основные положения математической модели и методики

УДК 532.542
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ И МЕТОДИКИ
РАСЧЕТА НЕСТАЦИОНАРНЫХ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В
НАПОРНЫХ ТРУБОПРОВОДАХ ИНЕРЦИОННОГО НАСОСА
А.Л. Неупокоев
ФГОУ ВПО МГУП, г. Москва, Россия
В статье излагаются основные положения методики расчета нестационарных
гидравлических процессов в вертикальных трубопроводах инерционных (вибрационных)
насосов. Исследованию движения газожидкостной смеси в подобных трубопроводах
посвящено множество работ, однако во всех них принят ряд допущений. Разработанная
методика расчета обладает научной новизной, так как учитывает ряд возникающих в
трубопроводе явлений: выделение воздуха (разрыв сплошности), потери напора (по длине
и местные), колебания обратного клапана и стенок трубопровода. Проводимая работа
является актуальной, поскольку насосы инерционного типа получили широкое
практическое применение.
Вибрационный насос осуществляет подачу жидкости по вертикальному
трубопроводу из источника в приемный резервуар, расположенный на геодезической
высоте Нг. Энергия колонне жидкости сообщается рабочим органом, осуществляющим
вынужденные периодические колебания. Подробное описание конструкции насоса и
принципов его работы приводится в [4].
Неустановившееся напорное движение жидкости в трубопроводе описывается
дифференциальными уравнениями неразрывности [5]
h
h c 2 
z



0
(1)
t
x
g x
x
и количества движения
h   1    



 0,
(2)
x g x g t
d 2g
p
где h  z 
; c – скорость распространения упругой волны;  - коэффициент Дарси,
g
определяемый в зависимости от режима движения жидкости по формуле   64 / Re
 э 68 

(для ламинарного режима) или по формуле А.Д. Альтшуля   0,11
(для

Re 
 d
турбулентного режима) [6].
Для газожидкостного напорного потока c зависит от упругости жидкости и стенок
трубопровода, объемного содержания растворенного и нерастворенного газов, давления и
т.д. [6].
В реальной жидкости содержится растворенный воздух (в воде около 2% по объему
при t  20  C ), поэтому столб воды не может выдерживать отрицательных напряжений.
При понижении давления до давления насыщенных паров происходит выделение
растворенного воздуха в виде пузырьков, то есть разрыв сплошности потока.
Экспериментально это явление установлено при испытаниях насосов конструкции
Михайлова М.И.; Грецова Н.А. и Павлова Г.Г.
Методика расчета разрывов сплошности потока основывается на ряде положений.
1. Поверхность разрыва занимает все поперечное сечение трубопровода и
нормальна его оси. Фактически в момент разрыва колонна жидкости разделяется на две
0 , 25
колонны, которые до момента схлопывания кавитационной каверны перемещаются
независимо друг от друга.
2. Давление в каверне и на ее границах полагается одинаковым.
3. Схлопывание каверны происходит в момент равенства нулю ее объема.
При прохождении снизу вверх по трубопроводу волны понижения давления,
начиная с некоторого сечения колонна жидкости может распадаться на множество
отдельных участков [1]. На каждом из этих участков процесс распространения упругих
волн протекает независимо, причем отражение происходит не только от свободной
поверхности и клапана, но и от поверхностей разрыва.
Одним из самых распространенных численных методов решения уравнений
гидравлического удара является метод характеристик. В основе метода характеристик
лежит приведение системы уравнений (1), (2) к эквивалентной системе уравнений в
характеристической форме [5]:
g dh d   
g dz
(3)




 0;
c dt
dt
2 d
c dx
dx
   c.
(4)
dt
g dz
Слагаемым
в первом приближении можно пренебречь.
c dx
Наиболее удобным для реализации на ЭВМ является метод характеристик с
прямоугольной регулярной сеткой (метод Хартри).
Расчетная схема метода Хартри
Рассмотрим расчетную схему метода Хартри для вертикального трубопровода
(см.рисунок). Трубопровод длиной L разбивается по длине на n одинаковых участков;
расстояние между узлами сетки вдоль оси x равно x  L / n . Шаг по времени t
выбирается таким образом, чтобы выполнялись два следующих требования:
1. Для устойчивости явных схем с фиксированной сеткой шаги интегрирования по
времени t и по длине x следует выбирать таким образом, чтобы выполнялось
условие Куранта-Фридрихса-Леви (КФЛ-условие)
(5)
x / t    c.
2. Характеристика, проходящая через точку Р, должна пересекать предыдущий
временной слой как можно ближе к узловым точкам M и N.
Рассмотрим алгоритм расчета средней точки P (cм. рисунок). Предположим, что
интегрирование на первом шаге выполнено для всех точек вдоль трубы. Поэтому напоры
и скорости в точках, O , M и N известны. Через точку P проводятся две
характеристики, которые пересекают предыдущий временной слой в точках R и S. Для
dt
1

прямой характеристики RP справедливо соотношение
. Для обратной –
dx   c
dt
1
.

dx   c
Вдоль прямых RP и SP выполняются уравнения:
вдоль RP
g dh d  
(6)


 0;
c dt
dt
2d
вдоль SP
g dh d  
(7)



 0.
c dt
dt
2d
Записав уравнения в конечно-разностном виде. получим:
вдоль RP
 
g
hP  hR    P  R   R R tP  tR   0;
(8)
cR
2d
вдоль SP
 
g
hP  hS   P  S   S S tP  tS   0.

(9)
cS
2d
Значения  R и c R находятся с помощью линейной интерполяции между точками
M и O ,  S и c S – между O и N . Значения напоров и скоростей в точках R и S
находятся линейным интерполированием соответствующих величин в точках. Решая
совместно уравнения (8) и (9). получаем значение напора и скорости в точке P:
   t 
   t 
c 
c 
  hS  O  P   S  S S S
;
hP  hR  O  P   R  R R R


(10)
g 
2d
g 
2d


    t    t 
g
hR  hS    R   S  1  R R R  S S S .
(11)
2cO
2
2
2d
2d

Поскольку положение точек R и S были вычислены на основании значений cO и
P 
 O , наклоны характеристик могут быть уточнены с учетом полученных значений c P и
 P . Процесс уточнения выполняется итеративно до достижения заданной точности
результатов.
На границах трубопровода имеется только по одной характеристике: на верхнем
конце ( x  0 ) – обратная характеристика, в нижнем ( x  L ) – прямая характеристика. В
связи с этим на верхнем и нижнем концах трубопровода значения напора или скорости
должны задаваться явным образом.
Учет разрывов сплошности потока при расчетах по методу Хартри осуществляется
путем введения внутренних граничных условий на границах кавитационных каверн в
течение времени их существования (от момента возникновения каверны до момента ее
схлопывания). В каждый момент времени может существовать множество разрывов,
поэтому в расчетных сечениях трубопровода помимо напора и скорости необходимо
учитывать размер каверны wi .
Рассмотрим алгоритм расчета, учитывающий образование разрыва сплошности
потока, для узла регулярной сетки, находящемся в сечении i . Примем, что разрыв
сплошности потока образуется в случае понижении абсолютного давления до значения
давления насыщенных паров Pí .ï , зависящего от заданной температуры [6].
Предположим, что в некоторый момент времени размер каверны в сечении i равен нулю.
Тогда значения напора и скорости в точке P рассчитываются по формулам (10) и (11).
p
Так как hP  xP  P , абсолютное давление pP в точке P определяется по формуле
g
pP  hP  xP g. Если pP  Pн.п , то в точке P образуется разрыв сплошности
потока и вводится внутреннее граничное условие:
p P  Pн.п ,
(12)
или
P
hP  x P  í .ï ,
(13)
g
которое действует, пока существует разрыв. Это сечение является границей двух
расчетных участков длиной x . Относительно i -го сечения эти участки двигаются
независимо друг от друга с разными скоростями с учетом волновых процессов на каждом
участке. Для верхнего участка существует только положительная характеристика, для
нижнего – отрицательная.
P
Подставляя hP  x P  н.п в (10), получим уравнение
g
   t 
P
c 
,
xP  н.п  hR  O  Pл   R  R R R
(14)

g
g 
2d

откуда находится скорость  Pë на левой границе разрыва
   t

P
g 
 xP  н.п  hR    R  R R R
.
(15)
cO 
g
2d

Аналогично определяется скорость на правой границе разрыва:
   t 
P
c 
;
xP  н.п  hS  O  Pп   S  S S S
(16)

g
g 
2d

   t

P
g 
 x P  н.п  hS    S  S S S
 Pп 
.
(17)
cO 
g
2d

Изменение размера каверны за промежуток времени t определяется как разность
расходов на левой и правой границах разрыва:
d 2
(18)
 Pп   Pл t .
wi 
4
Прибавляя wi к текущему значению wi , получаем новый объем каверны в
сечении i . Если оказывается, что wi  0 , то считается, что разрыв ликвидирован, и wi
приравнивается к нулю. Если при расчете сечения i на следующем временном слое
оказывается, что wi  0 , то сразу вводится граничное условие (13). Аналогичным
 Pл  
образом производится расчет с учетом разрывов сплошности во всех сечениях
трубопровода.
Приведенную методику расчета можно упростить, если принять как допущение, что
весь выделяемый воздух сосредоточивается в местах разрыва сплошности в узлах
регулярной сетки. Это означает, что между узлами скорость распространения упругой
волны c можно рассчитывать по формуле Кортевега-Жуковского
Eж
c

(19)
.
d Eж
1
e E
Поскольку c постоянна, а  мала по сравнению с c , шаг по времени можно
принять равным t  x / c. Такое соотношение t и x удовлетворяет КФЛ-условию и
позволяет считать характеристики проходящими через узлы сетки, то есть можно считать,
что точки R и S совпадают с M и N, соответственно. В этом случае процедура
уточнения положения точек R и S не требуется.
Зададим начальные и граничные условия для вертикального трубопровода насоса.
Положим, что в начальный момент времени t  0 обратный клапан закрыт, а жидкость
заполняет весь трубопровод и находится в состоянии покоя
H ( x,0)  H à  g L  x  ,
(20)
где H à – напор, соответствующий атмосферному давлению;
 ( x,0)  0.
(21)
В верхнем конце трубопровода расположен приемный резервуар, поэтому напор
принимается неизменным и равным атмосферному
H ( L, t )  H à .
(22)
Граничные условия в нижнем сечении трубопровода зависят от того, закрыт клапан
или открыт. При закрытом клапане скорость движения жидкости определяется скоростью
движения рабочего органа, совершающего вынужденные колебательные движения
 (0, t )  A sin t ,
(23)
где A – амплитуда, а  - круговая частота колебаний.
Если клапан открыт, то в качестве граничных условий задается напор,
определяемый заглублением трубопровода и потерями напора в клапане H кл
H (0, t )  H ат  H з  H кл .
(24)
Библиографический список
1. Алышев В.М. Расчет и моделирование нестационарных гидравлических процессов в
напорных трубах. Автореф. дис…. канд. техн. наук. М.:МГМИ, 1967.
2. Алышев В.М., Гладкова Е.В. Скорость распространения волны гидравлического удара
в многокомпонентных средах. Депонир. рукопись ВИНИТИ, № регистр. 2082-B96, М.,
1996.
3. Либеров В.Г. Исследования нестационарных гидравлических процессов в
вертикальном трубопроводе (на примере вибрационного водоподъемника). Автореф.
дис….канд. техн. наук, М., 1970.
4. Усаковский В. М. Инерционные насосы. М.: Машиностроение, 1973. 200 с.
5. Фокс Д.А. Гидравлический анализ неустановившегося течения в трубопроводах. /Пер.
с англ. М.: Энергоиздат, 1981. - 248 с.
6. Штеренлихт Д.В. Гидравлика: Учебник для вузов. М.: Энергоатомиздат, 1984.