Оптимизационные модели управления финансовыми ресурсами

Оптимизационные
модели
управления
финансовыми
ресурсами в системах логистики предприятия.
Мищенко А.В.
Карабулина Е.Е.
Введение
В условиях роста экономики и доходов населения перед предприятиями все острее встают
задачи
расширения
производственных
мощностей.
Как
правило,
организациям
приходится выбирать из нескольких проектов по увеличению производственных
мощностей и выбор этот не всегда однозначный. Компании стремятся снизить суммарные
затраты на производство продукции, её транспортировку до конечного потребителя,
складирование и хранение. Один проект может быть привлекателен низкой стоимостью
рабочей силы, а другой – развитой инфраструктурой и, как следствие, меньшими
затратами на доставку продукции. В данной статье будет предложена математическая
модель, помогающая принять решение о выборе между различными проектами на
основании анализа данных о затратах на производство и перевозку продукции, а также
рассмотрено практическое применение этой модели на примере проекта расширения
производственных мощностей пивоваренной компании.
Модель минимизации логистических затрат
Опишем математически задачу о выборе места размещения инвестиций. Данная задача
известна как производственно – транспортная. Введем систему обозначений:
i - индекс поставщика;
j - индекс потребителя;
a i - мощность поставщика i;
b j - потребность потребителя j;
t ij - затраты на перевозку от i-го поставщика к j-му потребителю, складирование и
хранение одной единицы продукции;
s i - затраты на производство единицы продукции в i-ом пункте производства.
С учетом этого постановка задачи будет выглядеть следующим образом. Критерий
оптимальность – минимум суммарных финансовых затрат:
n
m
n
m
 s  x   t
i 1
i
j 1
ij
i 1 j 1
ij
 xij  min
(1)
Суммарный ввоз продукции в каждый из пунктов потребления должен быть равен его
потребностям:
n
x
i 1
ij
 b j , j=1,2,…,m
(2)
Суммарный ввоз продукции из каждого пункта производства должен быть меньше или
равен максимального объема производства данного пункта.
m
x
j 1
ij
 ai , i=1,2,…,n
(3)
В общем случае задача (1)-(3) является задачей линейного программирования, для
решения которой могут быть применены стандартные методы и процедуры.
Рассмотрим методы решения данной задачи для некоторых частных случаев. Далее будем
полагать, что максимальный объем производства в каждом пункте a i превышает или
равен суммарным потребностям всех потребителей. Другими словами удовлетворяет
следующим требованиям:
m
ai   b j , i=1,2,…,n
(4)
j 1
В этом случае может быть использован следующий алгоритм. Для каждого потребителя
выбирается такой поставщик, который обеспечивает минимум затрат на производство
одной единицы конечной продукции и её доставки потребителю. Затем полагается, что
этот поставщик обеспечивает данного потребителя продукцией полностью. Иными
словами, для каждого потребителя j (j=1,2,…,m) определяется:
min( si  t ij ) , j=1,2,…,m
(5)
i=1,2,…,n
Тот поставщик i, на котором реализуется минимум (5) и будет поставлять весь объем
продукции b j
для поставщика j. Рассмотрим пример решения задачи (1)-(4) с
использованием предложенного алгоритма. Пусть есть три производителя продукции и
четыре потребителя:
s1  2; s 2  3 ; s 3 =2.5;
b1 =3; b2 =1; b3 =2; b4 =4;
Матрица затрат на перевозки равна:
 t11 t12

 t 21 t 22
t
 31 t 32
t13
t 23
t 33
t14  1.5 2.1 2.5 3.1 
 

t 24   1.2 2.0 1.2 2.9 
t 34  1.3 1.9 2.3 2.8 
Выберем поставщика для первого потребителя продукции, т.е. j=1. Определим
min( s1  t11 ; s 2  t 21 ; s3  t 31 )  min( 2  1.5;3  1.2;2.5  1.3)  3.5
Это означает, что весь объем для первого потребителя b1 =3 будет поставляться первым
производителем.
Определим поставщика для второго потребителя (j=2):
min( s1  t12 ; s 2  t 22 ; s3  t 32 )  min(2+2.1; 3+2; 2.5+1.9)=4.1
Из последнего соотношения следует, что второму потребителю весь объем продукции
b2 =1, также будет поставлен первым производителем. Аналогично посчитаем объем
поставок от каждого производителя для третьего и четвертого потребителей. Для третьего
потребителя объем поставок b3 =2 будет выполнен вторым производителем, а для
четвертого потребителя весь объем продукции b4 =4 будет поставлен третьим
поставщиком. Очевидно, что предложенная вычислительная процедура эффективнее в
вычислительном отношении, чем симплекс-метод, применяемый для решения общих
задач линейного программирования.
Рассмотрим ситуацию, когда ограничены финансовые ресурсы для создания (расширения)
производственной мощности для каждого производителя, т.е. вводим ещё одно
ограничение:
n

i 1
i
 xi  F
(6)
Здесь  i - это затраты для создания единичной мощности производства в пункте i
(i=1,2,…,n). Кроме того, будем считать, что ограничение (4) в общем случае не
выполняется. В этом случае задача (1)-(3), (6) может быть решена средствами Microsoft
Excel (при помощи встроенной функции «Поиск решения»). В некоторых случаях
потребности в продукции b j (j=1,2,…,m) могут быть заданы не в натуральных единицах,
а, например, в количестве полностью загруженных транспортных единиц (грузовиков,
контейнеров, вагонов и т.д.). В этом случае на x ij накладываются ограничения
целочисленности вида:
xij  0 ; xij  I , i=1,2,…,n, j=1,2,…,m
(7)
Где I- множество целых чисел.
В такой постановке для решения задачи (1)-(3),(6),(7) может быть использована
следующая схема метода ветвей и границ, которая включает в себя три шага.
ШАГ 1. Вычисляется нижняя оценка значения целевой функции (1) задачи (1)-(3),(6),(7)
на оптимальном решении Fн . Для этого решается непрерывная задача (1)-(3),(6).
ШАГ 2. Вычисляется верхняя граница целевой функции (1) задачи (1)-(3),(6),(7) на
оптимальном решении Fв . Для этого выбирается некоторое допустимое решение задачи
(1)-(3),(6),(7) и вычисляется на этом допустимом решении значение целевой функции (1).
При выборе этого допустимого решения может быть использована процедура,
применявшаяся при решении задачи (1)-(4).
Если Fн  Fв , то задача решена. В противном случае переходим к шагу 3.
ШАГ 3. Вычисление текущих нижних оценок при формировании очередного допустимого
решения. Эти оценки вычисляются по следующей формуле:
n
m
i 1
j 1
n
m
н
Fтек
(b1' ,..., bm' )   si  xi'   t ij  xij'  Fн (b j  b 'j )
i 1 j 1
(8)
В формуле (8) первые два слагаемые – это затраты на производство и доставку продукции
в объеме b 'j (b 'j  b j , j  1,2,...m) для частного решения задачи (1)-(3),(6),(7); Fн (b j  b 'j ) это минимально возможные затраты на производство и доставку продукции потребителям
в объеме b j  b 'j . Итак, вычисляем Fн (b j  b 'j ) ) (j=1,2,…m) путем решения непрерывной
задачи (1)-(3),(6) при условии, что объемы поставки потребителям равны b j  b 'j .
н
(b1' ,..., bm' )  Fв , то формирование текущего плана производства и перевозок
Если Fтек
н
(b1' ,..., bm' )  Fв , то для очередной единицы продукции
прекращается. Если же Fтек
выбирается производитель, после чего снова вычисляется значение
н
Fтек
(b1'' ,..., bm'' )
н
прекращается, если полностью
(b 'j  b 'j' , j  1,2,..., m) . Процедура вычисления Fтек
сформирован план производства и поставки продукции для всех потребителей в объеме
(b1 ,..., bm ) . Если значение целевой функции F * на этом решении меньше, чем Fв , то далее
полагаем, что Fв = F * .
Метод прекращает работу, когда при очередной корректировке Fв получим, что Fв = Fн
или после того, как все варианты формирования планов по производству и поставке
продукции рассмотрены. В качестве оптимального выбирается тот план, который
соответствует наименьшему значению Fв .
Рассмотрим, как повлияет на решение задачи (1)-(3),(6),(7) рост затрат на производство и
транспортировку продукции (например, инфляция). Перепишем целевую функцию в
виде:
n
m
i 1
j 1
n
m
 si  xij   tij  xij  min
(1)
i 1 j 1
Обозначим множество всех допустимых решений задачи (1 )-(3 ),( 6),(7) через
1
1
 x11
x12
... x11n 
 1

1
1
x
x
...
x

22
2n 
X  x1 , x 2 ,..., x N , где x1   21
.
...
...
...
...


 x1 x1 ... x1 
m2
mn 
 m1
Пусть затраты на производство и транспортировку продукции растут вместе с инфляцией
линейно по следующему закону:
si ( )  si (0)   i  si (0)  


t ij ( )  t ij (0)   ij  t ij (0)  
Где,
si ( ) - стоимость производства единицы продукции в пункте при уровне инфляции  (в
долях);
t ij ( ) - стоимость перевозки одной единицы продукции от поставщика i потребителю j
при уровне инфляции  (в долях);
 i - коэффициент интенсивности роста затрат при производстве единицы продукции в
пункте i при уровне инфляции  (в долях);
 ij - коэффициент интенсивности роста затрат при транспортировке единицы продукции
от поставщика i потребителю j при уровне инфляции  (в долях);
Введем функцию f k ( ) (k=1,2,…,N) следующего вида:
n
m
i 1
j 1
n
m
f k ( )   (si (0)   i  si (0)   )   xijk   (t ij (0)   ij  t ij (0)   )  xijk
i 1 j 1
Т.е. f k ( ) - это значение целевой функции (1) задачи (1)-(3),(6),(7) на допустимом
df k ( ) df q ( )
.

df
df
Следовательно, x k находится правее x q в списке X  x1 , x 2 ,..., x q ,..., x k ,..., x N .
Пусть x l является оптимальным решением задачи (1)-(3),(6),(7) при  =0. Тогда при росте
инфляции  , начиная с некоторого  P ( P  l ) , значение целевой функции (1) будет ниже
на решении x P чем на решении x l , т.е f P ( P )  f l ( P ). Это значение  P вычисляется
путем решения следующего линейного уравнения относительно  P :
решении x k  X . Упорядочим X таким образом, что при k > q,
n
m
n
m
 (si (0)   i  si (0)   P )   xijl   (tij (0)   ij  tij (0)   P )  xijl 
i 1
j 1
i 1 j 1
n
m
n
i 1
j 1
m
  (si (0)   i  si (0)   p )   xijP   (t ij (0)   ij  t ij (0)   P )  xijP
(9)
i 1 j 1
можно решить для всех x P ( P  l  1, l  2,..., N ) и выбрать
 *  min(  P )   g , где ( P  l  1, l  2,..., N ) ) и g > l. При уровне инфляции  g
оптимальным станет решение x g . Продолжая эту процедуру, мы получим разбиение
интервала изменения инфляции   (0; ) на конечное число интервалов M ( M  N  1) ,
на каждом из которых остается оптимальным один и тот же план производства и
транспортировки продукции поставщиками. График оптимального значения целевой
функции при изменении инфляции будет выглядеть следующим образом (см. рис.1.)
Уравнение
(9)
Рис. 1. Пример разбиения интервала изменения инфляции   (0; ) на области
устойчивости для оптимальных решений при M=3.
В некоторых случаях фирма заинтересована в оптимизации валовой прибыли с учетом
производственных и логистических затрат. Для этих целей можно воспользоваться
моделью многопродуктовой оптимизации размещения производства с учетом
логистических затрат, которую можно описать следующей системой уравнений:
L
n
 a
l 1 i 1
n
t
i 1
jm
i
k
k
l
i
x
m 1
j 1
jl
i
L
n
j
j 1 i 1
M
j
k
k
j
 xij  
d  S
j 1
n
k
j
 x   bi  xi   t i  xi   Z пост
 max
l
i
jm
j 1 l 1 i 1
 y jm
M
 y jm   y jm  
 xil  pt il
jl
(10)
j 1
(11)
k
m
jl
jm
F
(12)
j 1 m 1
(13)
L
x
l 1
jl
i
 xij
(14)
xijl  0; y jm  0; y jm  I
(15)
i = 1,2, ... ,n j = 1,2, ... ,k 1 = 1,2, ... ,L m = 1,2, ... ,М
(16)
Где i = 1,2, ... ,n - количество видов производимой продукции, j = 1,2, ... ,k - число пунктов
производства, 1 = 1,2, ... ,L - число пунктов потребления, т = 1,2, ... ,М - число видов
оборудования. Соответственно:
x i jl - объем производства продукции вида i в пункте j для пункта потребления l
x ij - объем производства продукции вида i в пункте j
xil - объем поставок в пункте потребления 1 продукции вида i
y jm - число единиц оборудования вида m в пункте производства j
d j - цена одной единицы производственной площади в регионе j
S m - производственная площадь необходимая для установки
оборудования вида m
pt il - спрос на продукцию i в пункте потребления 1
одной
единицы
t i jm - время, затрачиваемое на производство продукции вида i в пункте j на оборудовании
вида m.
L
n
Целевая функция (10) состоит из выручки по пунктам продаж ( ail  xil ) , переменных
l 1 i 1
k
n
затрат по пунктам производства ( bi j  xij ) , затрат на перевозку, складирование и
j 1 i 1
k
l
n
k
j
хранение готовой продукции ( t ijl  xijl ) и постоянных затрат ( Z пост
) . Таким
j 1 l 1 i 1
j 1
образом, найдя максимум этой целевой функции, мы решим задачу оптимизации валовой
прибыли предприятия.
Однопериодная модель инвестирования в основной капитал предприятия.
Одной из задач логистического сервиса является достижение конкурентного
преимущества всех его элементов. По данным отечественных и зарубежных
консалтинговых агентств, рост рынка логистических услуг в до кризисный период
составил более 7 % в год. Вместе с этим растет и эффективность инвестиций в объекты
логистического сервиса, в частности, доходность капитальных вложений в складскую
недвижимость в докризисный период составила около 20 % [1].
В период 2008-2009 гг в связи с экономическим кризисом достижение приемлемой
эффективности инвестиционных проектов может быть достигнута на основе тщательной
аналитической проработки вопросов финансирования строительства и модернизации
объектов в этой области.
Подобный анализ в современных условиях возможен только на основе описания сложных,
многофакторных
и
стохастических
процессов
(материальных,
финансовых,
информационных и т.д.) На основе этого анализа могут быть разработаны
оптимизационные модели и методы, являющиеся методологической основой при
выработке окончательного управленческого решения. В данной работе предлагаются
некоторые подходы для количественной оценки эффективности инвестиционных
проектов в системах логистики.
Рассмотрим однопериодную модель проекта создания нового производственного
предприятия, выпускающего n видов конечной продукции. В условиях ограничений на
инвестиционные ресурсы в качестве критерия примем валовую прибыль, полученную в
результате функционирования предприятия за вычетом средств, затраченных на
строительство или покупку производственных помещений и оборудования. Формализация
данной модели заключается в следующем:
n
k
k
i 1
p 1
p 1
 (ai  bi ) xi  z пост  (1d  y p S p   2  y p p )  max
n
x t
i ip
i 1
(17)
 y p p , p  1,..., k
k
k
p 1
p 1
(18)
  y p S p   y p p  F
(19)
xi  pt i , xi  0 , xi  Z , i=1,2,…,n
В модели (1)-(4) были использованы следующие обозначения:
a i - цена продажи единицы продукции вида i;
(20)
bi - переменные затраты при выпуске единицы продукции вида i;
z пост - постоянные затраты;
 1 - коэффициент износа производственных мощностей ( 0  1  1);
 2 - коэффициент износа оборудования ( 0   2  1 );
d – стоимость одного квадратного метра производственной площади;
Z – множество целых чисел;
xi - объем выпуска продукции вида i;
t ip - норма времени затрат оборудования вида p при выпуске продукции вида i;
 p - эффективное время работы оборудования вида p (p=1,2,…,k);
y p - количество единиц оборудования вида p;
- производственная площадь, необходимая для
оборудования вида p;
 p - цена одной единицы оборудования вида p;
F – объем инвестиций;
pt i - спрос на продукцию вида i;
Sp
установки одной единицы
Многопериодная модель инвестирования в основной капитал предприятия
Ниже будет рассмотрено обобщение модели (1 )-(4) в условиях, когда спрос на каждый
вид выпускаемой продукции изменяется на различных периодах проекта и
дисконтирования финансовых потоков.
(ait  bit ) xit T


(1  k ) t
t 1 i 1
t 1
T
n
n
t
i 1
 1
k
k
p 1
p 1
(d t  S p y tp   y p  tp )
(1  k ) t
t
z пост

 max
t
t 1 (1  k )
T
 xit t ip   y p tp , p=1,2,…,k, t=1,2,…,T
k
k
p 1
p 1
d t  y tp S p   y tp  tp  F t , t=1,2,…,T
xit  pt it , xi  0 , xi  Z , i=1,2,…,n, t=1,2,…,T
В этой модели были использованы следующие обозначения:
ait - цена реализации единицы продукции вида i на периоде времени t;
(21)
(22)
(23)
(24)
bit - переменные затраты при выпуске единицы продукции вида i на периоде времени t;
xit - объем выпуска продукции вида i на периоде времени t;
k - ставка дисконтирования;
d t - стоимость строительства или покупки одного квадратного метра производственной
площади на периоде времени t;
S p - производственная площадь, необходимая для установки одной единицы
оборудования вида р;
y tp - количество единиц оборудования вида р, устанавливаемых на периоде времени t;
 tp - стоимость одной единицы оборудования вида р на периоде времени t;
z пост - постоянные затраты на периоде времени t;
t ip - время работы оборудования вида р для выпуска продукции вида i;
 tp эффективное время (время использования в производственном процессе) оборудования
вида р на периоде времени t;
F t - объем инвестиций на периоде времени t;
pt it - спрос на продукцию вида i на периоде времени t;
Z - множество целых чисел.
Анализ устойчивости и чувствительности в модели проекта создания
производственного предприятия
Рассматривая решение задачи (17)-(20), которое задает оптимальную программу
x опт  ( x1опт ,..., x nопт ) и структуру активной части основных фондов, т.е. набор
производственного оборудования y  ( y1 ,..., y k ) , можно поставить вопрос о том,
насколько можно увеличить цену на конечную продукцию a i , которая зависит от
инфляции по закону ai ( )  ai (0)  ni ai (0) , чтобы сохранила оптимальность
производственная программа. Здесь  - инфляция в долях; ai (0) - цена продукции вида i
на текущий момент времени; n i - коэффициент роста цены, зависящий от вида впускаемой
продукции.
Пусть x1 ,..., x N - множество допустимых производственных программ. Обозначим через
 i ( ) - значение долевой функции (1) при уровне инфляции  на производственной
программе x i (i=1,2,…,N).
Очевидно, что при росте инфляции переход с производственной программы x опт на
какую-либо программу x k возможен только в том случае, если ( k ( )' )  ( опт ( )' ) , где
 опт ( ) - значение функции (17) на решении x опт при инфляции  .
Точка перехода определяется при решении уравнений:
(25)
 опт ( )    ( ) j : ( j ( ))'  ( опт ( ))' .
Выбрав минимальное решение в (25) получим точку перехода к новой оптимальной
производственной программе.
Учитывая линейность роста цен от инфляции легко видеть, что число переходов будет
конечно при    , а следовательно, весь интервал изменения инфляции можно разбить
на отрезки, при изменении инфляции на каждом из которых будет оставаться
оптимальной одна производственная программа.
Аналогичное утверждение может быть оформлено и для многопериодной модели (21)(24).
Рассмотрим чувствительность решения к изменению объема выпуска продукции с
учетом налога на прибыль. В этом случае целевая функция (21) будет иметь следующий
вид:
k
k


t
(
d
S
y

y p  tp ) T

t p p
 T n (a t  b t ) x t
t
T
z пост 
p 1
p 1
i
i
.
F ( x)  (1  rp )  i




t
 t 1 i 1 (1  k ) t
(1  k ) t
t 1
t 1 (1  k ) 




1
1
2
2
T
T
Здесь x  ( x1 ,..., x n , x1 ,..., x n , x1 ,..., x n ) задает производственные программы для периодов
t=1,2,…,T;
rp - налог на прибыль в долях.
Тогда при изменении выпуска на периоде t на одну единицу продукции вида i значение
целевой функции изменится на величину:
F ( x) (ait  bit )

 (1  rp ) .
xit
(1  k ) t
Модель оптимизации управления инвестициями в оборотный капитал торговой
фирмы
Рассмотрим задачу формирования портфеля оптовых закупок товаров торговой фирмой.
Пусть на складе фирма может приобрести оптом товары n видов. Товары могут
приобретаться партиями объема не менее  i единиц, а объем товаров вида i на складе
задан величиной Vi . Цена оптовой закупки товаров вида i составляет  i за единицу.


Розничная цена продажи товаров вида i может изменяться на интервале  i   i1 ;  i2 . При
этом  i   i1 (i=1,2,…,n). Интенсивность реализации товара i в торговой сети равна
 i (t ) при цене  i1 , а если  i   i1 , то интенсивность реализации товара i задается
следующим образом:
~i (t )   i (t )  (  i   i1 )  k i ,
где k i - коэффициент влияния на снижение интенсивности продаж при увеличении цены
на товар i в розничной сети.
Очевидно, должно выполняться неравенство:  i (t )  (  i2   i1 )  k i .
Пусть объем оборотного капитала фирмы равен F, который она использует для оптовой
закупки товаров, которые должны быть реализованы на интервале времени 0, - неделя,
месяц, квартал и т.д. Необходимо приобрести такие виды товаров, которые должны быть
полностью проданы на интервале 0,  и при этом дали бы максимальный прирост
оборотного капитала F. Приведем формализованную постановку этой задачи.
V
Обозначим k i  i - число минимальных партий товара i-гo вида на складе. Необходимо
i
максимизировать функцию:
n
n
i 1
i 1
 xi i  i  ( F   xi i i )  max
(26)
При ограничениях:
T
xi i   ~i (t )dt ,
(27)
0
0  xi  k i , xi  Z , i=1,2,…,n
(28)
  i  
(29)
1
i
2
i
Здесь целевая функция (26) состоит из двух слагаемых. Первое из них
n
 x 
i 1
i
i
i
- задает
n
выручку от реализации закупленных оптом товаров n видов. Второе: F   xi i i - это
i 1
остаток финансовых средств после того как сформирован оптовый портфель закупок.
Ограничение (27) означает, что весь закупленный товар должен быть продан в розничной
сети за период времени (0,T).
Ограничение (28) говорит о том, что нельзя приобрести товара вида i больше, чем
существующий на складе объем.
Ограничение (29) задает диапазон изменения розничных цен на все товары.
Рассмотрим алгоритм решения задачи (26)-(29), который будет состоять из двух этапов.
На первом этапе методом ветвей и границ определяется оптимальное решение задачи (26)(29) при розничных ценах  i2 ,  i1 .
На втором этапе будет предложена процедура локальной оптимизации полученного на
первом этапе решения путем варьирования розничной ценой.
Итак, рассмотрим алгоритм решения задачи (26)-(29) с использованием метода ветвей
границ.
Шаг 1. Вычисление верхней оценки оптимального решения задачи (26)-(29). Для
вычисления верхней оценки целевой функции (26) не будем учитывать ограничения на то,
что при оптовой покупке товары должны приобретаться партиями объемом  i (i=l,...,n),
считая, что их можно купить в любом объеме. Далее предположим, что товары
пронумерованы
в
порядке
убывания
величины
i
(i=l,...,n).
i
Тогда
стратегия
формирования оптимального портфеля оптовых закупок будет состоять в том, что
необходимо сначала купить максимально возможное количество товара первого вида (но
T
не больше чем
  (t )dt ),
i
затем второго вида и т.д. пока не будут израсходованы все
0
средства. Обозначим эти объемы закупок W1 ,...,Wn . Легко видеть, что целевая функция на
этом портфеле закупок будет равна
n
W 
i 1
i
i
и ее значение будет не меньше, чем на любом
формируемом портфеле закупок задачи (26)-(29).
Шаг 2. Вычисление нижней оценки.
В качестве нижней оценки S н может быть взято значение целевой функции на
произвольно формируемом решении задачи (26)-(29). Это может быть, например,
решение, состоящее в том, что сначала покупается максимально возможное количество
партий товара первого вида, затем второго и так далее, вплоть до того, когда все деньги
будут израсходованы, либо остаток финансовых средств будет такой, что ни одну партию
никакого товара на эти деньги купить уже невозможно. Если значение нижней оценки S н
будет равно значению верхней оценки, т.е. S н = S в , то оптимальное решение построено.
Шаг 3. Вычисление текущей верхней оценки.
Выбирается какой-либо вариант оптовых закупок и оптимизируется текущая верхняя
оценка каждый раз после того, как было определено количество закупленного товара, т.е.:
N
S втек ( I )  ~ j  j  S в ( ) ,
(30)
I
jI
где S втек (I ) - значение текущей верхней оценки, когда определены множество I
закупаемых товаров и ~ j ( j  I ) - объемы товаров из этого множества;
~ 
j
jI
j
- деньги, полученные от реализации товаров в объеме ~ j ;
N
N
) - верхняя оценка целевой функции (26) на множестве товаров ( ) .
I
I
тек
Если S в (I )  S н то дальнейший анализ текущего варианта оптовых закупок
прекращается.
Если S втек (I ) > S н , то выбирается еще один вид товаров, вычисляется S втек ( I 1 ) , где I  I1 ,
Sв (
и сравнивается с S н . Продолжая этот процесс, получим, что, либо на каком-то этапе
вычисления S втек ( I k ) станет меньше или равна S н (в этом случае данный вариант
портфеля отвергается), либо будет построен новый вариант закупок, целевая функция
которого, и S * > S н . В последнем случае в качестве нижней оценки S н принимаем
значение S * . Далее продолжим анализ оставшихся вариантов оптовых закупок по методу,
изложенному в шаге 3.
Если в процессе анализа вариантов оптовых закупок окажется, что S н = S в , то вариант
закупок, соответствующий S н будет оптимальным. В противном случае, после того как
проанализированы все возможные варианты закупок, в качестве оптимального варианта
выбираем тот, который соответствует последнему (наибольшему) значению S н .
После того, как получено решение задачи (26)-(29) при розничных ценах  i   i1 ,
переходим ко второму этапу решения задачи (26)-(29).
Пример расчета логистических затрат компании.
Теперь рассмотрим применение описанной модели на примере проекта расширения
производства пивоваренной компании. При сравнении плана продаж (рис. 2) с
существующими производственными мощностями стала очевидной их недостаточность
для удовлетворения спроса по бутылочной линии, что может привести уже в следующем
году к потере продаж в наиболее привлекательном сегменте лицензионных брендов.
Прогноз продаж по регионам, тыс. л
Регион
2011
2012
2013
2014
2015
Экспортный
18273787
21353557
23382205
24225505
26518449
Восточный
28170890
36550366
38826882
40204105
44198572
Дальневосточный
11815150
13919974
16451848
17433502
18687824
Центральный
93612945
105459235
113899480
111222463
116512672
Северный
11135966
13309761
14466860
15508532
17159645
Южный
18487880
23547284
25139426
29598582
38072336
Поволжье
13933629
16468375
22734650
23674347
26394073
Сибирский
19317067
23927 318
24722812
27757528
30112653
Уральский
11934861
13183058
14519595
15082102
16265126
Всего 226682174
267718929
294143759
304706665
333921349
"
Рис. 2. Прогноз продаж бутылочного пива 2011-2015 гг.
Для удовлетворения потребительского спроса предприятие планирует приобрести
дополнительную конвейерную линию мощностью 100 000 000 л/год. При этом у руководства
компании есть два проекта расширения производства:
1. - на заводе в Москве, после чего распределение мощностей составит («Проект А»):
•
Московский завод (138000000 + 100000000 = 238000000 л/год)
• Екатеринбургский завод (100 000 000 л/год);
2. - на заводе в Екатеринбурге, после чего распределение мощностей составит («Проект Б»):
• Московский завод (138 000 000 л/год)
• Екатеринбургский завод (100 000 000 + 1 00 000 000 = 200 000 000 л/год);
С учетом существующей производственной схемы процент потребляемых мощностей в
Москве на данный момент больше, чем в Екатеринбурге, однако регионы Сибири растут
большими темпами по сравнению с Центральной Россией, а стоимость перевозок туда из
Москвы значительно превышает стоимость аналогичных перевозок из Екатеринбурга.
Поэтому вопрос о месте размещения инвестиции не совсем очевиден и требует экономикоматематического анализа. Именно от его правильного выбора будет зависеть стоимость
транспортных издержек от пункта производства до региональных дистрибьюторов, которые
являются собственными расходами компании и существенно повлияют на оттоки денежных
средств. Необходимо для каждого варианта размещения инвестиции определить такую
оптимальную схему привязки регионов к пунктам производства, при которой показатель
суммарных расходов на производство и отгрузку продукции будет минимальным.
Для решения поставленной задачи воспользуемся инструментарием MS Excel. В пределах
одного региона вариация тарифов для разных городов может оказаться значительной,
поэтому стоимость транспортных расходов от производственной площадки до дистрибьютора
была рассчитана как усредненная по всем городам данного региона и сведена в таблицу
(Рис.3).
Регион
Экспортный
Восточный
Дальневосточный
Центральный
Северный
Южный
Поволжье
Уральский
Транспортный тариф,
tij, руб/литр
Производственная
себестоимость, Si,
руб/литр
Общие издержки
(tij+Si), руб/литр
Москва
0,68
1,05
3,26
0,22
1,23
1,07
1,39
1,4
Москва
9,3
9,3
9,3
9,3
9,3
9,3
9,3
9,3
Москва
9,9806
10,3507
12,5619
9,5249
10,5299
10,3717
10,6948
10,7038
Екатеринбург
1,78
0,38
2,23
2,17
4,96
3,1
0,3
0,45
Екатеринбург
8,9
8,9
8,9
8,9
8,9
8,9
8,9
8,9
Екатеринбург
10,68
9,2829
11,1291
11,0749
13,8597
11,9956
9,1956
9,3543
Рис. З. Транспортные тарифы и затраты на производство.
Расчет оптимального выбора схемы прикрепления дистрибьюторов к пунктам потребления и
соответствующей оценки загруженности производственных мощностей проводится на весь
рассматриваемый период в «ценах нулевого года». Т.е. поправка на увеличение транспортных
тарифов и производственной себестоимости с учетом инфляции по годам здесь не
учитывается, т.к. делается допущение, что увеличение всех тарифных ставок будет
изменяться
линейно
относительно
начальных
с
одинаковым
коэффициентом
пропорциональности вне зависимости от вида грузоперевозок, что не приведет к изменению
оптимального решения.
Для первого года и варианта размещения инвестиции в Москве проведем расчеты с помощью
встроенной функции MS Excel - «Поиск решения». Запишем в табличном виде задачу (1)-(3)
для «Проекта А» и первого расчетного года (2011), результат представлен на рис 4.
Переменные
Ограничения
xi1
x1j
x2j
xi2
18 273 787
-
-
x3j
x4j
x5j
x6j
28 170 890
11 815 150
93 612 945
11 135 966
18 487 880
Знак
<=
Тарифы
13 933 629
19 317 067
11 934 861
141 510 577
Правая
часть
11 815 150
93 612 945
11 135 966
18 487 880
-
-
x7j
x8j
x9j
Пев.часть
Пев.часть
18 273 787
28 170 890
13 933 629
19 317 067
11 934 861
Знак
Прав.часть
18 273 787
28 170 890
=
=
=
=
=
=
=
=
=
11 815 150
93 612 945
11 135 966
18 487 880
13 933 629
19 317 067
11 934 861
85 171 597
<=
238 000 000
xi1
226 682 174
100 000 000
338 000 000
БАЛАНС
xi2
x1j
9,981
x2j
10,351
10,68
9,283
x3j
12,562
11,129
x4j
9,525
11,075
x5j
10,53
13,86
x6j
10,372
11,996
x7j
10,695
9,196
x8j
11,92
10,032
x9j
10,704
9,354
Целевая функция
Значение
2 209 596 518
Направление
min
Рис. 4. Решение задачи оптимизации с использованием MS Excel.
На рис. 4 можно видеть, что данные о тарифах занесены в матрицу с коэффициентами,
ограничения в виде равенства наложены справа спроса, снизу - на максимальный объем
производства в виде знака <=. Решения по последующим годам и «Проекту Б» размещения
инвестиции проведены аналогичным образом. Сведем результаты в общую таблицу (см.
рис.5).
2011
2012
2013
2014
2015
2 209 596
2 615 300
2 886 154
3 001 708
3 303 283
518
042
021
899
843059
2
308
404
2
632
602
2
908
116
3
021
274
3 336
Проект Б
444
288
418
522
489
Т.о. получаем, в случае реализации «Проекта А», т.е. строительства новой линии в Москве
суммарные затраты составят 11 806 446 805 руб. А в случае размещения линии в
Екатеринбурге - 14206457 161 руб.
В заключении отметим, что данную методику можно применять как дополнение к
классическим методам оценки эффективности проектных инвестиций, таким как оценка
чистой приведенной стоимости, оценка внутренней нормы доходности, периода окупаемости
и т.д. В тоже время ей можно пользоваться в случае решения узкоспециализированных задач,
например задачи снижения издержек на производство и транспортировку готовой продукции.
Проект А
Литература
1. Корпоративная логистика. Под ред. Д.т.н. В.И.Сергеева М., ИНФРА-М, 2004
2. Д.Сток, Д.Ламберт Стратегическое управление логистикой М., ill-:IФРА- М,2005
3. Мищенко А.В. Косоруков О.А. Исследование операций М. Экзамен, 2003.