Министерство общего и профессионального образования Свердловской области

Министерство общего и профессионального образования Свердловской области
ГБОУ СПО СО Техникум индустрии питания и услуг «Кулинар»
Рассмотрено на МК
«___»________2012 г.
Руководитель МК
_____________________
Е.В.Костылева
УТВЕРЖДАЮ
Зам. директора по УР
Т.Ю.Полякова
«___»________2012г.________
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к выполнению практических работ
по дисциплине Математика для студентов 2 курса и базыц НПО
специальности 260807 - Технология продукции общественного питания,
100114 – Организация обслуживания на предприятиях общественного питания
Разработчик: преподаватель
ТИПУ «Кулинар»
Е.В.Костылева
Екатеринбург, 2012
ПЕРЕЧЕНЬ ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Тема практической работы
Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Решение систем линейных неравенств графическим методом
Вычисление матрицы, обратной данной
Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными
Решение задач линейного программирования
Решение транспортной задачи
Формулы комбинаторики
Вычисление вероятностей события
Операции над событиями
Вычисление числовых характеристик случайных величин
Вычисление числовых характеристик выборки
Построение рядов распределения статистических данных
Графическое изображение статистических данных
Показатели вариации
Ряды динамики
2
Практическая работа № 1
Тема: Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Цель: 1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и
способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и
качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за
них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
2) Закрепить умения решения систем двух линейных уравнений методом подстановки, алгебраического сложения, графическим методом.
Ход работы:
I. Решить задачи
1. Решить системы уравнений методом подстановки, алгебраического сложения, графическим методом:
Вариант I
Вариант II
5 х  2 у  7
3 х  4 у  25
1) 
8 х  4 у  7
4 х  2 у  9
2 х  3 у  3
 6 х  9 у  9
2) 
3) 
2 х  4 у  14
4 х  3 у  27
3) 
2. Построить графики функций
Вариант I
1) у  2 х  4
Вариант II
1) 2 х  4 у  0
1) 
2 х  3 у  17
5 х  у  7
2) 
2) у  
3)
3 х  5 у  14
2 х  4 у  20
1
х8
2
2) 3 х  4 у  8  0
х у
 1
2 3
х
4
y
2
3)   1
II. Сформулировать вывод (в выводе изложить суть метода подстановки, алгебраического сложения, графического метода) решения систем двух линейных
уравнений с двумя неизвестными
3
Методические рекомендации к практической работе № 1
Тема: Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными
1) При решении системы уравнений методом подстановки необходимо из
одного уравнения выразить переменную х или у и подставить это выражение в
другое уравнение, решить систему и сделать проверку. Проверка делается путем подстановки полученных данных в исходную систему уравнений.
2) При решении системы уравнений методом алгебраического сложения
необходимо уравнять коэффициенты перед неизвестными путем домножения
или деления, сложить или вычесть уравнения, решить полученное уравнение, затем найти все переменные системы.
3) Для решения системы уравнений графическим методом необходимо построить графики заданных прямых и найти координаты точки их пересечения,
согласно выбранному масштабу, и записать их в ответ. Для получения более
точных результатов решения, систему уравнений необходимо решить одним из
алгебраических методов (подстановки или сложения).
4) Чтобы построить графики прямых линий, необходимо задать числовые
значения х и вычислить значение у, результаты записать в виде таблицы и построить графики. Для построения прямой достаточно двух точек.
4
Оценочный лист
Практическая работа № 1
Тема: Решение систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование информации,
необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач,
профессионального
и личностного развития
1. Владеет терминологией по теме.
2. Владеет символикой по теме работы.
3. Владеет навыками построения графика линейной функции в общем виде.
4. Владеет методом алгебраического сложения.
5. Владеет методам подстановки.
6. Владеет графическим методом решения системы линейных уравнений.
7. Умеет определять взаимное расположение прямых на плоскости.
8. Умеет определять количество решений системы.
9. Владеет вычислительными навыками.
10.
Владеет методом решения линейного уравнения.
1. Решает задачи по плану.
ОК 2. Организовы- 2. Предлагает свои методы решения задач.
вать собственную 3. Правильно применяет метод алгебраического
деятельность, вы- сложения при решении системы.
бирать типовые ме- 4. Правильно применяет метод подстановки.
тоды и способы вы- 5. Правильно строит графики линейных функций.
полнения профес- 6. Определяет координаты точки пересечения
сиональных задач, прямых по масштабу чертежа.
оценивать их эф- 7. Проверяет решение системы дополнительными
фективность и ка- операциями.
чество.
8. Полностью решает решение задач.
9. Разрабатывает свой план решения задачи.
10. Применяет оптимальные решения системы.
11. Формулирует вывод по задаче.
12. Формулирует вывод по практической работе.
ОК 3. Принимать
1. Самостоятельно формулирует проблему.
решения в стан-2. 2.Самостоятельно решает проблему поиска решедартных и нестанния системы.
дартных ситуациях3.
3.Понимает значимость выполняемой работы.
и нести за них от-4.
4.Оценивает результаты своего труда.
ветственность. 1. 5.
Оформляет работу, согласно требованиям.
ОК 8 Самостоя2. 6.Оформляет задачи, согласно требованиям.
тельно определять
3. 7.Адекватно реагирует на замечания.
задачи профессио4. 8.Самостоятельно решает задачи.
нального и лич- 9.Использует источники информации.
ностного развития,
заниматься самооб5
Наличие компетенций
разованием,
осознанно планировать
повышение квалификации.
ИТОГО:
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 62 баллов
91%-100% - «5» 56-62баллов
75%-90% - «4» 46-55 баллов
61%-74% - «3» 37-45 баллов
0%-60% - «2» 36 баллов
6
Практическая работа № 2
Тема: Решение систем линейных неравенств графическим методом.
Цель: 1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
2) Закрепить умения решения системы линейных неравенств графическим методом.
Ход работы:
I. Решить задачи
Найти область решения системы
Вариант I
1)
Вариант II
2 х  у  1

1)  у  х  1
 х  0; у  0

2 х  14 у  14

2) 4 х  3 у  27
 х  0; у  0

у  x

y  2  x
х  у  1  0

2)  х  у  3  0
х  3 у  1  0

х  2 у  1
2 х  у  1

3) 
х  у  0
 х  0; у  0
 х  у  10

4)  x  y  8
y  0

3 х  2 у  1

3) 6 х  4 у  2
 х  0; у  0

х  у  7

4)  3 х  у  9
 х  0; у  0

II. Сформулировать вывод (в выводе указать суть графического метода решения систем
линейных неравенств).
Методические рекомендации к практической работе № 2
Тема: Решение систем линейных неравенств графическим методом
1) При решении системы линейных неравенств графическим методом необходимо
найти на плоскости ХОУ множество переменных Х и У, удовлетворяющее условно системы.
Для этого надо построить графики линейных функций и найти точки их пересечения.
Следует выполнить алгоритм:
1. Решить систему неравенств относительно у, применяя правила решения числовых неравенств.
2. Записать вместо знака неравенства знак «=».
7
3. Построить графики линейных функций.
4. Определить точки пересечения графиков, путем решения системы уравнений.
5. Заштриховать часть плоскости выше или ниже графика функции цветными ручками
или
карандашами,
соответственно
знаку
полученного
в
п. 1 неравенства. Если знак неравенства «>» или «  », то плоскость заштриховывают выше
прямой линии, если же знак неравенства «<» или «  », то плоскость заштриховывают ниже
прямой линии около точек пересечения построенных прямых.
6. Часть плоскости, где пересекаются области решения всех неравенств, определяет
множество решений всей системы.
Границу этой области выделяют и указывают точки пересечения графиков функций с
помощью заглавных букв А, В, С и т.д.
Оценочный лист
Практическая работа № 2
«Решение систем линейных неравенств, графическим методом»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование
информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач,
профессионального и
личностного развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме работы.
3.Владеет навыками построения линейной функции.
4.Владеет навыками нахождения общего решения
системы координатной плоскости ХОУ.
5.Владеет навыками определения критериев переменных Х и У.
6.Владеет алгебраическими методами решения линейных уравнений.
7.Решает задачи по плану.
8.Предлагает свои методы решения.
9.Применяет графический метод решения задач.
10.Проверяет решение задач.
11.Находит общую область решения системы.
12.Определяет критерии переменных Х и У.
13. Записывает результаты решения в виде промежутков.
14. Делает выводы по решению задач.
15. Формулирует вывод по работе.
16.Самостоятельно формулирует достижение цели.
17.Самостоятельно формирует проблему.
18.Самостоятельно решает технологию поиска общего решения системы.
19.Понимает значимость выполняемых действий.
20.Оценивает результаты своего труда.
21.Оформляет практическую работу, согласно требованиям.
22.Применяет, при выполнении работы, источники
информации.
23.Адекватно реагирует на замечания.
24.Самостоятельно решает задачи.
25.Владеет грамотной письменной речью.
ОК 2. Организовывать
собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и
нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно
определять
задачи
профессионального и
личностного развития,
заниматься самообразованием,
осознанно
планировать повышение квалификации
8
Наличие компетенций
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 50 баллов
91%-100% - «5» 46 - 50баллов
75%-90% - «4» 38 - 45 баллов
61%-74% - «3» 31-37 баллов
0%-60% - «2» 0- 30баллов
9
Практическая работа № 3
Тема: Вычисление матрицы, обратной данной
Цель: 1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
2) Закрепить умения вычисления определителей матриц второго и третьего порядка;
3) Закрепить умения вычисления матрицы, обратной данной.
Ход работы:
I. Найти определители матриц:
Вариант I
1
0

1) А = 
4  8 
 1 8

2) В =  7 6
 1 3

Вариант II
1 2 

1) А = 
 3  4
 5

4
2 
9

2) В =  6
4

1
3
8
2

1
17 
II. Вычислить матрицы, обратные данной. Сделать проверку:
Вариант I
Вариант II
0
1 2 
 8


1) А = 
1) А = 
5 
 6
3  4 
 3 1 8 


2) В =  6 4 5 
8
 7 0 9
4


8
1  8 0 
1 1




3) С =  2 3  1 
3) С =   2
3 1 
 4 6  10 
0 4
5 



Методические рекомендации к практической работе № 3
Тема: Вычисление матрицы, обратной данной. Определитель второго порядка (матрица
2×2)
1) Вычисляется по формуле:
а а
 А  11 12  а11  а22  а 21  а12 , результат вычисления – любое действительное число.
а21 а22
2) Для вычисления определителя третьего порядка (матрицы 3×3) применяют правило
треугольника (Сарруса), по которому составляют формулу, аналогичную формуле пункта 1.
 0

2) В =   2
 5

1
3

6
9 
10
«+»
«-»
Элементы главной диагонали и ее параллелей умножаются со знаком «плюс», элементы
побочной
диагонали
и
ее
параллелей
–
со
знаком
«минус»,
тогда:
а11 а12 а13
 А  а21 а22
а31 а32
а23  а11  а22  а33  а 21  а32  а13  а12  а23  а31  а31  а22  а13  а32  а23  а11  а21  а12  а33
а33
3) Для вычисления матрицы, обратной данной, необходимо:
1. Найти определитель ∆ заданной матрицы по формулам пункта 1 и 2.
2. Найти алгебраические дополнения по формулам:
а23
11 а22 а23
1 2 а21
А11   1
,
А12   1
а32 а33
а31
а33
А13   1
а21
а22
а31
а32
А21   1
а12 а13
А23   1
а11
а12
а31
а32
А31   1
а12
А33   1
а11
1 3
2 1
23
3 1
3 3
а32
а33
а13
а22 а23
,
,
А22   1
2 2
А32   1
3 2
а11
а13
а31
а33
а11
а13
а21
а23
а12
а21 а22
А12
А13 
 А11


А23 
3. Составить матрицу:  А21 А22


А33 
 А31 А32
Транспортировать ее (строки и столбцы поменять местами)
А31 
 А11 А21


Т
А   А12 А22
А32  и найти обратную матрицу по формуле:
А
А33 
 13 А23
А21
А31 
 А11



 
 
А
А22
А23 
А1   12


 
 
А33 
 А13 А23



 
 
4. Проверка производится по формуле:
1 0 0 


А  А1  Е   0 1 0  .
0 0 1 


11
Практическая работа № 4
Тема: Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Цель: 1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
2) Закрепить умения вычисления определителей матриц по правилу треугольника.
3) Закрепить умения решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными по
формулам Крамера, методом Гаусса, матричным способом..
Ход работы:
I. Решить системы уравнений тремя методами (по формулам Крамера, методом Гаусса,
матричным способом).
Вариант I
3 х  2 у  z  10

1)  x  5 y  2 z  15
2 x  2 y  z  3

5 x  3 y  4 z  11

2) 2 x  y  2 z  6
3 x  2 y  z  2

5 x  3 y  4 z  6

3) 2 x  y  z  0
x  2 y  z  0

5 x  3 y  3 z  48

4) 2 x  6 y  3 z  18
8 x  3 y  2 z  21

Вариант II
 x  4 y  2 z  11

1) 3 x  5 y  6 z  21
3 x  y  z  4

3)
x  2 y  3z  6

2) 2 x  3 y  4 z  20
3 x  2 y  5 z  6

4)
x  y  z  5

1) 2 x  y  3 z  3
x  4 y  6 z  7

Вариант III
12

4 x  5( y  1 )  1

1
5
 y  x  1
2
12
1
3
5
x

y

z  1
6
3
2
5 x  y  3 z  2

4 x  3 y  2 z  16
2 x  3 y  z  17

x  2 y  3z  2

3) 2 x  3 y  4  5
3 x  y  z  3

x  3 y  z  7

2) 3 x  y  2 z  3
x  7 y  4 z  0

5 x  5 y  4 z  3

4)  x  y  5 z  11
4 x  3 y  6 z  9

II. Сформулировать вывод (в выводе указать суть методов решения, систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными).
Методические рекомендации к практической работе № 4
Тема: Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными
1. При решении системы уравнений по формулам Крамера необходимо:
1) Найти определитель  матрицы системы, которая состоит из коэффициентов при
неизвестных x, y, z по правилу треугольника.
2) Составить матрицу-столбец свободных коэффициентов.
3) Найти определитель при первом неизвестном (х). Для этого нужно вместо первого
столбец матрицы системы подставить столбец свободных коэффициентов и найти  х .
4) Аналогично определить  y и z .
x
y
z
, y
, z
. Сделать проверку.
5) Найти x, y, z по формулам x 
А
А
А
6) Если   0 , то система решений не имеет.
2. При решении системы методом Гаусса необходимо: на первое место поставить уравнение, в котором коэффициент перед первым неизвестным самый наименьший, и затем исключить переменные методом алгебраического сложения.
3. Произвести обратный ход метода и определить значение переменных x, y, z . Сделать
проверку.
4. При решении системы уравнений матричным способом применяют следующую запись:
а11 х  а12 у  а13 z  b1 (1)
 a11 a12 a13 
x


 

A   a21 a22 a23  X   y 
a21 x  a22 y  a23 z  b2 (2) , где
a

a x  a y  a z  b (3)
z 
 
32
33
3
 31
 31 a32 a33 
 b1 
 
В   b2  и А·Х = В, тогда Х=А-1 · В, А-1 – матрица, обратная матрице А.
b 
 3
Находят значения x, y, z , делают проверку.
Оценочный лист
Практическая работа № 3,4
«Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными.»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование
информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач,
профессионального и
личностного развития
1 Владеет терминологией по теме.
2 Владеет символикой по теме работы.
3 Владеет навыками вычисления определителя 3го
порядка.
4 Владеет методом решения системы уравнений по
формулам Крамера.
5.Владеет методам Гаусса.
6.Умеет оценивать решения системы уравнений.
13
Наличие компетенций
ОК 2. Организовывать
собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
7.Владеет вычислительными навыками.
8.Владеет методами решений линейных уравнений.
9.Решает системы уравнений по схеме.
10 Предлагает другие методы решения задач.
11 Правильно вычисляет определитель системы.
12 Правильно применяет формулы Крамера при
решении системы.
13 Правильно применяет метод Гаусса.
14 Правильно производит вычислительные операции.
15Выбирает оптимальные методы нахождения неизвестных величин (x; y; z).
16. Проверяет решение системы.
17. Полностью реализует решение задачи.
18. Формулирует вывод по решению системы.
19. Формулирует вывод по практической работе.
20 Самостоятельно формулирует проблему решения задач.
21 Самостоятельно решает проблему поиска неизвестных (x; y; z).
22 Понимает значимость выполняемой работы.
23 Оценивает результаты своего труда.
24 Оформляет работу, согласно требованииям.
25 Оформляет задачи, согласно требованииям.
26 Адекватно реагирует на замечания.
27 Самостоятельно решает задачи.
28 Использует источники информации.
29 Владеет грамотной письменной речью.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и
нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно
определять
задачи
профессионального и
личностного развития,
заниматься самообразованием,
осознанно
планировать повышение квалификации
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 58 баллов
91%-100% - «5» 53 - 58 баллов
75%-90% - «4» 44 - 52 баллов
61%-74% - «3» 35 - 42 баллов
0%-60% - «2» 0 - 34 баллов
14
Практическая работа № 5
Тема: Решение задач линейного программирования
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учтено – отчетную документацию
2) Формирование умений составления сводных таблиц по данным задачи.
3)Формирование умений : создания математических моделей экономических процессов;
нахождения оптимальных решений.
4) Закрепить умения решения задач линейного программирования графическим методом.
5) Формирования умений составления аналитического вывода по задаче.
Ход работы:
1.Решить задачи.
2.Сформулировать вывод (в выводе указать смысл постановки задачи линейного программирования).
1.
Вариант I:
Решить задачи линейного программирования:
Задача 1. Найти множество решения системы на плоскости Х1ОХ2
х2  0

 х1  х 2  1
 х  4 х  2
2
 1
Задача 2.
F  3x1  6 x2  max
при ограничениях:
 х1  х 2  2
 х  2 х  4
 1
2

 х1  2 х 2  8
 х1  0; х 2  0
Найти оптимизацию целевой функции F=3x1-6x2→max
Задача 3. Рацион питания животных на ферме состоит из двух видов кормов: I и II. 1 кг
корма I-го вида стоит 70 д.е., 1 кг корма II-го вида стоит 10 д.е. Содержание питательных веществ: 1 кг I вида – жиров 1 ед., белков 3 ед., 1 кг II вида – жиров 2 ед., белков 1 ед. Составить
наиболее дешевый рацион питания, обеспечивающий жиров не менее 6 ед., белков не менее 8
ед.
15
Задача 4. необходимо распилить 30 бревен длиной по 7 м каждое на бруски 2 м и 4 м, при
этом должно получиться равное количество брусков каждого размера.
Составить план распила такой, чтобы получилось наибольшее число комплектов и все
бревна будут распилены.
Вариант II:
Решить задачи линейного программирования:
Задача 1. Найти множество решения системы на плоскости Х1ОХ2
х2  0

 х1  х 2  1
 х  4 х  2
2
 1
Задача 2. С предприятия на склад перевозят продукцию автомашинами грузоподъемностью по 5 т и 10 т. За 1 час склад может принять не более 10 машин, при этом не более 8 машин по 5 т и не более 6 машин по 10 т. Сколько машин по 5 т и 10 т нужно отправить с предприятия на склад за 1 час, чтобы перевезти наибольшее количество продукции.
Задача 3.
Вид сырья
Запас сырья, кг
Нормы расхода на одно изделие, кг
А
В
I
30
12
14
II
12
4
4
III
25
3
12
Прибыль от реализации одного изделия,
30
45
д.е.
Количество изделий В не менее, чем изделий А.
Составить план достижения максимальной прибыли от реализации изделий видов А и В.
Задача 4. Минимизировать целевую функцию F  3x1  2 x2  4 при условиях:
2 x1  x 2  13

 3x1  x 2  9
 x  0; х  0
2
 1
Методические рекомендации к практической работе № 5
Тема: Решение задач линейного программирования
1) Задачи линейного программирования (ЗЛП) решаются графическим методом.
2) Решение задачи разбивается на три этапа
I этап – выделение объекта исследования.
II этап – создание экономико-математической модели.
III этап – выбор метода решения, решения ЗЛП и формулировка вывода.
В выводе указывается при каких параметрах производительности, сбыта и т.п. достигает
оптимальное значение исследуемой целевой линейной функции F(x) при заданных условиях.
3) Условие задач записывают в виде сводной таблицы.
4) Математическая модель представляет собой систему неравенств, составленных по
условию задачи.
16
Оценочный лист
Практическая работа № 5
«Решение задач линейного программирования»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование
информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач,
профессионального и
личностного развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме работы.
3.Владеет графическим методом решения задачи
линейного программирования.
4.Владеет навыками формулировки целей и задач
исследования.
5.Владеет навыками построения линейных функций.
6.Владеет навыками определения экстремума линейной функции.
7.Владеет вычислительными навыками.
8.Владеет навыками решения линейных уравнений.
9.Решает ЗЛП по схеме.
10.Реализует этапы решения ЗЛП.
11.Правильно применяет графический метод решения ЗЛП.
12.Правильно производит вычисления.
13.Исследует линейную функцию на экстремумы.
14Формирует экономико-математическую модель.
15Полностью реализует решение ЗЛП.
16.Формулирует вывод по решению задачи.
17.Формулирует вывод по работе.
18.Самостоятельно формулирует цели задачи исследования .
19.Самостоятельно реализует решение ЗЛП.
20.Понимает значимость выполняемой работы.
21.Оценивает результаты своего труда.
22.Оформляет работу, согласно требованииям.
23.Оформляет задачи, согласно требованиям.
24.Адекватно реагирует на замечания.
25.Самостоятельно решает ЗЛП.
26.Использует источники информации.
27.Владеет грамотной письменной и устной речью.
ОК 2. Организовывать
собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество
ОК 3. Принимать решения в стандартных и
нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно
определять задачи
профессионального и
личностного развития,
заниматься самообразованием, осознанно
планировать повышение квалификации
ПК 6.4 Контролировать
ход и оценивать результаты выполнения
работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учтено – отчетную документацию
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
17
Наличие компетенций
1 балл
2 балла
- признак присутствует частично
- признак присутствует в полном объеме
100% - 54 баллов
91%-100% - «5» 49 -54 баллов
75%-90% - «4» 41-48 баллов
61%-74% - «3» 33-40 баллов
0%-60% - «2» 0 -32 баллов
18
Практическая работа № 6
Тема: Решение транспортной задачи.
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учтено – отчетную документацию
2) Формирование умений определения: оптимального плана перевозок грузов от поставщиков к потребителям;
3) Закрепить умения решения транспортной задачи методом «северо-западного» угла; методом наименьших затрат.
Ход работы:
I. 1) Составить экономико-математическую модель задачи.
2) Найти распределение поставок и затраты на перевозку груза методом «северозападного» угла.
3) Найти распределение поставок и затраты на перевозку груза методом наименьших затрат.
4) Вычислить экономию затрат, считая метод «северо-западного» угла базисным, а распределение, достигнутое методом наименьших затрат, оптимальным.
II. 1) Данные сводной таблицы занести в тетрадь.
2) Решение задачи разбиты на три этапа:
I этап – определение объекта исследования. В этом этапе необходимо составить выражение целевой (линейной функции затрат на перевозку).
II этап – создание экономико-математической модели (Баланс по строкам и столбцам).
III этап – выбор метода решения, решение Т.З, определение экономии затрат, формулировка вывода (в выводе указать экономию затрат и метод, при котором она достигается).
III. Сформулировать вывод по работе (в выводе указать основные принципы распределения груза).
Задание к практической работе № 6
Тема: Решение транспортной задачи
Поставщики
1
2
3
Мощность
поставщиков
40
60
90
3
2
1
Вариант I
Задача № 1
Потребители и их спрос
1
2
3
45
30
50
1
2
2
3
4
6
19
4
65
5
7
2
Поставщики
5
2
9
1
Задача № 2
Потребители и их спрос
1
2
3
15
25
8
4
12
7
9
7
10
6
1
2
1
3
Задача № 3
Потребители и их спрос
1
2
3
30
30
25
3
1
4
2
5
4
Мощность
поставщиков
1
2
3
4
20
10
10
20
Поставщики
Мощность
поставщиков
1
2
3
25
35
30
4
12
9
8
7
1
4
5
6
7
2
Задача № 4
Поставщики
Мощность поставщиков
1
2
3
Поставщики
1
2
3
Поставщики
1
2
3
Поставщики
1
2
3
Поставщики
25
35
30
2
2
6
3
3
4
5
4
7
Вариант II
Задача № 1
Потребители и их спрос
1
2
3
150
150
100
4
6
5
5
3
4
4
2
3
Задача № 2
Потребители и их спрос
1
2
3
70
50
40
6
8
5
7
9
7
Мощность
поставщиков
130
170
170
Мощность
поставщиков
45
60
180
Мощность
Потребители и их спрос
2
30
3
2
4
5
5
7
Задача № 5
Потребители и их спрос
1
2
3
225
125
50
2
2
4
3
1
5
Мощность
поставщиков
100
150
50
1
30
Задача № 3
Потребители и их спрос
20
3
25
4
50
5
4
3
4
70
3
8
7
4
125
12
4
2
поставщиков
1
2
3
45
30
80
Поставщики
1
15
2
1
3
45
80
35
Поставщики
60
35
50
4
3
6
4
1
2
1
3
4
Задача № 5
Потребители и их спрос
1
2
3
40
30
30
5
8
6
9
7
7
Мощность
поставщиков
1
2
3
3
2
4
3
10
Задача № 4
Потребители и их спрос
1
2
3
60
30
40
2
5
1
6
3
4
Мощность
поставщиков
1
2
3
2
40
4
90
6
2
2
4
30
6
11
3
4
50
1
3
4
Методические рекомендации к практической работе № 6
Тема: Решение транспортной задачи
1) Определить суммарную мощность поставщиков:
m
 ai  a1  a2 ..., i 1,2,3,...
i 1
Определить суммарную мощность (потребность, спрос) потребителей
n
 bj  b1  b2  ..., j  1,2,3,...
j 1
Если суммарная мощность поставщиков больше, чем спрос потребителей, то в таблицу
необходимо ввести фиктивного потребителя (добавить столбец), мощность которого (спрос)
составит:
m
n
i 1
j 1
 ai   b j
Коэффициенты затрат при этом считаются равными нулю.
Если суммарный спрос потребителей больше суммарной мощности поставщиков, то в
таблицу вводят фиктивного поставщика (добавляют строку), мощность которого равна:
n
m
j 1
i 1
 bj   ai
Коэффициенты затрат при этом считаются равными нулю.
2) Составить первоначальное базовое распределение поставок (ПБРП) методом «северо-западного» угла. Вычислить базовый размер затрат F0 (у.д.е).
3) Составить распределение поставок методом наименьших затрат, найти объем затрат
F7 (у.д.е).
4) Экономия затрат вычисляется по формуле:
21
F  F  F0 (у.д.е).
Если F  0 (отрицательна), то экономия достигнута.
Если F  0 , то считается оптимальным метод «северо-западного» угла.
Если F  0 (положительна), то экономии денежных средств нет.
Оценочный лист
Практическая работа № 6
«Решение транспортной задачи»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование
информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач,
профессионального и
личностного развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме работы.
3.Владеет методом «Северо-западного» угла для
распределения поставок груза.
4.Владеет методом наименьших затрат.
5.Владеет навыками определения экономии денежных средств.
6.Владеет навыками сравнительного анализа.
7.Владеет навыками составления баланса, распределения поставок груза.
8.Владеет вычислительными навыками.
9.Осуществляет распределение поставок груза методом «Северо-западного» угла.
10.Осуществляет распределение поставок груза
методом наименьших затрат.
11.Правильно вычисляет экономию денежных
средств.
12.Правильно составляет баланс поставок.
13.Полностью реализует решение ТЗ.
14.Формулирует вывод по решению задачи.
15.Формулирует вывод по работе.
16.Самостоятельно формулирует цели задачи исследования.
17.Самостоятельно реализует решение ТЗ.
18.Понимает значимость выполняемой работы.
19.Оценивает результаты своего труда.
20.Оформляет работу, согласно требованииям.
21.Оформляет задачи, согласно требованиям.
22.Адекватно реагирует на замечания.
23.Самостоятельно решает ТЗ.
24.Использует источники информации.
25.Владеет грамотной письменной и устной речью.
ОК 2. Организовывать
собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество
ОК 3. Принимать решения в стандартных и
нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно
определять задачи
профессионального и
личностного развития,
заниматься самообразованием, осознанно
планировать повышение квалификации
ПК 6.2 Планировать
выполнение работ исполнителями
ПК 6.4 Контролировать
ход и оценивать результаты выполнения
работ
22
Наличие компетенций
ПК 6.5 Вести утвержденную учтено – отчетную документацию
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 50 баллов
91%-100% - «5» 46-50 баллов
75%-90% - «4» 38-45 баллов
61%-74% - «3» 31-37баллов
0%-60% - «2» 0-36 баллов
23
Практическая работа № 7
Тема: Формулы комбинаторики
Цель: 1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
2) закрепить умения вычисления факториалов;
2) закрепить умения применения формул комбинаторики к решению задач.
Ход работы:
I. Ответить на вопросы.
1) Перечислите соединения комбинаторики.
2) Чем размещения отличаются от сочетаний?
3) Какими свойствами обладают сочетания?
4) По какой формуле вычисляется количество перестановок с повторениями?
5) Какие значения может принимать факториал n! .
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод (в выводе указать виды соединений комбинаторики и формулы расчета, количества комбинаций)
Методические рекомендации к практической работе № 7
Тема: Формулы комбинаторики
1. При выполнении работы следует применять формулы для перестановок, размещений и
сочетаний элементов.
2. Следует помнить, что внутри размещения элементы отличаются друг от друга.
3. В задачах на вычисление могут получаться результаты, принадлежащие множеству
всех действительных чисел.
4. В комбинаторных задачах результаты должны быть положительными и целыми.
5. При решении задачи можно применять схему:
1) анализ условия задачи;
2) выбор соединения элементов;
3) вычисление количества способов для данного соединения;
4) запись ответа.
6. При решении уравнения, содержащего соединения комбинаторики, необходимо найти
область допустимых значений переменной x или проверить найденные значения x по смыслу.
Значения x должно быть целое и положительное.
7. Количество всех элементов не может быть отрицательным или равным нулю. Количество элементов в подгруппе не может быть отрицательным.
8. В задаче 3 варианта I и II-го применяется правило умножения.
24
Задание к практической работе № 7
Тема: Формулы комбинаторики
Вариант I
1. Вычислить:
7!4!  8!
9! 



10!  3!5! 2!7! 
2. Сколькими способами можно выбрать 4 марки для конвертов?
3. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7? Сколько среди них
четных?
4. Сколькими способами из 10-ти различных книг можно выбрать 4?
5. Найти х:
а) С хх12  6 х  1
б) 12С хх31  55 Ах21
6. Упростить:
А32  А42
А65  С 42
а)
б)
Р2
Р4
Вариант II
1. Вычислить:
 6!5! 5!4!  5!4!



2! 
3!
 3!
2. Сколько перестановок можно сделать в слове: «ЗАДАНИЕ»?
3. Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 0. 2, 4, 6, 7, 8? Сколько их них
четных?
4. В цехе 8 рабочих. Сколькими способами можно поручить им изготовление 3-[ различных деталей?
5. Найти х:
а) С хx12  x 2  13
б) Aх23  С х2 2  126
6. Упростить:
С 3  С 53
С 4  А32
а) 5
б) 6
Р3
Р4
Оценочный лист
Практическая работа № 7
«Вычисление вероятности события»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование
информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач,
профессионального и
личностного развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме работы.
3.Владеет навыками вычисления величин в процентах.
4.Владеет навыками решения задач на вычисление
вероятности событий.
5.Владеет навыками применения свойств событий
при решении задач.
ОК 2. Организовывать 6.Решает задачи, применяя типовую схему.
собственную деятель- 7.Предлагает свои пути решения задачи.
25
Наличие компетенций
ность, выбирать типовые методы и способы
выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество
ОК 3. Принимать решения в стандартных и
нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно
определять задачи
профессионального и
личностного развития,
заниматься самообразованием, осознанно
планировать повышение квалификации
8.Правильно рассуждает при решении задачи.
9.Правильно производит вычислительные операции.
10Оценивает значение вероятности события
11.Формулирует вывод по решению задачи.
12.Формулирует вывод по работе.
13.Самостоятельно формулирует проблему решения задачи.
14.Самостоятельно решает проблему вычисления
вероятности события.
15.Логически рассуждает при решении задачи.
16.Применяет свойства событий при решении задачи.
17.Понимает значимость выполняемой работы.
18.Оценивает результаты своего труда.
19.Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
22.Самостоятельно решает задачу
23.Использует источники информации.
24.Владеет грамотной письменной речью.
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 48 баллов
91%-100% - «5» 44-48 баллов
75%-90% - «4» 36-43 баллов
61%-74% - «3» 29-35баллов
0%-60% - «2» 0-34 баллов
26
Практическая работа № 8
Тема: Вычисление вероятности события
Цель: 1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
2)Закрепить умения определения вероятности события.
Ход работы
I. Ответить на вопросы.
1) Что называется относительной частотой события?
2) Перечислите основные понятия теории вероятностей?
3) Какие виды событий вы знаете?
4) Что такое полная система событий?
5) Запишите свойства противоположных событий.
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод (в выводе указать основные понятия теории вероятностей,
применяемые в данной работе).
Методические рекомендации к практической работе № 8
Тема: Вычисление вероятности события
Вероятность события определяется по формуле
p
m
, где n – число всех исходов; m – число
n
благоприятных исходов.
1. При вычислении вероятности события следует помнить, что искомая величина вероятности обладает свойствами:
1) 0  p  1; p выражают в %
2) p(N)  0  вероятность невозможного события
3) p(D)  1  вероятность достоверного события
2. Чтобы число выразить в процентах, его нужно поделить на 100%.
3. Чтобы проценты выразить в числах, количество процентов нужно умножить на 100.
4. Если величина вероятности события получается равной дроби, то необходимо числитель дроби поделить на знаменатель, значение округлить и выразить в процентах, оставив
два знака после запятой.
Например:
27
5
 0,8(3)  0,8333  83,33%
6
4
 0,57142...  57,14%
7
1
 0,(3)  0,3333  33,33%
3
Задание к практической работе № 8
Тема: Вычисление вероятности событий.
Вариант I
1. Среди 120 ламп 15 испорченных. Наугад выбирают 3 лампы. Какова вероятность того, что среди них 2 испорченные?
2. Набирая номер телефона абонент забыл 3 последние цифры. Помня о том, что они
различные, он набрал номер наугад. Какова вероятность того, что номер набран правильно?
3. В коробке 3 белых шара, 4 черных шара, 5 красных шаров. Наугад берут 1 шар.
Найти вероятность того, что он: а) белый, б) черный, в) красный.
4. Бросают две игральных кости. Найти вероятность того, что произведение выпавших
шаров равно 8?
5. В лотерее 50 билетов, из них 8 выигрышных. Наугад выбирают 5 билетов. Найти вероятность того. что среди них: а) два выигрышных; б) два проигрышных; в) все выигрышные.
6. На полку ставят четырехтомное издание М.Ю. Лермонтова. Какова вероятность того, что вначале I-ый том, а в конце II-ой.
7. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 без повторений?
8. Решить уравнение: АX5  18 Ах4 2
Вариант II
1. В лотерее 60 билетов, из них 10 выигрышных. Наудачу покупают 15 билетов. Найти
Р – вероятность того, что среди них: а) 5проигрышных. б) 3 выигрышных. в) все проигрышные.
2. В ящике 10 белых и 15 черных шаров. На удачу вынимают два шара: найти Р – вероятность того, что:
а) Они оба белые. б) Оба черные. в) 1белый.
3. Найти Р – вероятность того, что наугад выбранные 4 цифры образуют четырехзначное число.
4. Завод получает 30% изделий из города Харькова. Найти вероятность того, что: а)
Взятое наугад изделие из г. Харькова. б) Сделано не в г. Харькове.
5. В ящике в пять раз больше белых шаров, чем черных. Наугад вынимают один шар.
Найти Р – вероятность того, что он красный
6. Бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков
равна 9.
7. Сколько перестановок букв можно сделать в слове: «водород», «зебра»
8. Решить уравнение: Ах4  Р х  4  42  Р х  2
28
Оценочный лист
Практическая работа № 8
«Вычисление вероятности события»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование информации,
необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач,
профессионального
и личностного развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме работы.
3.Владеет навыками вычисления величин в процентах.
4.Владеет навыками решения задач на вычисление
вероятности событий.
5.Владеет навыками применения свойств событий
при решении задач.
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач,
оценивать их эффективность и качество
ОК 3. Принимать
решения в стандартных и нестандартных ситуациях
и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи профессионального и личностного развития,
заниматься самообразованием, осознанно планировать
повышение квалификации
6.Решает задачи, применяя типовую схему.
7.Предлагает свои пути решения задачи.
8.Правильно рассуждает при решении задачи.
9.Правильно производит вычислительные операции.
10.Оценивает значение вероятности события
11.Формулирует вывод по решению задачи.
12.Формулирует вывод по работе.
13.Самостоятельно формулирует проблему решения задачи.
14.Самостоятельно решает проблему вычисления
вероятности события.
15.Логически рассуждает при решении задачи.
16.Применяет свойства событий при решении задачи.
17.Понимает значимость выполняемой работы.
18.Оценивает результаты своего труда.
19.Оформляет работу, согласно требованиям.
20.Оформляет задачи, согласно требованиям.
21.Адекватно реагирует на замечания.
22.Самостоятельно решает задачу
23.Использует источники информации.
24.Владеет грамотной письменной и устной речью.
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 48 баллов
91%-100% - «5» 44-48 баллов
75%-90% - «4» 36-43 баллов
61%-74% - «3» 29-35 баллов
0%-60% - «2» 0-28 баллов
29
Наличие компетенций
Практическая работа № 9
Тема: Операции над событиями
Цель: 1) Формирование общих компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
2) Закрепить умения применять понятия математической логики.
и основные теоремы теории вероятностей при решении задач ;
Ход работы:
I. Ответить на вопросы.
1) Что называется суммой событий?
2) По какой теореме можно определить вероятность произведения двух несовместных
событий?
3) Какие значения может принимать вероятность суммы и произведения событий?
4) Запишите формулу полной вероятности события.
5) В каких случаях применяют формулу Байеса?
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод (в выводе указать операции, производимые над событиями
при решении задач).
Методические рекомендации к практической работе № 9
Тема: Операции над событиями
1. При определении операции над событиями в рассуждениях следует применять
смысловые связки «и», «или». «И» для произведения событий; «или» - для суммы.
2. Обязательно нужно рассматривать все прямые и обратные варианты событий.
Например: I-й прибор работает A1 .
I-й прибор не работает
A1 и их системы.
A1  A 2  A3  A1  A2  A3  ....
Вероятность прямого события обозначают буквой «p», обратного – «q».
3. Применяют формулы:
Сумма вероятностей прямого и обратного событий;
p  q 1
Вероятность суммы двух несовместных событий;
P ( A  B)  P ( A)  P ( B)
Вероятность произведения двух независимых событий;
P  ( A  B)  P  ( A)  P  ( B)
Вероятность суммы двух совместных событий;
P  ( A  B)  P  ( A)  P  ( B)  P  ( A  B)
4. В задачах на полную вероятность и формулу Байеса необходимо сначала задать гипотезы, определить условную вероятность события при каждой гипотезе и полную вероятность события.
30
Задание к практической работе № 9
Тема: Операции над событиями
Вариант № I
1. В чем заключается сумма и произведение событий:
1) производится два выстрела по мишени А – попадание 1-выстрелом;
2) бросается игральная кость; А-появление единицы, В-появление двойки.
2. Сделано три выстрела по мишени А1, А2, А3. Считая исходы равновозможными,
найдите вероятность события А, если:
1) произошло три попадания
2) не было ни одного попадания
3) было хотя бы одно попадание
3. Завод выпускает 27% продукции высшего сорта, 70% - первого сорта. Найти вероятность того, что взятое наугад изделие будет или высшего или первого сорта.
4. В группе 25 студентов, из них отлично учится 5 человек, хорошо – 12, удовлетворительно – 6, слабо -2. Вызывается один по списку. Найдите вероятность того, что он – отличник или хорошист.
5. В ящике 15 красных и 5 синих шаров. Выбирают 4 шара. Найти вероятность того,
что среди выбранных шаров:
1) не более 1 синего;
2) не менее 3 красных;
3) не менее половины красных;
6. Прибор состоит из 2-х элементов q1=0.05, q2=0.08. Найти вероятность того, что:
1) выйдет из строя только первый элемент
2) оба выйдут из строя
3) откажет только второй
4) оба работают
7. Выбирают одну деталь. Найти вероятность того, что она:
1) бракованная
2) стандартная
Данные приведены в таблице:
№ станка
I
II
III
Объём продукции
40%
30%
30%
Брак
0.01
0.03
0.05
Вариант II
1. Мяч бросают трижды Аi, i=1,2,3. Выразить через А1, А2 и А3 события:
1) В – Мяч не попал ни разу;
2) С – Мяч попал один раз;
3) Н – Мяч попал три раза;
4) D – Только при первом бросании мяч попал в корзину.
2. Игральная кость бросается дважды: А – Сумма выпавших очков – четная, В – выпадает
хотя бы одна единица. Найти вероятность (Р) событий:
А  В, А  В, А  В
3. Станок – автомат производит изделия трёх сортов, изделия первого сорта составляют 5
%, второго сорта – 80%, третьего – 15%. Наугад берут одно изделие. Найти вероятность того,
что оно будет первого, второго или третьего сорта.
4. Из чисел 1,2…20 наудачу выбирается число. Найти вероятность того, что это число делится на 2 или 3.
5. Стрелок стреляет в мишень, разделенную на три непересекающиеся части. Вероятность
попадания в первую часть – 0,45, во вторую – 0,35. Найти вероятность того, что:
1) Попал в первую или во вторую части
31
2) Попал в третью часть
6. При каждом включении двигатель работает с p=0.8. Какова вероятность того, что для
запуска потребуется не более двух включений.
7. Найти вероятность того, что взятое наугад бракованное изделие изготовлено машиной
В.
Данные приведены в таблице:
Машина
А
В
Объём продукции
40%
60%
Брак
0,009
0,004
Оценочный лист
Практическая работа № 9
«Операции над событиями»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование информации,
необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач,
профессионального
и личностного развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме работы.
3.Владеет навыками применения теорем теории
вероятности при решении задач.
4.Владеет вычислительными навыками.
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач,
оценивать их эффективность и качество
5.Решает задачи с применением теорем теории вероятности.
6.Правильно рассуждает при решении задачи.
7.Решает задачу в логически завершенной последовательности.
8.Оценивает значения полученных величин.
9.Формулирует вывод по решению задачи.
10.Формулирует вывод по работе.
11.Правильно применяет теоремы теории вероятности при решении задач.
12.Самостоятельно формулирует проблему решения задачи.
13.Самостоятельно решает проблему.
14.Логически рассуждает при решении задачи.
15.Понимает значимость выполняемой работы.
16.Оценивает результаты своего труда.
17.Оформляет работу, согласно требованиям.
18.Оформляет задачи, согласно требованиям.
19.Адекватно реагирует на замечания.
20.Самостоятельно решает ЗЛП.
21.Использует источники информации.
22.Владеет грамотной письменной и устной речью.
ОК 3. Принимать
решения в стандартных и нестандартных ситуациях
и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи профессионального и личностного развития,
заниматься самообразованием, осознанно планировать
повышение квали-
32
Наличие компетенций
фикации
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 44 балла
91%-100% - «5» 40-44 баллов
75%-90% - «4» 33-39 баллов
61%-74% - «3» 29-32 баллов
0%-60% - «2» 0-31 баллов
33
Практическая работа № 10
Тема: Вычисления числовых характеристик случайных величин
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию
2)Закрепить умения применения числовых характеристик случайных величин при решении задач;
3) Закрепить умения анализа процессов с помощью графических изображений.
Ход работы
I. Ответить на вопросы.
1) Какие величины являются случайными?
2) С помощью каких линий изображают законы распределения случайных величин?
3) Что называется математическим ожиданием и дисперсией случайной величины?
4) Когда распределение случайной величины называется биномиальным?
5) Что характеризует математическое ожидание случайной величины?
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод (в выводе основные понятия, применяемые при решении задач).
Методические рекомендации к практической работе № 10
Тема: Вычисления числовых характеристик случайных величин
1. При составлении закона распределения случайной величины сначала необходимо
определить числовое значение случайных величин и вероятность их появления, затем данные
занести в таблицу:
xi
pi
2. При построении графика закона распределения случайной величины для наглядности
по координатным осям задают соответствующие масштабы. График изображают в системе
координат xi О p i
3. Математическое ожидание случайной величины вычисляют по
формуле:
k
MX   x  p  x  p  x  p  ... x  pk
i i
1 1
2 2
k
i 1
n – количество случайных величин.
4. Дисперсию случайной величины вычисляют по формуле:
k
ДX   (x  MX)2  p (x  MX)2  p (x  MX)2  p  ...(x  MX)2 
i
i
1
1
2
2
k
E 1
k – количество случайных величин.
34
5. Для случайных величин сопоставляют закон распределения и изображают его на графике для оценки характера процесса.
6. Для биномиального распределения вероятность вычисляют по формуле Бернулли
Pn (k )  C nk  p k  q n  k , p – вероятность прямого события
С nk 
7.
n
 pi
i 1
q – вероятность обратного события.
n!
(n  k)!  k!
При
решении
задачи
всегда
делают
проверку
по
формуле
 p 1  p 2  ...  p n  1
Задание к практической работе № 10
Тема: Вычисление числовых характеристик случайных величин
Вариант I
1. Составить закон распределения числа попаданий мяча в корзину при одном броске, если
р=0,7 и постоянна (р – вероятность при каждом попадании). Построить график закона распределения.
2. Выпущено 100 билетов. Выигрыш: 6 билетов - 20 рублей, 8 билетов – 10 рублей, 10 билетов
– 30 рублей. Составить закон распределения выигрышей. Найти МХ, DX. Построить график
закона распределения.
3. Всхожесть ржи 90%. Чему равна вероятность того, что их пяти семян взойдет не более 3?
4. Что вероятнее выиграть 6 партий из 10, или 5 партий из 8, если противники равносильны
(вероятность выигрыша или проигрыша 50 %)?
5. Случайная величина задана законом распределения:
Xi
Pi
8
0,4
9
0,1
10
0,5
Найти: математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Построить график закона распределения.
Вариант II
1. Составить закон распределения числа выпавших гербов при трех бросаниях монеты. Построить график закона распределения.
2. В коробке 5 черных и 10 красных мячей. На удачу берут два мяча. Найти закон распределения извлечения черных мячей. Определить МХ, DX. Построить график закона распределения.
3. В команде 16 человек из них 6 перворазрядников. На удачу выбирают 2 человека. Составить закон распределения среди выбранных перворазрядников. Построить график закона распределения.
4. Что вероятнее выиграть 7 партий из 9 или 3 партии из 4, если противники равносильны (вероятность выигрыша или проигрыша 50 %)?
5. Случайная величина задана законом распределения:
Xi
Pi
1
0,7
2
0,1
3
0,2
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины. Построить график закона
распределения.
35
Оценочный лист
Практическая работа № 10
«Вычисление числовых характеристик случайных величин»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование информации,
необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач,
профессионального
и личностного развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме работы.
3.Владеет навыками вычисления вероятности, появления случайной величины.
4.Владеет навыками определения значений случайной величины.
5.Владеет навыками построения графика, закона
распределения случайной величины.
6.Владеет навыками вычисления математического
ожидания случайной величины.
7.Владеет навыками вычисления дисперсии случайной величины.
8. Правильно определяет значение случайных величин.
9.Правильно вычисляет вероятность появления
случайной величины.
10.Правильно составляет закон распределения случайной величины.
11.Правильно строит график распределения.
12.Правильно вычисляет математическое ожидание и дисперсию.
13.Применяет таблицу при вычислении МХ и DX.
14.Применяет формулы МХ и DX.
15.Формулирует вывод по задаче и работе.
16.Самостоятельно формулирует проблему исследования.
17.Самостоятельно решает проблему исследования.
18.Решает задачу в логически завершенной последовательности.
19.Понимает значимость выполняемой работы.
20.Оценивает результаты своего труда.
22.Оформляет работу, согласно требованиям.
23.Оформляет задачи, согласно требованиям.
24.Адекватно реагирует на замечания.
25.Самостоятельно решает задачу
25.Использует источники информации.
27.Владеет грамотной письменной и устной речью.
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач,
оценивать их эффективность и качество
ОК 3. Принимать
решения в стандартных и нестандартных ситуациях
и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи профессионального и личностного развития,
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать
результаты
выполнения работ
ПК
6.5
Вести
утвержденную
учетно – отчетную
документанию
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
36
Наличие компетенций
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 54 баллов
91%-100% - «5» 49 -54 баллов
75%-90% - «4» 41-48 баллов
61%-74% - «3» 33-40 баллов
0%-60% - «2» 0 -32 баллов
37
Практическая работа № 11
Тема: Вычисление числовых характеристик выборки
Цель:1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию
2) Закрепить умения определения числовых и выборочных характеристик выборки;
3) Закрепить умения построения полигона частот и полигона относительных частот.
Ход работы:
I.Ответить на вопросы.
1) Что называется выборкой?
2) Какие характеристики выборки относятся к числовым, а какие к выборочным?
3) Укажите вид выборочного распределения?
4) Что необходимо вычислить для построения полигона частот и полигона относительных частот?
5) Как определить среднее выборочное?
II. Решить задачи.
III. Сформулировать вывод (в выводе указать количественные и качественные характеристики выборки)
Методические рекомендации к практической работе № 11
Тема: Вычисления числовых характеристик выборки
1. Для определения характеристик выборки нужно четко разделить количественные и качественные характеристики выборки.
2. При построении полигонов по координатным осям задают соответствующие масштабы
для наглядного изображения.
Полигон – это ломаная линия.
3. Выборочное распределение, статистический ряд должны быть в виде таблиц.
Качественные характеристики выборки вычисляются по формулам:
Среднее выборочное
1 k
x    xi
n i 1
1 k
x    xi  ni
n i 1
Выборочная дисперсия
1 k
S 0    ( x i  x )  ni
n i 1
Несмещенная выборочная дисперсия
38
S
n
 S0
n 1
Задание к практической работе № 11
Тема: Вычисление числовых характеристик выборки
Вариант I
1. 5; 2; 8; -2.5; -2; 0; 0; 8; 5; найти объем, размах, статистический ряд, выборочные
распределения Х , SO, S. Построить полигон частот и полигон относительных частот.
2. Четыре измерения длинны стержня дали результаты: 19;18;21;22см. найти Х , S 0 , S
длинны стержня. Построить полигон частот.
3. Найти: Х и S 0 :
Xi
Ni
125
2
127
4
130
3
140
1
Построить полигон частот.
4. 1; 3; -5; -5; 3; 1; 1. Найти S. Построить полигон относительных частот.
5. Построить полигон частот: 2; 5; -2; 5; -2; 0; 0; 8; 5. Найти Х .
Вариант II
1. -1; 0; 1; 0; 0; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 0. Найти объем, размах, статистический ряд, выборочное
распределение Х , S 0 , S. Построить полигон частот и полигон относительных частот.
2. Измерение длинны трубы 48; 50; 51; 46см. Найти Х , S 0 длины. построить полигон частот.
3.
-60
-20
0
30
80
Хi
0.1
3/20
1/2
1/5
1/20
Ni/n
Найти. S 0 , Х . построить полигон относительных частот.
4. -20; -20; 0; 0; 0; 0; 0; 10; 10. Найти S. Построить полигон частот.
5. Построить полигон относительных частот. 6; 6; 8; 8; 4; 0; 4; 0; 7; 1.
Оценочный лист
Практическая работа № 11
«Вычисление числовых характеристик выборки»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование информации,
необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач,
профессионального
и личностного развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме работы.
3.Владеет навыками вычисления количественных
характеристик выборки.
4.Владеет навыками вычисления качественных характеристик выборки.
5.владеет навыками составления статистического
ряда.
6.Владеет навыками составления выборочного
распределения.
7.Владеет навыками графического изображения
39
Наличие компетенций
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач,
оценивать их эффективность и качество
выборки.
8.Правильно вычисляет количественные характеристики выборки.
9.Правильно вычисляет качественные характеристики выборки.
10.Правильно составляет статистический ряд.
11.Правильно составляет выборочное распределение.
12.Правильно строит полигон частот (частностей)
данных выборки.
13.Правильно строит гистограмму данных выборки.
14.Анализирует полученные результаты.
15.Формулирует вывод по задаче.
16.Формулирует вывод по работе.
17.Самостоятельно формулирует проблему исследования.
18.Самостоятельно решает проблему исследования.
19.Решает задачу в логически завершенной последовательности.
20.Понимает значимость выполняемой работы.
21.Оценивает результаты своего труда.
22.Оформляет работу, согласно требованиям.
23.Оформляет задачи, согласно требованиям.
24.Адекватно реагирует на замечания.
25.Самостоятельно решает задачу
26Использует источники информации.
27.Владеет грамотной письменной и устной речью.
ОК 3. Принимать
решения в стандартных и нестандартных ситуациях
и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи профессионального и личностного развития,
ПК 6.1 Участвовать
в планировании основных производственных показателей
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать
результаты
выполнения работ
ПК
6.5
Вести
утвержденную
учетно – отчетную
документацию
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 54 баллов
91%-100% - «5» 49 -54 баллов
75%-90% - «4» 41-48 баллов
61%-74% - «3» 33-40 баллов
0%-60% - «2» 0 -32 баллов
40
Практическая работа № 12
Тема: Построение рядов распределения статистических данных
Цель:1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию.
3) Закрепить основные способы построения рядов распределения.
4) Закрепить умения расчета частот, интервалов признака при построении рядов распределения.
5)Формирование умений построения атрибутивных, дискретных и интервальных рядов
распределения.
6) Формирование умений анализа статистической информации.
Ход работы
1. Ответить на вопросы:
1)
Дайте характеристику видам рядов распределения.
2)
Опишите построение дискретного вариационного ряда.
3)
Опишите построение интервального вариационного ряда.
4)
Что представляет собой ранжированный ряд.
5)
Что называется вариантом, частотой и частностью вариационного ряда.
2. Решить задачи по вариантам.
3. Составить аналитическую справку по исследованию.
Вариант I
Задача: Имеются данные успеваемости 20 студентов группы по дисциплине «Статистика»
за ноябрь месяц 2003/2004 учебного года: 5, 3, 5, 5, 5, 4, 5, 2, 5, 3, 4, 2, 5, 3, 2, 5, 4, 4, 5, 4.
Задание:
Построить:
1. Ранжированный ряд данных.
2. Атрибутный ряд распределения успеваемости студентов, выделив в нем группы: 1.
успевающие студенты (3 балла и выше); 2. неуспевающие студенты. Данные занести в таблицу:
Таблица 1.- Распределение студентов по уровню успеваемости за ноябрь месяц 2009/2010
учебный год
Всего
Количество студентов, чел.
Удельный вес,
% к итогу.
41
Из них
Успевающие стуНеуспевающие студенты, чел.
денты, чел.
3. Дискретный и интервальный ряд распределения студентов по успеваемости. Для дискретного и интервального рядов построить таблицы:
Пример таблицы дискретного ряда:
Таблица 2 - Дискретный ряд распределения студентов по уровню успеваемости за ноябрь
2009/2010 учебного года.
Баллы
Количество студентов, чел.
Удельный вес, % к итогу
Всего
Пример таблицы интервального ряда:
Таблица - 3. Интервальный ряд распределения студентов по баллам успеваемости за ноябрь
месяц 2009/2010 учебного года.
№
п/р
1
2
…
Баллы
Количество студентов,
чел.
Удельный вес, % к итогу
…
…
…
итого
Вариант II
Задача: известны следующие данные о результатах сдачи абитуриентами вступительных экзаменов на I курс колледжа в 2009/2010 учебном году:
Аттестационные баллы:
10
8
7
8
8
5
9
6
7
10
6
9
10
9
5
7
7
8
10
9
9
5
10
7
10
9
8
9
Задание:
Построить:
1. ранжированный ряд данных.
2. атрибутивный ряд распределения поступивших и не поступивших абитуриентов,
считая проходной балл 7-10 включительно.
Данные занести в таблицу.
Таблица 4.- Распределение абитуриентов по проходному баллу в 2009/2010 учебном году
Всего
Поступили
в колледж
Из них
Не поступили
в колледж
Количество абитуриентов, чел.
Удельный вес, % к итогу
3. Дискретный и интервальные ряды распределения абитуриентов по результатам
сдачи вступительных экзаменов в 2009/2010 учебном году. Для дискретного и интервального
рядов построить таблицы.
42
Пример таблицы дискретного ряда:
Таблица 5- Дискретный ряд распределения абитуриентов по результатам сдачи вступительных экзаменов в 2009/2010 учебном году.
Баллы
Количество студентов, чел.
Удельный вес, % к итогу
Всего
Пример таблицы интервального ряда:
Таблица 6- Интервальный ряд распределения абитуриентов по результатам сдачи вступительных экзаменов в 2009/2010 учебном году.
№
п/р
1
2
…
баллы
Количество студентов,
чел.
Удельный вес, % к итогу
…
…
…
итого
Методические рекомендации к практической работе № 12
Тема: Построение рядов распределения статистических данных
1. Таблица должна содержать:
 текущий номер и название.
 номер по порядку.
 наименование строк и столбцов.
 итоговую строку.
 строку (столбец) удельного веса единиц совокупности.
2. Расчет удельного веса производится по формуле:
n
  i 100% , где n i - количество единиц совокупности для i -го интервала
N
( i  1,2,3 …), N - объем исследуемой совокупности.
3. Ранжированный ряд строится по убыванию (возрастанию) единиц совокупности.
4. Для построения дискретного ряда необходимо определить варианты (количество баллов), частоту их повторения и удельный вес единиц совокупности.
5. Для построения интервального ряда необходимо вычислить: число интервалов по формуле Старджесса: n  1 3,322 lg N , где N - объем исследуемой совокупности; величину инx  xmin
тервала (пределы изменения варианта) по формуле: h  max
, где xmax - наибольшее знаn
чение варианта; xmin - наименьшее значение варианта; n - число интервалов.
Оценочный лист
Практическая работа № 12
«Сводка и группировка статистических данных»
Компетенции
Признаки компетенции
43
Наличие ком-
петенций
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование информации,
необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач,
профессионального
и личностного развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме.
3.Владеет навыками расчета количества групп по
формуле Стерджесса.
4.Владеет навыками расчета показателя удельного
веса.
5.Владеет навыками построения сводной таблицы.
6.Владеет навыками анализа информации.
7.Владеет навыками наглядного представления
информации.
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач,
оценивать их эффективность и качество
8.Рассчитывает количество групп по формуле
Стерджесса.
9.Рассчитывает величину интервала группы.
10.Составляет сводную таблицу.
11.Производит группировку данных.
12.Рассчитывает показатель удельного веса.
13.Обрабатывает и систематизирует информацию.
14.Анализирует информацию.
15.Составляет аналитическую справку.
16.Наглядно представляет статистические данные.
17.Составляет вывод по работе.
18.Самостоятельно составляет сводку и группировку данных.
19.Самостоятельно представляет данные в сводной
таблице.
20.Самостоятельно анализирует данные.
21.Самостоятельно аргументирует полученные
данные.
22.Самостоятельно
определяет
причинноследственные связи.
23.Применяет знания из других дисциплин.
24.Оформляет сводную таблицу, согласно требованиям.
25.Составляет аналитическую справку, согласно
требованиям.
26.Адекватно реагирует на замечания.
27.Оформляет практическую работу, согласно требованиям.
ОК 3. Принимать
решения в стандартных и нестандартных ситуациях
и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи профессионального и личностного развития,
ПК 6.1 Участвовать
в планировании основных производственных показателей
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать
результаты
выполнения работ
ПК
6.5
Вести
утвержденную
учетно – отчетную
документацию
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
44
100% - 54 баллов
91%-100% - «5» 49 -54 баллов
75%-90% - «4» 41-48 баллов
61%-74% - «3» 33-40 баллов
0%-60% - «2» 0 -32 баллов
45
Практическая работа № 13
Тема: Графическое изображение статистических данных
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию
2) Формирование умений построения статических таблиц.
3)Формирование умений построения полигона и гистограммы для обработки и представления
статических данных.
Ход работы
1. Ответить на вопросы:
1.С какой целью строиться статическая таблица?
2.С какой целью стояться график в экономико-статических исследованиях?
3.Что такое полигон, как он стоиться и применяется для анализа статических данных?
4.Что представляет собой гистограмма и как она применяется при анализе статических данных?
5.Опишите построение гистограммы данных.
6.Перечислите элементы графика.
Решить задачи:
I вариант
Задача № 1. Имеются данные продаж мужской обуви в магазине «Центробувь» за 1 октября 2011 года.
39
44
45
40
40
37
40
41
40
40
37
42
44
39
45
42
42
39
38
38
40
40
44
43
43
36
35
35
35
36
36
38
40
42
42
42
43
39
39
44
43
40
40
39
40
39
40
42
43
40
Построить таблицу. Построить полигон и гистограмму распределений.
Задача № 2. Имеются данные:
Таблица 1 - Объем продаж телевизоров в магазине «Витязь» в период с 2009-2010 гг. .
Год
2002
2003
2004
2005
Объем продаж, шт.
4717
3672
3987
134
II вариант
Задача № 1. Имеются данные таблицы уставного капитала в банках региона за 2010
год.
2351
17469
2351
13354
20218
6110
10700
2950
17469
17469
2351
13354
46
13354
6110
10700
2950
2351
17469
18465
3315
3315
12092
3315
10700
2950
12092
Построить полигон и гистограмму распределений.
12092
18465
6110
6110
Задача № 2. Имеются данные:
Таблица 2 - Распределение семей города по количеству детей .
Число семей
20
35
10
5
Количество детей
1
2
3
4
2.Построить полигон распределения.
3.Сформулировать вывод в виде указать основные виды представления статистических
данных.
Методические рекомендации к практической работе № 13
Тема: Графическое изображение статистических данных
1. Таблица статических данных должна содержать:
 номер;
 название;
 столбец: номера по порядку;
 содержание строк и столбцов;
 итоговую строку (столбцов);
 строку (столбец) удельного веса единиц совокупности.
2. Полигон распределения строится по дискретному вариационному ряду. Для такого ряда
строится в решении задачи таблица, таблице присваивается текущий номер и название.
3. Гистограмма распределения строиться по интервальному вариационному ряду. Для такого ряда в решении задачи проводятся расчеты количества интервалов и пределов изменения
варианта по формулам:
 количество интервалов: n  1  3.322 lg N , где N - объем данной совокупности.
x  x min
 величина интервала: h  max
; n - количество интервалов. Данные заносятся в
n
таблицу. Таблице присваивается текущий номер и название.
Таблица 3 - Дискретный ряд распределения .
Наименование варианта
Частота
Хi
Fi
Таблица 4 - Интервальный ряд распределений…
.
Интервал варианта
Х1-Х2
F1
Х2-Х3
F2
Оценочный лист
Практическая работа № 13
«Графическое изображение статистических данных»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять 1.Владеет терминологией по теме.
поиск и использо2.Владеет символикой по теме.
47
Наличие компетенций
вание информации,
необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач,
профессионального
и личностного развития
11.
Владеет навыками построения полигона.
3.Владеет навыками построения гистограммы.
4.Владеет навыками анализа данных по графику.
5.Владеет навыками расчета показателя удельного
веса.
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач,
оценивать их эффективность и качество
6.Рассчитывает масштаб по осям координат.
7.Строит группировку данных.
8.Строит ряд распределения данных.
9.Представляет данные в таблице.
10.Строит полигон данных, согласно требованиям.
11.Строит гистограмму, согласно требованиям.
12.Анализирует полученные результаты.
13.Формирует вывод по задаче.
14.Формирует вывод по работе.
15.Правильно рассчитывает показатели.
ОК 3. Принимать
решения в стандартных и нестандартных ситуациях
и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи профессионального и личностного развития,
ПК 6.1 Участвовать
в планировании основных производственных показателей
ПК. 6.2 Планировать
выполнение
работ исполнителями
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать
результаты
выполнения работ
ПК
6.5
Вести
утвержденную
учетно – отчетную
документацию
16.Самостоятельно определяет вид графика, необходимый для решения задачи.
17.Самостоятельно строит ряд распределения.
18.Самостоятельно строит статистический график,
согласно условиям.
19.Самостоятельно
определяет
причинноследственные связи при анализе данных.
20.Понимает значимость работы.
21Оценивает результаты своего труда.
22.Оформляет график, согласно требованиям.
23Оформляет работу, согласно требованиям.
24.Представляет данные в виде статистического
ряда.
25Применяет источники информации.
26..Адекватно реагирует на замечания.
27. Составляет аналитическую справку, согласно
требованиям.
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
48
100% - 54 баллов
91%-100% - «5» 49 -54 баллов
75%-90% - «4» 41-48 баллов
61%-74% - «3» 33-40 баллов
0%-60% - «2» 0 -32 баллов
49
Практическая работа № 14
Тема: Показатели вариации
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию
2)Закрепить умения вычисления абсолютных показателей вариации.
Ход работы
1.Ответить на вопросы:
1) Что называется вариацией признака
2) Чем обусловлено изучение вариации признака для практического применения?
3) Какие показатели вариации являются относительными?
4) Какие показатели вариации являются абсолютными?
5)Что характеризует дисперсия и среднее квадратическое отклонение?
2. Решить задачи по вариантам.
Вариант I
Задача 1. Распределение студентов по возрасту одного из факультетов следующее:
Возраст, лет
17
18
19
20
21
22
23
24
всего
Число студентов, чел.
20
80
90
110
130
170
90
60
Вычислить средний возраст студентов факультета и показатели вариации возраста. Данные
занести в расчерченную таблицу.
Задача 2. Имеются следующие данные пробега автофургона торговой фирмы: «Родник» за
2011 год.
№
Длина пробега за один рейс,
Число рейсов за квартал
п./р.
км.
1
30-50
20
2
50-70
25
3
70-90
14
4
90-110
18
5
110-130
9
6
130-150
6
7
150-170
8
8
170-190
3
9
190-210
5
10
210-230
2
Итого
Вычислить средний пробег автофургона и показатели вариации пробега. Данные занести в
расчетную таблицу.
Задача 3. При изучении количественного состава семей г. Алапаевск в 2002 году получены
данные.
50
Число членов семьи, чел.
2
3
4
5
6
7
Всего
Число семей % к итогу
15
34
25
16
8
2
Определить средний состав семьи и показатели вариации состава семьи. Данные занести в
расчетную таблицу.
Вариант II
Задача 1. Имеется распределение телеграмм, принятых в отделениях связи, по числу слов:
Количество слов в тевсего
12
13
14
15
16
17
18
19
20
леграмме, шт.
Число телеграмм, шт.
18
22
34
26
20
13
7
10
4
Вычислить среднее количество слов в телеграмме и показатели вариации количества слов.
Данные занести в расчетную таблицу.
Задача 2. Распределение акционерных обществ Свердловской области на 1 января 2012 по
числу работающих следующее:
№ п.п.
Число работающих, чел.
Число АО, шт.
1
ДО 40
11
2
40-60
23
3
60-80
36
4
80-100
42
5
100-120
28
6
120-140
17
7
140-160
9
8
160-180
4
9
180-200
5
10
200-220
3
Итого
Найти среднее число работающих в АО и показатели вариаций работающих. Данные занести в расчетную таблицу.
Задача 3. При изучении количества семян пшеницы.
Процент всхожести, %
70
75
80
85
90
92
Итого
Число проб, % к итогу
2
4
7
29
46
8
Найти средний процент всхожести пшеницы и показатели вариации всхожести. Данные занести в расчетную таблицу.
3. Сформулировать вывод (в выводе указать какие показатели вариации признаков вычислялись при решении задач и применяются при анализе экономических процессов).
Методические рекомендации к практической работе № 14
Тема: Показатели вариации
1. Расчетная таблица имеет следующую структуру в зависимости от формул вычисления показателя и вида ряда распределения.
Сере
№
Вари- дина ин- X  F
X  X i f2
Xi  X
Xi  X
X i  X 2 X i  X 2 f i
i
i
п/п ант Х
тервала xi
1
2
Итого
51
Таблице присваивается текущий номер и название. Показатели вариации рассчитываются
после таблицы. При вычислениях указывают виды показателей, формулы расчета показателей, результаты, единицы измерения. После расчета составляется вывод по условию задачи. В
название таблицы указывают место и время исследования.
Абсолютные показатели вариации
Рассчитываются по формулам.
k
1) Объем (N) – количество данных. N   f i  f1  f 2  ...
i 0
2) Размах (R): R=X max  X min где X max , X min - наибольшее и наименьшее значение варианта,
соответственно.
3) Линейное отклонение d :
 
к
d взв 
X
i
i 1
к
X
=
к
f
i 1
X 1  X  X 2  X  ...  X к  X
или d взв 
f1  f 2  f 3  ...  f k
X
i 1
i
X
N
k
, гдеN   f i
i 1
i
4) Дисперсия
 X
к
(
2
взв
): 
2
в зв
=
i 1
 X  fi
2
i
k
f
i 1
2
или  взв

X

 X 2 f1  X 2  X  f 2  ...  X k  X  f k
f1  f 2  ...  f k
2
1
2
i
k
Z ik1 ( X i  X ) f i
, гдеN   f i  f1  f 2  ...  f k
N
i 1
5) Средне квадратическое отношение (  взв ): 
3.Относительные показатели вариации (%)
Вычисляются по формулам:
R
1) Относительный размах (К р ): К р =  100%
X
взв
= 2
2) Относительные линейные отклонение (Кf): K d 
d
 100%
x
F
 100%
X
4) Коэффициент равномерности (Р): Р=100-V.
Оценочный лист
Практическая работа № 14
«Показатели вариации»
3) Коэффициент вариации (V): V 
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование информации,
необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач,
профессионального
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме.
3.Владеет навыками расчета средних показателей
(среднего уровня признака)
4.Владеет навыками расчета дисперсии.
5.Владеет навыками расчета среднего квадратичного отклонения.
6.Владеет навыками составления расчётных таб52
Наличие компетенций
и личностного развития
лиц.
7.Владеет навыки анализа полученных данных.
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач,
оценивать их эффективность и качество
8.Заносит данные в таблицу.
9.Рассчитывает показатели вариации по формулам.
10.Применяет расчётную таблицу при решении задач.
11.Анализирует полученные результаты.
12.Определяет фактическое значение среднего показателя.
13.Формирует вывод по задаче.
14.Формирует вывод по работе.
ОК 3. Принимать
15.Самостоятельно строить таблицу для решения
решения в стан- задач.
дартных и нестан- 16.Самостоятельно делает расчеты показателей.
дартных ситуациях 17.Самостоятельно заносит данные в таблицу.
и нести за них от- 18.Самостоятельно
определяет
причинноветственность.
следственные связи при анализе данных.
ОК 8 Самостоя- 19.Понимает значимость выполняемой работы.
тельно определять 20.Оценивает результаты своего труда.
задачи профессио21Оформляет график, согласно требованиям.
нального и лич22Оформляет работу, согласно требованиям.
ностного развития,
ПК 6.1 Участвовать 23.Адекватно реагирует на замечания.
в планировании ос- 24.Составляет аналитическую справку, согласно
новных производ- требованиям.
ственных показателей
ПК. 6.2 Планировать
выполнение
работ исполнителями
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать
результаты
выполнения работ
ПК
6.5
Вести
утвержденную
учетно – отчетную
документацию
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 48 баллов
91%-100% - «5» 44-48 баллов
75%-90% - «4» 36-43 баллов
61%-74% - «3» 29-35баллов
0%-60% - «2» 0-34 баллов
53
Практическая работа № 15
Тема: Ряды динамики
Цель: 1) Формирование общих и профессиональных компетенций:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации
ПК 6.1 Участвовать в планировании основных производственных показателей
ПК. 6.2 Планировать выполнение работ исполнителями
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать результаты выполнения работ
ПК 6.5 Вести утвержденную учетно – отчетную документацию.
2)Закрепить умения расчета показателей, характеризующих тенденцию динамики; закрепить
навыки проведения тренда статистических данных.
Ход работы
1. Ответить на вопросы
1) Какой ряд статистических данных называется динамическим?
2) Укажите элементы ряда динамики.
3) Какой ряд динамики называется моментальным?
4) Какой ряд динамики называется периодическим?
5) Какие показатели применяются при расчете и анализе тенденции динамики?
2. Решить задачу.
Задание к решению задачи:
1) Провести тренд по предприятиям машиностроительной отрасли.
Вариант 1 принимает к распространению данные о предприятии №1.
Вариант 2 - предприятия №2 (данные расчета, свести в таблицу)
2) Графически изобразить темпы роста (в %) отгруженных материалов по дням, пользуясь базовыми и цепными показателями.
3) Сделать сравнительный анализ построенных графиков, определив средний уровень
отгруженных материалов.
Задача. Имеются следующие данные о плане поставок материалов товара на месяц по
предприятиям: по предприятию №1 план 4200 т. По предприятию №2 план 8800 т. Машиностроительной отрасли. За базисный уровень принять 1-й день отгрузки (Дата 1)
Данные о фактической поставке материалов товара этим предприятиям показаны в следующей таблице:
Дата
Отгружено материалов
Дата отОтгружено материалов
отгрузки
грузки
Предприятие
Предприятие
Предприятие
Предприятие
№1
№2
№1
№2
1
112
315
16
160
406
2
112
225
17
190
410
3
100
200
18
183
280
4
120
230
19
185
260
5
112
300
20
130
320
54
6
110
320
21
180
310
7
110
360
22
140
360
8
146
280
23
130
350
9
160
270
24
140
370
10
150
260
25
170
200
11
140
270
26
180
280
12
160
380
27
130
255
13
159
360
28
160
320
14
164
250
29
170
330
3.Сформулировать вывод по работе (в выводе указать какие показатели характеризуют
тенденцию динамики)
Методические рекомендации к практической работе № 14
Тема: Ряды динамики
1) При проведении тренд, рассчитав основные показатели.
Абсолютный прирост, темпы роста, темпы прироста, применив формулы:
У
Аб  У i  У 0 ; Ацеп  У i  У i 1 ; Т р.б .  i  100% ;
У0
У
Т р.ц  i  100% ; Т пр.б .  Т р.б .  100% ; Т пр.ц .  Т р.ц .  100% ,
У i 1
где Аб – базисный абсолютный прирост выражается в тоннах; Ацеп – цепной абсолютный
прирост (тонны); У0 – базисный уровень, т; Уi - текущий уровень, т; Уi-1 – предыдущий уровень, т; Тр.б. – базисный темп роста, %; Тр.ц. – цепной темп роста, %; Тпр.б. - базисный темп
прироста, %; Тпр.ц. – цепной темп прироста, %;
2) Графики базисных и цепных темпов роста строят на одном чертеже разными цветами в
виде полигона. В вершине звена указываются величина темпа роста. При этом применяются
оси координат вида
Темпы роста, %
30
20
10
дни
1 2 3
2) Пример расчетной таблицы показателей динамики. (Таблице присваиваются
название и текущий номер, в конце должна быть итоговая срока.) Расчет
остальных показателей динамики заменяются расчетом удельного веса единиц совокупности. В названии таблицы указывают место и время исследования:
3)
Таблица 1- Основные показатели динамики отгруженных материалов завода …. за …. месяц…. года.
№
п/п
1
2
Дата
01…
02…
Отгружено
материалов, т
Абсолютный
прирост, т
БазисЦепный
ной
112
112
55
Темп роста, %
Базисные
Цепные
Темпы прироста, %
БазисЦепные
ные
Удельный
вес, % к
итогу
Итого:
4) Средний уровень отгруженных материалов вычисляется как средняя арифметическая
n
простая величина по формуле: У 
У
i 1
n
i

y1  y2  y3 ...  yn
, где уi – текущий уровень (т), n –
n
количество уровней в совокупности.
Оценочный лист
Практическая работа № 15
«Ряды динамики»
Компетенции
Признаки компетенции
ОК 4. Осуществлять
поиск и использование информации,
необходимой для
эффективного выполнения профессиональных задач,
профессионального
и личностного развития
1.Владеет терминологией по теме.
2.Владеет символикой по теме.
3.Владеет навыками расчета показателя абсолютного прироста (базисного и цельного).
4.Владеет навыками расчета показателей типов роста (базисных и цельных).
5.Владеет навыками расчета показателей темпов
прироста (базисных и цельных).
6.Владеет навыками расчета удельного веса.
7.Владеет навыки расчета среднего уровня.
8.Владеет навыками построения графика динамики
развития процесса.
9.Заносит данные в таблицу.
11Рассчитывает показатели, характеризующих
тенденцию динамики по формулам.
11.Применяет расчётную таблицу при решении задач.
12.Анализирует полученные результаты.
13.Определяет средний уровень признака.
14.Формирует вывод по задаче.
15.Формирует вывод по работе.
ОК 2. Организовывать собственную
деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач,
оценивать их эффективность и качество
ОК 3. Принимать
решения в стандартных и нестандартных ситуациях
и нести за них ответственность.
ОК 8 Самостоятельно определять
задачи профессионального и личностного развития,
ПК 6.1 Участвовать
в планировании основных производственных показателей
ПК. 6.2 Планиро-
16.Самостоятельно строить таблицу для решения
задач.
17.Самостоятельно делает расчеты показателей
динамики, удельного веса.
18.Самостоятельно заполняет таблицу.
19.Самостоятельно
определяет
причинноследственные связи при анализе данных.
20.Понимает значимость выполняемой работы.
22.Оценивает результаты своего труда.
23.Оформляет график, согласно требованиям.
24.Оформляет работу, согласно требованиям.
25.Представляет график динамики процесса.
26.Адекватно реагирует на замечания.
27.Составляет аналитическую справку, согласно
требованиям.
56
Наличие компетенций
вать
выполнение
работ исполнителями
ПК 6.4 Контролировать ход и оценивать
результаты
выполнения работ
ПК
6.5
Вести
утвержденную
учетно – отчетную
документацию
Шкала оценки:
0 баллов
- признак отсутствует
1 балл
- признак присутствует частично
2 балла
- признак присутствует в полном объеме
100% - 54 баллов
91%-100% - «5» 49 -54 баллов
75%-90% - «4» 41-48 баллов
61%-74% - «3» 33-40 баллов
0%-60% - «2» 0 -32 баллов
57
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Общая теория статистики: Учебник/Под ред. И.И. Елисеевой. – М.: Финансы и статистика, 2006 г.
2. Ефимова М.Р., Рябцев В.М. Общая теория статистики. – М.: ИНФРА, 2008г.
3. Общая теория статистики: Учебник/Под ред. Спирина А.А., Башиной О.Э. – М.: Финансы и статистика, 2006 г.
4. Л.И. Кожухарь. Основы общей теории статистики. М.: Финансы и статистика, 2009г.
5. Теория статистики: Учебник/Под ред. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика,
2008г.
6.. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.Л. Математика для техникумов. – М.:
Наука, 1991.
7. Башмаков М.И. Математика. – М.: Высшая школа,2005.
8. Богомолов Н.В. практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов. – М.: Высшая школа,2007.
9. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса, учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: просвещение,
2005.
10. Ефимова М.Р., Рябцев В.М. Общая теория статистики. – М.: ИНФРА, 2002.
11. Замков О., Толстопятко А., Черемных Ю. Математические методы в экономике. –
М.: ДИС,2007.
12. Исследование операций в экономике/ учебное пособие для ВУЗов (под ред. Н.Ш.
Кремера). – М.: Банки и биржи ЮНИТИ, 2009.
13. Исследование операций в экономике/ Учебное пособие для ВУЗов (под ред. Н.Ш.
Кремер, Б.А. Путько, И.М. Тришин и др.). – М.: ЮНИТИ, 2005.
14. Красс М.С., Чупрыков Б.Н. Основы математики и ее приложения в экономическом
образовании. Учебник. – М.: Дело, 2005.
15. Курс высшей математики для экономистов. – М.: Высшая школа, 2009.
16. Малик Г.С. Основы экономики и математические методы в планировании. Учебник. – М.:
Высшая школа,2008.
17.Дадаян А.А. «Математика»:М,ФОРУМ:ИНФА-М-2005г
Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник .-7-е изд., испр.-М.: Дело, 2007.-400 с.
18.Е.В.Михеева, О. И. Титова. Информационные технологии в профессиональной деятельности экономиста и бухгалтера. Учебное пособие для студ.сред.проф.образования,
Академия, 2006 г, 210с.
19.Е.В.Михеева, О. И. Титова. Практикум по информационным технологиям в профессиональной деятельности экономиста и бухгалтера (5-е издание) издательство "Академия" ·
2008 г. · 224 с.
Интернет-ресурсы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
http://www.dowjones.com/
http://www.nasdaq.com/
http://finance.yahoo.com/
http://www.rbc.ru/
http://www.quicken.com/
http://www.interstock.ru/
58
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Афанасьева О.Н., Бродский Я.С., Павлов А.Л. Математика для техникумов. – М.:
Наука, 1991.
2. Башмаков М.И. Математика. – М.: Высшая школа, 1994.
3. Богомолов Н.В. практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов. – М.: Высшая школа, 1990.
4. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса, учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: просвещение,
1995.
5. Ефимова М.Р., Рябцев В.М. Общая теория статистики. – М.: ИНФРА, 2002.
6. Замков О., Толстопятко А., Черемных Ю. Математические методы в экономике. –
М.: ДИС, 1997.
7. Исследование операций в экономике/ учебное пособие для ВУЗов (под ред. Н.Ш.
Кремера). – М.: Банки и биржи ЮНИТИ, 1999.
8. Исследование операций в экономике/ Учебное пособие для ВУЗов (под ред. Н.Ш.
Кремер, Б.А. Путько, И.М. Тришин и др.). – М.: ЮНИТИ, 2001.
9. Красс М.С., Чупрыков Б.Н. Основы математики и ее приложения в экономическом
образовании. Учебник. – М.: Дело, 2000.
10. Курс высшей математики для экономистов. – М.: Высшая школа, 2001.
11. Малик Г.С. Основы экономики и математические методы в планировании. Учебник. – М.: Высшая школа, 1988.
59