1. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве 1.1

1. Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
1.1. Метод координат на плоскости
1. Выберите правильный ответ
Расстояние между точками А(2;-6) и В(7;3) равно:
a) 13
b) 2
верно
c) 106
d) 88
2. Выберите правильный ответ
Определить середины сторон треугольника с вершинами А(3;4), В(-2;1), С(5;-7)
7 1
1
a) (  ; ), (0;0), (4;  )
2
2 2
b) (1,5), (3,-6), (8,-3)
1 3
c) (-2;0), (1;4), ( ; )
8 7
3
3
1 5
d) ( ; ), ( ;3 ), ( 4; )
верно
2
2 2
2
3. Выберите правильный ответ
Вычислить координаты точки М(х;у), делящей отрезок АВ, где А(1; 1) и В(4;7), в
отношении AM : МВ=2; 1.
a) (3;5)
b) (1;2)
c) (0;4)
9 5
d) ( ; )
2 2
4. Выберите правильный ответ
Найти полярные координаты точки Е(2;2)
3
a) ( 8 ; )
4

b) ( 2 2 ; )
4

c) ( 4; )
4

d) ( 2 ; )
6
1.2. Прямая на плоскости
5. Дополните
Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой
x y
  1.
6 4
Ответ: 12
6. Дополните
Определить площадь треугольника, заключенного между осями координат и прямой
x y
  1.
6 5
Ответ: 15
7. Дополните
x y
  1 , заключенного между точками пересечения прямой с
3 4
осями координат равна…
Ответ: 5
Длина отрезка прямой
8. Дополните
x y
  1 , заключенного между точками пересечения прямой с
3 4
осями координат равна...
Ответ: 5
Длина отрезка прямой
9. Дополните
x y
  1 , заключенного между точками пересечения
8 6
прямой с осями координат равна...
Ответ: 10
Длина отрезка прямой
10. Выберите правильный ответ
Выберите уравнение прямой, проходящей через точки А(2;-3) и В(1;4).
a)
х – 7у + 8 = 0
b)
Зх + 4у – 10 = 0
c)
7х + у + 11 = 0
d)
7х + у – 11 = 0
верно
11. Выберите правильный ответ
Выберите уравнение прямой, проходящей через точки А(0; 4) и В(–4;0).
а) х – у + 4 = 0
б) х + 4у = 0
в) 2х + у + 1 = 0
г) 4х + у = 0
12. Выберите правильный ответ
Выберите уравнение прямой, проходящей точки А(0; -5) и В(5;0).
а) х – у – 5 = 0
б) х + 5у = 0
в) – х + у + 1 = 0
г) 5х + у = 0
13. Выберите правильный ответ
Найдите точку пересечения прямых 2х – у = 0; х + 3у = 0
(0; –3)
(1;1)
(–3;2)
(0;0)
14. Выберите правильный ответ
Найдите точку пересечения прямых 2х – 5у = 0; х + 10у = 0.
(0; –3)
(1;1)
(0;0)
(–3;2)
15. Выберите правильный ответ
Найдите точку пересечения прямых x – 8y = 0; 5х + 3у = 0.
(0; –3)
(1;1)
(–3;2)
(0;0)
16. Выберите правильный ответ
Расстояние от точки К(-1 ;4) до прямой y 
2
1
x  равно:
3
3
13
13
13 -верно
13
15
13
17. Выберите правильный ответ
Записать уравнение прямой, проходящей через точку М(2;-5) и имеющей угловой
коэффициент к = 4.
10х + у + 18 = 0
4х + у + 13 = 0
10х – у + 15 = 0
4х – у – 13 = 0 - верно
18. Выберите правильный ответ
Среди прямых
l1 : 2 x  5 y  7  0
l2 : 4x 10 y  3  0
l3 : 4 x  10 y  3  0
l4 : 5x  2 y  8  0
указать параллельные и перпендикулярные:
l1  l4 , l1 || l3
l1 || l2 , l2 || l3 , l2  l4
l2  l4 , l1 || l3 - верно
l1  l3 , l2 || l4
Кривые второго порядка
19. Выберите правильный ответ
Расстояние между фокусами эллипса, заданного уравнением Зх2 + 5у2 =15, равно...
2
16
2 2 - верно
16
20. Выберите правильный ответ
Если мнимая ось гиперболы равна 8, а расстояние между фокусами 10, то каноническое
уравнение гиперболы имеет вид...
x2 y2

1
16 9
x2 y2

 1 - верно
9 16
x2 y2

1
3
4
x2 y2

1
9 16
21. Выберите правильный ответ
Уравнение окружности с центром в точке N (2; –3) и радиуса R=6 имеет вид:
x  22   y  32  6
x2 y2

6
4
9
x  22   y  32  36 - верно
x  32   y  22  36
22. Выберите правильный ответ
Выберите уравнение, которое соответствует чертежу:
y
3
-8
8
x
-3
2
2
x
y

1
64 9
x2 y2

1
9 64
x2 y2

1
9 64
x2 y2

 1 - верно
64 9
23. Выберите правильный ответ
Выберите уравнение, которое соответствует чертежу:
y
4
-9
9
x
-4
x2 y2

1
16 81
x2 y2

1
81 16
x2 y2

1
16 81
x2 y2

 1 - верно
81 16
24. Выберите правильный ответ
Выберите уравнение, которое соответствует чертежу:
y
3
-5
5
x
-3
x2 y2

1
25 9
x2 y2

1
25 3
x2 y2

 1 - верно
25 9
x2 y2

1
9 25
25. Выберите правильный ответ
Выберите уравнение, которое соответствует чертежу:
y
2
-6
6
-2
x2

25
x2

25
x2

25
y2
1
9
y2
1
3
y2
 1 - верно
9
x
x2 y2

1
9 25
26. Выберите правильный ответ
Выберите уравнение, которое соответствует чертежу:
y
2
-7
7
x
-2
2
2
x
y

4 49
x2 y2

4 49
x2 y2

7
2
2
x
y2

49 4
1
1
1
 1 - верно
27. Выберите правильный ответ
Выберите уравнение, которое соответствует чертежу:
y
4
0
1
x
y 2  2x
y  4x 2 - верно
y 2  4x
y  4x 2
Прямая и плоскость в пространстве
28. Выберите правильный ответ
Уравнение плоскости 4x + 3y + 6z – 12=0, записанное в виде уравнения плоскости "в
отрезках", выглядит следующим образом:
2 x  3 y  6 z  12
2 x  3 y  6(2  z )
x y z
  1
6 4 2
x y z
   1 - верно
3 4 2
29. Выберите правильный ответ
Найдите расстояние от точки М (3; – 1; 2) до плоскости x  2 y  3z  1  0
10
- верно
14
11
14
11
5
10
5
30. Выберите правильный ответ
Найдите расстояние от начала координат до плоскости 2 x  y  3z  4  0
2
7
4
- верно
14
4
5
2
7
31. Выберите правильный ответ
Среди плоскостей
П1: x + 2y – 3z + 6 = 0,
П2: 4x – 2y + 3z – 8 = 0,
П3: 3x + 6y – 9z – l = 0,
П4: 5x + 3y – z + 5 = 0
укажите параллельные.
П1 || П4
П1 || П3 - верно
П2 || П3
П3 || П4
32. Выберите правильный ответ
Среди следующих пар плоскостей
а) 3x – y + 5z + l = 0 и x + y + z – 7 = 0,
б) x – 2y + z + 4 = 0 и 2x + 3y + 4z – l = 0,
в) 5x – y – z + 3 = 0 и x – y + 6z + 3 = 0.
укажите перпендикулярные.
в
а, б
б, в - верно
а, в
33. Выберите правильный ответ
Косинус угла между плоскостями x – y + 2z – 3 = 0 и 2x + 3y + z + 7 = 0 равен
1
- верно
2 21
3
26
8
21
1
21
34. Выберите правильный ответ
Даны плоскости
П1: 3x  2 y  4 z  1  0 ,
П2: 6 x  4 y  8 z  3  0 ,
П3: x  y  3z  5  0
x  4 y  3 z 1


Прямая
перпендикулярна плоскости...
3
2
4
П1
П2
П3 - верно
П1 и П3
35. Выберите правильный ответ
Косинус угла между плоскостями 2 x  y  2 z  10  0 и 2 x  3 y  z  20  0 равен...
3
2 14
1
- верно
14
3
14
1

3 14
36. Выберите правильный ответ
Косинус угла между плоскостями x  y  2 z  15  0 и 2 x  3 y  3z  0 равен:
5
- верно
2 33
11
2 33
1

22
5
33
Векторы на плоскости
49. Дополните
Найдите длину вектора AB по заданным координатам его концов А(2;-5), В(-3 ;7).
Правильные варианты ответа: 13.
50. Выберите правильный ответ
На каком из чертежей вектор c является суммой векторов a и b (четырехугольник на
рисунках - параллелограмм)?
1.
a
2.
c
b
c
b
a
3.
4.
c
b
b
c
a
a
Векторы в пространстве
51. Выберите правильный ответ
При каком значении m векторы (2; m; 5) и
m=7
m=5
m=–5
52. Выберите правильный ответ
При каком значении m векторы (1; 2; m) и
m=1
m=0
m=–1
53. Выберите правильный ответ
При каком значении m векторы (m; –3; 1) и
m=3
m=1
m=–2
54. Выберите правильный ответ
Косинус угла между векторами (–2; 1; 0) и
(m; 3; 7) перпендикулярны?
(2m; 3; 4) перпендикулярны?
(1; m; 8) перпендикулярны?
(3; 2; 1) равен...
55. Выберите правильный ответ
Косинус угла между векторами (–2; 1; 0) и
(0; 2; 1) равен...
56. Выберите правильный ответ
Косинус угла между векторами (–5; 1; 0) и
(0; 2; –4) равен...
57. Дополните
Даны векторы (2; –3; 1) и
ВС (–8; t; s). Найти сумму s +1, если точки А, В, С лежат
на одной прямой. Правильные варианты ответа: 8;
58. Дополните
Скалярное произведение векторов
Правильные варианты ответа: -8;
59. Дополните
Скалярное произведение векторов
варианты ответа: -2;
= 3i – j +4k и
= 3i – j +2k и
= i + 3j – 2k равно...
= i + 3j – k равно... Правильные
1. В треугольнике АВС, где А = (0, 4), В = (8, 20), С = (24, 14), угол АВС
1) острый
2) тупой
верно
3) прямой
2. В треугольнике АВС, где А = (7, 8), В = (19, 12), С = (11, 20), угол при вершине А
равен
1) arccos(1/3)
2) /6
3) /3
4) arccos(3/5)
верно
3. В треугольнике АВС, где А = (9, 5), В = (17, 21), С = (33, 13), угол АВС
1) тупой
2) прямой
верно
3) острый
4. В треугольнике АВС, где А = (9, 7), В = (21, 11), С = (13, 19), угол при вершине А
равен
1) arccos (3/5)
верно
2) /4
3) /2
4) arccos (2/3)
5. В треугольнике АВС, где А = (3, 3), В = (7, 11), С = (15, 6), угол ВАС
1) острый
верно
2) прямой
3) тупой
6. В треугольнике АВС, где А = (6, 4), В = (12, 6), С = (8, 10), угол при вершине А равен
1) /3
2) /6
3) arccos (3/5)
4) arccos (1/3)
верно
7. Даны три прямых на плоскости: l1 : 1  4 y  x  0 , l2 : 6  y  4 x  0 , l3 :  x  4 y  4  0 .
Верным является утверждение
1) l1 и l3 перпендикулярны
2) перпендикулярных прямых нет
3) l1 и l 2 перпендикулярны
4) l 2 и l3 перпендикулярны
верно
8. Задан вектор m = (6, 3, 1). Длина вектора 5m равна
1) 5
2) 200
3) 5 46
верно
4) 46
9. Заданы векторы m = (6; 2; 3) и n = (0; 1; 10). Значением выражения n  (m – n) является
1) 17
2) – 69
верно
3) 34
4) 33
Заданы векторы m = (7; 1; 0) и n = (3; 4; 2). Длина вектора 4m – 6n равна
1) 4 50
2)
644
верно
3) 10
4) 6 29
11. Из векторов а = (2, 10, 4), b = (10, -2, 4) и с = (4, 0, -10) ортогональными являются
1) а и b; b и с
2) а и с
3) b и с
4) а и b
верно
12. Из векторов а = (3, 0, -6), b = (5, 6, 3) и с = (6, -5, 3) ортогональными являются
1) а и b, а и с
2) а и с
верно
3) b и с
4) а и b
13. Из векторов а = (3, 8, 4), b = (8, -3, 4) и с = (4, 0, -8) ортогональными являются
1) b и с
верно
2) а и b, b и с
3) а и с
4) а и b
2
2
14. Кривой второго порядка 8 x  16 y  29 x  y  8 является
1) парабола
2) эллипс, не вырожденный в окружность
3) гипербола
4) окружность
верно
15. Кривой второго порядка 19 x 2  29 x  y  2 является
1) парабола
верно
2) эллипс, не вырожденный в окружность
3) гипербола
4) окружность
16. Кривой второго порядка 7 x 2  28 x  y  26 является
1) парабола
верно
2) эллипс, не вырожденный в окружность
3) гипербола
4) окружность
17. Кривой второго порядка 4 x 2  11y 2  23x  y  20 является
1) окружность
2) парабола
3) гипербола
верно
4) эллипс, не вырожденный в окружность
18. Кривой второго порядка 6 x 2  6 y 2  22 x  y  7 является
1) окружность
верно
2) гипербола
3) парабола
4) эллипс, не вырожденный в окружность
19. Кривой второго порядка 6 x 2  16 y 2  28x  y  19 является
1) гипербола
2) окружность
3) эллипс, не вырожденный в окружность
верно
4) парабола
20. Кривой второго порядка 16 x 2  16 y 2  22 x  y  10 является
1) парабола
2) эллипс, не вырожденный в окружность
3) окружность
верно
4) гипербола
21. Общее уравнение плоскости, содержащей точку А(3, -1, 5) и параллельной плоскости
9 x  2 y  z  5  0 , имеет вид
1) 3x  2 y  z  12  0
2) 3x  y  z  15  0
3) 3 x  y  z  34  0
4) 9 x  2 y  z  34  0
верно
22. Общее уравнение прямой, содержащей точки А(3,1) и В(-2, -2), имеет вид
1)  2 x  2 y  8  0
2)  x  5 y  8  0
3) 3x  5 y  4  0
4) x  4 y  8  0
верно
23. Общее уравнение прямой, содержащей точки А(5, 2) и В(-4,0), имеет вид
1) 5 x  7 y  2  0
2) 2 x  3 y  8  0
3) 2 x  9 y  9  0
4) 2 x  9 y  8  0
верно
24. Плоскость  : 2 x  7 y  2 z  15  0 перпендикулярна плоскости
1)  7 x  2 y  1  0
2)  y  7 z  14  0
3) 2 x  7 y  2 z  1  0
4) 2 y  7 z  14  0
верно
25. Плоскость  : 2 x  7 y  z  18  0 перпендикулярна плоскости
1)  y  8 z  14  0
2)  7 x  2 y  1  0
3)  y  7 z  14  0
верно
4) 2 x  7 y  z  1  0
26. Прямая, проходящая через точки А(1, 4, 1) и В(3, 3, 3) перпендикулярна плоскости
1) 2 x  y  2 z  0
верно
2) 2 x  2 y  2 z  5  0
3)  x  2 y  2 z  3  0
4) x  y  3z  1  0
27. Прямая, проходящая через точки А(3, 6, 2) и В(5, 5, 3), перпендикулярна плоскости
1) x  2 y  8  0
2) 2 x  2 y  8  0
3) 8 x  2 y  0
4) 2 x  y  16  0
верно
28. Прямая, проходящая через точки А(3, 6, 2) и В(5, 5, 3), перпендикулярна плоскости
1) 2 x  y  z  0
2) 2 x  y  z  5  0
верно
3)  x  2 y  z  3  0
4) x  y  3z  1  0
29. Прямая, проходящая через точку А(-2, 0) и параллельная прямой 2 x  2 y  2  0 , имеет
вид
1) 2 x  2 y  4  0
верно
2) x  2 y  2  0
3) 2 x  2 y  2  0
4)  2 x  2 y  0
30. Угол АВС в треугольнике с вершинами А = (3, 4), В = (7, 12) и С = (15, 8)
1) прямой
2) тупой
3) острый
верно
31. Уравнением плоскости, проходящей через точку А(3, 3, -2) и перпендикулярной
x 1 y z
прямой l :
  , является
2 2 3
1)  2 x  2 y  3z  6  0
верно
2) x  y  z  4  0
3) 3x  2 y  z  1  0
4) 3x  2 y  z  13  0
32. Уравнением прямой, содержащей точку А(6, -1) и параллельной прямой
является
1) x  5 y  2
2) 5 x  y  0
3) x  5 y  0
4) x  5 y  1
верно
33. Уравнением прямой, содержащей точку А(6, -2) и параллельной прямой
является
1) x  4 y  0
2) x  4 y  2  0
3) x  4 y  2  0
4) 4 x  y  2  0
x
y
 ,
5 1
верно
x
y
 ,
4 1