об определяемости универсальных гиперграфических

ОБ ОПРЕДЕЛЯЕМОСТИ УНИВЕРСАЛЬНЫХ
ГИПЕРГРАФИЧЕСКИХ АВТОМАТОВ ПОЛУГРУППАМИ ИХ
ВХОДНЫХ СИГНАЛОВ
Е. В. Хворостухина
Саратовский государственный социально-экономический университет, Саратов, Россия
В настоящей работе рассматриваются так называемые гиперграфические автоматы без выходных сигналов, т.е. автоматы, у которых множества
состояний наделены дополнительной алгебраической структурой гиперграфа. Это достаточно широкий и весьма важный класс автоматов, так как
многообразие таких алгебраических систем охватывает, в частности, автоматы, у которых множества состояний являются плоскостями (например,
проективными или аффинными). Данная работа посвящена исследованию
вопроса о взаимосвязи гиперграфических автоматов с их полугруппами
входных сигналов.
Согласно [1] гиперграфом называется система вида H=(X,L), где X –
это непустое множество вершин гиперграфа, L – семейство произвольных
подмножеств множества X, называемых ребрами гиперграфа.
Гиперграф H=(X,L) называется эффективным, если любая его вершина содержится в некотором ребре этого гиперграфа.
Пусть p – произвольное натуральное число. Гиперграф H будем
называть гиперграфом с p-определимыми ребрами, если в каждом ребре
этого гиперграфа найдется по крайней мере p+1 вершина и, с другой стороны, любые p вершин этого гиперграфа содержатся не более, чем в одном
ребре. Например, эффективный гиперграф с 1-определимыми ребрами –
это гиперграф, ребра которого образуют нетривиальное разбиение множества вершин без одноэлементных классов. С другой стороны, как аффинная, так и проективная плоскости являются эффективными гиперграфами с
2-определимыми ребрами, вершинами которых являются точки этих плоскостей, а ребрами соответствующие прямые (см., например [2]).
Эндоморфизмом гиперграфа H=(X,L) называется преобразование φ
множества вершин X, которое смежные в гиперграфе вершины переводит в
смежные вершины этого гиперграфа, т.е. удовлетворяет следующему
условию: (l  L)(l   L)( (l )  l ) . Множество всех эндоморфизмов гиперграфа H=(X,L) с операцией композиции образует полугруппу End (H).
Под автоматом будем понимать алгебраическую систему
A   X , S ,   , состоящую из множества состояний X, полугруппы входных
сигналов S и функции переходов  : X  S  X , для которой выполняется
равенство:  ( x, st )   ( ( x, s), t ) для любых x  X и s, t  S .
Для каждого s  S определяется соответствующая этому входному
сигналу s функция переходов  s : X  X состояний автомата A , которая
при входном сигнале s указывает новое значение  s ( x)   ( x, s) состояния
автомата A в зависимости от его предыдущего состояния x .
Согласно [3] автомат A  ( X , S ,  ) будем называть гиперграфическим, если множество его состояний Х наделено такой структурой гиперграфа H=(X,L), что при любом входном сигнале s  S функция переходов
 s является эндоморфизмом H. Автомат с гиперграфом состояний
H=(X,L) обозначается A  ( H , End H ,  ) .
Для каждого гиперграфа H естественно определяется гиперграфический автомат Atm( H )  ( H , End H ,  ) с функцией переходов  ( x,  )   ( x) ,
где x  X и   End H . Такой автомат Atm (H ) называется универсальным
гиперграфическим автоматом над гиперграфом H , так как он обладает
следующим универсальным свойством: для всякого гиперграфического автомата A  ( H , S ,  ) существует, и притом единственный, гомоморфизм по
входным сигналам этого автомата в автомат Atm (H ) .
Теорема. Пусть Atm ( H 1 ) , Atm ( H 2 ) – универсальные гиперграфические автоматы над эффективными гиперграфами с p-определимыми ребрами H 1  ( X , L1 ) , H 2  ( X , L2 ) . Пусть в гиперграфе H 2 существует неограниченное множество Y  { y1 , y 2 ,..., y p 1} , в котором все p-элементные
подмножества ограниченны в H 1 . Тогда следующие условия эквивалентны:
End ( H 1 ) – подполугруппа полугруппы
1) полугруппа
End ( H 2 ) ;
2) End ( H 1 ) = End ( H 2 ) ;
3) H 1 = H 2 ;
4) Atm ( H 1 ) = Atm ( H 2 ) .
Следствие. Пусть Atm ( H 1 ) , Atm ( H 2 ) – универсальные гиперграфические автоматы над эффективными гиперграфами с 1-определимыми ребрами H 1  ( X 1 , L1 ) , H 2  ( X 2 , L2 ) , причем гиперграф H 2 имеет по меньшей мере два ребра. Тогда следующие условия эквивалентны:
End ( H 1 ) – подполугруппа полугруппы
1) полугруппа
End ( H 2 ) ;
2) End ( H 1 ) = End ( H 2 ) ;
3) H 1 = H 2 ;
4) Atm ( H 1 ) = Atm ( H 2 ) .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.
Зыков А.А. Гиперграфы. // УМН, 1974. Т.29, №6. С 89-154.
2.
Хартсхорн Р. Основы проективной геометрии. - М.: Мир, 1970. 161 с.
3.
Плоткин Б.И., Гринглаз Л.Я., Гварамия А.А. Элементы алгебраической
теории автоматов. М.: Высшая школа, 1994. 192с.