2009_k2_m_11

Н.Е.Пишкова,
преподаватель кафедры информатики и ИТ ДВГГУ
ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ: ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЁ ПРИМЕНЕНИЕ
С 2010 года в контрольно-измерительные материалы по математике внесены
определённые изменения. Экзамен теперь состоит их двух частей. В первой части 12
заданий с кратким ответом, во второй части 6 заданий в которых требуется записать
полное решение задачи. Также следует отметить, что с 2010 года варианты первой
части ЕГЭ по математике будут формироваться на базе открытого банка заданий.
Некоторые издания Федерального института педагогических измерений уже
опубликовали материалы этого банка, далее поэтапно они все будут представлены в
Интернете и официальных изданиях. Но уже сегодня возможно проанализировать
полученные материалы и иметь достаточную информацию о том, какие задания
следует ожидать в первой части ЕГЭ.
Темы «Производная функции и её
геометрический смысл», «Применение производной»
представлены двумя
заданиями (В8 и В11). Задачи можно отнести к одной из следующих групп:
o вычисление углового коэффициента касательной к графику функции в
заданной точке или угла, образованного данной касательной с положительным
направлением оси абсцисс;
o вычисление координат точек графика данной функции, угловой коэффициент
касательной в которых равен данному числу;
o вычисление координат точек графика данной функции, касательная в которых
образует с положительным направлением оси абсцисс данный угол;
o составление уравнений касательных к графику функции, проходящих через
данные точки;
o нахождение промежутков возрастания или убывания функции;
o нахождение точек максимума или минимума функции;
o нахождение наибольшего или наименьшего значений функции.
Рассмотрим некоторые примеры:
Пример 1.
y  f (x) и
На рисунке изображён график функции
касательная к этому графику, проведённая в точке с
абсциссой x0 . Найдите значение
производной
функции y  f (x) в точке x0 .
Решение:
Значение производной функции в точке равно угловому
коэффициенту касательной к графику функции в этой
точке,
или тангенсу угла, образованного данной
касательной с положительным направлением оси абсцисс: f ( x0 )  k  tg ( ) . Значение
тангенса угла можно легко найти из прямоугольного треугольника (тангенс острого
угла прямоугольного треугольника равен отношению противолежащего катета к
прилежащему,- катеты же этого треугольника очень хорошо выделены на рисунке):
tg ( ) 
2 1
  0.5 .
4 2
(Решение можно также легко получить другим способом, если составить уравнение
прямой, проходящей через две точки с известными координатами (0;2) и (-4;0), у
которой и будет определён искомый угловой коэффициент)
Ответ: f ( x0 )  0,5
Пример 2.
Функция определена на отрезке [-4;4]. На
рисунке
изображён её график. Найдите точку
минимума этой функции на интервале (-3;3)
Решение:
На рисунке изображён график функции.
При x  1 функция имеет минимум.
Ответ: 1.
Пример 3.
Функция определена на отрезке [-4;4]. На рисунке (смотри рисунок к примеру
2) изображён её график. В какой точке она принимает своё наименьшее значение?
Решение:
На рисунке изображён график функции. По графику видно, что своё
наименьшее значение, равное  3 , функция принимает при x  4
Ответ:  4 .
Пример 4.
На рисунке изображён график производной функции. Найдите точку максимума
функции y  f (x) на отрезке [-6;6].
Решение:
Производная y  f (x) заданной функции
определена и непрерывна в каждой точке
промежутка (-6;6), и её график пересекает ось
абсцисс в
точке x  4 , т.е. производная
y  f (x) принимает в этой точке значение 0, и при
переходе
через неё меняет свои значения с
положительных на отрицательные. Следовательно,
в
этой точке происходит смена возрастания функции на убывание и она имеет здесь
максимум.
Ответ: 4.
Пример 5.
Функция f (x) определена на интервале (8;8). На рисунке
изображён график её
производной. Найдите длину наибольшего
промежутка возрастания функции y  f (x) .
Решение:
Производная y  f (x) заданной функции
определена и непрерывна в каждой точке интервала (-8;8). По графику легко
определить промежутки её знакопостоянства, т.е. положительные значения
производная имеет на интервалах (-7;-4), (-1;3) и (6;8), следовательно, функция при
этих значениях аргумента – возрастает. Длина наибольшего из выбранных
промежутков равна 4.
Ответ: 4.
Пример 6.
f (x ) определена
Функция
на
интервале (-8;8). На рисунке изображён
график её производной y  f (x) . Найдите
сумму точек экстремума этой функции.
Решение:
y  f (x)
Производная
заданной
функции определена и непрерывна в
каждой точке промежутка (-8;8), и её график пересекает ось абсцисс в четырёх
точках, т.е. производная y  f (x) принимает в этих точках значение 0 и при переходе
через каждую из них меняет знак. Следовательно, в этих точках функция имеет
экстремум. Вычислим значение суммы точек экстремума:  5  (2)  3  6  2
Ответ: 2.
Пример 7.
f (x ) определена
Функция
на
интервале (-6;3). На рисунке изображён
график её производной. В какой точке
отрезка [-3;2] функция f (x) принимает
наибольшее значение?
Решение:
При всех значениях аргумента на исследуемом отрезке [-3;2] производная
принимает положительные значения (график производной расположен выше оси
абсцисс), значит, функция f (x) на данном отрезке возрастает и большему значению
аргумента x  2 соответствует большее значение функции.
Ответ: x  2
Примечание: При решении задач подобного вида (примеры 2-7) следует
внимательно прочитать условие и
отметить, что на чертеже изображён либо
график функции, либо график её производной.
Пример 8.
5
 6 на отрезке
Найдите наибольшее значение функции y  10 2 cos x  10 x 
2
 
0; 2  . Решение:
Функция, непрерывная на отрезке принимает наибольшее значение в
критических точках, являющихся внутренними точками отрезка или на концах этого
отрезка. Вычислим производную данной функции:
5
y  (10 2 cos x)  (10 x)  ( )  (6)  10 2 sin x  10 ;
2
Найдём критические точки, решив уравнение y   0 .
 10 2 sin x  10  0 ; sin x 
1
;
2
x  (1) n  arcsin
1
 n, n  Z ;
2

 n, n  Z .
4

 
Отрезку 0;  принадлежит лишь одна критическая точка x  , (полученная
4
 2
при n  0 )
x  (1) n 
Вычислим значения функции в критической точке и на концах данного отрезка:
5
5
y (0)  10 2 cos 0 
 6  10 2 
 6  12,3 ;
2
2


 5
1 5 5
y( )  10 2 cos  10 
 6  10 2


 6  16 ;
4
4
4 2
2
2 2


 5
10 5
5
y ( )  10 2 cos  10 
6

66
 13,8 .
2
2
2 2
2
2
2
Следовательно, наибольшее значение функции y  10 2 cos x  10 x 
5
 6 на
2
 
данном отрезке 0;  равно 16.
 2
Ответ: 16
Пример 9.
Найдите точку минимума функции y  (15  x)  e15 x
Решение:
Функция определена для всех действительных значений аргумента, т.е. при
y  e15 x  (15  x)  (e15 x )  e15 x  ( x  16) .
x  R . Найдём производную функции:
Функция имеет единственную критическую точку x  16 , в которой производная
y   0 (первый множитель e15 x при всех значения аргумента >0) . В этой точке
производная y меняет знак с «–» на «+» (смотри рисунок), следовательно в точке
x  16 функция имеет минимум.
y
–
+
16
x
y
Ответ: 16
Пример 10.
Найдите площадь треугольника, две вершины которого лежат на графике
функции f ( x)  6 x  5 и имеют абсциссы 21 и -21, а третья вершинная является
пересечением касательных, проведённых к графику данной функции в двух первых
вершинах треугольника.
Решение:
1.Область определения функции задаётся неравенством x  5  0 , откуда
получаем x  5 или x  5 .
f ( x)  6  x  5 ; найдём её
2. При x  5 , функция принимает вид
3
, а также значения функции и производной в точке
 x5
f (21)  0,75 . Используя полученные результаты, составим
x  21 : f (21)  24,
уравнение касательной y  24  0,75  ( x  21) ;
производную f ( x) 
y  0,75 x  8,25 .
3. При x  5 , функция принимает вид f ( x)  6 x  5 ; найдём её производную
3
, а также значения функции и производной в точке x  21:
x5
f (21)  0,75 . Уравнение касательной имеет вид
y  0,75 x  8,25 .
f ( x)  
f (21)  24,
4. Найдём абсциссу точки пересечения касательных. Для этого решим
 0,75 x  8,25  0,75 x  8,25  x  0 . Следовательно, ордината точки
уравнение
пересечения: y  8,25 .
Таким образом, координаты вершин треугольника: A(-21;-24);
В(21;-24) и С(0;-8,25). Ординаты точек А и В равны, значит, сторона АВ
параллельна оси абсцисс ОХ. Следовательно, высота треугольника, проведённая из
вершины С: h=  24  (8,25)  15,75 . Тогда искомая площадь треугольника АВС:
S ABC 
1
1
AB  h   42  15,75  330,75
2
2
Ответ: 330,75
Контрольная работа №2 для учащихся 11 классов
Приведенные ниже задания являются контрольной работой №2 для учащихся
11 классов. Каждая задача оценивается в 5 баллов, для зачета нужно набрать не
менее 15 баллов.
Правила оформления работ:
Решения по каждому предмету оформляются отдельно. Каждое задание
имеет свой шифр (М11.2.1 и т.д.), который указывается перед записью решения.
Переписывать текст задачи не надо, достаточно краткой записи, если это
необходимо. Оформлять решения в порядке следования заданий. Можно присылать
нам столько решений, сколько удалось вам сделать, даже если оказалось
невозможным выполнить всю работу.
Наш адрес: 680000, г. Хабаровск, ул. Дзержинского, 48, ХКЦТТ (ХКЗФМШ).
Подробнее познакомиться со школой, ее традициями можно на нашем сайте:
www.khspu.ru/~khpms/. Там же, на форуме, можно проконсультироваться по
вопросам, связанным с решением задач (и не только).
М. 11.2.1. На рисунке 1 изображён график
этому графику, проведённая в точке с абсциссой
функции y  f (x) в точке x0 .
М. 11.2.2. На рисунке 2 изображён график
этому графику, проведённая в точке с абсциссой
функции y  f (x) в точке x0 .
функции y  f (x) и касательная к
x0 . Найдите значение производной
функции y  f (x) и касательная к
x0 . Найдите значение производной
Рис.1
Рис.2
М. 11.2.3. На рисунке 3 изображён график функции y  f (x) и касательная к
этому графику, проведённая в точке с абсциссой x0 . Найдите значение производной
функции y  f (x) в точке x0 .
М. 11.2.4. Функция f (x) определена на отрезке[-4;4]. На рисунке 4 изображён
график её производной y  f (x) . Найдите точку минимума этой функции.
М. 11.2.5. Функция f (x) определена на отрезке [-4;4]. На рисунке 5 изображён
график её производной y  f (x) . Найдите точку максимума этой функции.
Рис.3
Рис.4
Рис.5
М. 11.2.6. Найдите наименьшее значение функции y  8x  ln( x  5)8 на отрезке
[-4,5;0] .
М. 11.2.7. Найдите точку максимума функции y  ( x  11) 2  e x4 .
М. 11.2.8. Угловой
коэффициент
касательной
к
графику
2
функции y( x)  x  7 x  11 равен значению функции в точке касания. Найдите
абсциссу точки касания.

М. 11.2.9. Для функции y ( x)  6 cos( x  ) найдите точки, в которых угловой
6
коэффициент касательной к графику этой функции равен значению функции.
М. 11.2.10. Найдите площадь треугольника, ограниченного осями координат и
касательной к графику функции f ( x)  5  4 x , проведённой в точке его пересечения с
прямой y  x .
Литература:
1. Единый государственный экзамен 2010. Математика. Универсальные
материалы для подготовки учащихся. Под редакцией А.Л.Семёнова и И.В. Ященко/
ФИПИ–М.: Интеллект-Центр,2009.
2. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразовательных
учреждений: базовый и профильный уровни/С.М.Никольский, М.К.Потапов,
Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин –М.:Просвещение,2009.