Решение уравнений высших степеней

Тема урока: «Решение уравнений высших степеней методом группировки».
Урок проведен в 10 «А» классе школы № 4 г. Брянска (2007 г.).
Класс работает по учебнику Никольского С.
Урок провела: студентка 5 курса
Методист: кандидат педагогических наук,
физико-математического факультета
доцент кафедры методики обучения
Брянского государственного
математике и информационных технологий
университета им. И.Г.Петровского
Брянского государственного университета
Е.А.Рогочая.
им. Петровского И.Е.Малова.
Учитель: учитель высшей категории, почетный работник образования
Александровна Шатковская.
Елена
Цели урока:
1. Обобщить и систематизировать знания о решении уравнений высших степеней.
2. Обогатить опыт учащихся в решении уравнений высших степеней применением
методов вынесения за скобки общего множителя и группировки, тождеств сокращенного
умножения.
3. Выявить ситуации использования метода группировки при решении уравнений высших
степеней:
а) представление одного из слагаемых в виде суммы (разности) двух других;
б) для доказательства отсутствия корней.
Тип урока: Урок совершенствования.
План урока:
1. Обобщение и систематизация знаний о решении уравнений высших степеней через
составление опорного конспекта.
2. Использование методов вынесения за скобки и группировки, тождеств сокращенного
умножения для решения уравнений высших степеней.
а) Актуализация знаний об использовании известных методов разложения на множители к
решению уравнений высших степеней.
б) Применение метода группировки к решению уравнений высших степеней, когда
образуются группы из трех слагаемых.
в) Применение метода группировки к решению уравнений высших степеней, когда в
одной из групп требуется применение тождества сокращенного умножения.
3. Подведение итогов и постановка домашнего задания.
Ход урока:
1. Обобщение и систематизация знаний о решении уравнений высших степеней через
составление опорного конспекта.
Учитель: Сегодня на уроке мы с вами продолжим решать уравнения.
Вид доски:
2х4 + 3х3 + х2 – 6=0
Учитель: расскажите всё, что мы знаем об уравнении такого вида.
Учащиеся: 1) метод решения;
2) способ нахождения рационального корня многочлена;
3) алгоритм деления многочлена на многочлен;
4) решение уравнения вида:  *  = .
(Учитель записывает ответы учащихся на доске, тем самым создавая опорный конспект).
Учитель:
Как вы догадались, что это уравнение надо решать таким образом?
Учащиеся: это уравнение высших степеней. (учитель около уравнения 2х4 + 3х3 + х2 – 6=0
подписывает: уравнение высших степеней).
Учитель: Итак, что нужно знать об уравнениях высших степеней?
Учащиеся отвечают, опираясь на записи на доске:
1) метод решения;
2) способ нахождения рационального корня многочлена;
3) алгоритм деления многочлена на многочлен;
4) решение уравнения вида:  *  = .
Учитель: Является ли число 2 корнем уравнения 2х4 + 3х3 + х2 – 6 = 0?
Учащиеся: Нет.
Учитель: Почему?
Учащиеся: Р(2) не равно 0.
Учитель: А число 9 является корнем этого уравнения?
Учащиеся: Нет, т.к. 6 не делится на 9 нацело.
Учитель: А число 1 является корнем этого уравнения?
Учащиеся: Да, т.к. Р(1) = 0.
Учитель: Итак, в каком случае натуральное число не является корнем уравнения?
Учащиеся: Если это число не является делителем свободного члена или значение
многочлена при этом значении переменной отлично от 0.
Комментарий. Обобщение знаний учащихся о решении уравнений высших степеней
осуществляется через постановку задания: «Рассказать все о заданном уравнении».
Обобщению подвергаются не только знания, связанные с решением уравнения, но и
название данного типа уравнений, признаки, по которым можно утверждать, что
натуральное число не является корнем данного уравнения. Систематизируются знания
через составление на доске опорного конспекта.
2. Использование методов вынесения за скобки и группировки, тождеств
сокращенного умножения для решения уравнений высших степеней.
а) Актуализация знаний об использовании известных методов разложения на
множители к решению уравнений высших степеней.
Вид доски: 2х4 + 3х3 + х2 = 0
Учитель: Ребята, как решить уравнение такого вида?
Учащиеся: Вынесением общего множителя за скобки.
Учитель: Если вынесем общий множитель за скобки, то какой степени выражение
останется в скобках?
Учащиеся: Второй.
Учитель: Сможем решить полученное уравнение?
Учащиеся: Так как в скобках получится квадратный трехчлен, то данное уравнение
разбивается на два квадратных уравнения, которые мы умеем решать.
Учитель: Хорошо, а какие есть ещё методы разложения многочлена на множители?
Учащиеся: Метод группировки.
Учитель: Можно ли для решения данного уравнения использовать метод группировки?
Учащиеся: Нет.
Учитель: Что мешает решить его методом группировки?
Учащиеся: Мало слагаемых.
Учитель: Как можно получить больше слагаемых?
Учащиеся: Одно слагаемое представить в виде суммы двух других.
Учитель: Какое слагаемое будем представлять в виде суммы двух других?
Учащиеся: 3х3.
Учитель: В виде каких слагаемых?
Учащиеся: 2х3 + х3.
Один ученик работает у доски.
Вид доски: 2х4 + 3х3 + х2 = 0;
2х4 + 2х3 + х3 + х2 = 0;
Учитель: какие слагаемые будем группировать?
Ученик возле доски: 2х4 и 2х3; х3 и х2.
(2х4 + 2х3) + (х3 + х2) = 0;
2х3(х+1) + х2(х + 1) = 0;
(2х3 + х2)(х + 1) = 0;
х2(2х + 1)(х + 1) = 0;
х2 = 0 или 2х + 1 = 0
или х + 1 = 0
х=0
2х = -1
х = -1
х= - ½
Ответ: 0; - ½; -1.
Учитель: Итак, какова тема сегодняшнего урока?
Учащиеся: Решение уравнений высших степеней методом группировки.
Комментарий. Учитель на знакомом уравнении организует повторение известных методов
разложения на множители, что дает возможность акцентировать внимание лишь на
особенность использования метода группировки – предварительное представление одного
из слагаемых в виде суммы двух других. Завершается обсуждение постановкой
учащимися темы урока.
б) Применение метода группировки к решению уравнений высших степеней, когда
образуются группы из трех слагаемых.
Вид доски:
2х4 – х3 + 3х2 – х + 1 = 0.
Учитель: что надо сделать, чтобы решить это уравнение методом группировки?
Учащиеся: Одно из слагаемых представить в виде двух других, так как в данном
уравнении нечетное число членов.
Учитель: Какое слагаемое будем представлять в виде суммы двух других.
Учащиеся: 3х2.
Учитель: В виде каких слагаемых?
Учащиеся: х2 + 2х2.(учитель подписывает под слагаемым 3х2).
Учитель: Поможет это дальнейшему решению?
Учащиеся: Можно сгруппировать слагаемые с одинаковыми коэффициентами в группы
по два слагаемых: 2х4 и 2х2; -х3 и -х; х2 и 1.
Учитель: Можно ли сгруппировать как-нибудь иначе? (пауза) Не по два слагаемых?
Учащиеся: Да, можно группировать по три слагаемых.
Учитель: Кто видит этот способ решения?
Учащиеся поднимают руку, и один ученик выходит к доске, а остальные работают
самостоятельно после демонстрации способа группировки по три слагаемых..
Вид доски:
2х4 – х3 + 3х2 – х + 1 = 0;
2х4 – х3 + 2х2 + х2 – х + 1 = 0;
(2х4 – х3 + х2) + (2х2 – х + 1) = 0;
х2(2х2 – х + 1) + (2х2 – х + 1) = 0;
(х2 + 1)(2х2 – х + 1) = 0;
х2 + 1 = 0
или 2х2 – х + 1 = 0;
2
х = -1
D = 1 – 4 = -3;
нет корней
корней нет.
Ответ: нет корней.
Учитель: Чем данное уравнение отличается от предыдущего?
Учащиеся: Во-первых, в нем мы группировали по три слагаемых, во-вторых, это
уравнение не имеет решений.
Учитель: Чем же помог метод группировки?
Учащиеся: Мы смогли доказать, что уравнение корней не имеет.
Учитель: А если бы использовали старый способ решения уравнений, то что нам
пришлось бы делать?.
Учащиеся: Нам пришлось бы находить значения многочлена при 1, -1, ½ ,- ½.
Комментарий. Учитель организовал поиск способа решения данного уравнения,
сопровождая ответы учащихся соответствующими записями; обсудил два варианта
группировки слагаемых; выявил с учащимися отличия данного уравнения от
предыдущего, тем самым организовал обогащение опыта учащихся. Также была выявлена
ситуация, когда метод группировки помогает доказать, что уравнение корней не имеет.
Установлена связь со старым способом решения уравнений высших степеней через
выявление преимуществ метода группировки.
в) Применение метода группировки к решению уравнений высших степеней, когда в
одной из групп требуется применение тождества сокращенного умножения.
Вид доски:
х5 + 2х4 + 3х3 + 3х2 + 2х + 1 = 0
Учитель: Чем данное уравнение отличается от предыдущих?
Учащиеся: Здесь не требуется одно из слагаемых представлять в виде суммы других.
Учитель: Тогда, какие слагаемые будем группировать?
Учащиеся: х5 и 1; 2х4 и 2х; 3х3 и 3х2.
Учитель: Что даст такая группировка?
Учащиеся: Первую сумму разложим по тождеству сокращенного умножения, и в
остальных группах можно будет выделить (х + 1). (Один из учащихся идет к доске).
Вид доски:
х5 + 2х4 + 3х3 + 3х2 + 2х + 1 = 0;
(х5 + 1) + (2х4 + 2х) + (3х3 + 3х2) = 0;
(х + 1)(х4 – х3 + х2 – х + 1) + 2х(х3 + 1) + 3х2(х + 1) = 0;
(х + 1)(х4 – х3 + х2 – х + 1) + 2х(х + 1) (х2 – х + 1) + 3х2(х + 1) = 0;
(х + 1)((х4 – х3 + х2 – х + 1) + 2х(х2 – х + 1) + 3х2) = 0;
(х + 1)(х4 – х3 + х2 – х + 1 + 2х3 – 2х2 + 2х + 3х2) = 0;
х+1=0
или х4 + х3 + 2х2 + х + 1 = 0;
х = -1
Учитель: Какого вида уравнение получили?
Ученик: уравнение высших степеней.
Учитель: Как будем его решать?
Ученик: раскладываем 2х2 в виде х2 + х2.
(х4 + х3 + х2) + (х2 + х + 1) = 0;
х2(х2 + х + 1) + (х2 + х +1) = 0;
(х2 + 1)(х2 + х + 1) = 0;
х2 = -1
или
х2 + х + 1 = 0;
нет корней
D = 1 – 4 = -3;
нет корней.
Ответ: -1.
Учитель: Чем решение данного уравнения отличается от предыдущего?
Учащиеся: Во-первых, в нем мы использовали тождества сокращенного умножения, вовторых, в нем дважды пришлось применять метод группировки.
Учитель: Чем данное уравнение похоже на предыдущее?
Учащиеся: Во-первых, это уравнение высших степеней, во-вторых, при его решении
возникло уравнение, которое не имеет решений.
Комментарий. Анализ уравнения учитель организовал с помощью выявления отличий
данного уравнения от предыдущего. Поиск способа решения включает два вопроса:
«Какие слагаемые будем группировать, и что даст такая группировка?» При подведении
итогов работы с уравнением обсуждались отличия и сходства с ранее решенным
уравнением, что способствует обогащению опыта учащихся.
3. Подведение итогов и постановка домашнего задания.
Учитель: Что нового мы сегодня узнали о решении уравнений высших степеней?
Учащиеся: Для решения таких уравнений можно использовать метод группировки.
Учитель: С какими случаями столкнулись, когда обращались к этому методу?
Учащиеся: 1) представляли одно слагаемое в виде суммы двух других;
2) группировали по 2 или 3 слагаемых;
3) доказывали отсутствие корней;
4) использовали сразу несколько методов разложения на множители:
вынесение за скобки, группировки, применение тождеств сокращенного
умножения.
Учитель: На дом задание – на карточках.
Комментарий. При подведении итогов урока выделяется главное (новый способ решения)
и обобщаются встретившиеся случаи.