Задачи и вопросы по теории вероятностей для закрепления

Задачи и вопросы по теории вероятностей для
закрепления пройденного материала. Уровень 2.
1. В зале 10 рядов. Сколько существует способов размещения 5 зрителей, если в
одном ряду должно быть не более одного зрителя?
Отв. А105 = 10∙9∙8∙7∙6 =30240.
2. Из 5 пятиклассников, 6 шестиклассников и 7 семиклассников надо выбрать 4
ученика на конференцию. Сколькими способами можно осуществить этот
выбор, если среди выбранных должны быть ученики разных классов?
Отв. А52∙А61∙А71 + А51∙А62∙А71 + А51∙А61∙А72 = 3150.
3. Сколькими способами можно раздать 28 костей домино четверым игрокам
так, чтобы каждый получил 7 костей?
Отв. С287∙С217∙С147 = ( 28! )/( 7! )4.
4. Пять авторов должны написать книгу из 18 глав, причем первый и третий
должны написать по 4 главы, второй-5, четвертый -3, а пятый 2 главы книги.
Сколькими способами можно распределить главы между авторами?
Отв. Первому автору можно дать главы С184 способами, второму – С145 ( из
оставшихся 14 глав ), третьему – С94, четвертому – С53, пятый получит
оставшиеся 2 главы однозначно:
С184∙С145∙С94∙С53.
5. Хоккейная команда состоит из 2 вратарей, 7 защитников и 10 нападающих.
Сколькими способами тренер может образовать стартовую шестерку,
состоящую из вратаря, двух защитников и трех нападающих?
Отв. С21∙С72∙С103 = 5040.
6. Сколько существует способов размещения 9 человек в двухместный,
трехместный и четырехместный номера гостиницы?
Отв. С92∙С73∙С44 = 1260.
7. У одного школьника имеется 5 различных книг для обмена, а у другого - 12.
Сколькими способами они могут осуществить обмен: а) книга на книгу? б) две
книги на две книги?
Отв. а) 5∙20 = 60; б) С52∙С122 = 660.
8. Сколько существует четырехзначных чисел, у которых совпадают а) только 3
цифры, б) только 2 цифры?
Отв. а) 3∙92; б) 6∙93.
9. Известно, что крокодил имеет не более 68 зубов. Доказать, что среди 1617
крокодилов может не оказаться двух крокодилов с одним и тем же набором
зубов.
Отв. Максимальное количество крокодилов с неодинаковым набором зубов
равно 268. Так как 1617 = 268, то среди большего числа крокодилов найдутся
особи с одинаковым набором зубов.
10. Буквы азбуки Морзе представляют собой набор « точек » и « тире». Сколько
букв может быть в азбуке Морзе, если буква не должна содержать более
четырех знаков?
Отв. 24 + 23 +22 + 21 = 30.
11. На заводе работает 30000 рабочих и служащих. Показать, что на данном
заводе обязательно найдутся хотя бы 2 человека с одинаковыми инициалами
имени, отчества и фамилии.
Отв. Всего вариантов инициалов 303, если исключить Ь, Ъ, Ы.
12. Быстро вращающийся диск разделен на четное число равных секторов,
попеременно окрашенных в белый и черный цвет. По диску произведен
выстрел. Найти вероятность того, что пуля попадет в один из черных секторов.
Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру
пропорциональна площади этой фигуры.
Отв. 1/2.
13. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода
обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток.
Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать
освобождения причала, если время стоянки первого парохода – один час, а
второго – два часа.
Отв. 139/1152.
14. Пара одинаковых игральных костей бросается 7 раз. Какова вероятность
следующих событий: А – сумма очков, равная 7 выпадет дважды, В - сумма
очков, равная 7, выпадет хотя бы 1 раз, С – каждый раз выпадет сумма очков,
большая 7, Д – ни разу не выпадет сумма очков, равная 12.
Отв. Р( А ) = Р7(2) = С72∙ (1/6)2∙(5/6)5 ≈ 0,234; Р(В) = 1- (5/6)7 ≈ 0,721; Р(С) =
(15/36)7; Р(Д) = Р7(0) =(35/36)7 ≈ 0,821.
15. Куб, все грани которого окрашены, распилен на 64 кубика одинакового
размера. Полученные кубики тщательно перемешаны. Какова вероятность того,
что среди наудачу выбранных двух кубиков оба имеют ровно две окрашенных
грани?
Отв. (24/64)∙(23/63) = 23/168.
16. В подъезде дома установлен замок. Дверь автоматически открывается, если
в определенной последовательности набрать 3 цифры из 10. Какова
вероятность открыть дверь за один час не зная кода, если наудачу пробовать
различные комбинации из трех цифр, затрачивая на каждую попытку 20
секунд?
Отв. 0,18 ( всего 103 комбинаций ).
17. В коробке 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Найти вероятность
того, что из трех вынутых карандашей:
а) все одного цвета;
б) все разного цвета;
в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш.
Отв. а)
С53  С 43  С33
С51  С 41  С31 3
С52  С31
3
3
,
б)
,
в)


0
,
0675


0
,
2727

 0,136
3
3
3
44
11
22
С12
С12
С12
18. Первенство по волейболу разыгрывают 16 команд, среди которых 2
команды экстракласса. Для уменьшения общего числа игр команды путем
жеребьевки разбиваются на две равные группы. Какова вероятность того, что
команды экстракласса окажутся: а) в разных подгруппах; а) в одной подгруппе?
Отв. а) Р = ( С21∙С147 )/( С168 ) = 8/15; б) Р = 1-(8/15) = 7/15.
19. Студент знает 20 вопросов из 30.Зачет считается сданным, если студент
ответит не менее чем на 3 из 4 поставленных в билете вопросов. Взглянув на
первый вопрос билета, студент обнаружил, что знает его. Какова вероятность
того, что студент сдаст зачет?
Отв. (С204 + С203С101)/С304 = 361/609.