ЛЕКЦИЯ №5 ТЕМА: План лекции:

Любая С.И.
ЛЕКЦИЯ №5
ТЕМА: «МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ»
План лекции:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Колебательное движение. Гармоническое колебание.
Скорость и ускорение гармонического колебания.
Энергия гармонического колебательного движения.
Свободные колебания. Гармонический осциллятор.
Пружинный, математический и физический маятники.
Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания.
Примеры проявления резонансных явлений в живых организмах.
Сложение гармонических колебаний, происходящих вдоль одной
прямой. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
1. Колебательное движение. Гармоническое колебание.
Вывод уравнения гармонического колебания
Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике
значительный интерес представляют и колебательные движения.
Колебаниями называется процессы, отличающиеся той или иной степенью
повторяемости (качели, ветка дерева, фазы луны, морские приливы и отливы,
пульсовая волна, сердце, гортань…). В технике и окружающем нас мире часто
приходится сталкиваться с периодическими (или почти периодическими)
процессами, которые повторяются через одинаковые промежутки времени. Такие
процессы называют колебательными. Колебательные явления различной
физической природы подчиняются общим закономерностям. Например, колебания
тока в электрической цепи и колебания математического маятника могут
описываться одинаковыми уравнениями. Общность колебательных закономерностей
позволяет рассматривать колебательные процессы различной природы с единой
точки зрения.
Колебания широко распространены в природе и технике. Колебательные
процессы лежат в основе таких отраслей техники как электротехника,
радиотехника и.т.д).
Во многих случаях колебания играют негативную роль (вибрации крыльев
самолёта, корпусов судов, зданий и сооружений из за резонанса с работающим
там оборудованием), что необходимо учитывать при их изготовлении.
В зависимости от физической природы колебания бывают механические и
электромагнитные. Механическими колебаниями называют движения тел,
повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки
Любая С.И.
времени. Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине
или математический маятник.
В зависимости от характера воздействия на колеблющуюся систему, различают:
свободные, (собственные) колебания, вынужденные колебания, автоколебания и
параметрические колебания.
1. Свободные колебания, совершаются под действием внутренних сил
системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия.
(Колебания груза на пружине или колебания маятника являются
свободными колебаниями.).
2. Вынужденные - система подвергается воздействию внешней,
периодически изменяющийся силы (колебание моста при прохождении
солдат, идущих в ногу).
3. Автоколебания - система сама управляет внешним воздействием (маятник
часов получает толчки в момент прохождения её через среднее
положение).
4. Параметрические колебания - происходит периодическое изменение
какого- либо параметра системы за счет внешнего воздействия (например
длины нити математического маятника).
Простейшими являются гармонические колебания – происходящие по закону sin и
cos.
Этот вид колебаний важен по двум причинам:
1. колебания в природе и технике часто близки к гармоническому.
2. иные периодические процессы могут быть представлены как наложение
нескольких гармонических колебаний.
Выведем уравнение гармонического колебания при помощи установки, состоящей из
экрана и вращающегося диска с закреплённым на нём непрозрачным шариком.
А
w

M
Любая С.И.
x
x
О
А

свет
o
-А
Пусть материальная точка М движется против часовой стрелки по
окружности радиусом А. Тогда её проекция на экране совершает периодические
колебания около положения равновесия в пределах от А до -А .
Выразим величину смещения x в любой момент времени:
x  A  sin 
- уравнение гармонического колебания.
Так как диск вращается с угловой скоростью w, то w 
Подставим значение  в уравнение гармонического колебания:
x  A  sin wt

t
   wt .
- уравнение гармонического колебания.
Если диск совершает полный оборот w 
x  A  sin
2
t
T
2
1
1
; T  ; v  ; w  2  v
T
v
T
x  A  sin 2vt
Основные характеристики гармонического колебания:
1 x- смещение- отклонение от положения равновесия в данный момент времени
(может быть >0 и <0)/
2 A – амплитуда - максимальное отклонение от положения равновесия.
3 T- период - совершения одного полного колебания.
4 wt- фаза колебания - характеризует состояние колебательной системы в любой
заданный момент времени.
5 v- частота- число колебаний в единицу времени.
Если к началу наблюдения фаза имела некоторое начальное значение  0 , то
уравнение запишется:
x  A  sin( 0  wt) - гармоническое колебание с начальной фазой.
Любая С.И.
2.Скорость и ускорение гармонического колебания.
Скорость - гармонических колебаний есть первая производная смещения по
времени.
dS
для гармонического колебания скорость
dt
dx d ( A  sin wt )

 A  w  cos wt ;
определяется следующим образом v 
dt
dt
Известно, что скорость v 
v  A  w  cos wt -скорость гармонического колебания.
a
dv d ( A  w  cos wt )

  A  w 2  sin wt
dt
dt
a   A  w 2  sin wt - ускорение при гармоническом колебании.
Колебательное движение выполняется под действием силы, которая может
быть определена по второму закону Ньютона: F  m  a , но ускорение при
гармонических колебаниях определяется по формуле a   A  w 2  sin wt , подставим
значение ускорения во второй закон Ньютона, то F  m  A  w 2  sin wt , но
A  sin wt  x , то
F  m  x  w 2 - сила действующая на колеблющееся тело.
Она пропорциональна смещению, знак «-» указывает на, то что сила
направлена в противоположную сторону относительно смещения. k  m  v 2
F  k  x - квазиупругая сила, вызывающая колебательные движения.
3.Энергия гармонического колебательного движения.
Квазиупругая сила является консервативной и поэтому полная механическая
энергия системы остаётся постоянной. В процессе колебаний происходит
превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причём в
моменты наибольшего отклонения от положения равновесия полная энергия
состоит только из потенциальной энергии, которая достигает своего
максимального значения.
E  E п. max
k  A2

2
,
А- амплитуда
При прохождении системы через положение равновесия полная энергия
состоит только из кинетической энергии, которая достигает своего максимума.
2
2
2
max
кин. max
EE
mv

2
m A w

2
Любая С.И.
4.Свободные колебания. Гармонический осциллятор.
Если колебания совершаются за счёт первоначально сообщённой энергии и
в дальнейшем внешнее воздействие на колебательную систему отсутствует, то
такие колебания называются свободными. Система, движущая под действием
упругой среды называется одномерным осциллятором.
Известно, что ускорение при гармоническом колебании определяется
следующим образом:
d 2x
или x //   A  w 2  sin wt ;
dt
x //   A  w 2  sin wt , но A  sin wt  x , то
x //   x  w 2 или x   w 2  x  0 (2) – система, движения которой описывается
a
уравнением (2) описывает движение гармонического осциллятора.
Который служит важным примером периодического движения и служит
точкой или приближенной моделью для решения многих задач, как классических
так и квантовых функций.
5. Пружинный, математический и физический маятники.
Пружинный маятник- это груз массой m подвешенный на упругой пружине
и совершающий гармонические колебания.
m
Колебания маятника совершаются под действием угловой силы. F  k  x ,
k- коэффициент упругости, а в случае с пружиной он называется коэффициентом
жёсткости.
Уравнение движения маятника записывается:
(3)
m  a  k  x
Ускорение- это вторая производная смещения по времени:
m  x  k  x , т.к a  x
Разделим обе части уравнения на m, то получим
x  
k
x0
m
(4)
Сравним между собой уравнения (2) и (4), очевидно, что w 2 
k
, а w
m
k
,
m
2
2
; T
- период колебания, подставим в формулу периода колебания
T
w
m
2
значение w, через k и m, то T 
, T  2
k
k
m
w
Любая С.И.
T  2
m
- период колебания пружинного маятника.
k
Физический маятник - твёрдое тело способное совершать колебания
относительно оси, не совпадающей с центром масс.
O
d


mg
Из основного уравнения динамики вращательного движения
J    M , где
M  m  g  d  sin 
Для малых колебаний можно поучить J    M  0
J     m  g  d    0
(3)
Разделим уравнение (3) на J
Введём обозначение w02 
m g d
, получим уравнение
J
   w 2  0 , которое аналогично полученному ранее.
2
2
Период колебания физического маятника T 

w0
T  2
m g d
J
J
m g d
Математический маятник - материальная точка подвешенная на
невесомой нерастяжимой нити.
Реальный маятник, у которого масса тела во много раз больше массы нити,
а размеры тела во много раз меньше длинны нити, можно считать
математическим.
Любая С.И.
mg
Учитывая, что момент силы тяжести M  m  g  l  sin  и момент инерции точки
J  m  l 2 , из динамического уравнения вращательного движения получим:
J   M .
(4)
m  l 2     m  g  l    0
2
Разделим уравнение (4) на ml , получим
  
  
m g l
  0
ml2
g
   0,     w02    0
l
w02 
g
l
Период колебания математического маятника
T
2
l
 2
w0
g
Мы приходим к выводу, что во всех случаях колебания описываются одним
и тем же уравнением
x   w02  x  0 , совпадающим с уравнением движения
гармонического осциллятора.
6. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания.
Вынужденными колебаниями называется незатухающие колебания
системы, которые вызываются действием на неё внешних сил , периодически
изменяющихся с течением времени.
Сила, вызывающая вынужденные колебания, называется возмущающий
(вынуждающий) силой.
Вынуждающая сила изменяется по закону:
F (t )  F0  cos w  t
F0- амплитуда вынуждающей силы, w- циклическая частота.
Под действием этой силы в системе устанавливаются гармонические
колебания с циклической частотой w.
x  A  cos( w  t  1 )
Где A- амплитуда вынужденных колебаний смещения. 1 - разность фаз между
вынужденными колебаниями x и силой F(t).
Любая С.И.
Амплитуда вынужденных колебаний зависит от амплитуды вынуждающей
силы и её частоты, зависимость амплитуды колебаний от частоты приводит к
тому, что при некоторой частоте амплитуда вынужденного колебания достигает
максимального значения. Это явление получило название резонанса, а
соответствующая частота- резонансной частоты.
  0 , то A достигнет максимального значения при частоте w рез  w0
w  w рез  w02  2 2  w0 1 
2 2
w02
Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при
приближении циклической частоты вынуждающей силы к значению wрез –
называется резонансом , wрез – резонансная циклическая частота.
При наличии трения резонансная циклическая частота wрез несколько
wзат  w02   2 и меньше w0.
Форма резонансных кривых зависит от значения  . Чем больше  , тем
более пологими становятся кривые.
Примеры резонанса: явление резонанса используется в акустике- для
анализа звуков, их усиления и.т.д.
Под действием периодически изменяющихся нагрузок в машинах и
различных сооружениях могут возникнуть явления резонанса, которые могут быть
опасны для эксплуатации машин.
Автоколебания- Колебательная система, совершающая незатухающие
колебания за счёт источника энергии, не обладающего колебательными
свойствами- называется автоколебательной системой. Пример: часы с анкерным
ходом.
Ходовое колесо с косыми зубьями жёстко скреплено с зубчатым барабаном,
через который перекинута цепочка с гирей.
На одном конце маятника закреплены анкер- якорёк с 2-мя паллётами. В
ручных часах гиря заменяется пружиной, а маятник балансиром – маховичком,
скреплённым со спиральной пружиной. Балансир совершает крутильные
колебания относительно своей оси.
Источником энергии является поднятая вверх гиря или сжатая пружина.
Когда маятник проходит положение равновесия и имеет vmax, зуб ходового колеса
сталкивается с концом паллеты и подталкивает маятник. Энергия передаётся
порциями. За полупериод анкер позволяет ходоовму колесу повернутся на 1
зубец.
Примеры автоколебаний: часы, паровые машины, двигатели внутреннего
сгорания, отбойные молотки, электрические звонки, смычёк для скрипки,
воздушные столбы в духовых инструментах, языки в баянах и аккордионах,
голосовые связки при разговоре.
Любая С.И.
7. Примеры проявления резонансных явлений в живых организмах.
В лаборатории электроакустики в Марселе испытывали генератор,
создававший акустические волны с частотой 7 Гц (инфразвук), люди
испытывали сильные внутренние боли, нарушение координации движений и
зрения. Оказалось, что инфразвук действует на вестибулярный аппарат,
собственная частота которого 2…20 Гц; он переходит в резонансные
колебания, нарушающие деятельность вестибулярного аппарата.
Инфразвук также вызывает вынужденные колебания различных
органов, каждый из которых обладает собственной частотой.
Некоторые из них, такие как печень, почки, сами по себе не
совершают колебательных движений, но под действием внешней
периодической силы могут войти с ней в резонанс. Медики обратили
внимание на опасный резонанс брюшной полости (4…8 Гц). Резонансные
явления раздражают рецепторы, передающие информацию в нервные
центры. Таким образом, создаются рефлекторные реакции организма на
раздражитель. Это сопровождается ощущением боли, неприятными
ощущениями, затруднением дыхания.
Особенно вредны резонансные явления для сердца. Это приводит к
расширению кровеносных сосудов и кровоизлияниям. Если резонансные
колебания находятся в противофазе, то возможны торможение
кровообращения, остановка сердца.
Некоторые исследователи указывают на психическое действие
инфразвука. У облученных им людей поражаются все виды
интеллектуальной деятельности, появляется чувство тревоги, страха. Такие
же явления имеют место и у животных. (Источники – двигатели,
компрессоры, электродойки.) Отрицательное воздействие на молокоотдачу
и многие физиологические функции сельскохозяйственных животных.
Любая С.И.
8. Сложение гармонических колебаний, происходящих вдоль одной
прямой. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.
Решение ряда задач значительно облегчается при использовании метода
векторных диаграмм.
В основе метода лежит понятие вращающегося вектора.
x0
О
0
x
Возьмем ось x и из точки О отложим вектор x0 под углом  0 к оси x. Если
привести вектор во вращение с угловой скоростью w0 , то проекция конца этого
вектора на ось x будет перемещаться по оси x в пределах от  x0 до  x0 , при этом
координата будет изменяться по закону x  x0 cos(w0t  0 ) . Проекция конца
вектора на ось будет совершать гармоническое колебание с амплитудой, равной
длине вектора x 0 и частотой равной угловой скорости вращения w0 .
Сложение колебаний, происходящих вдоль одной прямой.
Пусть точка совершает два колебания, происходящие вдоль одной прямой с
одинаковой частотой, описываемых уравнениями: x1  A1  coswt  1 
x2  A2 cos(wt   2 )
Y
A
A2
2
A1
1
X
x2
x1
Любая С.И.
Представив оба колебания в виде векторов и сложив их по правилу
сложения векторов можно получить результирующее колебание. Это вектор,
проекция которого на ось X равна сумме проекций исходных колебаний.
x  x1  x2 .
Запишем результирующее колебание в виде x  A cos( wt   )
A  sin 1  A2  sin  2
Из рисунка A 2  A12  A22  2 A1  A2  cos( 2  1 ) и tg  1
A1  cos 1  A2  cos  2
Частные случаи сложения колебаний
1)  2  1  2  n   , где n=0,1,2….
Тогда cos( 2  1 )  1 A  A1  A2
x
A
A1
A2
t
2)  2  1  (2n  1) ; n=0,1,2… , тогда cos( 2  1 )  1
A  A2  A1  A1  A2
x
A2
t
-A1
3) Частоты двух слагаемых колебаний не совпадают друг с другом, но мало
отличаются w2  w1  w w  w1
Тогда слагаемые колебания будут представлены так : x1  A  cos w1t
Любая С.И.
x2  A  cos(( w1  w)  t ) , а их
w
сумма x  x1  x 2  A  (cos w1t  cos( w1  w)  t )  2 A  cos( )t  cos w1t  x |  cos w1t , где
2

w
x |  2 A  cos( )t .
2
w
Такие колебания называются биениями. Множитель x |  2 A  cos( )t
2
измеряется гораздо медленнее, чем второй множитель. Так как w  w , за время,
в течение которого множитель cos wt совершает несколько колебаний, x | почти не
изменяется.
Это даёт нам право рассматривать результирующее колебание как
гармоническое частоты w, амплитуда которого медленно изменяется по
некоторому закону. Такие колебания называются пульсациями.
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Допустим, что материальная точка будет совершать колебания в двух
взаимно перпендикулярных направлениях. Если возбудить оба эти колебания, то
точка будет двигаться по некоторой траектории, вид которой зависит от разности
фаз складываемых колебаний. Пусть колебания заданы уравнениями: x  a  cos wt
y  b  cos( wt   ) (2), которые являются координатами движущейся точки,
заданными в параметрической форме. Исключив из этих уравнений параметр t,
получим уравнение траектории точки. Сделаем некоторые математические
преобразования: cos wt 
x
y
x2
, sin wt  1  (cos wt ) 2 , sin wt  1  2 , cos( wt   )  .
a
b
a
Развернём cos в уравнение (2) по формуле для косинуса суммы:
y
 cos( wt   )  cos wt  cos   sin wt  sin  , подставим вместо cos wt и sin wt их
b
значения, получим
y x
x2
  cos   sin   1  2 , после преобразования получим :
b a
a
x 2 y 2 2 xy


 cos   sin 2  . Это уравнение эллипса.
ab
a2 b2
Это уравнение представляет собой общее уравнение траектории
материальной точки, совершающей два взаимно перпендикулярных колебания.
Рассмотрим частные случаи:
1)   0, 
sin   0 , cos   1 , тогда
проходящая через начало координат.
Y
y x
  0,
b a
y
b
x
a
- это прямая
Любая С.И.
X
2)   

2
x2 y2

 1 - это эллипс, если a=b ,то это
a2 b2
sin   1 cos   0
окружность.
Y
X
3) Если частоты колебаний не совпадают, то траектория имеет вид довольно
сложных кривых, называемых фигурными Лиссану . Например
Y
 0
Y
X


2
X
При w1  2w2 , траектории будут иметь вид (см.рис).
Y
 
X