Решение задач с помощью пропорций

Тема: «Решение задач с помощью пропорций»
(Тип урока: «Открытие» нового знания)
Основные цели:
 сформировать способность к решению задач на пропорциональные величины методом
пропорций;
 систематизировать известные учащимся способы решения задач на проценты, сравнить их
особенности;
 повторить и закрепить действия с обыкновенными и десятичными дробями.
1. Самоопределение к деятельности.
 Здравствуйте дети! Какую тему мы изучали последние уроки? (Прямую и обратную
пропорциональность, графики прямой и обратной пропорциональности).
 На прошлых уроках вы многому научились, и эти знания помогут сегодня совершить новое
«открытие». Но сначала проверим выполнение домашнего задания и потренируемся
выполнять действия с обыкновенными и десятичными дробями.
Повторение и проверка домашнего задания
На доске двое учащихся выполняют из домашнего задания № 175 и №177.
Класс выполняет №215(1,2) (самопроверка по образцу, используются сигнальные карточки,
исправление ошибок).
7 5
1,2  0,5
1 :1
9 7
8
0,024 : 0,08
62
9
1)
2)
5
3,5  5
3,1  2,95
6
2
11  2,4
0,005  0,07
3
Заслушиваются ответы учащихся у доски.
№175. Построй на одном чертеже графики зависимостей:
у = 0,5х, у = х, у = 2х, у = 4х, у = 5х. Рассмотри их расположение и сделай вывод.
Дополнительные вопросы: 1) Какая зависимость между величинами называется прямой
пропорциональной зависимостью?
2)Привести примеры прямо пропорциональных величин.
№177. Построй на одном чертеже графики зависимостей:
6
12
24
36
y ; y
у=
;
; y
.
x
x
x
x
Рассмотри их расположение и сделай вывод.
Дополнительные вопросы: 1) Какая зависимость между величинами называется обратно
пропорциональной зависимостью?
2)Дана формула S = vt. В каком случае она задает обратно пропорциональную зависимость?
2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в деятельности.
1. Решите уравнение: 9,8 : (x – 7 )= 7
 Придумайте пропорцию, неизвестный член которой равен корню данного уравнения.
Сделайте все возможные перестановки членов пропорции
2. Устно. Не выполняя вычислений, выберите уравнения, которые имеют одинаковые корни:
1,8
x 1,8 0.6 0,2 x 0,2 1,8
.

;

;

;

0,6 0,2 0,2
x 0.6 1,8 x
0,6
3. Сравните, что интересного вы можете сказать о зависимостях между величинами?
Заполните таблицы и, используя полученные данные, составьте по три пропорции к каждой
таблице (они есть у учащихся на столах).
а) Необходимо изготовить 200 деталей.
1
Производительность
труда v-количество деталей в час
Время выполнения работы t (ч)
20
40
б) Производительность труда рабочего- 50 деталей в час.
1
2
Время выполнения работы t (ч)
Объём выполненной работы A
(детали).
50
100
3
4
Выполните задание:
Решить задачу:
«За два часа рабочий изготавливает 100 деталей. Сколько деталей изготовит рабочий за 4 часа, при
той же производительности труда?»
3.Выявление причины затруднения и постановка цели деятельности.
Учащиеся решают задачу арифметическими методами.
1 способ: 1) 100 : 2= 50 (д.) – производительность рабочего
2) 50  4 = 200 (д.)
2 способ: используем, что работа прямо пропорциональна затраченному времени при постоянной
производительности1) 4 : 2 = 2 – увеличение времени.
2) 100  2 = 200 (д.)
 Сколько шагов вам необходимо было сделать, чтобы решить задачу? (Два шага.)
 Можно ли эту задачу решить в один шаг?
 С каким затруднением мы попробуем сегодня справиться, какую цель поставим перед
собой? (Найти способ решения аналогичных задач в один шаг).
 В данной задаче какая зависимость между величинами? (Прямо пропорциональные).
 Сформулируйте тему урока. (Новый способ решения задач на пропорциональные
величины).
4.Построение проекта выхода из затруднения.
 Как вы думаете, каким способом мы попробуем решить эту задачу? (Т.к. арифметическим
способом мы уже решали задачу, то попробуем решить с помощью уравнения).
 Что такое уравнение? (Равенство, содержащее переменную величину).
 Чтобы решить задачу с помощью уравнения, что необходимо ввести? (Переменную).
 Какие у вас предложения по введению переменной? (Обозначим за x то, что необходимо
найти, т.е. сколько деталей сделает рабочий за 4 ч).
 Составьте графическую модель к задаче (выполнение в парах, результаты вывешиваются на
доску)
A
t
v
100
2
100 : 2
х
4
x:4
 Что в задаче сказано о производительности труда? (Производительность постоянна)
 Составьте математическую модель задачи. (100 : 2 = x : 4)
 Что мы получили? (Пропорцию)
 Как можно назвать метод, которым решена задача? (Метод пропорции).
100 2
 . Каков смысл полученного
 Поменяем местами средние члены пропорции.
x
4
равенства?
 Решив получившееся уравнение, мы ответим на вопрос задачи? (Да, мы сразу узнаем,
сколько сделано деталей за 4 ч).
 Мы достигли поставленной цели? (Да, мы решили задачу, ответив сразу на поставленный
вопрос, мы нашли новый способ решение задач на прямую пропорциональность).
 Уточните тему урока. (Решение задач методом пропорции).
 Т.к. мы нашли новый способ решения задач, составим для этого способа алгоритм:
 Что на первом шаге мы сделали? (Обозначили искомую величину за x)
На экране постепенно появляется алгоритм решения задач методом пропорции.
1. Искомую величину обозначить за x.
2
2. По условию составить таблицу
2 ч – 100 д.
4 ч– x д.
Т.к. зависимость может быть и обратно пропорциональной, поэтому при решении задачи
необходимо указать, какая зависимость рассмотрена в задаче.
3. Указать вид зависимости, поставив стрелочки.
2 ч – 100 д.
4 ч– x д.
 Почему поставили стрелочки в одну сторону? (Потому, что при прямой
пропорциональности при увеличении (уменьшении) одной величины в несколько раз
другая величина соответственно увеличивается (уменьшается) во столько же раз).
4. Записать пропорцию, следуя по стрелочкам.
2 100

4
x
5. Решить пропорцию.
4  100
x=
2
x = 200
7. Записать ответ.
Ответ: 200 деталей.
Алгоритм записан на экране:
1) Искомую величину обозначить за x.
2) По условию составить таблицу.
3) Указать вид зависимости, поставив стрелочки.
5) Записать пропорцию, следуя по стрелочкам.
6) Решить пропорцию.
7) Записать ответ.
5. Первичное закрепление.
№ 197 (2) – ученик у доски, проговаривает решение в соответствии с составленным алгоритмом.
Для приготовления 4 порций салата потребуется 50г майонеза. Сколько майонеза потребуется для
приготовления 10 порций салата?
1)Пусть x г майонеза потребуется для приготовления 10 порций салата.
2) 4 п. – 50г
10 п. – х г.
3) Прямая пропорциональная зависимость.
4 п. – 50г
10п. – х г.
4) 4 :10 = 50 : х
5) x = 10  50 : 4
x = 125
6) Ответ: потребуется 125г.
№198(3) – у доски.
В магазин привезли поровну яблок и груш. Яблоки разложили в 25 ящиков по 18 кг в каждом. а
груши – в 30 ящиков. Сколько килограммов груш в каждом ящике?
Пусть х кг груш в каждом ящике.
25ящ. – 18 кг
30ящ.—х кг
25 x
 ;
30 18
25  18
x
;
30
x  15.
Ответ: 15кг.
3
Самостоятельно 1 вариант №197(4),. 2 вариант №198(4)– решают с проверкой по подробному
образцу №197(4)
Из 14 м ткани можно сшить 5 платьев. Сколько метров ткани нужно на 3 таких платья
Решение.
Пусть x м нужно для пошива 3 платьев.
14 м – 5 пл.
x м – 3 пл.
14 м – 5 пл.
x м – 3 пл.
14 : x = 5 : 3
x = 14  3 : 5
x = 8,4
Ответ: потребуется 8,4м
№198(4)
Маленькое колесо повозки, имеющее окружность 2,4м, обернулось на некотором расстоянии 1250
раз. Сколько раз обернулось на этом расстоянии большое колесо, имеющее колесо, имеющее
окружность 3м?
Решение.
Пусть х раз обернулось колесо с окружностью 3м.
2,4м – 1250 раз
3м— х раз
2,4
x

9
1200
2,4  1200
x
;
3
x  960
Ответ: 960 раз.
Решение задач на проценты
Рассмотрим решение еще двух задач.
200(2)
В 80 т железной руды после ее обогащения содержится 76 т железа. Какой процент железа в
обогащенной руде?
Пусть x% железа в обогащённой руде
80 т – 100%
76 т – x%
80 : 76 = 100 : x
x = 76  100 : 80
x = 95
Ответ: 95%
№209(1)
Реши задачу двумя способами – способом пропорций и по правилам решения задач на проценты.
Площадь поля 80 га. Кукурузой засеяли 45% всей площади. Сколько гектаров поля засеяно
кукурузой?
1способ
Пусть х га засеяли кукурузой.
80га – 100%
хга – 45%
80 100

x
45
80  45
x
;
100
4
x  36.
 Что интересного мы наблюдаем? (Задачи на проценты можно решать методом пропорции)
 Какой зависимостью связаны величины в задачах на проценты? (Прямой
пропорциональной зависимостью).
7. Рефлексия деятельности.
 Что нового узнали на уроке? (Задачи на пропорциональные величины можно решать
методом пропорции, задачи на проценты можно решать методом пропорции).
 В чем состоит данный метод?
 Проанализируйте свою работу на уроке.
Домашнее задание: 2.4.4; № 225 (1); № 226; 233.
№225
Чтобы связать шарф длиной 1,4м, нужно 350г шерсти. Сколько шерсти потребуется, чтобы
связать шарф такой же ширины длиной 180см?
№226
Реши задачи на проценты способом пропорций:
1)За перевозку мебели заплатили 600 руб., что составило 8% ее стоимости. Сколько рублей стоила
мебель?
2)Костюм до снижения цен стоил 1500 руб. Цена на костюм снижена на 6%. На сколько рублей
снижена цена?
3)В растворе массой 280г содержится 56г соли. Какова концентрация этого раствора?
№233 Вычисли:
8 6
3
4 
 8
(3 9  2,4  0,6  3 9 )  1 7 : 2,6  0,4  (2 28  1 21) : 0,1
.
9
(3,125  1 )  4
40
5