РЕШЕНИЯ 10 класс математикаx

10 класс
1. Сколько решений имеет уравнение:
7х2 – 21 х + 7 = 0.
Постройте график функции у = 7х2 – 21 х + 7.
2. На стороне ВС треугольника АВС выбрана точка F. Оказалось, что
отрезок AF пересекает медиану BD в точке Е так, что АЕ = ВС. Докажите,
что BF = FE.
3. Натуральные числа a, b, c, d, e, f удовлетворяют системе равенств
a  b  cd

c  d  ef
e  f  ab

Найдите сумму a+b+c+d+ e+f этих чисел.
4. Старший брат говорил младшем: «Когда мне было столько лет,
сколько тебе сейчас, то я был втрое старше тебя, а когда тебе будет
столько лет, сколько мне сейчас, то нам вместе будет 60 лет. Сколько
лет братьям?
5. Найдите все целые решения уравнения x 2  2 xy  2 x  y  1  0 .
Решение 10 класс
1. 4 решения.
2. Продолжим медиану BD до точки G так, что DG = BD. ABCG параллелограмм
B
F
E
A
D
C
G
Из АВ = ВС = АG следует, что AEG - равнобедренный, то есть AEG  AGE .
Но тогда EBF  BEF и ВF = FE.
3.
Ответ: 12 или 21.
Сложив все три равенства системы, перенеся все слагаемые в одну часть,
получим аb – а – b + сd – с – d =ef – e – f = 0, или
(а – 1)(b – 1) + (с – 1)(d – 1) + (е – 1)(f – 1) = 3
(1)
Так как а, b, с, d, е, f — натуральные числа, то все три слагаемые в левой части
— целые неотрицательные числа. Поэтому возможны следующие 2 случая.
1. Все слагаемые в левой части равны по 1. Тогда а –1 = b – 1 = с – 1 = d –
1=
е – 1 = f – 1 = 1, то есть а = b = с = d = е = f = 2, что, очевидно,
удовлетворяет
данной системе. В этом случае а + b + с + d + е + f =12
2. Одно из слагаемых в левой части равно 0. Пусть, например (а –1)( b –1)
=0, тогда одно из чисел а или b равно 1 и уравнение (1) примет вид
(c – 1)(d – 1) + (e – 1)(f – 1) = 3
(2)
В этом уравнении в левой части либо стоят слагаемые 0 и 3, либо 1 и 2.
А) Пусть стоят числа 0 и 3. Заметим, что, не ограничивая общности, можно
считать, (c – 1)(d – 1)= 0, (e – 1)(f – 1) = 3, так как если а, b, с, d, е, f —
решение системы, то и наборы c, d, e, f, a, b и e, f, a, b, c, d также ее
решения (т.е. решение ищем с точностью до перестановок пар и
перестановок чисел в каждой паре). Таким образом, одно из чисел с или d
равно 1, а числа е и f – это 2 и 4. Тогда е + f = 6 и f e = 8, и,
следовательно, решениями системы будут пары чисел (1,6), (1,7), (2,4).
Поэтому сумма а + b + с + d + е + f = 21.
Б) Если же в левой части (2) стоят слагаемые 1 и 2, то либо 1) с и d –
это числа 2 и 2, а е и f – числа 2 и 3, либо 2) с и d – это числа 2 и 3 а е и f числа 2 и 2. Но эти пары не удовлетворяют соотношению с + d = e f.
Следовательно, решениями системы (с точностью до перестановок)
являются указанные выше пары.
4.Пусть возраст братьев в настоящий момент c и m. Старшему брату было
столько, сколько младшему сейчас с-т лет назад. Тогда младшему было т-(ст)=2т-с Так как старший брат был тогда в 3 раза старше младшего, то
получаем уравнение т=3(2т-с), откуда 5т=3с. Младшему брату будет столько
лет, сколько старшему, через с-т лет. Тогда старшему брату будет 2с-т лет. Так
как им 60 лет, то получим второе уравнение с+2с-т=60. Т. к. 3с=5т, то из этого
уравнения имеем 5т-т=60, откуда т=15. Следовательно с=25
.
5. Ответ: (0; 1): (- 1; 0).
Преобразуем данное уравнение, выразив переменную y через
x2
 1 , так
переменную x: x - 2xy + 2x – y = 0  y(2x + 1) = x + 2x + 1  y =
2x  1
2
как 2x + 1

2
0 при любых целых значениях x. Для того, чтобы y было целым,
необходимо и достаточно, чтобы дробь
x2
принимала целые значения.
2x  1
Заметим, что НОД(2x + 1; x) = НОД(x + 1; x) = 1, поэтому числа x 2 и 2x + 1 взаимно простые. Следовательно, выражение
x2
принимает целые
2x  1
значения, если 2x + 1 =  1. Таким образом, решения данного уравнения: x =
0, y = 1 или x = - 1, y = 0.
(можно выразить переменную y через переменную x: x 2 - 2xy + 2x – y = 0
 y(2x
+ 1) = x 2 + 2x + 1
как 2x + 1


у=
x 2  2x  1
4 x 2  8x  4
1
, 4y =
, 4у = 2х +3 +
так
2x  1
2x  1
2x  1
0 при любых целых значениях x. Для того, чтобы y было целым,
необходимо и достаточно, чтобы дробь
1
принимала целые значения.
2x  1
Таким образом, 2x + 1 =  1 и решения данного уравнения: x = 0, y = 1 или x = 1, y = 0.)