Применение метода конечных элементов в задачах

УДК 630.812 : 691.11
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
В ЗАДАЧАХ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МАТЕРИАЛОВ ИЗ ДРЕВЕСИНЫ
А.А. Титунин
Обоснован выбор метода конечных элементов для математической постановки задачи теплопроводности
материалов из древесины. Выведены необходимые зависимости и представлены расчетные модели для
решения трехмерного уравнения теплопроводности.
Метод конечных элементов, теплопроводность, строение древесины.
Метод конечных элементов (МКЭ) представляет собой известный численный метод
решения системы дифференциальных уравнений, описывающих большинство физических
процессов, в том числе – процесс переноса тепла [1]. Основная идея применения МКЭ
заключается в том, что непрерывная величина, температура, аппроксимируется дискретной
моделью, состоящей из множества кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном
числе элементарных областей, на которые разбивается исследуемая область (поверхность или
пространство). Сами кусочно-непрерывные функции определяются с помощью значений
непрерывной величины в конечном числе точек рассматриваемой области. Выбор МКЭ
обусловлен следующим: во-первых, метод можно применять при исследовании неоднородных тел,
в частности анизотропной древесины с сучками; во-вторых, метод позволяет описывать как
прямолинейные области (ламели), так и криволинейные (сучки); в-третьих, размеры элементов
могут быть переменными (вблизи сучков для более точной аппроксимации сеть разбиения
исследуемой области делается мельче); в-четвертых, этот метод позволяет решать задачи со
смешанными граничными условиями. Главным недостатком МКЭ длительное время являлась
необходимость разработки вычислительных программ и применение ЭВМ. В настоящее время эта
проблема решена, например, при использовании отечественного программного обеспечения [2].
Теплопроводность ограждающей конструкции из клееного бруса [3] при стационарном
режиме описывается дифференциальным уравнением в частных производных:

   T ( x, y , z )
x x x

 y  y  y T ( x, y, z )  




 z z z T ( x, y, z ) =0.


(1)
Для уравнения (1) существуют два типа граничных условий, определяющих, во-первых,
температуру на некоторой части границы поверхности
Т=ТВ (S);
(2)
во-вторых, конвективный теплообмен на поверхности
x T ( x, y, z) lx   y  y T ( x, y, z)  l y 
  z z T ( x, y, z )  l z + q +  (Tx, y, z  Tw )  0 , (3)
x
где λx , λy , λz – коэффициенты теплопроводности древесины соответственно в радиальном,
тангенциальном направлении и вдоль волокон древесины, Вт/(мК);
α – коэффициент теплообмена, Вт/(м2К);
Тw – температура окружающей среды, К;
Тx,y,z – температура на границе (искомая величина), К;
q – поток тепла, Вт/м2;
lx , ly , lz – направляющие косинусы вектора нормали к поверхности.
С вариационной точки зрения решение уравнения (1) граничными условиями (2) и (3)
эквивалентно минимизации функционала
Применение метода конечных элементов в задачах теплопроводности материалов для древесины
χ =  12 x x T ( x, y, z)

2
V 


2
  y   T ( x, y, z )    z  T ( x, y, z )  dV +
z
 y


2




  qT ( x, y, z )  12  T ( x, y, z )  Tw 2  dS .



2
(4)
S
Минимизация функционала должна осуществляться на множестве узловых значений
температуры {Т}. Предлагается применить следующую процедуру преобразования функционала
(4) для того, чтобы определить для узловых величин такие числовые значения, при которых
соотношения для элементов очень точно аппроксимируют искомый физический параметр –
температуру.
Введем две матрицы
T T T 
{g}T = 
 x y z 
и
 x 0 0 
D =  0 y 0  .


 0 0 z 
(5)
С учетом выражений (5) соотношение (4) можно записать в виде
 


χ = 12 {g}T [ D]{g} dV  TqdS 
V
S1
 2 T 2  2TTw  Tw2  dS.

(6)
S2
Для рассматриваемой задачи вместо функции от Т во всей области будем рассматривать
множество функций Т(е), определенных на отдельных конечных элементах. В этом случае
интегралы в выражении (6) разбиваются на интегралы по отдельным элементам, что дает
следующее преобразование
  12 {g (e)}T [D(e) ]{g (e)} dV 
e 1 ( e )
E

V


S
(e) T
1
S
(e)
2
(e) q (e) dS 
(7)


 ( e ) T (e)T (e)  2T (e)T  T 2 dS ,
w
w
2
В этой
формуде
нужен знак
суммы?
Или скобки
к нему?
Или записать:
χ (е) = …
без знака
суммы?
где Е – общее число конечных элементов.
Соотношение (7) символически может быть записано так
E
χ = χ(1) + χ(2) + …+ χ(Е) =
  (e) ,
(8)
e 1
(е)
где χ – вклад отдельного элемента в χ.
Минимизация χ требует выполнения соотношения

{T }
 {T }
E

e 1
 (e) 
E
 {T }  0 .
e 1
(e)
(9)
Применение метода конечных элементов в задачах теплопроводности материалов для древесины
3
 ( e )
Частные производные {T } не могут быть определены, пока интегралы в (7) не будут
выражены через узловые значения {T}.
Для функции Т введем следующую зависимость
Т(е) = [N(e)] {T} =
Ti 
 
T j 
= N i(e) , N (je) , N k(e) ,..., N r(e)  ,
... 
T 
 r
где r – число узлов элемента;
N – функции формы, по одной для каждого узла.
С учетом этой зависимости можно вычислить (5), после чего подставить ее в выражение (7):
 N1(e ) N 2(e ) N r(e) 
(
e
)
... x  T 

T

  x
x
 1 
 x   (e )
(e)
(
e
)

N

N
 (e)  
N r  T2 
2
g (e)   Ty    1y
...
(10)
y
y  ... 

 



 T (e )   N1(e ) N 2(e ) N r(e)  Tr 
... z 
 z   z
z


(e)
(e)
или {g } = [B ] {T},
(11)


 
где [B] – матрица, содержащая информацию, связанную с частными производными функции
формы.
С учетом выше приведенных выражений интегралы в выражении (7) могут быть записаны
по элементам в следующем виде
 (e) 
V

(eq) [ N (e) ]{T }dS  (e)2 [ N (e) ]T {T }T [ N (e) ]{T }dS 
S1

(e)12[ B(e) ]T {T }T [ D(e) ][B(e) ]{T }dV 
S2
(e) Tw[ N (e) ]{T }dS  (e)2Tw2dS.
S2
(12)
S2
Величины q, Tw и α – известны для материалов из древесины. Они внесены под знак интеграла,
т.к. могут изменяться внутри элемента с учетом особенностей процесса передачи тепла от одного
конечного элемента к другому. Продифференцируем выражение (12) по {T}:
Применение метода конечных элементов в задачах теплопроводности материалов для древесины
V
(e)12[ B(e) ]T {T }T [ D(e) ][B (e) ]{T }dV 
V
(e[)B (e) ]T [ D(e) ][B (e) ]{T }dV ;

{T }

(e)q[ N (e) ]{T }dS  (e)q[ N (e) ]T dS;

{T }
S1
S1
(e)2 [ N (e) ]T {T }T [ N (e) ]{T }dS 

{T }
S2
(e) [ N (e) ]T [ N (e) ]{T }dS;

S2

{T }
(e) Tw[ N (e) ]{T }dS  (e) Tw[ N (e) ]T dS; {T } (e)2Tw2dS  0.
S2
S2
S2
 ( e )

(13) сумму
Вклад отдельного элемента {T } в общую
равен
{T }
 ( e )
{T }


=  [ B(e) ]T [ D(e) ][ B(e) ]dV 
 (e)
V



+  [ N (e) ]T [ N (e) ]dS {T } 

(e)

S2


+
(eq) [ N (e) ]T dS  (e) Tw[ N (e) ]T dS.
S1
(14)
S2
Эта совокупность интегралов в свою очередь может быть записана в компактной форме:
 ( e )
{T }
= [K(e)]{T} + {f (e)},
где [K(e)] =
V
+
(15)
(e[)B(e) ]T [D(e) ][B(e) ]dV 
(e) [ N (e) ]T [ N (e) ]dS ;
(16)
S2
{f (e)} =
(e) q[ N (e) ]T dS  (e) Tw[ N (e) ]T dS.
S1
(17)
S2
Окончательно система уравнений получается после подстановки выражения (15) в (9):
 ( e )
{T }
E
=
 [K (e) ]{T }  { f (e)}  0
e 1
или [K]{T} = {F},
(18)
4
Применение метода конечных элементов в задачах теплопроводности материалов для древесины
E
где [K] =

[ K (e) ] ; {F} = 
e 1
5
E
{ f (e)}.
(19)
e 1
Интегралы в (16) определяют глобальную матрицу теплопроводности элемента [K(e)], а
интеграл (17) – вектор нагрузки элемента {f (e)}.
В качестве конечного элемента дискретизации предложено рассматривать тетраэдр с
четырьмя узлами. Функции формы, соответствующие этому элементу, имеют вид
Nβ = aβ + bβx + cβy + dβz,
(20)
где константы вычисляются с использованием определителей или матричным умножением.
Для выбранной формы конечного элемента запишем необходимые матрицы
[N] = [Ni Nj Nk Nl],
(21)
bi b j bk bl 


[B] = 1 ci c j ck cl .
6V


di d j d k dl 
(22)
Вычисление интегралов (16) и (17) дает следующие результаты:
bi bi

bi b j
T

x
[ B ] [ D ] [B]dV =
36V b b
 i k
V
b b
 i l

ci ci

y ci c j
 36V 
ci ck
c c
 i l
d i d i

d i d j

z
 36V 
d i d k
d d
 i l

ci c j
ci ck
c j c j c j ck
c j c k ck c k
c j cl
ck cl
di d j di d k
d j d j d j dk
d j dk dk dk
d j dl d k dl
 [ N ]T [ N ]dS
S2
bi b j bi bk bi bl 

b j b j b j bk b j bl 

b j bk bk bk bk bl 
b j bl bk bl bl bl 
ci cl 

c j cl 

ck cl 
cl bl 
di dl 

d j dl 
(23)
.
d k d l 
d l d l 
0 0
 12  2
0 1
0 1
S jkl 0
0
1
2
1
0
1 ,
1
2
(24)
где Sjkl – площадь поверхности, содержащей узлы j, k, l и т.д.
1

qS 1
q[ N ]T dS    .
4 1

S
1

 Tw[ N ]T dS 
S
TS jkl
3
(25)
0
1 
 
.
1 
1 
 
1 
(26)
Применение метода конечных элементов в задачах теплопроводности материалов для древесины
6
Для интеграла (24) существуют три другие формы записи, по одной на каждую из
оставшихся сторон. В каждой из них значения коэффициентов на главной диагонали равны двум и
значения ненулевых коэффициентов вне главной диагонали равны единице. Коэффициенты в
строках и столбцах, соответствующих узлам, расположенным вне рассматриваемой поверхности
тетраэдра, равны нулю. Для интеграла (26) тоже существует три другие формы записи. Нулевой
коэффициент находится в строке, соответствующей узлу вне рассматриваемой поверхности.
Таким образом, выведены все необходимые зависимости и получены необходимые данные
для определения значений распределения температуры T(x,y,z), при котором функционал χ
становится минимальным, что соответствует решению исходного уравнения теплопроводности.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов : пер. с англ. / под ред. д-ра физ.-мат.
наук Б. Е. Победри. – М. : Мир, 1979. – 392 с.
2. Тепловые расчеты в среде T-FLEX Анализ [Электронный ресурс] / П. Ануфриков, С. Козлов, А.
Сущих // САПР и графика. – 2010. – №11. – Режим доступа : http://www.sapr.ru/Article.
3. Титунин А.А. Математическая модель теплопроводности клееного бруса и ее применение при
проектировании ограждающих конструкций деревянных зданий / А. А. Титунин, К. В. Зайцева. //
Вестник КГТУ. – 2009. – №20. – С. 114–117.
APPLICATION OF FINITE ELEMENT METHOD
IN WOOD MATERIAL HEAT CONDUCTION PROBLEMS
A.A. Titunin
Choice of finite element method for mathematical formulation of wood material heat conductivity problem is studied .
Necessary dependencies are derived and calculation models for heat conductivity three-dimensional equation are
presented.
Finite element method, heat conductivity, bond cant, wood structure.
Рекомендована кафедрой МТД КГТУ
Поступила 28.03.2011