1 колоквиум

1. Закон Кулона. Закон сохранения заряда. Принцип суперпозиции.
2. Электростатическое поле (напряженность электростатического поля, поле
точечного покоящегося электрического заряда, потенциальность поля)
3. Основная задача электростатики (для точечных зарядов в вакууме, для
произвольного объемного, поверхностного и линейного распределения
зарядов)
4. Дифференциальные операторы (оператора  (набла), дивергенция
функции divF, ротор функции rotF)
5. Безвихревой характер электростатического поля
6. Поток вектора напряженности
7. Теорема Гаусса (в том числе - для точечного заряда)
8. Применение теоремы Гаусса для расчета полей - поле бесконечной,
прямой, равномерно заряженной нити
9. Применение теоремы Гаусса для расчета полей - поле бесконечной,
равномерно заряженной плоскости
10. Применение теоремы Гаусса для расчета полей - поле сферической,
равномерно заряженной поверхности
11. Теорема Гаусса в дифференциальной форме (вакуум).
12. Уравнение Пуассона (вакуум).
13. Плотность заряда для точечного заряда (δ-функция).
14. Поле Диполя.
15. Диэлектрики и вектор поляризации.
16. Основная задача электростатики для поля в диэлектрике (истинные и
связанные заряды).
17. Уравнение Пуассона для поля в диэлектрике.
18. Теорема Гаусса для поля в диэлектрике (+вектор электрического
смещения).
19. Теорема Гаусса для поля в диэлектрике (интегральная форма).
20. Закон Кулона в диэлектрике (Теорема Гаусса для поля в диэлектрике).
21. Свойства проводников
22. Метод изображений (для бесконечно проводящей плоскости и сферы)
23. Электроемкость уединенного проводника
24. Конденсатор – Сферический конденсатор
25. Конденсатор – Плоский конденсатор
26. Конденсатор – Соединения конденсаторов
27. Энергия заряженного проводника
28. Энергия электростатического поля
29. Ток и плотность тока
30. Уравнение непрерывности (+дополнительное условие)
1. Закон Кулона. Закон сохранения заряда. Принцип суперпозиции.
В основе электростатики лежат следующие идеализированные опытные
факты:
1) Закон Кулона – это закон, описывающий
z
электростатическое взаимодействие точечных
q1
q2 F12
K
зарядов: «Покоящийся электрический заряд q1
r1
, находящийся в точке с радиус-вектором r1,
r2
действует на заряд q2(находящийся в точке с
y
радиус-вектором r1) с силой:
x
F 21  k
q1q2
| r 2  r1 |
Здесь обозначено
Система единиц
СГС(Гаусса)
3
(r 2  r 1 )
СИ
»
0
k 
1
 0  8.8542 *10 12 Фм 1 - Диэлектрическая проницаемость ваккума
2) Закон сохранения заряда – закон, описывающий важнейшие свойства
электрических зарядов:
«Электрический заряд q, является неизменной и аддитивной
характеристикой вещества»
3) Принцип суперпозиции – закон, описывающий важное свойство сил
электростатического взаимодействия точечных зарядов:
«Силы электростатического взаимодействия точечных зарядов подчиняются
принципу суперпозиции, т.е. складываются по правилу параллеограмма:
F  F1  F 2
F2
F
q1
q
q2
Для произвольного
количества точечных электрических зарядов
N
F 1   F 1i
i 2
»
F1
2. Электростатическое поле (напряженность электростатического поля,
поле точечного покоящегося электрического заряда, потенциальность
поля)
Согласно закону Кулона, любой точечный заряд создаёт в пространстве
вокруг себя силовое поле, называемое электрическим полем.
Если при этом заряд, создающий поле, находится в
покое, то его электрическое поле является
z
F21→E(r2)
электростатическим.
q2
Для описания силового действия электростатического
K
поля вводят вектор
E (r i ) 
F31→E(r3)
r3q3
F i1 (r i )
qi , называется
q1
x
y
rN
напряжённостью электростатического поля заряда q1 в
qN
точке с радиус-вектором ri и численно равный
кулоновской силе Fi1 , действующей со стороны заряда
FN1→E(rN)
q1 (создающего электростатическое поле), на
единичный положительный пробный заряд qi
При этом пробным зарядом называют любой точечный заряд, который не
искажает поле, в котором он находится.
Следствие:
«Вектор напряжённости электростатического поля в заданной точке
имеет направление кулоновской силы, действующей на пробный
положительный заряд, помещённый в данную точку»
Используя закон Кулона,(
F 21  k
q1q2
| r 2  r1 |
3
(r 2  r 1 ) ), для
напряжённости электростатического поля точечного покоящегося
электрического заряда q получим E (r )  k
q
| r  r '|
3
(r  r ' ) ,
z
K
где r – радиус-вектор точки пространства, в которой
определяется напряженность E, r’ – радиус-вектор заряда
q(создающего электростатическое поле)
Перенесём заряд в начало ИС K, формула
E (r )  k
q
r'
r
y
x
E
z
r
(r  r ' ) примет вид E (r )  kq 3 .
3
|r|
| r  r '|
С помощью это формулы несложно убедиться(вычислив grad
потенциала электростатического поля точечного заряда), что
электростатическое поле точечного заряда потенциально,
K
0
x
r
q
то есть E (r )   (r ) при этом функция описывает потенциал
электростатического поля точечного заряда и является энергетической
характеристикой поля  (r )  k
E
q
q
|r|
.
y
3. Основная задача электростатики (для точечных зарядов в вакууме,
для произвольного объемного, поверхностного и линейного
распределения зарядов)
Основной задачей электростатики называют задачу
z
q3
q
2
нахождения электростатического поля(т.е.
q1 r'2
напряжённости и потенциала) по заданному
r'3
r'1
распределению зарядов.
r’i
qi
Рассмотрим систему точечных зарядов qi,
A
0
расположенных(в вакууме) в точках с радиус-векторами
y
x
ri’ (A-точка наблюдения)
z
В силу принципа суперпозиции
..
.
n
n
r  r 'i
i 1
i 1
| r  r ' i |3
E A ( r )   E i ( r )  k  qi
n
n
i 1
i 1
 A (r )    i (r )  k 
qi
| r  r 'i |
таким образом получаем формулы дающие решение основной задачи
электростатики для электростатического поля системы точечных зарядов в
вакууме
n
r  r 'i
i 1
| r  r ' i |3
E A ( r )  k  qi
n
 A (r )  k 
i 1
qi
| r  r 'i |
Перейдём теперь к описанию объектов с непрерывным распределением
заряда – при этом будем искать поле в пустом
пространстве, окружающем объект
dq   (r ' )d 3r '
Рассмотрим некоторый объём V с заданной
z
V
V   d 3r '

(r
'
)
функцией распределения зарядов
. Каждый
V
элементарный объём dV c зарядом dq создаёт в
точке A элементарное поле
d E A (r )  kdq
r  r'
| r  r '|
3
, d A (r )  k
их, получим: E A ( r )  k   ( r ' )
V
dq
| r  r'|
r  r'
| r  r ' |3
r’
K
r
0
. Интегрируя
A
y
x
d 3 r '  A (r )  k 
z
 (r ' )
d 3 r ' , дающие
V | r  r '|
решение основной задачи электростатики для электростатического поля в
вакууме, создаваемого произвольным объёмным распределением
зарядов.
Если заряд распределён по некоторой поверхности S с заданной
поверхностной плотностью зарядов  (r ' ) , то и соответственно, интегрируя
по поверхности S, получаем формулы:
E A (r )  k   (r ' )
S
 A (r )  k 
 (r ' )
r  r'
| r  r '|
2
d
r'
3
d 2 r ' дающие решение основной задачи электростатики
S | r  r '|
для электростатического поля в вакууме, создаваемого произвольным
поверхностным распределением зарядов.
Для линейного распределения с заданной плотностью зарядов
E A (r )  k   (r ' )
L
 (r ' ) :
r  r' 2
 (r ' ) 2
d r '  A (r )  k 
d r ' дают решение основной
3
| r  r '|
|
r

r
'
|
L
задачи электростатики для электростатического поля в вакууме,
создаваемого произвольным линейным распределением зарядов(вдоль
линии L).
4. Дифференциальные операторы (оператора  (набла), дивергенция
функции divF, ротор функции rotF)
  
В механике было определение оператора  (набла):    , ,  , его
 x y z 
действие на скалярную функцию называют градиентом этой функции
(r )  grad(r ) .
Очевидно, что оператор-вектора  (набла) можно умножать не только на
скалярные функции, но и на векторные(например, напряжённость
электростатического поля E(r)) – так как для векторов существует два типа
произведений, то возникает две дополнительные дифференциальные
операции с оператором  .
Скалярное произведение оператора  на векторную функцию F(r) называют
дивергенцией этой функции divF(r)
 F F F
 F (r )   X , Y , Z
 x y z



.
Векторное произведение оператора  на векторную функцию F(r) называют
ротором этой функции rotF(r)
i
j k
  
[, F (r )] 
x y z
FX FY FZ
5. Безвихревой характер электростатического поля
Векторное поле F, ротор которого не равен нулю rotF  0,
называют вихревым полем – такое поле не имеет
источников и его силовые линии замкнуты сами на себя.
F
Проверим, является ли электростатическое поле
вихревым – вычислим ротор напряжённости такого поля
[, E(r )] | E(r )   (r ) | [,  (r )]  [, ] (r )  0
0
Следовательно:
Электростатическое поле безвихревое – ротор напряжённости такого
поля равен нулю
Это означает:
Силовые линии электростатического поля никогда не замыкаются сами
на себя, они начинаются или заканчиваются на заряде
6. Поток вектора напряженности
Рассмотрим некоторую гладкую поверхность S – к любой точке такой
поверхности, можно построить касательную
сферу
Тогда, элементарный вектор dS, проведённый
S
из точки касания(от центра касательной
окружности) и равный по величине площади
dS
элементарной поверхности dS в окрестности
точки касания называют вектором нормали к
поверхности.
F
Если, при этом, в пространстве есть векторное
поле F, то скалярное произведение FdS
dS
называют элементарным потоком вектора F d  Fd S .
Интегрируя по всей поверхности S, получим поток  вектора F через
поверхность S
   F (r )d S
S
Соответственно, для электростатического поля с напряжённостью E,
величину
   E (r )d S
поверхность S
S
, называют потоком вектора напряжённости через
7. Теорема Гаусса (в том числе - для точечного заряда)
Рассмотрим точечный заряд q – элементарный поток
вектора напряжённости электростатического поля E
через элементарную поверхность dS равен
d  Ed S  kq
r
|r|
3
d S  kq
dS n
| r |2
По определению скалярного произведения
rdS | r || dS | cos   rdS n (где dS n - проекция вектора dS на радиус-
вектор r).
Элементарный объёмный угол под которым видна площадка dS называют
dS n
d


элементарным телесным углом d .
| r |2
Таким образом получаем теорему Гаусса для точечного заряда
d  kqd
Элементарный поток d вектора напряжённости электростатического
поля E точечного заряда q в заданный телесный угол d зависит только от
величины заряда q.
Рассмотрим заряженное тело – для любого элементарного заряда dq внутри
этого тела выполняется теорема Гаусса
d  kqd причём
dq   (r ' )d 3r '
Окружим заряженное тело замкнутой поверхностью
S(не обязательно сферой), но так, чтобы dS лежала
на S. Тогда элементарный поток d 0 для
элементарного заряда dq через всю замкнутую
поверхность S будет равен
d 0  kdq d   d  4  4kdq
S
S
Очевидно каждый элементарный объём dV  d r ' заряженного
тела(имеющий заряд dq) создаёт одинаковый поток
3
d 0 / 4k  dq   (r ' )d 3 r ' через замкнутую поверхность S.
Интегрируя по всему объёму тела, получим Теорему
3
d


E
d
S

4

k

(
r
'
)
d
r'
0


Гаусса:
S
V
Поток вектора напряжённости электростатического поля через
замкнутую поверхность, охватывающую произвольное заряженное
тело, пропорционален заряду тела.
8. Применение теоремы Гаусса для расчета полей - поле бесконечной,
прямой, равномерно заряженной нити
Для расчёта электростатического поля зарядов, с заданным
распределением, по теореме Гаусса нужно:
1. Выбрать замкнутую поверхность, охватывающую эту систему зарядов,
следующим образом:
- поверхность не соприкасается с заряженным телом
- поверхность является эквипотенциальной
- поверхность является образующей какой-либо(из известных) систем
координат
2. Записать теорему Гаусса для выбранной поверхности и
- вычислить поток, учитывая эквипотенциальность выбранной поверхности
- вычислить заряд, учитывая симметрию распределения заряда
3
 Ed S 4k   (r ' )d r '
S
V
2
E
d
S

EdS

E
dS

4

R
E



S
S
S
4k   (r ' )d 3 r '  4kQ
V
Поле бесконечной, прямой, равномерно заряженной нити
Линейную плотность заряда на нити  (r )  dq / dl будем считать постоянной.
Из физических соображений ясно, что эквипотенциальной поверхностью для
нити является коаксиальная цилиндрическая поверхность – с торцевыми
«заглушками» на бесконечности. Для любой точки боковой поверхности
цилиндра вектор напряженности E параллелен вектору нормали к боковой
поверхности dSб
Таким образом теорема Гаусса для нити принимает вид
И после несложных преобразований получаем
расстояние от нити(радиус цилиндра).
 Ed S 4k dl
S
2
Ek
a
L
, где «a»
9. Применение теоремы Гаусса для расчета полей - поле бесконечной,
равномерно заряженной плоскости
Для расчёта электростатического поля зарядов, с заданным
распределением, по теореме Гаусса нужно:
1. Выбрать замкнутую поверхность, охватывающую эту систему зарядов,
следующим образом:
- поверхность не соприкасается с заряженным телом
- поверхность является эквипотенциальной
- поверхность является образующей какой-либо(из известных) систем
координат
2. Записать теорему Гаусса для выбранной поверхности и
- вычислить поток, учитывая эквипотенциальность выбранной поверхности
- вычислить заряд, учитывая симметрию распределения заряда
3
 Ed S 4k   (r ' )d r '
S
V
2
E
d
S

EdS

E
dS

4

R
E



S
S
S
4k   (r ' )d 3 r '  4kQ
V
Поле бесконечной, равномерно заряженной плоскости
Поверхностную плотность заряда на плоскости  (r )  dq / dS будем считать
постоянной. Из физических соображений ясно, что эквипотенциальной
поверхностью для плоскости является поверхность параллелепипеда – с
боковыми поверхностями на бесконечности. Любую бесконечную плоскость
можно представить как множество бесконечных прямых – потому для любой
точки поверхностей параллелепипеда, параллельных заряженной плоскости,
вектор напряженности E параллелен вектору нормали к поверхности dSII.
Таким образом теорема Гаусса для плоскости принимает вид
 Ed S 4k  dS и после несложных преобразований получаем
S
S0
E  2k
«Напряженность поля над и под
плоскостью одинакова по величине и не
зависит от расстояния от плоскости.»
10. Применение теоремы Гаусса для расчета полей - поле сферической,
равномерно заряженной поверхности
Для расчёта электростатического поля зарядов, с заданным
распределением, по теореме Гаусса нужно:
1. Выбрать замкнутую поверхность, охватывающую эту систему зарядов,
следующим образом:
- поверхность не соприкасается с заряженным телом
- поверхность является эквипотенциальной
- поверхность является образующей какой-либо(из известных) систем
координат
2. Записать теорему Гаусса для выбранной поверхности и
- вычислить поток, учитывая эквипотенциальность выбранной поверхности
- вычислить заряд, учитывая симметрию распределения заряда
3
 Ed S 4k   (r ' )d r '
S
V
2
E
d
S

EdS

E
dS

4

R
E



S
S
S
4k   (r ' )d 3 r '  4kQ
V
Поле сферической, равномерно заряженной поверхности
Поверхностную плотность заряда на сфере S0  (r )  dq / dS будем считать
постоянной. Очевидно, что эквипотенциальной поверхностью для
сферической поверхности является сфера. Для любой точки поверхности
сферы S(охватывающей заряженную сферу S0 и
проходящей через точку с радиус-вектором r, в
которой вычисляется поле), вектор напряжённости E
параллелен вектору нормали к поверхности dS.
Таким образом теорема Гаусса для сферической,
равномерно заряженной поверхности принимает вид
 Ed S 4k  dS После несложных
S
S0
преобразований получаем
Ek
q
r2
для
rR
(вне сферы S0)
Для электростатического поля внутри заряженной сферы
 Ed S  4k  dS  4kq
S1
S1
0
S1
0
Поле внутри заряженной
частицы равно нулю.
11. Теорема Гаусса в дифференциальной форме (вакуум).
Для того, чтобы записать теорему Гаусса в диф. форме, нужна
математическая формула, описывающая связь интеграла по объёму с
интегралом по поверхности, охватывающей этот объём – такую формулу
называют теоремой Остроградского.
 
 3
 FdS   (F )d r
S
V
Поток вектора F через
замкнутую поверхность S
охватывающую объём V, равен
дивергенции этого вектора
divF  F
из объёма V.
Применим теорему Остроградского к теореме Гаусса:
 
 3
 3
 EdS   (E )d r  4k   (r )d r
S
V
V

 3
[

E

4

k

(
r
)]d r  0

V


E  4k (r )
Дивергенция вектора напряжённости электростатического поля в любой
точке пространства пропорциональна плотности заряда в этой точке.
12. Уравнение Пуассона (вакуум).
Электростатическое поле всегда потенциально.



 
E    E  ( )
Следовательно, теорему Гаусса можно записать в виде
2


  (r )  4k (r )
Эту формулу называют уравнением Пуассона для электростатического поля.
Таким образом, мы получили 2 способа описания электростатического поля:
Основная задача электростатики
Дифференциальные уравнения
 
 
 r  r' 3
E A (r )  k   (r ' )   3 d r '
r  r'
V


 (r ' ) 3
 A (r )  k    d r '
r  r'
V


E  4k (r )


  (r )  4k (r )
2
Уравнения, дающие решение основной задачи электростатики, являются
решением дифференциальных уравнений электростатического поля –
теоремы Гаусса и уравнения Пуассона.
13. Плотность заряда для точечного заряда (δ-функция).
Дельта - функция Дирака.
Качественно дельта-функцию можно определить следующим образом при
условии, что


0
,
r
 0   3
 
 (r )   
 (r )d r  1

, r  0 
Важнейшим свойством δ–функции является следующее

   3

f
(
r
)

(
r

a
)
d
x

f
(
a
)


Отметим некоторые полезные свойства δ-функции
 ( x)   ( x), a  (ax)   ( x), x ' ( x)   ( x)
Плотность заряда для точечного заряда (δ-функция).
Для того, чтобы записать теорему Гаусса в дифференциальной форме или
уравнение Пуассона для точечного заряда необходимо выражение для
плотности заряда точечного заряда. Формально, величину точечного заряда
q можно записать через плотность заряда p, используя δ-функцию.
q




3
3

(
r

r
'
)
d
r
'

q

(
r

r
'
)
d
r'


V
V




 (r  r ' )  q (r  r ' )
Следовательно, для точечного заряда
Посмотрим использование этой формулы на примере основной задачи
электростатики:

 

 (r ' ' ) 3
 (r 'r ' ' ) 3
q
 (r )  k    d r ' '  kq    d r ' '  k   '
r  r ''
r  r ''
r  ri
V
V
Таким образом, теорема Гаусса в дифференциальной форме для точечного
заряда имеет вид:


E  4k (r )

q
q
d

(
r
)

k

k



A
Преобразуем выражение
r
r  r

 
q
q

Для этого введем обозначение f (r )  k   f (r  r )  k 
r
r  r
1

 


   1 


Получаем d A (r )  f (r  r )  f (r )  df (r )  kqd     kqr   
r 
r 
В последней формуле воспользовались определением полного
дифференциала функции многих переменных
 f f f 


f
f
f


df (r ) 
dx 
dy 
dz  (dx, dy, dz )
,
,
  dr f
x
y
z
 x y z 
14. Поле Диполя.
Система, состоящая из двух точечных зарядов разных знаков, находящихся
на небольшом расстоянии δr, называется диполем, при этом вектор δr –
называют плечом диполя, произведение dp=qδr – элементарным дипольным
моментом.
Будем вычислять
элементарный потенциал
поля в точке А, считая, что
δr – бесконечно малая
величина

q
q
d A (r )  k   k  
r
r  r
После несложных
преобразований это
выражение принимает вид:

  1 
d A ( r )   kqr   
r 
 1 

d A (r )   kd  
r 
Для неэлементарного диполя, эти 2 формулы, можно рассматривать, как
приближённые для поля на больших расстояниях (т.е. при условии, что плечо
диполя много меньше длины радиус вектора |r|)
 1 

 A (r )   k  
r 
15. Диэлектрики и вектор поляризации.
Диэлектрики.
Диэлектриком является любое вещество, не имеющее собственных
свободных носителей тока.
Диэлектрические материалы могут быть твёрдыми, жидкими или
газообразными. Твёрдые диэлектрики, например, фарфор, стекло и
пластмассы, обычно используются в электротехнике, как очень хорошие
изоляторы.
Воздух и гексафторид серы (SF6) – два наиболее известных газообразных
диэлектрика.
С точки зрения электростатики, диэлектрики делятся на две большие группы
– полярные(гидрофильные) и неполярные(гидрофобные) диэлектрики.
Наиболее известным полярным диэлектриком является вода, примерами
неполярного диэлектрика являются многие газы, например кислород и
парафин.
Вектор поляризации.
Полярные диэлектрики – это диэлектрические материалы, молекулы которых
имеют собственный дипольный момент.
Неполярные диэлектрики – это диэлектрические материалы, молекулы
которых не имеют собственного дипольного момента.
Во внешнем электростатическом поле диэлектрик поляризуется:
- в полярном диэлектрике дипольные моменты молекул выстраиваются
вдоль силовых линий поля.
- в неполярном диэлектрике молекулы поляризуются – вытягиваются вдоль
силовых линий поля, образуя диполи.
В результате, на поверхности диэлектрика появляется электрический заряд.
Для количественного описания степени поляризации диэлектрика, вводят
вектор поляризации – вектор, характеризующий дипольный момент
диэлектрика в каждой точке внутри диэлектрика.
Полярный диэлектрик
Неполярный диэлектрик
16. Основная задача электростатики для поля в диэлектрике (истинные
и связанные заряды).
Основной задачей электростатики называют задачу нахождения
электростатического поля (т.е. напряжённости и потенциала) по заданному
распределению зарядов.
Рассмотрим систему распределённых с
плотностью p(r’) зарядов, занимающих
некоторый объём пространства Vи и
диэлектрик с объёмом Vc.
Потенциал электростатического поля,
создаваемого в точке пространства А
распределёнными зарядами, равен:

 (r ' ) 3
и 
 A (r )  k    d r '
r  r'
V
Поле, создаваемое зарядами, поляризует
диэлектрик – в результате, каждый
элементарный дипольный момент dp диэлектрика, тоже создаёт
электростатическое поле
 1 

d (r )   kd   
 r  r' 
c
A
Индексы и и с, введенные нами, обозначают, соответственно, заряды
истинные и связанные(т.е. наведённые в диэлектрике внешним полем – эти
заряды не могут свободно двигаться).
Прежде всего, запишем выражение для поля элементарного диполя через
   1  3
 1 



d (r )  kd     kP(r ' )   d r ' 
вектор поляризации:
 r  r' 
 r  r' 
c
A

 
  P (r ' )  3

P(r ' )
 k   d r ' k   d 3r '
r  r'
 r  r' 
Проинтегрируем это выражение по всему пространству:
 
 




P(r ' )
P ( r ' )
 Ac (r )  k     d 3 r 'k    d 3 r ' 
r  r'
v
V
 r  r' 
Первый интеграл преобразуем по теореме Остроградского к интегралу по
замкнутой поверхности S, охватывающей объём V:

  P(r ' )  3
V  r  r' d r  S


 
P(r ' ) 
  dS
r  r'
0
Последний интеграл описывает поток вектора P |r-r’| через замкнутую
поверхность, охватывающую всё пространство – т.е. поток за бесконечность,
который, по физическим соображениям обязан быть равен нулю.
По объёму диэлектрика Vc, получим поле, создаваемое всем объёмом
диэлектрика
 

P ( r ' )
 A (r )  k    d 3 r '
r  r'
Vc
Формула описывает потенциал
электростатического поля связанных
зарядов – зарядов, возникающих за
счёт поляризации диэлектрика.
Соответственно, величину


 ( r )   P
называют
плотностью связанных зарядов.
По принципу суперпозиции результирующее электростатическое поле,
создаваемое системой истинных и связанных зарядов, в точке А равно (здесь
интегрирование по всему пространству):
 


 ( r ' )  P ( r ' ) 3
 A (r )  k 
d r'
 
r  r'
V
Основная задача
электростатики для
поля в диэлектрике.
17. Уравнение Пуассона для поля в диэлектрике.
Для вакуума мы получили два способа описания электростатического поля:
Основная задача электростатики
Дифференциальные уравнения


 (r ' ) 3
 A (r )  k    d r '
r  r'
V

 0 (r ' ) 3

 A (r )  k    d r '
r  r'
V


  (r )  4k (r )


2
  (r )  4k1 (r )
2
где  0     - тогда можно написать дифференциальное уравнение,
которое называют уравнением Пуассона для поля в диэлектрике:
c


  (r )  4k (   P)
2
диэлектрике.
- уравнение Пуассона для поля в
18. Теорема Гаусса для поля в диэлектрике (+вектор электрического
смещения).



2
Электростатическое поле всегда потенциально: E    E   
Следовательно, уравнение Пуассона можно записать в виде:



  

E  4k (   P)  4k  E  4kP  ( E  4kP)
Введём вектор электрического смещения электрического поля:



D  ( E  4kP) 0
Таким образом, мы получаем теорему Гаусса в дифференциальной форме
 

для электростатического поля в диэлектрике: D(r )  4k (r ) 0
Дивергенция вектора электрического смещения электростатического поля в
любой точке пространства пропорциональна плотности истинных зарядов в
этой точке.
Вектор электрического смещения электростатического поля называют также
вектором индукции электростатического поля.
19. Теорема Гаусса для поля в диэлектрике (интегральная форма).
Для того чтобы записать теорему Гаусса в интегральной форме нам

D
понадобится теорема Остроградского:

S
0


dS  4k   (r ' )d 3 r '  4kQ
V
Поток вектора индукции электростатического поля через замкнутую
поверхность, охватывающую произвольное заряженное тело,
пропорционален заряду тела.
Вернёмся к вектору электрического смещения электростатического поля:






D  E  4kP  0   0 E
- если диэлектрическая среда однородна и
изотропна, то можно написать, где ε – диэлектрическая проницаемость
среды(диэлектрика). При помощи формулы, теорему Гаусса (в диф.форме) и
уравнение Пуассона для электростатического поля в диэлектрике можно
записать в виде:



2
E  4k     4k  E  E0     0
где E0 и φ0 – напряжённость и потенциал электростатического поля в
вакууме.
Электростатическое пол внутри однородного изотропного диэлектрика в ε раз
меньше электростатического поля в вакууме.
Поместим однородный
С
изотропный
диэлектрик во
внешнее
электростатическое
поле с
напряженностью
Е0 – диэлектрик
поляризуется.
Соответственно,
внутри
диэлектрика возникает электростатическое поле (связанных зарядов)
напряженность Ес которого, направлена против внешнего
электростатического поля (от + к -).
Таким образом, результирующая напряженность электростатического поля в
диэлектрике всегда меньше напряженности поля в вакууме:


и
E  E0  E 

E0



D
 0
Рассмотрим теперь два точечных заряда q и q0, находящихся в однородном
изотропном диэлектрике – поля этих зарядов, поляризуют диэлектрик.
Соответственно, сила, действующая на каждый из зарядов:





и
qE 0 F0
F  qE  q ( E 0  E ) 



где F0 – сила кулоновского
взаимодействия зарядов, а
F – результирующая сила, действующая
со стороны диэлектрика и второго заряда.
20. Закон Кулона в диэлектрике (Теорема Гаусса для поля в
диэлектрике).



2
Электростатическое поле всегда потенциально: E    E   
Следовательно, уравнение Пуассона можно записать в виде:



  

E  4k (   P)  4k  E  4kP  ( E  4kP)
Введём вектор электрического смещения электрического поля:



D  ( E  4kP) 0
Таким образом, мы получаем теорему Гаусса в дифференциальной форме
 

для электростатического поля в диэлектрике: D(r )  4k (r ) 0
Дивергенция вектора электрического смещения электростатического поля в
любой точке пространства пропорциональна плотности истинных зарядов в
этой точке.
Вектор электрического смещения электростатического поля называют также
вектором индукции электростатического поля.
21. Свойства проводников
Проводником будем называть любое тело,
все точки которого в стационарных условиях
и в отсутствии внешних электрических полей
имеют одинаковый потенциал
Следовательно, напряженность
электрического поля внутри проводника
равна нулю E    0
 
Из теоремы Гаусса Q  4k  pdV   EdS  0 , (где S0-произвольная
V
S
замкнутая поверхность внутри проводника, охватывающая объем V; Sповерхность проводника) следует, что внутри проводника зарядов нет →
заряды распределяются только по поверхности проводника.
Если внести проводник во внешнее электростатическое поле, то заряды на
поверхности перераспределяются таким образом, чтобы поверхность (и весь
объем) проводника осталась эквипотенциальной → всегда (в поле и вне)

Eвнутр  0  Qвнутр  0
22. Метод изображений (для бесконечно проводящей плоскости и
сферы)
Основное свойство проводников позволяет
иногда значительно упростить задачу
вычисления электростатического поля,
создаваемого зарядами, расположенными
около проводящих поверхностей.
Пусть точечный заряд q, находится на
расстоянии a от бесконечной проводящей
плоскости
Если V полупространство z>0, то функция
k  1
1   3

 
   p(r ' )d r ' (G1) ,


 V  r  r1 ' r  r2 ' 
где точка r2 '  ( x, y, z) есть зеркальное

 (r ) 
изображение точки r1 '  ( x, y, z ) в
граничной плоскости (металл), позволяет найти потенциал
электростатического поля в точке A области V
Причем функция G1 позволяет найти решение, как для точечных зарядов, так
и для произвольного распределения p(r’)
Поле в полупространстве z>0, можно интерпретировать, как суперпозицию
двух полей – поля, создаваемого исходной системой зарядов, и поля,
создаваемого зарядом-изображением
Если V есть область вне сферы |r|>R, где находится заряд q, создающий
поле, то функция


 k  1
R
1
 (r )       
 V  r  r ' r ' R2  

 2 r 'r

r'



 
 p(r ' )d 3r ' (G 2)




, где точка r2’ есть зеркальное изображение точки
r1’ (заряда q) в граничной плоскости (сфере),
позволяет найти потенциал электростатического
поля в точке A области V
Причем функция G2 позволяет найти решение,
как для точечных зарядов, так и для произвольного распределения p(r’)
Второй член в формуле можно интерпретировать как вклад индуцированного
заряда (-q), симметричного данному q, относительно поверхности сферы
(металл)
23. Электроемкость уединенного проводника
 2
 k  (r ' )d r '
 A (r )    
 S r  r'
Рассмотрим заряженный проводник
(очевидно, плотность распределения заряда
по поверхности проводника, в общем
случае, неравномерна)
Пусть проводник находится в однородной
изотропной диэлектрической среде с
проницаемостью  - тогда потенциал (поля)
в произвольной точке A поверхности
проводника
По определению, поверхность проводника эквипотенциальна –
следовательно, выражение для потенциала поверхности не должно зависеть
от радиус-вектора r – поэтому введем функцию  (r ) такую, что


 (r ' )   (r ' )Q
тогда величина

1 k  (r ' )d 2 r '
   
C  S r  r'
зависит только от
формы проводника и, следовательно, потенциал поверхности проводника
A 
1
Q , где С-электроемкость уединенного проводника
C
24. Конденсатор – Сферический конденсатор
Рассмотрим два электрически нейтральных
проводника, находящихся внутри однородной
изотропной среды с диэлектрической
проницаемостью
Перенесем заряд +q с одного проводника на
другой
Способность системы нейтральных проводников изменять свой потенциал в
результате переноса заряда с одного проводника на другой называют

взаимной емкостью С проводников
 
1
q
С
Соответственно, любую систему двух проводников называют конденсатором
При этом, если проводники нейтральны, то говорят, что конденсатор не
заряжен – процесс переноса заряда с одного проводника на другой называют
зарядкой конденсатора
Сферический конденсатор
Рассмотрим нейтральный проводник сферической формы
– чтобы зарядить такой конденсатор нужно перенести
заряд (например +q) с его поверхности на бесконечность
Следовательно сферический конденсатор имеет емкость
единенного проводника и т.е. kC  kCуд  R
Найдем емкость уединенного сферического проводника
По определению (в выбранной СК)
 2
1
k  (r ' )d r '
 

C уд  S
r'
Т.к. проводник сферический, то |r’|=R, где R – радиус
сферы, причем поверхностная плотность заряда

q
 на сфере   4R 2   (r ' )q
Таким образом
1
k 1
 2
k 1 1
k
2
2
2


(
r
'
)
d
r
'

d
r
'

d
r
'

4

R

S
C уд  R S
 R 4R 2 S
R
Получаем, что электроемкость сферического конденсатора равна
C  C уд 
R
k
, где
СИ
1 40
k 
 1 СГС ( Гаусса
Электроемкость сферического конденсатора пропорциональна его радиусу
25. Конденсатор – Плоский конденсатор
Рассмотрим систему из двух нейтральных проводящих бесконечных
плоскостей, находящихся на расстоянии d – чтобы зарядить такой
конденсатор нужно перенести заряд (например +q) с одной его плоскости на
другую. Очевидно, что электроемкость плоского конденсатора
С
S
4kd
В результате зарядки на плоскостях появится
поверхностная плотность зарядов (одинаковая
по величине) 
Соответственно, каждая плоскость создаст свое
электростатическое поле E+ и E-. В результате,
поле вне конденсатора компенсируется.
Напряженность поля внутри – складывается и,
если внутри находится диэлектрик, то
Ein 
E


E


2k

(     ) 
4k

Зная напряженность, можно найти разность
потенциалов между пластинами конденсатора



d
E     E x    ( x)    ( x)
x
dx
4k
d ( x)  E x dx   ( x)  E x d 
d

По определению взаимной емкости
C
S
4kd
 
1
S
q  q  S 
C
C
26. Конденсатор – Соединения конденсаторов
Конденсаторы являются одними из основных элементов электрических цепей
– как и все элементы, их можно соединять параллельно:
n
Собщ   Ci
i 1
И последовательно:
n
1
1

Собщ i1 Ci
Здесь: i – номер конденсатора, n – общее количество соединенных
конденсаторов
27. Энергия заряженного проводника
Элементарная работа, совершаемая
электростатическим полем на элементарном
перемещении заряда q равна
 
 

 
AE  Fdr  qEdr  qdr  (r )  qd (r )
Следовательно, работа против сил поля A  AE
Найдем работу, которую нужно совершить, чтобы зарядить уединенный
проводник до потенциала
0
0

0
1
1
A   A   qd      0  q  C  d  C 2
C
2
0
0
Тогда для произвольного количества проводников
0
0
1
 C 02
2
1 N
A   q i 0 i
2 i 1
По физическому смыслу работа, проведенная над любым телом, есть его
1 N
1
  2
W   qi 0i    (r ) (r )d r
потенциальная энергия, т.е.
2 i 1
2S
электростатическая энергия заряженного проводника, где
плотность заряда на проводнике
 - поверхностная
28. Энергия электростатического поля
Электростатическая энергия заряженного проводника – это энергия зарядов,
перенесенных на проводник – следовательно, эта энергия численно равна
энергии электростатического поля перенесенных зарядов
1 N
1



W   qi0i    (r ) (r )d 2 r
Преобразуем формулу
2 i 1
2S
так,
чтобы она описывала энергию поля через характеристики поля
Теорема Гаусса в


1
1
 
 
W   qi0i    (r ) p(r )d 3r  D  4k 0 p(r )
дифференциальной

2 i1
2V
форме
N
 3
 

 
1
 1
   (r )
(D)d r  (D)   (D)  D( ) 
2V
4k 0
  3
  3 
 2 
1 
1   3

 ( ) Dd r   (D)d r  
  EDd r   (D)d r 
8k 0 V
8

k

0 V
V
S


0
 3
1
W
EDd r

- энергия электростатического поля в объеме V
8k 0 V

ED

Величину
8k 0 называют объемной плотностью энергии
электростатического поля
29. Ток и плотность тока
Качественное определение: любое движение электрических зарядов будем
называть электрическим током
I
dq
dt
(1)
При этом, силой тока I называют величину заряда, прошедшего в единицу
времени через некоторую воображаемую площадку, перпендикулярную
направлению движения зарядов
Сила тока I – скалярная величина и не отражает ни направление, ни скорость
движения зарядов – для этих целей вводят векторную характеристику –
плотность тока j
2
 
I   j d r (2)
S
Величина плотности тока |j| - это элементарная сила тока dI, проходящая
через элементарную площадку j  dI dS
Используя формулу (2) и определение тока (1) несложно убедиться, что
 
 
j (r )  p(r )v (3) , где v – скорость движения зарядов с радиус-
вектором

r
Для точечного заряда эта формула имеет вид
 
 
j (r )  q (r )v
t
Проинтегрируем определение (1)
 dq   Idt
0
Получим
t
t
  2
  2

q   Idt   j (r )d r dt   p(r )v d r dt  q   (r )vd 2 rdt 
t
t
0
0 S
0 S
0 S
t
 dr 2
 3
dr
 v
 q   (r ) d rdt  q   (r )d r  q
dt
dt
0 S
V
1
Согласно
основному
свойству
 - функции
30. Уравнение непрерывности (+дополнительное условие)
Рассмотрим некоторый объем
пространства суммарный заряд
которого равен Q
3

Q   p(r )d r
V
Будем считать, что заряды из
объема V свободно движутся, но
так, что суммарный заряд Q в
объеме V остается неизменным
dQ
 0 (1)
dt
 
 
j (r , t )  p(r , t )v (2)
Движение зарядов создает плотность тока
Из уравнений (1) и (2) можно получить уравнение (3)

p(r , t )   
 j (r , t )  0 (3)
t

 
 v
dj (r , t )  p (r , t ) dt (4)
t
Называемое уравнением непрерывности, которое выполняется при
дополнительном условии (4)
По физическому смыслу, уравнение непрерывности является законом
сохранения заряда (уравнение 1) в дифференциальной форме
Физический смысл уравнения (4): изменение плотности тока в заданной точке
может происходить только в том случае, если в этой точке скорость зарядов
меняется со временем
Найдем производную плотности тока, учитывая, что согласно формуле (2)
  
j  j (r , t )
 
 
 
 

dj (r , t ) j (r , t ) dr
j (r , t )    


j (r , t ) 
 v j (r , t )
dt
t
dt
t



В силу самой формулы (2)
 


 v  p(r , t )
j (r , t )
 p(r , t )  v

t
t
t
 


 v  p(r , t )    
j (r , t )
 p(r , t )  v
 v j (r , t ) 
t
t
t
 


 v  p(r , t )    
j (r , t )
 p(r , t )  v 
 j (r , t ) 
t
t
 t




Рассмотрим подробнее выражение в скобках – проинтегрируем его по
объему V


dQP
p(r , t ) 3
d
3
V t d r  dt V p(r , t )d r  dt  I p
 
 
dQ j
3
2
V j (r , t )d r  S j (r , t )d r  I j  dt
d
I P  I j  (QP  Q j )  0
dt
Следовательно

p (r , t )   
 j ( r , t )  0
t
(Теорема Остроградского)
1. Работа тока (вдоль произвольного контура, мощность и удельная
мощность тока)
2. Интегральные закона Ома (для участка цепи, содержащего ЭДС определение ЭДС и сопротивления участка цепи; для замкнутого
проводника; для участка цепи не содержащего ЭДС)
3. Закон Ома в дифференциальной форме.
4. Тепловое действие тока (закон Джоуля-Ленца в дифференциальной и
интегральной формах)
5. Правила Кирхгофа.
6. Постулат Ампера
7. Закон Био-Савара-Лапласса
8. Силовое действие магнитного поля – закон Ампера
9. Закон Ампера: сила Лоренца, сила Ампера
10. Силовое действие магнитного поля – принцип действия электромотора
11. Силовое действие магнитного поля – принцип действия
электромотора.
12. Калибровочная инвариантность магнитного поля
13. Применение закона БСЛ для расчета магнитных полей – поле
бесконечного, прямого проводника с постоянным током.
14. Применение закона БСЛ для расчета магнитных полей – поле кругового
проводника с постоянным током.
15. Закон полного тока – уравнение Пуассона для магнитного поля.
16. Закон полного тока (в дифференциальной и интегральной формах)
17. Применение закона полного тока для расчета магнитных полей – поле
бесконечного, прямого проводника с постоянным током.
18. Применение закона полного тока для расчета магнитных полей – поле
бесконечного соленоида с постоянным током.
19. Теорема Гаусса для магнитного поля.
20. Магнитный момент.
21. Магнитная восприимчивость
22. Закон полного тока для магнитного поля в магнетике
23. Уравнение Пуассона для магнитного поля в магнетике
24. Векторный потенциал магнитного поля в магнитной среде
25. Типы магнетизма (Суперпарамагнетизм, Антиферромагнетизм (Клапаны
вращения), Ферримагнетизм, Ферромагнетизм (Ферромагнитные
материалы), Парамагнетизм, Диамагнетизм)
26. Магнетизм вещества.
1. Работа тока (вдоль произвольного контура, мощность и удельная
мощность тока)
j (r )  r (r )v
По определению (
), плотность тока обеспечивает перенос
зарядов из одной точки пространства в другую – т.е. совершает работу.
Соответственно, на элементарном перемещении dr плотность тока j
A  q jd r

0
совершает элементарную работу
, где 0 - удельное
сопротивление вещества (в котором течёт ток.)
Таким образом, работа тока вдоль произвольного контура L:
A  q   0 (r ) j (r )d r
. Заметим, что работа зависит от формы контура L.
Работу в единицу времени называют мощностью – следовательно мощность
L
N
A
 q 0 j ( r )
dr
 q 0 j ( r ) v
dt
N  q j (r )v
0
dt
тока
=>
Мощность тока N – характеристика данной точки пространства (с радиусвектором r, т.е. дифференциальная характеристика) – мощность, приходящуюся на элементарный объём dV, называеют удельной мощностью  .

dN dq

 0 j ( r )v   ( r )  0 j ( r )v
dV dV
=>
 (r ) 0 j (r )v
2. Интегральные закона Ома (для участка цепи, содержащего ЭДС определение ЭДС и сопротивления участка цепи; для замкнутого
проводника; для участка цепи не содержащего ЭДС)
A  q 0 jd r ,
Рассмотрим движение зарядов внутри проводника. Согласно
элементарная работа плотности тока по перемещению заряда
A  q 0 jd r
Эту же работу можно рассматривать как работу электрического поля
A  q Ed r . Как и любое силовое поле, электрическое поле можно
разделить на две составляющие – потенциальное (т.е. электростатическое) и
EE
Å
   Å
ïò
íïò
íïò
непотенциальное:
.
Тогда, интегрируя выражения для работы, можно получить :
В силу равенства элементарных работ плотности тока и электрического поля
q 0 jd r  q Ed r
. Проинтегрируем это равенство по всему объёму V
2
2
(

j
d
r
)
d
r

(
E
d
r
)
d
r
0


проводника (очевидно, V=SL): S L
Вычислим сначала интеграл от поля:
 Ed r   (  E
L
2
íïò
S
L
(*1)
)d r    d r   E íïò d r 
L
L
L
  d   E íïò d r  12  1  2  12   E íïò d r  12   E íïò d r  12  12
1
L
L
L


12 - разность потенциалов на участке цепи, соответственно, 12 Здесь
называют электродвижущей силой (ЭДС) на участке цепи.
Из опытных фактов очевидно, что эти величины не зависят от конфигурации
сечение проводника в любой его точке, т.е.
 ( Ed r )d
S
L
2
r   S (r ) Ed r  S  Ed r
L
L
.
Займёмся теперь интегралом от плотности тока:
 ( 
S
0
jd r )d 2 r  d r  dr n
L
 ( 
=
0
d r ) jd 2 r   I (r )  0 (r )dr
L
=S L
.
Таким образом уравнение (*1) принимает вид:


I (r )
S
(
r
)
E
(
r
)


(
r
)
 dr  0
0
L  n
S (r )
E


, здесь n - проекция вектора Е на dr
I (r )
 j (r )
Отношение S (r )
- есть среднее значение плотности тока в сечении
проводника с радиус-вектором r.
Это означает, что выражение в квадратных скобках не зависит от
конфигурации сечения проводника в любой его точке, т.е.
 I (r )  0 (r )
L
dr
S (r )
  E (r )d r  12   12
L
.
Если проводник достаточно гладкий и однородный, так, что сила тока в
12   12  I   0 (r )
L
проводнике в любой его точке постоянна, то
IR12  12   12 - это Интегральный закон Ома для участка цепи,
содержащего ЭДС. Величину
U  12
цепи, соответственно, произведение
на сопротивление
сопротивление.
Частные случаи:
R12 . Здесь,
IR12 - называют падением напряжения
 12   E íïò d r
L
- ЭДС,
  0

R  R r
R r
0
0
цепи:
. Здесь 12
, причём
сопротивление внешней цепи, r – (внутреннее)
сопротивление ЭДС,
ЭДС в цепи.
Если

R0
-
- алгебраическая сумма всех
12  0 , то получаем интегральный закон Ома
для участка цепи, не содержащего ЭДС. IR12  12 
IR  U .
S (r ) .
- называют напряжением на участке
12
Для замкнутого проводника, очевидно
, и мы
получаем интегральный закон Ома для замкнутой
I
dr
U  
12 ,
Отметим, что напряжение на участке цепи
в общем случае, НЕ равно падению напряжения IR на
сопротивлении R.
R12    0
L
dr
S
-
3. Закон Ома в дифференциальной форме.
Как мы уже выяснили, элементарная работа по перемещению зарядов
внутри проводника может быть выражена через плотность тока:
A  q 0 jd r .
Эту же работу можно рассматривать как работу электрического поля
A  q Ed r . В силу равенства элементарных работ плотности тока и
электрического поля
q 0 jd r  q Ed r
j
Откуда получаем:
.
E
 0 => закон Ома в дифференциальной форме
j  E
0
=>
.
Плотность тока в любой точке проводника пропорциональна напряжённости
электрического поля в этой точке.
 0  1
0 называют удельной проводимостью.
Величину
4. Тепловое действие тока (закон Джоуля-Ленца в дифференциальной и
интегральной формах)
По формулам для мощности тока N (
N  q 0 j (r )v ) и удельной мощности
 (r )  j (r )v
0
тока  (  =
) с учётом закона Ома в дифференциальной
форме несложно получить:
N  q j (r )v
0
Мощность тока N можно вычислить по формуле
- если
воспользоваться законом Ома в дифференциальной форме, то получим:
N  q 0 j (r )v  q 0
E (r )
0
v  q E ( r )v
. Далее формула
 =  (r ) 0 j(r )v
для удельной мощности тока
дифференциальной форме принимает вид:
   ( r )  0 j ( r )v   ( r )  0
Если учесть, что
E (r )
0

с помощью закона Ома в
v   ( r ) E ( r )v  j ( r ) E ( r )
j   ( r )v , то последнюю формулу можно записать и так.
2
  j k (r ) E(r )  j (r ) 0 (r ) . =>
Воспользуемся ещё раз законом Ома:
2
  j (r )  0 (r ) . Эту формулу называют законом Джоуля-Ленца в
дифференциальной форме.
Удельная мощность тока, выделяемая в окрестности данной точки
проводника (т.е. в элементарном объёме с радиус-вектором r)
пропорционально квадрату плотности тока в этой точке.
По смыслу, удельная мощность – это мощность, выделяемая в единицу
dQ  dVdt
времени dt в единичном объёме dV – следовательно
элементарное количество тепла, выделяемое в объёме dV.
Интегрируя, получим закон Джоуля-Ленца в интегральной форме:
-
t
Q   dt  d 3 r
Нам нужно вычислить интеграл
  j (r ) E (r )
t
0
V
, где согласно формуле
получаем:
t
V
0
S


Q   dt  j (r ) E (r )d 3r  d 3r  d 2 rd r , j d r   dt  j (r )d 2 r  E (r )d r
0
V
L
t
 E   (r )   Idt  d r  I  cons, 12  const  I12t
0
L
Q  I12t
Количество
тепла Q,
выделяемого в проводнике (во всём его объёме) по которому течёт
постоянный ток силой I за время t пропорционально разности потенциалов
12
на концах проводника.
5. Правила Кирхгофа.
На основе закона Ома Кирхгоф сформулировал правила расчета
разветвлённых электрических цепей:
В каждом проводнике произвольно (и независимо от остальных) выбирают
направление вектора плотности тока
Любая сложная электрическая цепи разбивается на отдельные замкнутые
участки, называемые контурами
В каждом контуре произвольно (и независимо от остальных контуров)
выбирают направление обхода
В каждом контуре, содержащем ЭДС, выбирают её положительное
направление – например от плюса к минусу (либо наоборот, но во всех
контурах одинаково)
Любая точка электрической цепи, в которой сходится более двух
проводников, называется узлом.
N
I
i
0
1 закон Кирхгофа: Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю
2 закон Кирхгофа: Сумма падений напряжения в любом замкнутом контуре
i 1
I
n
Rn    k
k
равно сумме ЭДС в этом контуре n
Здесь обозначено: i - номер проводника, N – количество проводников в узле,
n – номер сопротивления в контуре, k – номер ЭДС.
I1  I 2  I 3  0
I 1 r1  I 2 R1  I 2 r2   1   2
 I 2 R1  I 2 r2  I 3 R2   2
6. Постулат Ампера
В основе магнитостатики лежит следующий
идеализированный опытный факт.
Постулат Ампера: действие на окружающую среду
элементарного витка с током и элементарного
магнита эквивалентны.

Здесь I- сила тока,
- вектор магнитного момента
– характеристика силового действия витка с током и
магнита. Это действие обеспечивается магнитным
полем.
Аналитической формой постулата Ампера является формула, позволяющая
вычислить векторный потенциал магнитного поля, создаваемого витком
A A  km I 
L
dl

| r  r | , где dl – элементарный отрезок контура вдоль вектора
 / 4
km   0


 c2
1
/
c
0
0

плотности тока. Система единиц СИ:
,

0
=1,2566370614*10-6 НА-2 – магнитная проницаемость вакуума.
7. Закон Био-Савара-Лапласса
Найдём индукцию магнитного поля: подставим выражение
A A  km I 
L
dl

|rr |
 
в определение B  , A


dl 
dl 
B A (r )  [, A]  , km I 

k
I

,


m 


|
r

r
|
|
r

r
|
L
L


 Здесь I –
сила тока в контуре L, dl – элементарный вектор,
направленный вдоль вектора плотности тока.
, a | r |   n | r | r, a
n 2
n
Используя формулу
находим
 km I 
(r  r), d l  k I d l, (r  r)
L
| r  r  |3
m

L
| r  r  |3
Как и для электрического поля, для магнитного поля можно определить
характеристику силового действия – индукцию магнитного поля. Подставим в
 
введённое определение B  , A выражение для векторного потенциала
магнитного поля из постулата Ампера – закон Био-Савара-Лапласа – закон,
позволяющий вычислить индукцию магнитного поля, создаваемую
произвольным замкнутым проводником L с постоянным (вдоль проводника)
током силой I любой точке пространства А.
B À (r )  k m I 
d l, (r  r )
| r  r  |3
. Здесь I – сила тока в контуре L. dl –
элементарный вектор, направленный вдоль вектора плотности тока.
Важнейшая отличительная особенность магнитного поля заключается в том,
что магнитных зарядов в природе не существует, поэтому закон Био-СавараЛапласа позволяет сформулировать следующие утверждения:
Невозможно определить (в общем случае) вклад каждого отдельного участка
проводника с током в поле в заданной точке пространства => Магнитное поле
в любой точке пространства создаётся всем проводником.
Эти определения указывают на то, что свойства магнитного поля
существенно отличаются от свойств электрического поля.
Отметим ещё одну важную отличительную особенность магнитного поля:
Электрическое поле может иметь любую конфигурацию. Для создания
требуемой конфигурации электрического поля нужно распределить заряды
L
 (r )  DV (r ) 4k
0 Магнитное поле может иметь
соответствующим образом
только такую конфигурацию, при которой индукция поля удовлетворяет
условию
B  0
8. Силовое действие магнитного поля – закон Ампера
Как определить силу, действующую со стороны магнитного поля:
Эта сила должна действовать на токи
Сила должна быть пропорциональна индукции магнитного поля
Таким образом, если в пространстве текут токи с плотностью j(r), то по
определению элементарной силы dF, действующая в любой точке такого
пространства со стороны внешнего магнитного поля с индукцией B(r) равна
d F (r )  k 0


 1
k0  
j (r ), B(r ) . Здесь обозначено СИ:
1 / c .
Соответственно результатирующая сила, действующая в пространстве

объёмом V

F  k 0  j (r ), B (r ) d 3 r
V
- закон Ампера
9. Закон Ампера: сила Лоренца, сила Ампера
Рассмотрим 2 частных случая закона Ампера:
Сила Лоренца
Будем вычислять силу, действующую на
точечный, движущийся в магнитном поле с
постоянной скоростью.
Для точечного заряда:
j (r )   (r )v  q (r  r 0 )v , где r0
радиус-вектор точки в которой находится
заряд. Следовательно,





F  k 0  j (r ), B(r ) d 3 r  k 0 q  v, B(r )  (r  r 0 )d 3 r  k 0 q v, B(r 0 )
V

V
Таким образом, на заряд, движущийся с постоянной скоростью в однородном
магнитном поле, действует постоянная

F  k q v, B(r 0 )

0
сила
- сила Лоренца
Сила Ампера
Теперь будем вычислять силу,
действующую на отрезок проводника с
постоянной силой тока I, находящийся в
магнитном поле.
Получаем
 
F  k 0  j , B d 3 r | d 3 r  d 2 rd l , j || d l | k 0  jd 2 r  [d l , B]  k 0 I  [d l , B]
V
S
Таким образом, на проводник с постоянной силой тока
в однородном магнитном поле, действует постоянная
сила - сила Ампера
L
L
10. Силовое действие магнитного поля – принцип действия
электромотора
Поместим проводящий прямоугольный контур в
магнитное поле с индукцией B. По закону Ампера
со стороны магнитного поля на проводник с силой
F  k I [ L, B]
0
тока I действует сила Ампера F.
Простейший способ создания тока в контуре –
присоединить его к источнику постоянного тока с
известной ЭДС. В горизонтальных (по рисунку)
проводниках рамки возникнут тока взаимно
противоположного направления, соответственно,
силы Ампера, действующие на эти стороны тоже
будут противоположны – возникнет вращающий
момент и рамка начнёт движение.
11. Силовое действие магнитного поля – принцип действия
электромотора.
Поместим проводящий прямоугольный контур в магнитное поле с индукцией
B. По закону Ампера со стороны магнитного поля на проводник с силой тока I
действует

 сила
 Ампера F
F k0 I[L, B]
Простейший способ создания тока в контуре – подсоединить его к источнику
постоянного тока с известной ЭДС. В горизонтальных (по рисунку)
проводниках рамки возникнут токи взаимно противоположного направления,
соответственно, силы Ампера, действующие на эти стороны, тоже будут
противоположны – возникнет вращающий момент и рамка начнет движение.
N
I
F
-
B
I
F
+
S
12. Калибровочная инвариантность магнитного поля
Калибровочная инвариантность магнитного поля означает, что изменения
векторного потенциала магнитного поля, удовлетворяющие условию
калибровки
  
A A , невозможно обнаружить экспериментально.
  
B [, A]
 
[,]0
     
   

B[, A][, A][, A][,] B
Это свойство магнитного поля называют калибровочной инвариантностью
  
при этом A  A   называют условием калибровки магнитного поля.
13. Применение закона БСЛ для расчета магнитных полей – поле
бесконечного, прямого проводника с постоянным током.
Поле бесконечного, прямого проводника с постоянным током
Будем вычислять магнитное поле на расстоянии a(точка A) от бесконечного
прямого проводника, по которому течет постоянный ток силой I
По закону Био-Савара-Лапласа





[dl ,r ]
[dl ,r ]
B k I   k I  
3
3
A m
m
L r
 r
И после несложных вычислений для величины индукции магнитного поля в
точке А получаем

2I
B k
m a
Направление вектора B определяем по правилу правого винта
dl
I
-∞
+∞
r
B
A
a
14. Применение закона БСЛ для расчета магнитных полей – поле
кругового проводника с постоянным током.
Поле кругового проводника с постоянным током
Будем вычислять магнитное поле на оси кругового проводника радиусом R,
по которому течет постоянный ток силой I (например, в точке A на
расстоянии a от плоскости витка)
По закону Био-Савара-Лапласа


[dl ,r ]
B k I  
3
A m
L r
И после несложных вычислений для величины индукции магнитного поля в
точке A получаем

B k
2R 2 I
m

2
2
z R 




3



z
A
r
a
R
x
y
dl
I
15. Закон полного тока – уравнение Пуассона для магнитного поля.
Вспомним аналитическую форму постулата Ампера для магнитного поля.
Перейдем к интегралу по объему.

  3
 
dl
j (r )d r 
A(r )  k I     k   
m r r  m

V r r
L
В электростатике мы получили два способа описания электростатического
поля
Основная задача электростатики
Уравнение Пуассона


 (r ) 3
 (r ) k    d r 

V r r


2 (r )4k (r )
Напомним, что основная задача электростатики является решением
уравнения Пуассона.
Тогда, для магнитного поля, по аналогии
Постулат Ампера
уравнение Пуассона
  3
 
j (r )d r 
A(r )  k   
m
r r 
V
 
 
2
 A(r )  4k j (r )
m
Является решением дифференциального уравнения, называемого
уравнением Пуассона для магнитного поля.
16. Закон полного тока (в дифференциальной и интегральной формах)
Найдем ротор индукции магнитного поля

      
2
[, B][,[, A]](A) A


(A)  0
Магнитное поле обладает свойством калибровочной инвариантности
  
( A  A   ) – выберем векторный потенциал магнитного поля так, чтобы



2
A0  A4k j Тогда
m
По
повторного применения оператора
 правилам

И согласно уравнению Пуассона для магнитного поля
Врезультате
получаем уравнение,

 

[, B(r )] 4k j (r )
m
Называемое законом полного тока в дифференциальной форме
Вокруг каждого элементарного тока (плотности j),
текущего в любой точке пространства (с радиус-вектором r),
возникает вихревое магнитное поле с индукцией B(r)
Еще раз подчеркнем, что согласно закону полного тока в дифференциальной
форме, магнитное поле всегда вихревое – следовательно, силовые линии
магнитного поля нигде не начинаются и нигде не заканчиваются – замкнуты
сами на себя.
L
d2r
j
dl
S
Пусть в некоторой точке пространства течет ток с плотностью j
Рассмотрим воображаемый контур L, охватывающий этот ток
Проинтегрируем закон полного тока (в дифференциальной форме ) по
площадке, охватываемой контуром L
   2
  2
[

,
B
(
r
)]
d
r

4

k
j (r )d r

m
S
S
I-сила тока
Чтобы в первом интеграле перейти к интегралу по охватывающему контуру
L, воспользуемся теоремой Стокса
  2  
 [, F ]d r   Fdl
S
L
Получим
 
 Bdl  4km I
L
закон полного тока в интегральной форме
Циркуляция вектора магнитной индукции B по замкнутому контуру L
пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых контуром
I1
L
I2
 ...
L
I3
I4
I1-I2+I3
17. Применение закона полного тока для расчета магнитных полей –
поле бесконечного, прямого проводника с постоянным током.
Поле бесконечного, прямого проводника с постоянным током
Будем вычислять магнитное поле на расстоянии a(точка A) от бесконечного
прямого проводника, по которому течет постоянный ток силой I
По закону полного тока
 
 Bdl 4km I
L
И после несложных вычислений для величины индукции магнитного поля в
точке A получаем

2l
B  km
a
Направление вектора B определяем по правилу правого винта
dl
I
L
B
a
A
По закону полного тока
 
 Bdl 4km I
L
Выберем в качестве контура интегрирования L
силовую линию магнитного поля, тогда
Таким образом
     

B
d
l

B
d
l

B
d
l

2

a
B



L
L
L


2I
2a B 4km I  B km
a

   
B const, Bdl  B dl
L
18. Применение закона полного тока для расчета магнитных полей –
поле бесконечного соленоида с постоянным током.
Соленоидом будем называть систему круговых концентрических проводников
радиусом R
Пусть по соленоиду (т.е. по каждому из концентрических проводников) течет
постоянный ток силой I- будем вычислять магнитное поле соленоида
По закону полного тока
 
 Bdl 4km I 0 4km NI
L
где N – число витков (концентрических проводников)
И после несложных вычислений для величины индукции магнитного поля
внутри соленоида получим

B 4km nI
где n – число витков на единицу длины
Направлен вектор B по оси Z по правилу правого
z
B
y
x
винта
dl
I
R
19. Теорема Гаусса для магнитного поля.
Найдем дивергенцию индукции магнитного поля
   
B[, A]
По правилам повторного применения оператора
 
 [f ]0 

В результате,
получаем уравнение.


B(r )0
называемое теоремой Гаусса для магнитного поля в дифференциальной
форме
Сравнивая
это уравнение с теоремой Гаусса для электростатического поля,



E (r )  4k (r )
 
сформулируем физический смысл уравнения B(r ) 0 (теоремы Гаусса для
магнитного поля)
Магнитных зарядов НЕ существует


Проинтегрируем уравнение B(r ) 0 по всему окружающему пространству
– получим теорему Гаусса для магнитного поля в интегральной форме
 3
 
 Bd r   BdS 0
L
S
Поток вектора магнитной индукции сквозь любую замкнутую поверхность
равен нулю.
20. Магнитный момент.
Согласно постулату Ампера элементарным объектом, создающим магнитное
поле, является элементарный виток с током или элементарный магнит –
магнитный диполь.
По определению, вектор элементарного магнитного момента dµ

d k0 IdS

элементарного кругового витка с током I равен
Здесь dS – вектор площади витка с током Постулат Ампера позволяет
определить векторный потенциал магнитного поля в любой точке A через
геометрические параметры контура Перепишем эту формулу для
элементарного поля dAA(r) элементарного магнитного момента dµ - при
вычислении воспользуемся
формулой (следствие из теоремы Стокса)

 
dl
AA (r )km I   
L r r 

 

 (r )dl   [dS ,(r )]
L
S
  k
 1
m
dAA (r ) [d,(   )]
k0
r r 
Очевидно, эта формула справедлива не только для элементарного контура с
током, но и для элементарного магнита.
dS
dµ
L
dµ
I
S
r
dl
r
S
A
r
N
21. Магнитная восприимчивость
Из уравнения

B
 4km 

H 
M  H для индукции магнитного поля B
0
k0  0
получим

 4km 

B  0 H 
M  0 H
k0
Тогда, учитывая, что для однородного изотропного магнетика,
для намагниченности M можно написать
 k0 

  k0

 10 H
M
 0 H  0 H  


4km
4km
k
Введем обозначение  ( 1) 0 0
4km
Тогда получим, что намагниченность M, в точке заданной точке однородного
изотропного магнетика пропорциональна напряженности магнитного поля H в
этой
 точке

M  H
где
 - магнитная восприимчивость вещества (магнетика)
22. Закон полного тока для магнитного поля в магнетике
Как и прежде, найдем ротор индукции магнитного поля



      

2
2
[, B][,[, A]](A) A A0  A4km j0
И согласно уравнению Пуассона для магнитного
поля в магнитной среде
 
 

В результате, получаем уравнение, [, B(r )]4km j0 (r )
называемое законом полного тока для магнитной среды в
дифференциальной форме. Однако в такой форме закон полного тока не
отражает особенностей магнитного
поля для магнитной среды
 
 

Преобразуем уравнение [, B(r )]4km j0 (r )
 
 
 [, M ]
[, B]  4k m ( j 
)
k0
  4k m 
   4k m  
4k m j  [, B] 
[, M ]  [, B 
M]
k0
k
Введем обозначение

B
 4k m 

H
M  H
0
k0 0
Величину H называют вектором напряженности магнитного поля.
В однородном изотропном магнетике
 0  4  10 7 HA 2 - магнитная проницаемость вакуума, µ - магнитная
проницаемость магнетика.
С обозначением, закон полного тока для магнитного поля в магнетке
принимает вид
  
 
 0 [, H (r )]  4k m j (r )
Интегрируя это уравнение по контуру L,
охватывающему площадь S (с
использованием теоремы Стокса)
получим
 
 0  Hdl  4k m I
I1
 ... 
L
I2
I3
закон
I4
L
I1-I2+I3
L
полного тока в интегральной форме для
магнитного поля в магнетике.
Циркуляция вектора напряженности магнитного поля H по замкнутому
контуру L пропорциональна алгебраической сумме токов, охватываемых
контуром
23. Уравнение Пуассона для магнитного поля в магнетике
В магнитостатике мы получили два способа описания магнитного поля
Постулат Ампера
Уравнение Пуассона
  3
 
j (r )d r 
A(r )  k m   
r  r
V
 
 
 A(r )  4k m j (r )
2
Напомним, что постулат Ампера является решением уравнение Пуассона
для магнитного поля
Тогда, по аналогии,
Постулат Ампера
Уравнение Пуассона
  3
 
j (r )d r 
A(r )  k m  0  
r  r
V
 
 
 A(r )  4k m j0 (r )
2
где j 0 ( r )  j ( r )  j  ( r ) , является решением дифференциального
уравнения, называемого уравнением Пуассона для магнитного поля в
магнетике
24. Векторный потенциал магнитного поля в магнитной среде
Будем вычислять магнитное поле в точке A при условии, что в некоторой
области пространства, объемом V, находится намагниченный магнетик
По формуле
 

km
1
dAA (r ) 
[d , (   )]
k0
r  r
элементарное поле
моментом
d
dAA (r ) , создаваемое элементарным магнитным
 
k     1 
dAA (r )  m d ,    
k 0 
 r  r  
Тогда, учитывая, что
z
r
интегрируя по всему объему
магнетика, получим
  km
AA (r ) 
k0

V


d3r
dµ
 
d  Md 3r и
  
, M (r ) 3
  d r
r  r
V
r
A
y
x
при условии, что всем окружающем пространстве нет ничего, кроме
 
магнетика объемом V. Напомним, что M r  - вектор намагничения
магнетика в точке с радиус-вектором r 
Теперь будем вычислять магнитное поле в точке A при условии, что в
пространстве кроме намагниченного магнетика объемом V находятся другие
источники магнитного поля – токи.
По постулату Ампера плотность тока j создает в точке A магнитное поле с
потенциалом
  
 
  3
 

j (r )  [, M (r )] / k 0 3

j (r )d r 
AA (r )  k m     AA (r )  k m 
d r
 


r r
r r
V
V
 
1  
j r   [, M ]
Величину 
k0
называют плотностью тока намагничивания
таким образом
Магнитное поле в любой точке пространства создается плотностью тока
проводимости j и плотностью тока намагничивания jµ - возникающего внутри
магнетика
25. Типы магнетизма (Суперпарамагнетизм, Антиферромагнетизм
(Клапаны вращения), Ферримагнетизм, Ферромагнетизм
(Ферромагнитные материалы), Парамагнетизм, Диамагнетизм)
Супермагнетизм – явление, при котором магнитные материалы могут
показать поведение, подобное парамагнетизму при температурах ниже
температуры Кюри или температуры Неела.
Супермагнетизм – возникает, когда материал составлен из очень маленьких
кристаллитов (1-10 нм)
В этом случае даже при температурах ниже температуры Кюри или
температуры Неела тепловой энергии не достаточно, чтобы преодолеть
силы сцепления между соседними атомами, но ее достаточно, чтобы
изменить направление намагничивания всего кристаллита.
Энергию, требуемую на изменение направления намагничивания
кристаллита, называют энергией кристаллитной анизотропии – она зависит
как от свойств материала, так и от размера кристаллита – уменьшение
размеров кристаллита приводит к уменьшению температуры, при которой
материал становится суперпарамагнетиком
Антиферромагнетизм
В материалах, которые обладают антиферромагнетизмом, спиновые
магнитные моменты соседних электронов выстраиваются в
противоположных направлениях – явление прямо противоположное
ферромагнетизму.
Антиферромагнитные материалы показывают антиферромагнетизм при
низкой температуре, и теряют это свойство выше определенной
температуры, которую называют температурой Неела – выше температуры
Неела материал – типичный парамагнетик.
Антиферромагнитное поведение при низкой температуре обычно кончается
диамагнитными свойствами, но может иногда показывать ферримагнитное
поведение, которое во многих физически заметных явлениях подобно
ферромагнитным взаимодействиям.
Антиферромагнитные материалы относительно необыкновенны, например, тяжелый фермион сверхпроводник URu2Si2 а также многочисленные примеры
среди трансурановых металлических групп
Более обычные примеры включают металлы типа хром, сплавы типа
железного марганца – FeMn, и окисей типа окиси никеля – NiO
Клапаны вращения
Антиферромагнетики могут также соединяться с ферромагнитными
материалами через механизм, известный как обменная анизотропия, при
котором ферромагнитная пленка или выращена на антиферромагнетике, или
отожжена в выравнивающем магнитном поле, вынуждая поверхностные
атомы ферромагнетика выстраивать свои магнитные моменты по
поверхностным атомам антиферромагнетика. Это свойство обеспечивает
одно из главных применений антиферромагнетиков – в так называемых
клапанах вращения, которые являются основой магнитных датчиков
(включая современный накопитель на жестких дисках).
Ферромагнетизм
Ферромагнитные материалы – наиболее магнитоактивные вещества в мире,
и имеют очень большую магнитную восприимчивость, в пределах от 1000 до
100000.
Атомы этих материалов имеют постоянный магнитный момент и они могут
образовать систему с другими атомам (с параллельным магнитным
моментом) в состоянии с более низкой энергией – возникают
микроскопические области, в которых миллиарды магнитных диполей
объединяются – эти области называют.
выше некоторой критической температуры,
называемой температурой Кюри, тепловое
движение атомов становится настолько
сильным, что ферромагнитный материал
прекращают быть ферромагнетиком.
В сильном магнитном поле домены
вынуждены соединяться в большие области,
выровненные по внешнему полю – когда внешнее поле выключают,
электроны в оболочках поддерживают выравнивание, и магнетизм остается –
эту особенность называют гистерезисом.
Парамагентизм – возникает из-за тенденции магнитных моментов атомов
выстраиваться по внешнему магнитному полю
Парамагнетизм требует, чтобы атомы имели магнитные моменты и без
внешнего поля
Парамагнетизм
требует, тчобы атомы
имели магнитные
моменты и без
внешнего поля.
В неоднородных
магнитных полях
парамагнитные
материалы
притягиваются к
областям, где
магнитное поле
сильнее.
Согласно закону Кюри
M C
B
T
где M – намагниченность, B – индукция
внешнего магнитного поля, T- абсолютная температура, C- постоянная кюри.
В общем, парамагнитные эффекты являются слабыми (магнитная
восприимчивость порядка 10-3 … 10-5)
Диамагнетизм
- очень слабая форма магнетизма и возникает только во внешнем магнитном
поле.
Возникающий магнитный момент очень маленьких по величине и направлен
против индукции внешнего поля.
В неоднородных магнитных полях диамагнитные материалы притягиваются к
областям, где магнитное поле слабее.
Сверхпроводники – идеальные диамагнетики и, соответственно,
суперпроводящие магниты – главный компонент систем магнитной
томографии
Диамагнетики могут использоваться для левитации – M.V.Berry и A.K.Geim из
Radboud University Nijmegen провели эксперименты, где они успешно
подняли живую
Диамагнетизм был обнаружен и назван в сентябре 1845.
26. Магнетизм вещества.
Таким образом, различия в конфигурации электронных орбит в различных
атомах определяют характер и величину атомных магнитных моментов,
которые в свою очередь определяют различия магнитных свойств различных
материалов.
Для измерения степени намагниченности любого элементарного объема
вещества вводят величину.
 d
M 
dV
называемую вектором намагничения (намагниченностью)
Здесь обозначено dµ - магнитный момент элементарного объема dV.
Вектор намагничения можно записать также в виде,


M    i 
V
dV
где µi – магнитный момент I – го атома в объеме dV.
Отметим, что в общем случае, намагниченность M зависит от величины
магнитного поля в веществе, т.е. от величины магнитной индукции B.
dV
dµ