Косинский Ю.И., «Эквивалентные модели термодинамической

Косинский Ю.И.
Эквивалентные модели термодинамической
системы газового состояния
1.Элементарная модель макроскопической системы газового состояния,
имеющего одну степень свободы.
Кинетическую энергию частиц газа или рассматриваемой системы будет
представлять одна частица массой m , имеющая скорость v1.
Потенциальную энергию системы будет представлять тело массой M ,
которое находится в поле потенциальных сил с ускорением g .
Размер системы будет представлять расстояние l между двумя массами M ,
ограничивающих движение частицы m , или же между массой M и
плоскостью с бесконечной массой.
v2
v2
M
M
l
m
g
g
M
v1
l
m
m
V1
M
g
v2
2
Тело массой M имеет скорость v 2 в точке встречи с частицей m .
l - расстояние между двумя точками встречи. Движение всех трех частиц
носит колебательный характер. Будем рассматривать стационарный случай.
Для этого необходимо, чтобы
(1)
M  v 2  m  v1
TM  Tm
(2)
где TM и Tm - периоды колебаний частиц M и m соответственно. Они равны:
Tm 
2l
,
v1
TM 
2  v2
.
g
(3)
Тело массой M совершает колебания в поле потенциальных сил, подымаясь
на высоту h от точки встречи с частицей m .
Время подъема: t h 
TM v 2
.

2
g
Потенциальная энергия тела равна кинетической в точке встречи:
Mg  h  M
v 22
.
2
Из равенства (2) и соотношений (3) найдем, что:
l
v1v 2
.
g
Найдем потенциальную энергию системы:
U z  Mg  l  Mv1v 2 .
(4)
Воспользуемся соотношением (1)
U z  Mg  l  m  v12 .
(5)
Мы пришли к уже известному нам соотношению, что потенциальная энергия
системы равна удвоенной кинетической.
U z  2E z .
Поэтому мы вправе считать, что мы рассмотрели элементарную модель газа,
находящегося под поршнем.
2. Усложним модель. Между поршне массой M находятся n частиц газа.
Приведем рисунок, не требующий пояснения.
v2
Mg
m
l
N - частиц имеют массу
v1
m (каждая) и скорость v1 . Схема параллельная.
Колебания частиц сдвинуты по фазе относительно друг к другу на величину
T
Tm
. Условия стационарности: Mv 2  mv1 , TM  m .
N
N
vv
При этом имеем: l  N 1 2 .
g
Потенциальная энергия системы равна:
U z  Mg  l  MNv1v 2  Nmv12
U z  2 NE z .
(7)
Параллельную схему можно усложнить, рассматривая плотность (атомов)
частиц не вдоль одной оси, например, z, что мы и сделали, а на плоскости x,y.
При этом подтвердится результат (7).
Рассмотрим последовательную схему для N частиц. Она изображена
на рисунке.
v2
Mg
m
l
v1
В этой схеме рассматривается плотность частиц вдоль одной степени
свободы. Схема учитывает соударения между частицами.
Tm 
l 2
,
N v1
TM 
2  v2
,
g
Tm  Tm
Результат тот же:
U z  2 NE z .
Путем дальнейших усложнений можно получить еще несколько
эквивалентных схем (моделей), объясняющих на элементарном уровне все
физические процессы, происходящие в газах.
До сих пор мы рассматривали макроскопические системы, в которых
частицы газа представляют кинетическую энергию, носителями же
потенциальной энергии являются частицы, из которых состоит поверхность
термодинамической системы, которые имеют свою массу и находятся в поле
потенциальных сил. Именно потенциальная энергия этих частиц удерживает
кинетическую энергию газа внутри определенного объема.
В природе существуют и открытые макроскопические системы,
например, газ в поле потенциальных сил, атмосферы планет в поле тяжести
этих планет. В данном случае частицы газа являются носителями как
кинетической так и потенциальной энергии. Потенциальная энергия поршня,
сдерживающая газ в определенном объеме, в данном случае распределена по
всему объему газа.
3. Элементарная модель газа в поле потенциальных сил.
g
h
m
m - масса частицы ,
h - высота проникновения в область потенциальных сил.
Частица в различные моменты времени имеет различное значение
скорости и координаты, поэтому кинетическую и потенциальную энергию
будем искать в виде средней величины за период.
v - скорость частицы в точке возврата,
h - высота подъема частицы.
h
v2
.
2g
t h - время подъема.
th 
v
.
g
Период колебаний частицы.
T  4 th 
4v
.
g
Потенциальная энергия усредненная за период равна:
T
1 2
1
U z  2  mg  z  dt  2mg
T 0
T
_
T
2

0
2 
 vt  g t dt 

2 


T
T 
 t
1
t
2mg v  0 2  g  0 2  
T
6
 2


mg 2
2v
2
 2v 3 4 v 3 
 2 

3 g 2 
 g
3
2 1
 mv 2 (1  )  mv 2
3
3
_
1
U z  mv 2
3
(8)
Кинетическая энергия усредненная за период равна:
T
1 2 mv(t ) 2
m
Ez  2 
dt 
T 0
2
T
_
T


m
T
 v
2
2
T
2
 v  gt 
2

0

 2vgt  g 2 t 2 dt 
0
2
m  2
t3  T
v t  vgt 2  g 2   0 2 
T 
3 
mv
T
T2
2
1
 mvg  mg 2
 mv 2   1  .
2
4
24
3
2
_
1
E z  mv 2 .
6
(9)
Соотношение между кинетической и потенциальной энергией равно:
_
_
U z  2Ez .
(10)
Полная энергия системы равна
v2
z  m
.
2
(11)
кинетической энергии в нейтральной точке, когда потенциальная энергия
равна нулю.