Комбинаторика-3.

44. Комбинаторика 3.
Занятие посвящено изучению такого комбинаторного объекта как число
сочетаний. Вначале обязательно надо предложить несколько задач на уже
обсуждавшиеся идеи: см. занятия по комбинаторике 1, 2. Литература к теме та
же:
Теоретические сведения и задачи: [8], [9], [10], [20], [33], методические замечания:
[10,с.124-127]. Литература
Задача 1 (Перестановки). Надо рассадить на одной скамейке 5 мальчиков и 5
девочек так, чтобы не было двух рядом сидящих мальчиков и двух рядом
сидящих девочек. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Места на скамейке обозначим клетками
Посадим на нечетных местах мальчиков. Таких всевозможных расположений
мальчиков по нечетным местам будет Р5=5!. Каждому одному из этих
расположений мальчиков будет соответствовать 5! Расположений по четным
местам девочек.  всего различных расположений мальчиков и девочек
окажется 5!5!. Такое же число новых различных расположений на скамейке
получим, если посадим мальчиков на четные места.  рассадить мальчиков и
девочек так, как указано в условии задачи, можно 5!5!2=28800-ю способами.
Задача 2. Из класса, в котором учатся 30 человек, нужно выбрать двоих
школьников для участия в математической олимпиаде. Сколькими
способами это можно сделать?
Решение. Первого ученика можно выбрать 30 способами, второго,
независимо от выбора первого ученика 29 способами. При этом каждая пара
учитывается дважды. Поэтому ответ: 3029/2=435 способов.
Пусть команда состоит из k человек и в классе учится п человек.
Количество способов выбрать команду называется числом сочетаний из п
элементов по k и обозначается С kn . Отсюда понятно, что
С12  2, С 32  3, С1n  n, С nn  1. С 0n  1 .
Определение. Сочетаниями из п элементов по р в каждом называются такие
соединения, из которых каждое содержит р элементов, взятых из числа данных
п элементов, и которые отличаются друг от друга, по крайней мере, одним
элементом.
Свойства: С nnk  C kn , C kn1  C kn  C kn1
Задача 3. Сколькими способами можно выбрать команду из трех школьников в
классе, в котором учатся 30 человек?
Решение. Первого ученика можно выбрать 30 способами, второго  29
способами, третьего  28 способами. Т.о. получаем 302928 вариантов выбора.
Однако каждая команда при этом подсчете учтена несколько раз: одна и та же
тройка учеников может быть выбрана по разному, например сначала А, потом
В, потом С или сначала С, потом А, потом В и т. д. Поскольку число
перестановок из трех элементов равно 3!, то каждая команда учтена нами ровно
3!=6 раз. Поэтому С 330 
С kn
30  29  28  .
3!
Совершенно аналогично может быть получена формула для вычисления
при произвольных п и k:
С kn 
nn  1n  2 ...n  k  1
.
k!
Если домножить числитель и знаменатель на (n k)!, то формула
принимает вид:
С kn 
n!
.
k! n  k !
Задача 4. Сколькими способами можно выбрать 4 краски из имеющихся 7
различных?
Ответ: 35.
Задача 5. В шахматном кружке занимаются 2 девочки и 7мальчиков. Для
участия в соревновании необходимо составить команду из четырех
человек, в которую обязательно должна входить хотя бы одна девочка.
Сколькими способами это можно сделать?
Решение. В команду входит либо одна девочка, либо две. Разберём оба случая.
Если в команде две девочки, то двух мальчиков к ним можно добавить С 72
способами. Если же в команду входит только одна девочка (её можно выбрать
двумя способами), то команду можно дополнить тремя мальчиками С 37
различными способами. Т.о., общее число возможных команд равно.
С 72 +2 С 37 =91.
Задача 6. Рота состоит из трех офицеров, шести сержантов и 60 рядовых.
Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из
офицера, двух сержантов и 20 рядовых.
20
Ответ: 3 С 62  С 60
.
Задача 7. Сколькими способами можно составить комиссию из 3 человек,
выбирая её членов из 4 супружеских пар, но так, чтобы члены одной
семьи не входили в комиссию одновременно.
Указание. Выберите сначала семьи, а потом в каждой паре конкретного
представителя.
Ответ: 2 2 С 34  32.
Задача 8. Из 12 девушек и 10 юношей выбирают команду, состоящую из пяти
человек. Сколькими способами можно выбрать эту команду так,
чтобы в неё вошло не более трех юношей.
5
4
2
2
3
2
Ответ: С12
 10 С12
 С10
 С12
 С10
 С12
 23562 .
Задача 9. На каждом борту лодки должно сидеть по 4 человека. Сколькими
способами можно выбрать команду для этой лодки, если есть 31
кандидат, при чем десять человек хотят сидеть на левом борту лодки,
двенадцать на правом, а девяти безразлично, где сидеть?
0
4
4
2
4
3 1 4
4
Ответ: С10
С94 С17
 С110 С39 С18
 С10
С92 С19
 С10
С9 С 20  С10
С90 С 421  15638850.
Содержание