найти расстояние от вершины С до центра этой окружности, если ее диаметр
равен |АВ|.
2
СУНЦ ПРИ МГТУ им. Н.Э.Баумана
ГОУ Физико-математический лицей №1580
Семестровая контрольная работа по математике
10-й кл.(1-й сем.)
15 декабря 2006 г.
2006-07 уч.г.
Вариант 3
1. При каких значениях параметра p уравнение ( p 2  9) x  p 2  6 p  27
имеет единственное решение, лежащее на луче [1, ) ?
2. При всех q  R решить уравнение: | 4 x  3| 1  4(q  1) x .
3. Решить неравенство:
(| x 2  10 x  21| 2 | x  3 |)  (
1
 x 2  37 x  36
) 1  0 .
4. Найти все c  R , при которых неравенство f ( x)  0 выполнено при всех
x  R , если f ( x)  x 2  2  (| c | 9)  x  | c 2  18 | c | 1| .
5. При каких значениях параметра b все корни уравнения
(b  1) x 2  2(b  3) x  b  4  0
меньше 2?
6. Построить график соответствия:
4
7. Решить неравенство:
| x | y  2
| x | 2 y  3
 0.
3
( x  2)( x  5 x  20 x  16)
1 2
( x  1)( x  )
2
4
cos (   )  cos (   )
2
8. Упростить выражение:
 0.
2
2 sin   sin 
2
2
 ctg 2  ctg 2  .
9. В трапеции ABCD основание ВС вдвое длиннее основания AD. Точка К
делит сторону АВ в отношении 2:3, считая от вершины А. Точка О лежит на
пересечении отрезка СК и диагонали BD, а точка М – на пересечении лучей
СК и ВA. Найти разложение вектора BC по базису {MA, KO}.
10. Равнобедренный треугольник АВС с основанием АВ пересекается
окружностью с центром в точке О, лежащей на стороне АС, и касающейся
стороны ВС в точке М. Найти угол ВАМ.
3
СУНЦ ПРИ МГТУ им. Н.Э.Баумана
ГОУ Физико-математический лицей №1580
Семестровая контрольная работа по математике
10-й кл.(1-й сем.)
15 декабря 2006 г.
2006-07 уч.г.
Вариант 4
1. При каких значениях параметра q уравнение (q 2  16) x  q 2  8q  48
имеет единственное решение, лежащее на луче [1, ) ?
2. При всех c  R решить уравнение: | 5x  3| 1  5(c  1) x .
3. Решить неравенство:
(| x 2  7 x  10 |  | x  2 |)  (
1
x 2  x  462
) 1  0 .
4. Найти все t  R , при которых неравенство f ( x)  0 выполнено при всех
x  R , если f ( x)  4 x 2  4  (| t | 8)  x  | t 2  16 | t | 16 | .
5. При каких значениях параметра b уравнение
bx 2  2(b  2) x  b  3  0
не имеет корней, больших 3?
6. Построить график соответствия: x 2  y 2  2 | x | 4 y  0.
4
7. Решить неравенство:
3
2
( x  3)( x  6 x  x  54 x  72)
1 2
( x  16)( x  )
3
4
 0.
8. Упростить выражение:
(tg  tg )  ctg(   )  (tg  tg )  ctg(   ) .
9. На сторонах треугольника АВС отмечены такие точки М, Р, Q, что
|AM|:|MB|=1:5, |BQ|:|QC|=3:1, |CT|:|TA|=1:5. Отрезки МТ и AQ пересекаются в
точке Р. В каком отношении точка Р делит каждый из отрезков МТ и AQ?
10. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найти длину биссектрисы прямого угла этого тругольника.
4