ответы, решения и критерии оценивания к варианту 1

а) Так как высота пирамиды ТН перпендикулярна плоскости основания АВС , то
ТАН , ТВН и ТСН – прямоугольные треугольники, равные между собой (по катету и
гипотенузе). Следовательно, НА = НВ = НС , и точка Н – центр описанной
окружности треугольника АВС .
Вариант 1
15 а) Решите уравнение 2 cos 2x  8 sin x  3  0 .
 3
,
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
 2
Ответ:
а)
x  (1) n1 

6
 n , где n Z .
б)


.

б) Находим радиус НА описанной окружности треугольника АВС:
НА  RABC 

5
и 
.
6
6
а)
Так
как
cos 2x  1  2 sin 2 x
4 sin 2 x  8sin x  5  0 ,
sin x  
,
то
откуда находим, что
исходное
sin x 
1
n 1 
  n .
, x  ( 1)
2
6
уравнение
примет
ТA 2 НA 2  132  52  12 .
ТH =
Решение.
вид
5
 1 – не подходит, или
2
Баллы
2
1
0
б) Используя единичную окружность (или с помощью графика, или путём решения
 3


5
и 
.
6
6

  принадлежат корни

Замечание. Текст решения должен содержать обоснованный как-либо отбор корней.
Баллы
2
1
0
Критерии оценивания задания 15
Обоснованно получены верные ответы в п. а) и в п. б)
Обоснованно получен верный ответ в п. а) или в п. б)
ИЛИ
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется
верная последовательность всех шагов решения и отбора корней
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
16 В треугольной пирамиде ТАВС с вершиной Т и основанием АВС боковые
рёбра ТА , ТВ и ТС равны между собой. Точка Н – проекция вершины Т на
основание АВС .
а) Докажите, что Н – центр описанной окружности треугольника АВС .
б) Найдите ТН , если ТА = 13 , площадь основания АВС равна 24 ,
а произведение сторон основания АВС равно 480 .
Ответ: 12 .
Решение.
Критерии оценивания задания 16
Обоснованно получены правильные ответы в п. а) и б) .
Обоснованно получен правильный ответ только в одном из п. а) или б) .
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
Решите неравенство
17
,
двойных неравенств и т.п.) находим, что отрезку 
 2
abc
480

 5 . По теореме Пифагора получаем:
4S ABC 96
x 2  x 2  2 x  2 x  12 .
 


Ответ: x  1  17 , 0  2 , 1  17 .
Решение. Заменой
x 2  2 x  t  0 преобразуем исходное неравенство к виду:
t 2  t  12  0 . C учётом неотрицательности t получим: 0  x 2  2 x  t  4 .
1  17  x  1  17
 x 2  2 x  16

Отсюда последовательно получаем: 
,
,
 x  0
 x 2  2 x  0

 x  2

 

x  1  17 , 0  2 , 1  17 .
Баллы
2
1
0
Критерии оценивания задания 17
Обоснованно получен верный ответ
Допущена единичная вычислительная ошибка, возможно приведшая к
неверному ответу, но при этом имеется верная последовательность всех
шагов решения
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
18 Диагонали АС и ВТ выпуклого четырёхугольника АВСТ пересекаются в
точке О , причём АО = 9 , СО = 4 , ВО = ТО = 6 .
а) Докажите, что четырёхугольник АВСТ – вписанный (то есть его можно вписать в
окружность).
б) Найдите радиус этой окружности, если угол АОВ равен 600 .
Ответ:
1
399 .
3
Решение.
а) Углы АОВ и СОТ равны между собой как вертикальные, а АО : ВО = 9 : 6 = 6 : 4
= ТО : СО . Поэтому треугольники АОВ и TОC подобны. Тогда угол ВАС равен
углу ВТС. Следовательно, четырёхугольник АВСТ – вписанный (то есть его можно
вписать в окружность).
б) Найдём радиус этой окружности при условии, что угол АОВ равен 60 0 .
В
треугольнике
АОВ
AB  9 2  6 2  2  9  6 
1

2
косинусов» находим: BC 
треугольнике
sin BCO 
по
63  3 7 .
«теореме
косинусов»
В треугольнике CОВ по «теореме
 1
6  4  2 6 4  
 2
2
2
по
CОВ
BO
 sin BOC 
BC
«теореме
6
3
3

 3
2
76
76
окружности треугольника АВС равен
находим:
.
76  2 19 .
В
синусов»
находим:
Радиус
описанной
АВ
3 7  76 1


399 .
2sin BCO
3
6 3
Другой вариант решения: радиус описанной окружности треугольника АВС равен
АВ  ВС  АС
3 7  2 19  13
399


.
4( S ABO  S BOC ) 9  6  3  6  4  3
3
Баллы
3
2
Критерии оценивания задания 18
Имеется верное доказательство утверждения п. а) и обоснованно получен
верный ответ в п. б)
Получен обоснованный ответ в п. б)
ИЛИ
Имеется верное доказательство утверждения п. а) и при обоснованном
решении п. б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки
Имеется верное доказательство утверждения п. а)
ИЛИ
при обоснованном решении п. б) получен неверный ответ из-за
арифметической ошибки
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в п. б) с использованием утверждения п.
а), при этом утверждение п. а) не доказано
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
0
19 1 января 2014 года Иван Иванович взял в банке некоторую сумму рублей в
кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита такова: 1-го января
1
каждого следующего года банк начисляет х% на оставшуюся сумму долга (то есть
увеличивает долг на х процентов), затем Иван Иванович переводит в банк очередной
ежегодный платёж. Если он будет платить каждый год по 732050 рублей, то выплатит
долг за четыре года. Если же он будет платить каждый год по 1337050 рублей, то
выплатит долг за два года. Под какой процент годовых Иван Иванович взял деньги в
банке?
Ответ:
10% .
Решение. Обозначим за S взятую в кредит сумму, за p – величину ежегодного
платежа при выплате кредита за два года, а за q – величину ежегодного платежа при
выплате кредита за четыре года. Тогда, с учётом условий задачи, для нахождения
неизвестных величин
х
и
S
получим следующую систему уравнений:
 100  x
 100  x
 S  100  p   100  p  0



   S  100  x  q   100  x  q   100  x  q   100  x  q  0
 100
 100
  
100
 100



.
S  t 2  pt  p  0
Перепишем эту систему уравнений в виде 
, где
S  t 4  qt 3  qt 2  qt  q  0
100  x
t 1
t3  t 2  t 1
t
. Отсюда: S  p 
. Решая последнее

q

100
t2
t4
t 1
t3  t 2  t 1
,

q

t2
t4
100 x
t 2 1
q
732050
 1,1 и x = 10.
p  q 2 , t2 

 1,21 . Поэтому t 
100
p  q 605000
t
уравнение относительно t , последовательно получаем:
Баллы
3
2
1
0
p
Критерии оценивания задания 19
Обоснованно получен верный ответ
Получена верная система уравнений, но при её решении допущена
единичная вычислительная ошибка
Получена верная система уравнений, но в её решении допущена
существенная (не вычислительная) ошибка или более одной вычислительной
ошибки
ИЛИ
Искомый процент годовых верно найден подбором, при этом проверка
выполнена
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
20 Найдите все значения параметра а , при каждом из которых множество решений
неравенства
Ответ:


a  4  29  2a  3a cos x
2
sin x  a  1`
2
2
  2 
 1 содержит промежуток  ,
.
2 3 
Ответ: а) 10; б)
7 
 7
 
x  
,  1   2 ,
.
2
2

 
Решение.
значениях
Так как знаменатель левой части неравенства положителен при всех
х ,
то это неравенство можно переписать в виде:
a  4  (29  2a  3a 2 ) cos x  sin 2 x  a 2  1
 1
cos x  t    ,
 2

0 ,

перепишем
.
Сделав
неравенство
замену
в
виде
t  (3a  2a  29)t  (a  a  2)  0 . Графиком левой части y(t) этого
неравенства является парабола, ветви которой расположены вверх. Поэтому это
2
2
2
 1 
неравенство будет выполнено при всех t    , 0 тогда и только тогда, когда
 2 
  1 1 1
2
2
 y  2   4  2 3a  2a  29  (a  a  2)  0
.



  
2
 y 0  (a  a  2)  0


Решая эту систему неравенств, получим последовательно:
7
 7


a

 2 49

2
2
a 

2
,


и
a 2  a  2  0 a  1

a  2
Баллы
4
3
2
1
0
б) На какое наибольшее число может увеличиться среднее арифметическое отметок
этого ученика после замены четырёх отметок «3», «3», «5» и «5» двумя отметками
«4»?
 7
  2  x  1

.
7

2  x  2

Критерии оценивания задания 20
Обоснованно получен правильный ответ
С помощью верного рассуждения получено множество значений а ,
отличающееся от искомого конечным числом точек
С помощью верного рассуждения получены все граничные точки искомого
множества значений а
С помощью верного рассуждения задача сведена к условию выполнения
квадратного неравенства на промежутке
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше
21 В течение четверти учитель ставил школьникам отметки «1», «2», «3», «4» и «5».
Среднее арифметическое отметок ученика оказалось равным 4,7 .
а) Какое наименьшее количество отметок могло быть у ученика?
7
.
90
Решение. Решение каждого пункта состоит из двух частей: оценка и пример.
Обозначим за n общее количество отметок, а за S — их сумму. По условию
S
 4,7 , откуда получаем: S  4,7  n .
n
S
47
а) По условию
и S — целое число. С учётом того, что 47 – простое
 4,7 
n
10
число, получаем, что n делится на 10, а значит n ≥10.
Набор из трёх отметок «4» и семи отметок «5» удовлетворяет условию задачи.
б) Среднее арифметическое набора отметок после замены равно
S  8 4,7n  8
1,4
.

 4,7 
n2
n2
n2
Значение этого выражения максимально при
наименьшем возможном значении n , удовлетворяющем условию задачи. Если всего
было 10 отметок, то их сумма равняется 47 , но максимальная сумма 10 отметок,
среди которых есть две отметки «3», равняется S  2  3  8  5  46 . Значит, так как
n кратно 10 , то всего было не менее 20 отметок. Следовательно, среднее
арифметическое отметок ученика после замены четырёх отметок «3», «3», «5» и «5» на
две
отметки
«4»
может
увеличиться
не
более
чем
на
1,4 
1,4 
7


. Набор из двух отметок «3», двух
 4,7 
  4,7   4,7 
  4,7 
n2
20  2 
90


отметок «4» и шестнадцати отметок «5» удовлетворяет условию задачи. В этом случае
при замене четырёх отметок «3», «3», «5» и «5» двумя отметками «4» среднее


арифметическое увеличивается на  4,7 
Баллы
4
3
2
1
0
1,4 
7
.
  4,7 
20  2 
90
Критерии оценивания задания 21
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов
Верно получен один из следующих результатов:
— искомая оценка в п. а;
— пример в п. а, обеспечивающий точность предыдущей оценки;
— искомая оценка в п. б;
— пример в п. б, обеспечивающий точность предыдущей оценки
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше