Вопросы вступительного экзамена в докторантуру по специальности

Вопросы вступительного экзамена в докторантуру по специальности
6D070500 «Математическое и компьютерное моделирование»
I блок
1. Теорема Больцано-Вейерштрасса и критерий Коши для числовых последовательностей .
2. Числовые последовательности и свойства сходящихся числовых последовательностей.
3. Понятие функций . Предел и непрерывность функций.
4. Свойства непрерывных функции на отрезке.
5. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши .
6. Формула Тейлора для функции одной переменной.
7. Понятие определенного интеграла.
8. Теорема о среднем для определенного интеграла.
9. Числовые ряды. Сходимость числовых рядов их свойства.
10. Фунциональные и степенные ряды.
11. Необходимое усовие сходимости функциональных рядов.
12. Криволинейные и поверхностные интегралы. Формула Грина.
13. Метрическое пространство. Непрерывные отображения в метрическом пространстве.
14. Изометрия. Компактность в метрическом пространстве.
Пополнение метрического пространства. Принцип сжимающих отображений в метрическом
пространстве.
15. Линейное нормированное пространство. Примеры.
16. Линейные функционалы.
17. Банаховы и гильбертовы пространства. Примеры.
18. Линейные операторы. Обратные операторы и их свойства.
19. Векторные функций со скалярными аргументами.
20. Огибающая семейства кривых, зависящих от параметра.
21. Длина дуги кривой. Кривизна кривой. Кручение кривой.
22. Элементарная поверхность. Общая поверхность. Регулярная поверхность. Особые точки
на регулярной поверхности.
23. Касательная плоскость поверхности.
24. Длина кривой на поверхности. Угол между кривыми на поверхности. Площадь
поверхности.
25. Кривизна кривой, лежащей на поверхности. Асимтотические направления.
Асимптотические линии. Сопряженные напрвления.
II блок
26. Прямые методы решения СЛАУ. Метод Гаусса. Существование и устойчивость решении .
Метод квадратичных корней. Метод Холецкого. LU-разложение.
27. Общая схема решения СЛАУ итерационным методом. Метод простой итерации. Метод
Зейделя. Метод сопряжённых градиентов.
28. Интерполяционные формулы Ньютона, Гаусса, Стирлинга-Бесселя, Лагранжа. Оценки
погрешности интерполяционных формул.
29. Разностные уравнения и их решения. Разностные сетки и сеточные функции.
30. Конечно-разностные схемы. Аппроксимация, сходимость и устойчивость. Сходимость как
следствие аппроксимации и устойчивости.
31. Существование решения краевых задач трехточечных разностных уравнении. Метод
прогонки.
32. Задача Коши для уравнений теплопроводности. Численные методы решения начальнокраевых задач для уравнений теплопроводности.
33. Матрицы. Основные операции над матрицами и их свойства.
34. Опредители и их свойства.
35. Определитель суммы и произведения матриц. Понятие обратной матрицы.
36. Алгебраическое дополнение, ранг и миноры матрицы. Теорема о базисном миноре
матрицы.
37. Общие методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Теорема КронекераКапелли.
38. Пониятие линейного пространства. Базис. Размерность подпространства.
39. Вешественное и комплексное Евклидово пространство, Неравенство Коши-Буняковского.
40. Линейный оператор и его свойства. Собственые значения и собственые векторы
линейных операторов.
Сопряженные операторы и их свойства.
41. Унитарные и нормальные операторы.
42. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому
виду.
43. Понятие вектора и линейных операции над векторами. Линейно независимыем, линейные
зависимые системы векторов, базис, система аффинных координат, координата точки.
44. Скалярное, векторное, смешанное произведения двух векторов.
45. Уравнения линии на плоскости, расстояние от точки до прямой, взаиморасположение
прямых на плоскости.
46. Уравнение линии в пространстве и их взаимные расположения порядка в пространстве.
47. Уравнение плоскостей на трехмерных пространства и их взаимные расположения.
48. Поверхности второго порядка в пространстве, их общее уравнение и простое уравнение,
классификация поверхносей второго порядка в пространстве.
49. Поверхности второго порядка в пространстве, классификация поверхностей второго
порядка, классификация центральных поверхностей.
50. Теорема о полярном разложении линейных операторов.
III блок
51. Теорема о спектральном разложении самосопряженных операторов.
52. Приведение матрицы к Жордановой форме.
53. Основные понятия дифференциальных уравнений. Дифференциальные уранения с
разделяющимися переменнными.
54. Однородные дифференциальные уранения. Линейные дифференциальные уранения
первого порядка.
55. Теорема существования и единственности задачи Коши для дифференциального
уравнения.
56. Полные дифференциальные уравнения, интегральный множитель.
57. Фундаментальная система решений однородного дифференцального уравнения n-го
порядка с постоянными коэффициентами.
58. Неоднородное линейное дифференцальное уравнение n-го порядка с постоянными
коэффициентами.
59. Общие свойства линейных дифференциальных уравнений, линейная зависимость и
линейная независимость системы функций.
60. Системы однородных линейных дифференциальных уравнений, свойства решении.
61. Формула Лиувилля -Остроградского.
62. Неоднородые линейные
системы дифференциальных уравнении. Метод вариации
постоянных.
63. Классификация уравнений в частных производных II порядка и их канонические формы.
64. Постановка задачи Коши и начально-краевых задач для гиперболических уравнений
второго порядка.
65. Общий вид решения для уравнения колебаний струны.
66. Задача Коши для волнового уравнения на пространстве R³, формула Кирхгофа.
67. Метод разделения переменных для волнового уравнения.
68. Постановка задачи Коши и начально-краевых задач для параболических уравнений
второго порядка.
69. Принцип максимума для параболических уравнений.
70. Неоднородное уравнение теплопроводности, решение методом Фурье.
71. Граничные задачи для уравнений Лапласа. Принцип максимума.
72. Общие свойства гармонических функций. Формулы Грина.
73. Пусть d метрика. Покажите, что функция d ' определенная равенством
d '  x, y  
d  x, y 
также является метрикой.
1  d  x, y 
74. Показать, что пространство непрерывных функций
Евклидовым (указание: положим
 
на отрезке
f  t   cos t , g  t   sin t .)
 
0, 2  не является
75. Пусть f x  x определена на промежутке  0,2 . Применяя теорему о среднем
значении для интеграла определить среднее значение данной функций в этом промежутке.
76. Показать, что
3
x t   t 
n 
n
n1
функциональная последовательность не является
 
фундаментальной в метрическом пространтсве C 0,1 .
77. Доказать, что любое нормированное пространство является метрическим пространством.
78. Оператор
A задаваемый формулой
1x
yx    yt dt
30
переводит
пространство
непрерывных на отрезке 0,2 функции в себя, а также является в C0,2 сжимающим
отображением. Доказать.
79. Множество непрерывных функции на отрезке a, b
образует нормированное
 
C  a, b 
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.
87.
88.
89.
пространство, обозначим его через
. Показать, что это пространство является
полным пространством.
Последовательность {xn} такова, что ее подпоследовательности {x2n+1}, {x2n} сходятся.
Верно ли, что сходится и сама последовательность {xn}?
Последовательность {xn} такова, что ее подпоследовательности {x2n+1}, {x2n}, {x3n}
сходятся. Доказать, что тогда сходится и сама последовательность {xn}.
Пусть последовательность {xn} сходится, а последовательность {yn} получается из нее
перестановкой. Доказать, что {yn} тоже сходится, причем к тому же пределу, что и
исходная последовательность.
Функция f непрерывна на всей оси и удовлетворяет равенству 2f(x)=f(x/2) при всех x.
Доказать, что f - тождественно нулевая функция.
Найти все α, модуль которых меньше двух, при которых найдется ненулевая непрерывно
дифференцируемая на оси функция, удовлетворяющая равенству f(x)=αf(x/2) при всех x.
Функция f выпукла на всей оси и неположительна. Доказать, что она постоянна на оси.
Функции f и g дифференцируемы на оси и монотонны. Какие из следующих функций
гарантированно будут монотонными: сумма, произведение, композиция этих функций.
Может ли сумма двух периодических функций быть непериодической.
Привести пример функции, отличной от постоянной, для которой каждое рациональное
число является периодом.
Доказать, что на интервале (0;1) функцию sin(1/x) нельзя представить в виде разности
двух неубывающих ограниченных функций, но можно на любом интервале (e;1) при
положительном e.
90. Пусть f непрерывна на отрезке [a;b], который разбит на конечное число отрезков точками
a=x0< x1<…<xn=b. Доказать, что можно выбрать точки xiÎ(xi-1; xi-1) так, что интеграл
функции f по отрезку [a;b] равен интегральной сумме f(x1)Dx1+ f(x2)Dx2+… f(xn)Dxn.
Доказать, что это верно и для функций f, имеющих первообразную на [a;b].
91. Привести пример функции, модуль которой интегрируем по Риману, но сама функция –
нет.
92. Доказать, что функция f, принимающая нулевое значение в иррациональных точках и
значение равное 1/q, в точках x=p/q, если эта дробь несократима, является интегрируемой
по Риману на отрезке [0;1].
93. Разложить функцию f(x)=sin2x в ряд Фурье по стандартной тригонометрической системе
на отрезке [-π;π].
94. Разложить в ряд Тэйлора по степеням x функцию arctg x. Определить радиус сходимости
полученного ряда.
95. Функция f непрерывна на всей оси и для каждого положительного e существует такой
полином P, что модуль разности f-P принимает значения, меньшие e. Доказать, что f –
полином.
96. Полином P таков, что на его графике можно отметит четыре точки, являющиеся
вершинами квадрата. Доказать, что его степень не меньше трех.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть I. М. : «Наука» 1982.
616 С.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Основы математического анализа. Часть II. М.: «Наука» 1980.
447 С.
Б.В. Шабат. Введение в комплексный анализ. Часть I. М.: Издательство «Наука»
1982. 616 С.
А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. Элементы теории функций и функциольного анализа. М.:
Издательство «Наука» 1976. 542 С.
А.В. Погорелов. Дифференциальная геометрия. М.: Издательство «Наука» 1974. 176 С.
Н. Ақанбай. Ықтималдықтар теориясы. (I – бөлім) Алматы: “Қазақ университеті”, 2001.
296 бет.
Н.Ш. Кремер. Теория вероятностей и математическая стахатистика. М.: “ЮНИТИ”, 2000.
544 с.,
Б.Е. Кангужин. Теория функций комплексного переменного. Лекции. Практические
занятия. Тесты: Учебное пособие. Алматы: Қазақ университеті, 2007. 186 C.
С.А. Бадаев. Сызықтық алгебра мен аналитикалық геометрия. Алматы: “Қазақ
университеті”, 2010. 258 бет.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Линейная алгебра. М.: «Наука» 1984. 294 С.
В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. Аналитическая геометрия. М.: «Наука» 1971. 232 С.
А.И. Кострикин. Введение в алгебру. Часть III. (Основные структуры). М.: Физматлит,
2001. 271 С.
Жүсіп Сүлеймен. Дифференциялдық теңдеулер курсы. Оқулық. Алматы: “Қазақ
университеті”, 2009.- 440 б.
Н.М.Матвеев. Методы интегрироваия обыкновенных дифференциальные уравнений» 4-е
изд .Минск: «Высшая школа». 1974. 768 С.
Ж.Ә. Тоқыбетов, Е.М. Хайруллин. Математикалық Физика теңдеулері. ҚазҰТУ, Алматы:
1995. 297 бет .
А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Издательство
«Наука» 2004. 798 С.
17. Ө. Сұлтанғазин, С. Атанбаев. Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы. 1-кітап
(Қателіктер теориясы. Алгебралық теңдеулерді шешу әдістері және жуықтаулар) Алматы:
«Білім». 1995. 272 бет.
18. Ө. Сұлтанғазин, С. Атанбаев. Есептеу әдістерінің қысқаша теориясы. 2-кітап
(Дифференциялдық және интегралдық теңдеулерің сандық шешу әдістері) Алматы:
«Білім». 2001. 287 бет.
19. Isaiah Lankham, Bruno Nachtergaele, Anne Schilling. Linear Algebra As an Introduction to
Abstract Mathematics. Copyright c 2007 by the authors. pp. 246
20. С.А. Бадаев. Сызықтық алгебра мен аналитикалық геометрия. 1-бөлім.
21. С.А. Бадаев. Сызықтық алгебра мен аналитикалық геометрия. 2-бөлім.
22. С.А. Бадаев. Сызықтық алгебра мен аналитикалық геометрия. 3-бөлім. Сызықтық
операторлар және шаршылық тұлғалар.
23. А.Ы. Омаров, П.Т. Досанбай, С.С. Заурбеков. Математикалық логика және алгоритмдер
теориясының негіздері.
24. Ибрашев Х.И., Еркеғұлов Ш.Т. Математикалық анализ курсы. Алматы. Мектеп, Т.1,2.
1963-1970.
25. Жәутіков О.А. Математикалық анализ курсы. Алматы. Мектеп, 1958.
26. Ахметқалиев Е. Математикалық талдау. Алматы, РБҚ, 1997.
27. Бұлабаев Т., Матақаева Г. Математикалық талдау негіздері. Алматы, Қайнар, 1996.
28. Токибетов Ж.А., Хайруллин Е.М. Математикалык физика тендеулерi. Алматы, 1995.
29. Сахаев Ш.С. ,,Математикалық физика теңдеулері” Оқу құралы, ,,Қазақ университеті” 2007
ж. Көлемі-270 бет.
30. Орынбасаров М.О., Оршубеков Н.А. «Математикалық физика теңдеулері» Алматы, «ҚУ»
2009.-320 с.
31. Орынбасаров М.О., Сахаев Ш. «МФТ есептері мен жаттығулар жинағы». Алматы, «ҚУ»
2009.-230 б.
32. Сүлейменов Ж. Дифференциалдық теңдеулер курсы, Оқулық. Алматы, Қазақ
университеті, 2009.- 440 б.
33. Қадыкенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулердiң есептерi мен жаттығулары. Алматы,
2002.
34. Наурызбаев Қ.Ж., Нақты анализ, Алматы, “Қазақ университеті”,2004.
35. Темиргалиев Н.Т., Математикалық анализ, т. I-III, 1987,1991 ж.ж.
36. Колмогоров А.Н., Фомин С.В., Элементы теории функций и функционального анализа,М.:Наука,1989
37. Люстерник Л.А.,Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.- М.:”Высшая
школа”,1982
38. Треногин В.А. Функциональный анализ.- М.:Наука,1967
39. Н. Ақанбай. Ықтималдықтар теориясы (I – бөлім) – Алматы.: “Қазақ университеті”, 2001.
296 бет.
40. Н. Аканбай Ықтималдықтар теориясының есептері мен жаттығуларының жинағы –
Алматы,: “ Қазақ университеті”, 2004. 377 бет.
41. Н.Ақанбай. Ықтималдықтар теориясы (3-бөім). Алматы.: «Қазақ уни верситеті», 2007, 297
бет.
42. Н.Ақанбай. Ықтималдықтар теориясының есептері мен жаттығуларының жинағы (3бөлім). Алматы.: «Қазақ университеті», 2007, 256 бет.
43. Н.Ақанбай. Ықтималдықтар теориясы (2-бөім). Алматы.: «Қазақ университеті», 2006, 368
бет.
44. Н.Ақанбай. Ықтималдықтар теориясының есептері мен жаттығуларының жинағы (2бөлім). Алматы.: «Қазақ университеті», 2007, 332 бет
Дополнительная:
1. Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по фнкционалному
анализу.- М.:Наука,1984
2. Иосида К., Функциональный анализ.- М.: “Мир”, 1967.
3. Канторович Л.В., Акилов Г.П Функциональный анализ.- М.: Наука,1984
4. Садовничий В.А. Теория операторов.-М.”Высшая школа”,2000.
5. Натансон И.П., Теория функций вещественной переменной, М.: Гостехиздат, 1957.
6. Севастьянов Б.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: «Наука», 1982.
256 с.,
7. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей и математическая статистика. М.: «ЮНИНТИ»,
1988. 448 с.,
8. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: “ЮНИТИ”, 2000.
544 с.,
9. Агапов Г.И. Задачник по теории вероятностей. М.: “Высшая школа”, 1985. 112 с.
10. В.А. Колемаев, О.В. Староверов, В.Б. Турундаевский Теория вероятностей и
математическая статистика – М.: “Высшая школа”, 1991. 400 с.
11. Н. Аканбай, З.И. Сүлейменова, С.Қ. Тәпеева Ықтималдықтар теориясы және
математикалық статистикадан тест сұрақтары, Алматы, “Қазақ университеті”, 2005 ж., 254
бет.
12. Краснов, М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: УРСС, 2002.- 253 с.
13. Федорюк, М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения :Изд. 3-е, стер.- СПб.:
Лань, 2003.- 447 стр.
14. Филиппов, А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям : Изд. 2-е.- М.: Изд-во
ЛКИ, 2008.- 235, [5] с.