Признаки делимости.

Признаки делимости.
учитель математики
МАОУ Константиновской средней
общеобразовательной школы
г. Домодедово Московской области
Гыбина М.Ю.
г. Домодедово
2012
Содержание.
Введение.
3
Глава 1. Основная часть.
§1. Числа правят миром.
4
§2. Простые и составные числа. Решето Эратосфена.
7
§3.
Б.Паскаль.
§4. Признак делимости Паскаля.
8
9
Глава 2. Практическая часть.
§1. Признаки делимости. Свойства делимости.
10
§2. Любопытные свойства натуральных чисел.
12
§3. Решение задач.
14
§4. Задачи.
16
Заключение.
18
Список литературы
19
2
Введение.
При изучении на уроках математики темы «Признаки делимости
чисел
на 2, 3, 5, 9,10» возник интерес к исследованию чисел на делимость. Объектом
исследования стала делимость натуральных чисел.
Было предположено, что
если можно определить делимость чисел на эти
числа, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость
натуральных чисел на другие числа.
Целью работы является:
описание признаков делимости натуральных чисел.
Задачи:
изучить дополнительную литературу; объединить и
обобщить признаки из
разных источников, рассмотреть решение задач; подобрать задачи на признаки
делимости.
3
Глава 1. Основная часть.
§1. Числа правят миром.
Первого греческого ученого, который начал рассуждать о математике, а
не только пользоваться ею, звали Фалес. А о числах первым начал рассуждать
грек Пифагор, который родился на острове Самосе в VI веке до нашей эры.
Поэтому его часто называют Пифагором Самосским.
Пифагор
очень
много сделал для развития науки (хотя начинал он совсем не как ученый, а как
победитель Олимпийских игр по кулачному бою!). Сначала он занялся
музыкой. Ему удалось установить связь между длиной струны музыкального
инструмента и издаваемым им звуком. И тогда Пифагор решил, что не только
законы музыки, но и вообще все на свете можно выразить с помощью чисел.
«Числа правят миром!» — провозгласил он.
Разумеется, о том, что натуральные числа бывают четными и нечетными,
задолго до Пифагора знал любой продавец на базаре его родного острова
Самоса. Ведь ему приходилось раскладывать свой товар попарно, и иногда это
удавалось, а иногда яблоко, мешок муки или баран оказывались лишними. Но
Пифагор стал думать о свойствах четных и нечетных чисел. Он сложил два
четных числа и получил снова четное число. То же самое вышло, когда он
сложил два нечетных числа. А от сложения четного числа с нечетным
получилось нечетное число. Наверное, такое тысячи раз случалось и у египтян,
и у вавилонян, да и у греков, живших до Пифагора. Но никто из них не ставил
вопроса: "А почему это так?" Не задумывались до Пифагора и о том, почему
если один из множителей четный, то и произведение окажется четным, а если
все множители нечетны, то нечетным будет и произведение.
Решать эти вопросы было для Пифагора затруднительно. Теперь их
решают так: если число четное, то оно делится на 2. Поэтому его можно
записать в виде 2п, где п — натуральное число. Значит, сумма двух четных
чисел имеет вид 2т+2п, и поэтому ее можно записать так: 2(m+n).
4
Ясно, что эта сумма делится на 2. А нечетное число при делении на 2 дает
остаток 1. Поэтому его можно записать в виде 2n+1. Значит, сумма двух
нечетных чисел имеет вид (2т +1)+ +(2n+1), то есть 2т+2п+2=2(т+п+1). Опять
видим, что получилось четное число.
Но во времена Пифагора на человека,
сказавшего, что неизвестное число можно обозначать буквой, посмотрели бы с
удивлением. И Пифагор придумал замечательный способ доказывать общие
утверждения о числах: он стал изображать числа точками. Например, число 5
изображается так: ..... , а число 8 так: ........ . Картинки получались двух видов —
у одних была средняя точка (как у числа 5), а у других такой точки не было (как
у числа 8). Первые числа были нечетными, а вторые четными.
Чтобы доказать, что произведение двух нечетных чисел не-четно,
Пифагор строил из точек прямоугольник. Так как и снизу и сбоку есть средняя
точка, то найдется она и во всем прямоугольнике. А тогда видно, что для
каждой точки прямоугольника, кроме этой средней точки, есть пара. Значит,
число точек в прямоугольнике нечетно, то есть произведение двух нечетных
чисел нечетно. Похожим образом можно доказать и остальные утверждения
про суммы и произведения четных и нечетных чисел.
Но потом Пифагор стал усложнять свои фигуры из точек. Вместо
прямоугольников он стал строить треугольники.
При этом получились числа 1, 3, 6, 10, 15, 21 и т. д. Они получили имя
треугольных. Но ведь можно строить из точек не треугольники, а квадраты.
5
Эти рисунки имеют 1, 4, 9, 16 и т. д. точек. Такие числа получили название
квадратных, и этим названием мы пользуемся до сих пор (хотя со времен
Пифагора прошло два с половиной тысячелетия). Предоставляем читателю
изобразить точками пятиугольные числа (1, 5, 12, 22, ...) и шестиугольные (1, 6,
15, ...).
Пифагор не ограничился плоскими фигурами. Из точек он стал
складывать пирамиды, кубы и другие тела и изучать пирамидальные,
кубические и иные числа. К слову сказать, названием куб числа мы тоже
пользуемся и сегодня.
Но числами, получавшимися из различных фигур, Пифагор не
удовлетворился. Ведь он провозгласил, что числа правят миром. Поэтому ему
пришлось придумывать, как с помощью чисел изображать такие понятия, как
справедливость, совершенство, дружба. Например, справедливость Пифагор и
его ученики изображали числом 4 — оно является первым произведением двух
равных множителей: 4=2*2 (единицу в те далекие времена не считали
настоящим числом). Как и вавилоняне, четные числа Пифагор считал
женскими, а нечетные — мужскими. Поэтому бракосочетание он обозначал
числом 5— суммой первого нечетного и первого четного числа: 5=3+2.
Первыми четырьмя числами 1, 2, 3 и 4 он обозначал четыре элемента, из
которых, по воззрениям древнегреческих мудрецов, состоял весь мир: огонь,
землю, воду и воздух. Не удивительно поэтому, что числу 10 Пифагор придавал
особое значение — это число равнялось сумме всех элементов, то есть
изображало весь мир. Вообще, многое в учении Пифагора шло от шумеров и
6
вавилонян. В частности, как и они, Пифагор чтил число 7, а один из его
учеников написал целое сочинение о необыкновенных свойствах семерки и о ее
роли в земных и небесных делах.
Чтобы изобразить совершенство, Пифагор принялся за делители чисел
(при этом делитель 1 он брал, а само число не брал). Все делители числа он
складывал, и если сумма оказывалась меньше числа, оно объявлялось
недостаточным, а если больше — то избыточным. И только в случае, когда
сумма в точности равнялась числу, его объявляли совершенным. Похожим
образом изображали числами дружбу — два числа называли дружественными,
если каждое из них равнялось сумме делителей другого числа.
Например, число 10 оказалось недостаточным: его делителями являются
1, 2 и 5 (напомним, что само число Пифагор в расчет не брал). Сумма этих
делителей равна 8, что меньше 10. У числа 12 делители такие: 1, 2, 3, 4, 6. Тут
уж сумма равна 16, что больше самого числа, а потому 12 — избыточное число
(у него, так сказать, слишком много делителей). А вот число 6 совершенно.
Ведь его делителями являются 1, 2 и 3, а сумма этих чисел как раз равна 6.
Теперь занятия Пифагора кажутся нам ненужными забавами. Какое
отношение к дружбе имеют числа 220 и 284? Но нельзя забывать, что с этих
забав началось серьезное знакомство людей с числами. Числа стали не только
применять, но и изучать. Уже во времена Пифагора были найдены такие
совершенные числа, как 6, 28, 496. Было даже обнаружено правило, как искать
четные
совершенные
числа
(к
слову
сказать,
ни
одного
нечетного
совершенного числа не найдено до сих пор, хотя к поиску были подключены
электронные вычислительные машины). Это правило состоит в следующем:
если число 2п-1 — простое, то число 2n-1(2n -1) — совершенное.
Например, при п =2 число 22—1 равно 3 и потому простое. Значит, число
22-1(22 -1), то есть 6,— совершенное. А при n=3 получаем: 23—1=7. Это тоже
простое число. Так получается второе совершенное число 28. При n=4 число
24—1 равно 15 и уже не простое. Поэтому число 24-1 (24—1)=120 не является
совершенным.
7
Таким образом, поиски четных совершенных чисел свелись к отысканию
таких чисел n, что 2n—1— простое число. Чтобы решить эту задачу, пришлось
изучать свойства простых чисел, признаки делимости чисел и т. д. Сейчас с
помощью ЭВМ найдены гигантские простые числа такого вида: например,
число 286243 -1, десятичная запись которого содержит более 25 000 цифр!
Более скромные, но все же впечатляющие результаты дал поиск с помощью
ЭВМ пар дружественных чисел. Сейчас известны два двадцатипятизначных
дружественных числа.
§2. Простые и составные числа. Решето Эратосфена.
Делителем числа а называется натуральное число, на которое а делится без
остатка.
Например: 4 — делитель 20
Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Делители 13: 1, 13.
Простое число имеет только два делителя (13 простое число)
Составное число имеет больше двух делителей (12 составное число)
Число 1 не относится ни к простым, ни к составным числам, так как имеет
только один делитель.
Так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных
чисел, надо было составить их список. Конечно, нельзя было надеяться
получить список всех простых чисел столь же безнадёжное занятие, как
составление списка всех натуральных чисел. Но можно попробовать составить
список всех простых чисел, не превосходящих, например, миллиона или десяти
миллионов. Над тем, как составлять такие списки, задумался живший в III веке
до нашей эры александрийский учёный Эратосфен.
8
Метод этот очень прост. Пусть надо найти все простые числа, меньше
чем 100. Напишем подряд числа от 2 до 100 и, оставив число 2, выбросим все
остальные чётные числа. Для этого достаточно, начав с числа 3 командовать
<<раз, два!>> и выбрасывать числа на которые попадает команда <<два!>>.
Первым уцелевшим числом (кроме, конечно самого числа 2) будет 3. Теперь,
начиная со следующего за ним числа 4, будем командовать <<раз, два, три!>> и
выбрасывать числа, на которые придётся команда <<три!>>. Это будут числа 6,
9, 12 и т. д., то есть числа, делящиеся на 3 (само-то число 3 уцелеет). Теперь
примемся за следующее уцелевшее число, а именно число 5. По командам
<<один, два, три, четыре, пять!>> будем выбрасывать числа 10, 15, 20, то есть
делящиеся на 5. В конце- концов все составные числа окажутся вычеркнутыми
и останутся только простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. При некотором терпении можно таким
же образом составить список и трёхзначных простых чисел.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
96 97 98 99 100
§3.
Б.Паскаль.
Большой вклад в изучение признаков
делимости чисел внес Б. Паскаль.
БЛЕЗ
ПАСКАЛЬ
(1623–1662),
французский религиозный мыслитель,
математик и физик, один из величайших
умов 17 столетия. Родился в КлермонФерране (провинция Овернь) 19 июня
1623. Мать Паскаля умерла в 1626. Его
9
отец Этьен, выбранный королевский советник, а позднее второй президент
палаты сборов в Клермоне, знаток математики и астрономии, переехал в Париж
вместе с детьми в 1631. Покинув службу, он посвятил себя образованию Блеза
и двух его способности сестер. Юный Блез очень рано проявил выдающиеся
математические способности, научившись считать раньше, чем читать. Вообще
его пример – это классический случай детской математической гениальности.
Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он
написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую
суммирующую машину, прообраз арифмометра. Работы Паскаля в области
точных наук, или ранний период его творчества относится к 1640-1650 году. За
эти 10 лет разносторонний ученый сделал очень много: он нашел алгоритм для
нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое
число, сформулировал способ вычисления биноминальных коэффициентов,
изложил ряд основных положений элементарной теории вероятности, впервые
точно определил и применил для доказательства метод математической
индукции. Вместе с Галилеем и Стевином Паскаль разработал основные
положения классической гидростатики и установил ее основной закон – «Закон
Паскаля». Умер Паскаль в Париже в 1662 году.
§4. Признак делимости Паскаля.
Признак делимости Паскаля. Если остаток от деления
равен
rk
, где k=0,1,…n,то остаток от деления числа
совпадает с остатком от деления на b числа
10k
на b
a  an an 1...a1r1  a0 на b
an rn  ...  a1r1  a0
.
10
Доказательство:
Так как остаток от деления числа
виде
10k
10k  bqk  rk
на b равен rk , то
.
10k
можно записать в
Поэтому,
имеем:
an10n  an110n1  ...  a110  a0  an (bq  rn )  an1 (bqn1  rn1 )  ... 
a1 (bq1  r1 )  a0  b(an qn  ...  a1q1 )  (an rn  ...  a1r1  a0 )
Слагаемое
b(an qn  ...  a1q1 )
делится
на
b.
Поэтому
числа
a
и
an rn  ...  a1r1  a0 имеют одинаковые остатки при делении на b .
11
Глава 2. Практическая часть.
§1. Признаки делимости. Свойства делимости.
Признак делимости - это правило, по которому, не выполняя деления, можно
установить, делится ли одно число на другое. Признаки делимости всегда
интересовали ученых разных времен и народов.
Старинная восточная притча:
Давным-давно жил-был старик, который, умирая, оставил своим трем сыновьям
19 верблюдов. Он завещал старшему сыну половину, среднему – четвертую
часть, а младшему – пятую. Не сумев найти решения самостоятельно (ведь
задача в «целых верблюдах» решения не имеет), братья обратились к мудрецу.
- О мудрец!- сказал старший брат. - Отец оставил нам 19 верблюдов и велел
разделить между собой: старшему – половину, среднему – четверть, младшему
– пятую часть. Но 19 не делится ни на 2, ни на 4, ни на 5. Можешь ли ты , о
достопочтенный, помочь нашему горю, ибо мы хотим выполнить волю отца?
- Нет ничего проще, - ответил им мудрец. – Возьмите моего верблюда и идите
домой.
Братья дома легко разделили 20 верблюдов пополам, на 4 и на 5.Старший
брат получил 10, средний – 5, а младший – 4 верблюда. При этом один верблюд
остался (10+5+4=19).Раздосадованные, братья вернулись к
мудрецу и
пожаловались :
- О мудрец , опять мы не выполнили волю отца! Вот этот верблюд – лишний.
- Это не лишний, - сказал мудрец,- это мой верблюд. Верните его и идите
домой.
Признак делимости на 2. Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его
последняя цифра делится на 2.. Число, делящееся на 2, называется чётным, не
делящееся на 2 – нечётным.
12
Признак
делимости
на
3. Число делится на 3, если сумма чисел,
образованных его цифрами в десятичной записи делится на 3.
Признак делимости на 4. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда две
его последние цифры – нули, либо когда двузначное число, образованное двумя
его последними цифрами, делится на 4.
Признак делимости на 5. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его
последняя цифра – 5 или 0.
Признак делимости на 6. На 6 делятся все те и только те числа, которые
одновременно делятся на 2 и на 3. С помощью этого признака можно
установить, например, что число 721314 делится на 6, поскольку оно делится на
2 (оно четно) и на 3 (сумма его цифр делится на 3).
Признак делимости на 8.Число n делится на 8 тогда и только тогда, когда на 8
делится трехзначное число, образованное из трех последних цифр числа n.
Если внимательно рассмотреть признаки делимости на 2,4,8, то можно найти
признак делимости на 2ª( a=1,2,3,4… ).Число n делится на 2ª тогда и только
тогда, когда на 2ª делится a – значное число, которое образуют a последних
цифр числа n. Действительно, исходное число n можно представить в виде
суммы двух слагаемых: одного, оканчивающегося a нулями, и другого,
образованного из a последних цифр числа n.Первое слагаемое делится на 10ª ,а
значит, на 2ª , поскольку 10ª =5ª  2ª . Таким образом, вопрос о делимости на 2ª
исходного числа всецело зависит от делимости на 2ª второго слагаемого .
Признак делимости на 9. Число делится на 9 тогда и только тогда, когда
сумма его цифр делится на 9.
Признаки делимости на 10, 100, 1000. Число делится на 10 тогда и только
тогда, когда его последняя цифра – 0. Число делится на 100 тогда и только
тогда, когда две его последние цифры – нули. Число делится на 1000 тогда и
только тогда, когда три его последние цифры – нули.
Признак делимости на 11. Число делится на 11, если алгебраическая сумма
чисел, образованных его цифрами в десятичной записи с чередующимися
знаками
делится
на
11.
13
Объединенный
признак
делимости
на
7,
11
и
13.
Число делится на 7, 11 или 13, если алгебраическая сумма чисел, образованных
тройками цифр данного числа в десятичной записи с чередующимися знаками
делится
соответственно
на
7,
11
или
13.
Доказательство. Заметим, что произведение чисел 7, 11 и 13 равно 1001.
Поэтому число 1000 при делении на 7, 11 или 13 равноостаточно с –1. Далее
поступаем
как
и
в
признаке
делимости
на
11.
Признак делимости на 19. Число делится без остатка на 19 тогда и только
тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц,
кратно 19.
Признак делимости на 25. Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две
его последние цифры либо нули, либо образуют число, делящееся на 25.
Признак
делимости
на
37. Число делится на 37, если сумма чисел,
образованных тройками цифр данного числа в десятичной записи делится
соответственно на 37.
Свойства делимости:
Теорема 1 (теорема о делимости суммы).
Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это
число.
Доказательство:
Пусть
a, b  N , a n, b n,
т.е. q,
p  N : a  nq, b  np
 a  b  nq  np  n(q  p)  (a  b) n ,ч.т.д.
Теорема 2 (теорема о делимости произведения). Если в произведении хотя
бы один из множителей делится на некоторое число, то и произведение делится
на это число.
14
Доказательство: Рассмотрим для двух множителей (для большего числа
аналогично).
Пусть
т.е.
a, b  N , a n,
q  N :
a  nq  ab  nqb  n(qp)  (ab) n ,
ч.т.д.
§2. Любопытные свойства натуральных чисел.
13+23+33= … * …
У натуральных чисел есть много любопытных свойств, которые
обнаруживаются при выполнении над ними арифметических действий. Но
заметить эти свойства все же бывает легче, чем доказать их. Приведем
несколько таких свойств.
1. Возьмем наугад какое-нибудь натуральное число, например 6, и
запишем все его делители: 1, 2, 3, 6. Для каждого из этих чисел запишем,
сколько у него делителей. Так как у 1 только один делитель (само это число), у
2 и 3 по два делителя, а у б имеем 4 делителя, то получаем числа 1, 2, 2, 4. У
них есть замечательная особенность: если возвести эти числа в куб и сложить
ответы, получится в точности такая же сумма, которую мы получили бы,
сначала сложив эти числа, а потом возведя сумму в квадрат. Иными словами,
13+23+23+43= (1+2+2+4)2.
И в самом деле, оба выражения равны 81.
Может быть, все дело в том, что мы взяли число 6? Попробуем другое
число, например 12. Здесь уже больше делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Записывая
число делителей для каждого из этих чисел, получаем: 1, 2, 2, 3, 4, 6. Проверим,
выполняется ли равенство
13+23+23+33+43+63=(1+2+2+3+4+6)2.
Подсчеты показывают, что и слева, и справа ответ один и тот же, а
именно 324.
15
Какое бы число мы ни взяли, подмеченное нами свойство будет
выполняться. Вот только доказать это довольно сложно.
2. Возьмем любое четырехзначное число, например 2519, и расставим его
цифры сначала в порядке убывания, а потом в порядке возрастания: 9521и125 9.
Из большего числа вычтем меньшее: 9521 - 1259=8262. С полученным числом
проделаем то же самое: 8622 — 2268=6354. И еще один такой же шаг: 6543 —
3456=3087. Далее, 8730 — 0378=8352, 8532 — — 2358=6174. Вам не надоело
вычитать?
Сделаем
все
же еще один шаг:
7641 — 1467=6174. Снова
получилось 6174.
Вот теперь мы, как говорят программисты, "зациклились": сколько бы раз мы
теперь ни вычитали, ничего, кроме 6174, не получим. Может быть, дело в том,
что так было подобрано исходное число 2519? Оказывается, оно здесь не при
чем: какое бы четырехзначное число мы ни взяли, после не более чем семи
шагов обязательно получится это же число 6174.
3. Нарисуем несколько окружностей с общим центром и на внутренней
окружности запишем любые четыре натуральных числа. Для каждой пары
соседних чисел вычтем из большего меньшее и результат запишем на
следующей окружности. Оказывается, если повторить это достаточно много
раз, на одной из окружностей все числа окажутся равными нулю, а поэтому и
дальше ничего, кроме нулей, получаться не будет.
4. Возьмем любое число, записанное в десятичной системе счисления.
Возведем все его цифры в квадрат и сложим. С суммой проделаем то же самое.
Оказывается, после нескольких шагов мы получим либо число 1, после чего
иных чисел не будет, либо 4, после чего имеем числа 4, 16, 37 58, 89, 145, 42,
20 и снова получим 4. Значит, цикла не избежать и здесь.
5. Составим такую бесконечную таблицу. В первом столбце напишем
числа 4, 7, 10, 13, 16,... (каждое следующее на 3 больше предыдущего). От
числа 4 проведем вправо строку, увеличивая на каждом шагу числа на 3. От
числа 7 поведем строку, увеличивая числа на 5, от числа 10— на 7 и т. д.
16
Получается такая таблица:
4
7
10
13
16
19
...
7
12
17
22
27
32
...
10
17
24
31
38
45
...
13
22
31
40
49
58
...
16
27
38
49
60
71
...
19
32
45
58
71
84
...
..
..
..
..
..
..
...
Если взять любое число из этой таблицы, умножить его на 2 и к
произведению прибавить 1, то всегда получится составное число. Если
проделать то же самое с числом, не входящим в эту таблицу, то получаем
простое число. Например, возьмем из таблицы число 45. Число 2*45+1=91
составное, оно равно 7*13. А числа 14 в таблице нет, и число 2*14+1=29
простое.
Этот замечательный способ отличать простые числа от составных
придумал в 1934 году индийский студент Сундарам. Наблюдения за числами
позволяют открывать и другие замечательные утверждения. Свойства мира
чисел поистине неисчерпаемы.
§3. Решение задач.
Использование признаков делимости упрощает многие вычисления. Свойства
делимости позволяют решать задачи на кратность.
Задача 1.
Доказать, что число
ab  ba кратно 9.
Решение:
ab  ba =(10a+b) – (10b+a)=10a+b-10b-a=9a-9b=9(a-b)
9(a-b) 9
17
Задача 2.
Доказать, что число
abcd  dcba
делится на 11.
Решение:
abcd  dcba
=
(1000a+100b+10c+d)+(1000d+100c+10b+a)=1000a+100b+10c+d+
+1000d+100c+10b+a=1001a+110b+110c+1001d=11(91a+10b+10c+91d)
11(91a+10b+10c+91d) 11.
Задача 3.
3
3
3
Доказать,что 1  2  ...  99 делится на 100
Решение:
13  23  ...  993  (13  993 )  (23  983 )  ...  503  (1  99)(12  1  99  99 2 ) 
 (2  98)(22  2  98  982 )  ...  125000  100 1  99  99 2   100(4  2  98  982 ) 
...  1250 100  100 (1  99  99 2 )  (4  2  98  982 )  ...  1250 
100 (1  99  992 )  (4  2  98  982 )  ...  1250  100,
Задача 4.
Доказать, что сумма квадратов двух последовательных целых чисел при
делении на 4 дает остаток 1.
Решение:
Пусть 2k и 2k+1 – два последовательных целых числа, тогда
(2k ) 2  (2k  1) 2  4k 2  4k 2  4k  1  8k 2  4k  1  4(2k 2  k )  1
Значит, сумма квадратов двух последовательных целых чисел при делении на 4
дает остаток 1.
Задача 5.
Число a при делении на 12 дает остаток 7.Чему равен остаток от деления числа
а на 2; 3; 4; 6.
Решение:
1) a=12k+7=2(6k+3)+1
18
Значит, при делении на 2 остаток 1.
2) a=12k+7=3(4k+2)+1
Значит, при делении на 3 остаток 1.
3) a=12k+7=4(3k+1)+3
Значит, при делении на 4 остаток 3.
4) a=12k+7=6(2k+1)+1
Значит, при делении на 6 остаток 1.
Задача 6.
Выписаны подряд 300 натуральных чисел, начиная с 1.Докажите, что
полученное число делится на 3.Верно ли, что оно делится на 9?
Решение:
Найдем сумму цифр данного числа:
1+2+3+…+288+289+300 = (1+300)  150 = 301  150 = 45150
Значит, это число делится на 3 (4+5+1+5+0=15, 15 3), но на 9 данное число не
делится.
Задача 7.
Докажите, что при любом натуральном значении n 33n  1 кратно 13.
Решение:
33 n  1 = 27 n -1=(27-1)( 27 n1 + 27 n2 +…+27+1)=26( 27
26( 27
n1
+ 27
n 2
n1
+ 27 n2 +…+27+1)
+…+27+1) 13,ч.т.д.
Задача 8. (Старинный способ проверки арифметических действий.)
Перемножим какие-нибудь два числа, например 257 и 362. Имеем 257 · 362 =
93034. Найдём остатки при делении на 9 обоих множителей и произведения.
Особенно легко это сделать с помощью правила из задачи 2. Число 257 имеет
остаток 5, второй множитель имеет остаток 2, а остаток произведения равен 1.
В средние
века был принят такой способ записи. Нарисуем две
пересекающиеся
черты.
19
Слева и справа от получившегося креста запишем остатки множителей, а
вверху — остаток произведения.
Перемножим числа, стоящие слева и справа от креста, и запишем под
крестом остаток от деления этого произведения на 9. В нашем случае записать
нужно 1, так как 5 · 2 = 10 = 9 + 1.
Совпадение чисел над и под крестом не случайно. Так будет всегда, если
произведение исходных чисел вычислено правильно. Если же выше и ниже
креста записаны различные числа, то в вычисления вкралась ошибка.
1
5
2
1
§4. Задачи.
Найти целое число, которое, будучи умножено на 99, дает 62**427. К
сожалению, кто-то замазал две цифры, обозначенные звездочками. Как же всетаки найти ответ задачи? (62873)
Доказать, что при всяком целом п
п 3  п делится на 3;
п 5  п делится на 5.
Доказать, что при всяком целом п
3 6 п  2 6 п делится на 35 ( п  0 ).
Дано, что мп  рд делится без остатка на м  р . Доказать, что мд  пр тоже
делится без остатка на м  р .
Докажите, что 13+13 2 133  134  ...  132001  132002 делится нацело на 7.
х и у – целые числа такие, что 3х + 7у делится на 19. Докажите, что 43х + 75у
тоже делится на 19.
Докажите, что из трех любых натуральных чисел всегда можно выбрать такие
2, сумма которых делится на 2.
20
Докажите, что слово ХАХАХА делится на 7, если в нем буквами Х и А
обозначены любые цифры. (одинаковые буквы обозначают одинаковые
цифры).
Найдите наименьшее шестизначное число, делящееся на 3, 7 и 13 без остатка.
Докажите, что если к любому пятизначному числу приписать справа (или
слева) это же число, то полученное десятизначное число делится на 11.
Найдите наибольшее и наименьшее трехзначные числа, каждое из которых
делится на 6 и имеет в своей записи цифру 7.
Если сумма первой и второй цифры трехзначного числа, у которого одинаковые
цифры сотен и единиц, делится на 7, то и число делится на 7. Докажите.
Сколько всего натуральных чисел, меньших 100, которые: а) делятся на 2, но не
делятся на 3; б) делятся на 2 или на 3; в) не делятся ни на 2, ни на 3?
Найдите цифры а и в в числе 42а4в , если известно, что это число делится на
72.
Найдите цифры сотен и единиц числа 72*3*, если это число делится без остатка
на 45.
Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 72, в записи которого
встречаются все натуральные цифры от 1 до 9.
Найдите наименьшее натуральное число, кратное 36, в записи которого
встречаются все 10 цифр по одному разу.
Когда из чисел от 1 до 333 Оля исключила все числа, делящиеся на 3, но не
делящиеся на 7, и все числа, делящиеся на 7, но не делящиеся на, то получила
215 чисел. Верно ли она решила задачу?
21
Заключение.
Знание признаков делимости натуральных чисел позволит:
значительно сэкономить время в получении ответа на вопрос, об определении
делимости числа не прибегая к самому действию деления;
исключить вычислительную ошибку, которую можно сделать при выполнении
деления;
решать более сложные задачи.
22
Список литература.
Берман Г.Н. Число и наука о нём.- М.: Наука, 1976
Виленкин Н.Я. Депман И.Я. За страницами учебника математики.- М.:
Просвещение, 1989
М. Б. Гельфанд, В.С. Павлович «Внеклассная работа по математике в 8-летней
школе» М. Просвещение. 1965 г.
А.А. Гусак, Г.М. Гусак, Е.А. Гусак В мире чисел. Минск, 1987г.
Журнал «Математика в школе» №5 за 1999 г.
Д. В. Клименченко
Задачи по математике для любознательных. М.
«Просвещение»,1992г.
Никольская И.Л. Факультативный курс по математике.- М.: Просвещение 1991
Я. И. Перельман, Занимательная алгебра. М. «Наука», 1975г.
А. В. Фарков, Олимпиадные задачи по математике и методы их решения. М.
2003г.
10).Д.О. Шклярский, Н.Н. Ченцов, И.М. Яглом Избранные задачи и теоремы
элементарной математики..; М. «Наука», 1977г.
23