 

Вариант 1.
1. Пусть
X 1 , X 2 ,, X n
выборка из генеральной совокупности, имеющей непрерывное
распределение с плотностью f X1 ( x)  e  x , x   , где θ   ,  - неизвестный параметр.
Найти оценки параметра θ метода моментов (по любому моменту) и метода максимального
правдоподобия.
Проверить,
является
ли
полученные
оценки
состоятельными
и
несмещенными.
2. Дана
выборка
X 1 , X 2 , , X n
распределения f X 1 ( x ) 
из
генеральной
совокупности,
имеющей
плотность
a 4 3 ax
x e , x  0 , с неизвестным параметром a  0 . Сравнить при
6
помощи асимптотического подхода оценки параметра a метода моментов, найденные по
первому и второму моментам.
3. Пусть
X 1 , X 2 , , X n
выборка
из
генеральной
совокупности,
распределенной
по
нормальному закону N 0,2 , с неизвестным параметром  2 . Проверить эффективность
*
оценки  2  X 2 .
4. Имеется выборка из n  40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,9 .
5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,9 получить абсолютную
погрешность оценки математического ожидания нормальной случайной величины не более
0,1, если  2  1 , а в качестве оценки используется выборочное среднее?
Вариант 2.
1. Пусть
X 1 , X 2 , , X n
выборка
из
генеральной
совокупности,
имеющей
плотность
распределения f X1 ( x)  2 x / 2 , x [0, ] , с неизвестным параметром   0 . Найти оценки
параметра

метода моментов (по любому моменту) и методу максимального
правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок.
2. Дана
выборка
X 1 , X 2 , , X n
из
генеральной
совокупности,
показательному закону с неизвестным параметром
распределенной
по
α  0 . Сравнить при помощи
асимптотического подхода оценки параметра  метода моментов, найденные по первому и
второму моментам.
3. Пусть
X 1 , X 2 ,, X n
выборка
распределения f X 1 ( x ) 
из
генеральной
совокупности,
имеющей
плотность
a 4 3  ax
x e , x  0 , с неизвестным параметром a  0 . Является ли
6
оценка a *  X / 4 эффективной оценкой параметра   1/ a ?
4. Имеется выборка из n  40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,91 .
5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,95 получить абсолютную
погрешность оценки математического ожидания нормальной случайной величины не более
0,01, если  2  2 , а в качестве оценки используется выборочное среднее?
Вариант 3.
1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по закону
Бернулли с неизвестным параметром p . Найти оценки параметра метода моментов (по
любому моменту) и метода максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и
несмещенность полученных оценок.
2. Дана
выборка
X 1 , X 2 , , X n
из
генеральной
совокупности,
имеющей
плотность
распределения f X1 ( x)  2 x / 2 , x [0, ] , с неизвестным параметром   0 . Сравнить при
помощи асимптотического подхода оценки параметра  метода моментов, найденные по
первому и второму моментам.
3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по нормальному
закону
Na, 2 , где параметр
a
неизвестен, а параметр
2
известен. Проверить
эффективность оценки a*  X .
4. Имеется выборка из n  40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,92 .
5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,99 получить абсолютную
погрешность оценки математического ожидания нормальной случайной величины не более
0,02, если  2  3 , а в качестве оценки используется выборочное среднее?
Вариант 4.
1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, равномерно распределенной на
отрезке [0, θ] , где θ  0 - неизвестный параметр. Найти оценки параметра метода моментов
(по любому моменту) и метода максимального правдоподобия. Проверить состоятельность
и несмещенность полученных оценок.
2. Дана выборка
X 1 , X 2 , , X n
из генеральной совокупности, имеющей плотность
распределения f X1 ( x)  a 2 x e ax , x  0 , с неизвестным параметром a  0 . Сравнить при
помощи асимптотического подхода оценки параметра a метода моментов, найденные по
первому и второму моментам.
3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по закону
Пуассона с неизвестным параметром λ  0 . Проверить эффективность оценки λ*  X .
4. Имеется выборка из n  40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,93 .
5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,95 получить абсолютную
погрешность оценки математического ожидания нормальной случайной величины не более
0,01, если 2  0,64 , а в качестве оценки используется выборочное среднее?
Вариант 5.
1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей гамма распределение:
f X1 ( x) 
  1 x
x e , x  0 , с неизвестным параметром   0 и известным параметром
()
  0 . Найти оценки параметра  по методу моментов (через первый момент) и методу
максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных

оценок. (Здесь ()   t  1e t dt - гамма функция. ( )  (  1) (  1) , ( n )  ( n  1)! ,
0
(1 / 2)   ).
2. Дана выборка X 1 , X 2 ,, X n из генеральной совокупности, равномерно распределенной на
отрезке [0, ] , где   0 - неизвестный параметр. Сравнить при помощи асимптотического
подхода оценки параметра  метода моментов, найденные по первому и второму моментам.
3. Пусть
X 1 , X 2 , , X n
выборка
из
генеральной
геометрическому закону с параметром
совокупности,
распределенной
по
p . Проверить эффективность оценки *  X
параметра   1 / p .
4. Имеется выборка из n  40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,94 .
5. Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n = 16 измерений для выборки из
нормальной совокупности отличается от математического ожидания этой совокупности не
более, чем на  = 2, если несмещенная выборочная дисперсия s 2  16 ?
Вариант 6.
1. Пусть
X 1 , X 2 ,, X n
выборка
из
генеральной
совокупности, имеющей
плотность
распределения f X 1 ( x)  3x2 / 3 , x [0, ] , с неизвестным параметром   0 . Найти оценки
параметра

метода моментов (по любому моменту) и методу максимального
правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок.
2. Дана выборка X 1 , X 2 ,, X n из генеральной совокупности, распределенной по закону с
x2
x 
плотностью f X 1 ( x)  e 2  , x  0 . θ  0 . Сравнить при помощи асимптотического подхода

оценки параметра  метода моментов, найденные по первому и второму моментам.
3. Пусть
X 1 , X 2 , , X n
выборка
из
генеральной
совокупности,
распределенной
по
нормальному закону N a ,σ 2 , с неизвестным параметром σ 2 ( a - известно). Проверить
эффективность оценки  2  ( X  a) 2 .
*
4. Имеется выборка из n  40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,95 .
5. Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n = 25 измерений для выборки из
нормальной совокупности отличается от математического ожидания этой совокупности не
более, чем на  = 0,1, если несмещенная выборочная дисперсия s 2  4 ?
Вариант 7.
1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по закону с
x2
плотностью
x  2
f X 1 ( x )  2 e 2  , x  0 .  2  0 . Найти оценки параметра σ 2 по методу

моментов (по любому моменту) и методу максимального правдоподобия. Проверить
состоятельность и несмещенность полученных оценок.
2. Дана выборка
X 1 , X 2 ,, X n из генеральной совокупности, имеющей непрерывное
распределение с плотностью f X1 ( x)  e x , x   , где θ   ,  - неизвестный параметр.
Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра  метода моментов,
найденные по первому и второму моментам.
3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей гамма распределение:
   1 x
f  ( x) 
x e , x  0 , с неизвестным параметром   0 и известным параметром
 ( )

  0 . Проверить эффективность оценки * 

(Здесь ()   t  1e t dt - гамма функция,
X
0
( )  (  1) (  1) , (n)  (n  1)! , (1 / 2)   ).
4. Имеется выборка из n  40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,96 .
5. Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n = 9 измерений для выборки из
нормальной совокупности отличается от математического ожидания этой совокупности не
более, чем на  = 0,2, если известна дисперсия совокупности  2  2,25 ?
Вариант 8.
1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, распределенной по закону с
x
1 
плотностью f X 1 ( x )  e  , x  0 .   0 . Найти оценки параметра  по методу моментов

(по любому моменту) и методу максимального правдоподобия. Проверить состоятельность
и несмещенность полученных оценок.
2. Дана
выборка
X 1 , X 2 , , X n
из
генеральной
совокупности,
имеющей
плотность
распределения f X 1 ( x)  3x2 / 3 , x [0, ] , с неизвестным параметром   0 . Сравнить при
помощи асимптотического подхода оценки параметра  метода моментов, найденные по
первому и второму моментам.
3. Пусть
X 1 , X 2 , , X n
распределения
выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность
f X1 ( x) 
e  x
1  e 
 x 2
, x  R , с неизвестным параметром
 . Проверить
эффективность оценки  *  X .
4. Имеется выборка из n  40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,97 .
5. Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n = 16 измерений для выборки из
нормальной совокупности отличается от математического ожидания этой совокупности не
более, чем на  = 0,02, если несмещенная выборочная дисперсия s 2  1 ?
Вариант 9.
1. Пусть
X 1 , X 2 , , X n
выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность
распределения f X1 ( x)  a 2 x e ax , x  0 , с неизвестным параметром a  0 . Найти оценки
параметра a по методу моментов (по любому моменту) и методу максимального
правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок.
2. Дана
выборка
X 1 , X 2 , , X n
из
генеральной
совокупности,
имеющей
плотность
распределения f X1 ( x)  a x a 1 , x [0,1] , с неизвестным параметром a  0 . Сравнить при
помощи асимптотического подхода оценки параметра  метода моментов, найденные по
первому и второму моментам.
3. Пусть
X 1 , X 2 ,, X n
выборка
из
генеральной
совокупности, имеющей
плотность
1
1  ( x  )
, x   , с неизвестным параметром   0 и известным
распределения f X 1 ( x )  e 

параметром   R . Проверить эффективность оценки *  X   .
4. Имеется выборка из n  40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,98 .
5. Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n = 16 измерений для выборки из
нормальной совокупности отличается от математического ожидания этой совокупности не
более, чем на  = 0,02, если известна дисперсия совокупности  2  1 ?
Вариант 10.
1. Пусть
X 1 , X 2 , , X n
распределения f X 1 ( x ) 
выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность
a 3 2 ax
x e , x  0 , с неизвестным параметром a  0 . Найти оценки
2
параметра a по методу моментов (по любому моменту) и методу максимального
правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок.
2. Дана
выборка
X 1 , X 2 , , X n
из
генеральной
совокупности,
имеющей
плотность
распределения f X 1 ( x)  4 x 4 / 4 , x [0, ] , с неизвестным параметром   0 . Сравнить при
помощи асимптотического подхода оценки параметра  метода моментов, найденные по
первому и второму моментам.
3. Пусть
X 1 , X 2 , , X n
выборка
из
генеральной
совокупности,
распределенной
по
показательному закону с неизвестным параметром   0 . Проверить эффективность оценки
*  1 / X .
4. Имеется выборка из n  40 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,98 .
5. Какова вероятность того, что среднеарифметическое из n = 16 измерений для выборки из
нормальной совокупности отличается от математического ожидания этой совокупности не
более, чем на  = 0,02, если известна дисперсия совокупности  2  1 ?
Вариант 11.
1. Пусть
выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность
X 1 , X 2 , , X n
1
распределения f  ( x) 
1   ( x  )
e
,

x   , с известным параметром α  0 и неизвестным
параметром β  R . Найти оценки параметра  по методу моментов (по первому моменту) и
методу максимального правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность
полученных оценок.
2. Дана
выборка
X 1 , X 2 ,, X n
распределения f X 1 ( x) 
из
генеральной
совокупности,
имеющей
плотность
a 3 2  ax
x e , x  0 , с неизвестным параметром a  0 . Сравнить при
2
помощи асимптотического подхода оценки параметра  метода моментов, найденные по
первому и второму моментам.
3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей гамма распределение:
f X1 ( x) 
оценки
  1 x
x e , x  0 , с неизвестным параметром  . Проверить эффективность
()
* 

X

.
(Здесь
()   t  1e t dt -
гамма
функция.
( )  (  1) (  1) ,
0
( n )  ( n  1)! , (1 / 2)   ).
4. Имеется выборка из n  36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,9 .
5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,9 получить относительную
погрешность оценки дисперсии нормальной случайной величины не более 0,2, если в
качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия s 2 ?
Вариант 12.
1. Пусть
выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность
X 1 , X 2 , , X n
распределения f ξ ( x) 
1 | x θ|
e
, x  R , с неизвестным параметром θ  R . Найти оценки
2
параметра θ по методу моментов (по любому моменту) и методу максимального
правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок.
2. Дана
выборка
X 1 , X 2 , , X n
из
генеральной
совокупности,
показательному закону с неизвестным параметром
распределенной
по
1
 0 . Сравнить при помощи

асимптотического подхода оценки параметра  метода моментов, найденные по первому и
второму моментам.
3. Пусть
X 1 , X 2 , , X n
выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность
1
распределения f X 1 ( x ) 
1   ( x  )
e
, x   , с неизвестным параметром β  R и известным

параметром α  0 . Проверить эффективность оценки *  X   .
4. Имеется выборка из n  36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,92 .
5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,95 получить относительную
погрешность оценки дисперсии нормальной случайной величины не более 0,1, если в
качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия s 2 ?
Вариант 13.
1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, равномерно распределенной на
отрезке [ , ] , где θ  0 - неизвестный параметр. Найти оценки параметра метода
моментов (по любому моменту) и метода максимального правдоподобия. Проверить
состоятельность и несмещенность полученных оценок.
2. Дана выборка
распределения
X 1 , X 2 , , X n
из генеральной совокупности, имеющей плотность
f X1 ( x)  (1  ) 2 x  ln( x), x  (0,1) , с неизвестным параметром
0.
Сравнить при помощи асимптотического подхода оценки параметра  метода моментов,
найденные по первому и второму моментам.
3. Пусть
X 1 , X 2 , , X n
выборка
из
генеральной
совокупности,
распределенной
по
биномиальному закону Bk , p с неизвестным параметром p . Проверить эффективность
оценки p*  X / k .
4. Имеется выборка из n  36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,85 .
5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,8 получить относительную
погрешность оценки дисперсии нормальной случайной величины не более 0,15, если в
качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия s 2 ?
Вариант 14.
1. Пусть
X 1 , X 2 , , X n
распределения f X 1 ( x ) 
выборка из генеральной совокупности, имеющей плотность
1
 2
e

x
2

, x  R , с неизвестным параметром   0 . Найти оценки
параметра  по методу моментов (по любому моменту) и методу максимального
правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок.
2. Дана выборка X 1 , X 2 ,, X n из генеральной совокупности, равномерно распределенной на
отрезке [0, ] , где   0 - неизвестный параметр. Сравнить при помощи асимптотического
подхода оценки параметра  метода моментов, найденные по второму и третьему
моментам.
3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей распределение с
плотностью f X 1 ( x )  2 x e  x , при x  0 , с неизвестным параметром   0 . Является ли
2
оценка *  X 2 эффективной оценкой параметра   1 /  ?
4. Имеется выборка из n  36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,94 .
5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,8 получить относительную
погрешность оценки дисперсии нормальной случайной величины не более 0,1, если в
качестве оценки используется выборочная дисперсия D0 
1 n
( xi  a ) 2 ?

n i 1
Вариант 15.
1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, равномерно распределенной на
отрезке [  , 0] , где θ  0 - неизвестный параметр. Найти оценки параметра  метода
моментов (по любому моменту) и метода максимального правдоподобия. Проверить
состоятельность и несмещенность полученных оценок.
2. Дана
выборка
X 1 , X 2 , , X n
из
генеральной
совокупности,
показательному закону с неизвестным параметром
распределенной
по
  0 . Сравнить при помощи
асимптотического подхода оценки параметра  метода моментов, найденные по второму и
третьему моментам.
3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей распределение с
плотностью f X (1) ( x)  3  x 2 e   x , при x  0 , с неизвестным параметром θ  0 . Является ли
3
оценка *  X 3 эффективной оценкой параметра   1 /  ?
4. Имеется выборка из n  36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,85 .
5. Сколько надо произвести измерений, чтобы с вероятностью 0,95 получить относительную
погрешность оценки дисперсии нормальной случайной величины не более 0,3, если в
качестве оценки используется выборочная дисперсия D0 
1 n
( xi  a ) 2 ?

n i 1
Вариант 16.
1. Пусть
X 1 , X 2 ,, X n
выборка
из
генеральной
распределения f X1 ( x)  (1  ) 2 x  ln( x),
совокупности,
имеющей
плотность
x  (0,1) , с неизвестным параметром   0 . Найти
оценки параметра  метода моментов (по любому моменту) и метода максимального
правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок.
2. Дана
выборка
X 1 , X 2 , , X n
из
генеральной
совокупности,
распределенной
по
геометрическому закону с параметром p . Сравнить при помощи асимптотического подхода
оценки параметра p метода моментов, найденные по первому и второму моментам.
3. Пусть
X 1 , X 2 , , X n
выборка
из
генеральной
совокупности,
распределенной
по
нормальному закону N 0,2 , с неизвестным параметром  2 . Проверить эффективность
*
оценки  2  X 2 .
4. Имеется выборка из n  36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,89 .
5. Какова вероятность того, что относительная погрешность оценки дисперсии нормальной
совокупности, полученной по выборке из n = 20 измерений, не превышает 0,3, если в
качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия s 2 ?
Вариант 17.
1. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, равномерно распределенной на
отрезке [  , ] , где θ  0 - неизвестный параметр. Найти оценки параметра  метода
моментов (по любому моменту) и метода максимального правдоподобия. Проверить
состоятельность и несмещенность полученных оценок.
2. Дана выборка X 1 , X 2 ,, X n из генеральной совокупности, распределенной по закону
Пуассона с неизвестным параметром  . Сравнить при помощи асимптотического подхода
оценки параметра  метода моментов, найденные по первому и второму моментам.
3. Пусть
X 1 , X 2 , , X n
выборка
из
генеральной
совокупности,
распределенной
по
биномиальному закону Bk , p с неизвестным параметром p . Проверить эффективность
оценки p*  X / k .
4. Имеется выборка из n  36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,8 .
5. Какова вероятность того, что относительная погрешность оценки дисперсии нормальной
совокупности, полученной по выборке из n = 50 измерений, не превышает 0,2, если в
качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия s 2 ?
Вариант 18.
1. Пусть
X 1 , X 2 ,, X n
выборка
из
генеральной
совокупности, имеющей
плотность
распределения f X1 ( x)  4 x 3 / 4 , x [0, ] , с неизвестным параметром   0 . Найти оценки
параметра

метода моментов (по любому моменту) и методу максимального
правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок.
2. Пусть
X 1 , X 2 , , X n
выборка
из
генеральной
совокупности,
имеющей
плотность
распределения f X1 ( x)  a x a 1 , x [0,1] , с неизвестным параметром a  0 . Сравнить при
помощи асимптотического подхода оценки параметра a метода моментов, найденные по
первому и второму моментам.
3. Пусть
X 1 , X 2 ,, X n
выборка
из
генеральной
совокупности,
имеющей
плотность
a 3 2  ax
распределения f X 1 ( x)  x e , x  0 , с неизвестным параметром a  0 . Является ли
2
оценка a *  X / 3 эффективной оценкой параметра   1/ a ?
4. Имеется выборка из n  36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,92 .
5. Какова вероятность того, что относительная погрешность оценки дисперсии нормальной
совокупности, полученной по выборке из n = 100 измерений, не превышает 0,05, если в
качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия D0 
1 n
 ( xi  a ) 2 ?
n i 1
Вариант 19.
1. Пусть
X 1 , X 2 ,, X n
выборка
из
генеральной
совокупности, имеющей
плотность
1  |x2 |
распределения f  ( x )  e
, x  R , с неизвестным параметром   R . Найти оценки
4
параметра  по методу моментов (по любому моменту) и методу максимального
правдоподобия. Проверить состоятельность и несмещенность полученных оценок.
2. Дана
выборка
X 1 , X 2 , , X n
из
генеральной
совокупности,
имеющей
плотность
распределения f X1 ( x)  2 x / 2 , x [0, ] , с неизвестным параметром   0 . Сравнить при
помощи асимптотического подхода оценки параметра  метода моментов, найденные по
первому и второму моментам.
3. Пусть X 1 , X 2 ,, X n выборка из генеральной совокупности, имеющей распределение с
плотностью
f X 1 ( x )  2 x e  x , с неизвестным параметром   0 . Является ли оценка
2
*  X 2 эффективной оценкой параметра   1 /  ?
4. Имеется выборка из n  36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,9 .
5. Какова вероятность того, что относительная погрешность оценки дисперсии нормальной
совокупности, полученной по выборке из n = 100 измерений, не превышает 0,05, если в
качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия D0 
1 n
( xi  a ) 2 ?

n i 1
Вариант 20.
1. Пусть
X 1 , X 2 ,, X n
выборка из генеральной совокупности, имеющей непрерывное
f X1 ( x)  2e2(  x ) , x   , где θ   ,  - неизвестный
распределение с плотностью
параметр. Найти оценки параметра θ метода моментов (по любому моменту) и метода
максимального правдоподобия. Проверить, является ли полученные оценки состоятельными
и несмещенными.
2. Дана
выборка
из
X 1 , X 2 , , X n
генеральной
совокупности,
имеющей
плотность
распределения f X 1 ( x )  2 x e  ax , x  0 , с неизвестным параметром   0 . Сравнить при
2
помощи асимптотического подхода оценки параметра  метода моментов, найденные по
первому и второму моментам.
3. Пусть
X 1 , X 2 , , X n
выборка
из
генеральной
совокупности,
распределенной
по
нормальному закону N a ,σ 2 , с неизвестным параметром σ 2 ( a - известно). Проверить
эффективность оценки  2  ( X  a) 2 .
*
4. Имеется выборка из n  36 значений нормальной случайной величины X N (Приложение 1,
таблица 1, N - номер варианта). Построить точные доверительные интервалы для
параметров нормальной случайной величины
X N , соответствующие доверительной
вероятности   0,95 .
5. Какова вероятность того, что относительная погрешность оценки дисперсии нормальной
совокупности, полученной по выборке из n = 50 измерений, не превышает 0,1, если в
качестве оценки используется несмещенная выборочная дисперсия D0 
1 n
( xi  a ) 2 ?

n i 1
Приложение 1
Таблица 1
X1
1,60
5,77
6,73
0,03
8,59
3,15
7,76
7,60
5,22
7,94
2,20
3,08
7,18
5,62
6,90
3,33
3,38
2,69
3,87
0,67
5,70
4,53
6,59
6,36
5,70
5,69
5,58
4,14
7,99
4,32
7,16
3,48
4,59
7,42
4,57
4,13
3,33
5,85
2,24
1,07
X2
0,24
1,11
6,77
5,13
3,77
4,63
6,26
5,28
0,97
5,89
4,34
5,49
7,20
2,36
5,11
-0,52
7,37
6,08
4,15
4,56
-0,42
4,09
4,74
3,29
8,65
4,10
6,58
5,09
7,79
1,10
8,62
1,26
5,73
5,92
4,12
3,24
4,49
2,55
5,59
3,27
X3
0,48
0,47
2,62
5,30
0,31
-0,20
-3,71
4,75
1,98
2,05
-2,13
-3,80
-4,83
-1,05
-5,39
4,83
-1,10
2,55
-1,92
-0,25
5,25
3,45
5,31
6,67
-2,26
0,69
5,61
0,80
5,85
2,53
3,29
-2,40
-3,70
2,24
2,41
0,69
2,09
4,45
0,36
-7,09
X4
-4,86
-3,03
5,55
2,47
-2,98
2,25
1,81
-0,64
1,67
2,86
8,67
5,59
-0,72
2,72
-2,48
0,54
6,45
0,36
3,04
0,95
1,24
4,84
-0,69
4,19
2,74
-6,58
-0,43
-1,89
0,58
0,79
3,21
0,16
3,33
2,50
2,58
4,44
1,43
-3,16
2,60
-3,87
X5
-0,75
-2,41
-2,47
-0,02
-0,02
-2,28
-0,91
0,71
-0,01
-2,10
-0,59
-1,84
-1,76
-1,15
-1,58
0,81
-1,78
-2,75
-1,30
-1,80
-1,30
-1,76
-0,66
-1,58
0,78
-0,53
-0,91
-1,41
0,09
-1,65
-1,75
-1,15
-1,71
-1,44
0,15
-1,76
-0,42
-0,13
-0,40
-1,78
X6
-0,75
-0,26
-1,87
-1,89
-0,69
-0,77
-1,46
1,24
-0,29
-1,30
0,20
-1,50
-2,59
-1,55
-0,87
-0,52
-1,45
-0,22
-1,89
-0,80
-3,21
-2,06
-1,73
0,57
-2,11
-2,35
-1,71
0,13
-1,36
-1,02
-1,02
-1,19
-1,75
-1,62
-0,16
-0,88
-1,07
-1,42
-1,32
-2,21
X7
5,70
6,94
10,75
5,63
9,43
7,10
7,01
7,95
9,37
9,85
7,97
7,18
10,22
5,65
5,89
7,04
8,46
4,69
9,87
5,23
5,85
7,83
9,40
7,21
4,02
2,86
4,46
7,13
9,24
4,13
5,51
8,86
5,55
5,50
9,01
8,14
5,90
6,03
8,55
3,87
X8
4,45
5,42
7,61
5,09
4,21
6,74
7,54
5,55
7,72
9,31
7,33
7,93
10,55
7,17
7,32
7,91
6,54
6,41
5,66
9,08
8,22
3,54
6,28
8,85
9,14
4,57
8,92
6,33
6,34
5,10
7,38
5,32
7,20
6,29
9,00
6,40
3,44
7,57
5,55
6,28
X9
1,66
0,68
4,22
5,19
2,42
2,18
3,77
4,32
2,10
3,29
7,47
4,03
8,03
5,51
0,37
1,03
5,30
3,05
4,26
6,56
1,34
5,54
3,67
4,01
4,02
6,63
4,04
5,26
6,79
6,03
4,60
1,49
5,17
3,24
2,04
4,54
2,73
-2,57
1,36
3,94
X10
-2,66
4,98
5,40
-1,30
2,24
2,35
4,43
3,95
2,54
6,28
5,74
3,90
4,39
6,79
4,10
7,79
1,50
0,26
3,55
6,38
6,77
3,45
6,17
4,88
1,61
3,14
6,99
6,03
6,15
0,78
5,21
-3,37
5,48
5,33
4,47
1,58
-0,34
2,20
1,41
3,16
Таблица 1 (продолжение)
X11
-4,44
-5,21
2,46
5,81
-0,98
13,51
7,49
-2,91
-9,33
12,72
2,03
9,89
1,41
-1,33
-5,30
-3,79
5,14
13,70
-7,60
7,30
6,96
11,31
0,89
-3,55
1,16
-4,12
2,55
13,76
-0,80
-2,14
17,07
3,93
10,25
1,89
1,01
-5,31
X12
3,61
-5,84
-0,31
-1,29
-4,76
0,18
-6,24
0,00
-5,91
-5,52
-1,79
5,44
5,92
11,42
0,31
9,41
-10,26
8,01
11,83
2,70
6,35
-1,37
7,67
2,38
-1,05
1,92
12,76
-10,58
-9,71
1,57
-11,58
-10,44
-1,18
5,00
-2,97
6,50
X13
10,60
2,66
-6,13
3,41
1,46
0,04
-3,14
-2,08
-3,05
4,08
2,28
-3,72
-6,52
-1,77
-1,46
-2,01
-4,67
5,48
4,44
-0,72
0,65
-5,13
-1,28
-2,27
4,86
1,58
4,35
-2,80
-2,63
0,00
3,13
-1,01
-0,39
-8,37
13,23
-6,09
X14
11,62
4,60
-1,09
2,03
-3,65
-7,30
-2,03
-4,54
4,69
-1,51
3,39
3,04
7,15
-6,46
2,78
5,94
6,30
-5,16
-7,07
-7,16
-0,27
3,85
-6,22
-9,51
1,65
7,05
-4,93
-10,95
13,13
-7,21
-12,29
-9,23
-9,03
-2,95
-10,92
-11,19
X15
20,74
16,47
10,39
20,60
14,86
10,73
2,92
0,67
-0,20
17,33
10,71
4,51
5,65
14,18
8,76
-3,05
27,94
12,21
20,46
19,66
5,95
-0,51
5,90
5,60
2,38
15,62
7,90
12,51
12,29
10,53
-1,01
6,25
13,08
31,86
2,97
10,83
X16
3,02
0,19
10,23
1,42
20,05
8,85
30,27
10,71
19,97
4,25
16,37
20,77
8,81
17,37
13,78
22,46
7,26
20,45
17,57
7,82
16,86
-2,40
16,99
13,49
-0,45
12,39
8,68
5,75
14,54
16,34
6,14
12,24
2,39
7,93
0,12
26,79
X17
8,24
-0,55
-0,81
-1,72
-2,85
8,73
-0,47
1,05
-3,27
11,18
2,19
-3,34
6,31
-4,92
14,53
8,58
-1,36
-12,19
4,95
-5,58
7,56
8,83
11,36
14,91
-1,17
1,41
12,72
12,50
4,75
9,12
4,06
-4,44
-4,72
-0,23
19,71
-11,89
X18
-3,39
-1,91
-19,90
14,53
10,55
-5,79
14,49
-3,35
1,05
-1,35
18,30
-7,19
12,93
-9,92
-5,56
15,47
-6,55
-8,79
0,71
10,74
8,13
1,93
1,28
-18,17
2,89
9,94
-7,21
13,70
-8,66
0,11
5,89
21,52
15,33
0,23
-1,02
-2,98
X19
-6,07
-4,55
14,51
-16,27
15,57
5,76
7,16
-2,86
10,37
5,62
-12,29
-1,46
4,59
8,00
-11,49
6,62
-4,40
2,96
-3,80
-6,50
2,30
-2,08
-4,59
7,77
3,58
8,23
-0,38
11,61
5,44
-0,29
1,22
-0,96
5,57
0,54
-7,50
15,58
X20
17,58
23,80
15,23
9,65
4,16
-0,45
4,37
-9,04
-2,55
-3,33
5,73
-3,81
7,07
3,42
13,03
-7,13
10,12
10,25
5,78
5,42
-3,44
4,00
13,62
-0,01
1,25
-1,76
0,98
-3,22
4,18
7,95
16,34
-3,39
11,47
6,62
-6,40
7,41
Таблица 1 (продолжение)
X21
-0,90
0,73
3,60
-6,55
3,29
-2,07
-5,54
-2,32
-1,70
0,40
-0,98
4,03
-0,56
5,92
7,13
4,98
1,62
5,76
-1,57
-1,14
-4,33
-4,56
-0,10
-0,97
-5,23
-7,73
-3,84
2,27
2,62
-4,12
2,08
-2,82
0,39
0,42
5,65
0,22
2,59
-2,77
-3,60
2,13
6,62
3,91
0,01
-0,08
-5,32
1,33
0,64
3,71
-2,52
X22
-3,83
3,83
5,20
-0,70
-3,26
-5,07
-2,93
-6,35
-1,21
-1,10
-1,11
-0,26
-1,54
2,60
-1,96
-4,84
2,71
-0,25
2,03
2,27
-2,54
-1,09
0,08
6,58
-2,21
4,34
-1,96
1,40
1,79
-3,35
0,97
-0,72
1,67
-2,73
1,46
2,49
-1,91
3,33
-4,68
1,92
4,33
0,34
1,36
-3,16
2,48
1,85
-3,08
-0,93
-2,46
X23
5,75
-5,11
-12,29
5,97
2,68
10,41
13,44
11,50
13,25
5,65
8,75
5,50
17,18
3,80
15,00
2,24
-0,64
11,35
15,10
7,33
11,24
-11,64
0,55
13,11
17,68
4,59
6,27
17,11
3,21
16,17
5,22
18,90
-2,94
10,42
10,78
5,88
15,72
22,85
2,25
9,92
4,94
9,91
4,08
-1,84
-3,89
9,19
-1,48
19,66
2,44
X24
9,17
7,73
7,29
3,23
22,72
1,01
-3,56
10,52
3,33
5,37
6,42
12,49
8,56
6,62
12,51
3,52
28,75
-7,55
-1,11
9,45
7,90
11,43
10,64
4,35
7,25
14,08
7,39
6,83
5,44
-2,20
11,16
4,79
9,71
5,96
6,82
-1,97
12,31
3,80
9,32
9,07
4,27
8,40
12,16
6,37
6,09
20,62
0,18
-1,37
13,04
X25
11,57
8,33
12,23
-4,21
-2,86
2,16
4,17
21,95
7,71
18,84
6,18
7,85
-11,16
2,73
2,26
10,73
28,69
12,65
2,08
24,66
0,10
1,47
4,09
12,83
-1,83
6,04
-5,33
14,19
0,44
11,80
-12,07
10,62
14,96
5,69
0,46
11,43
-8,93
1,77
6,19
-11,71
8,10
0,44
-1,26
-1,68
0,57
-7,78
20,77
-2,79
9,04
X26
2,75
-1,96
-2,31
4,57
14,20
2,94
-9,12
-3,76
16,98
-0,93
10,65
-4,15
3,83
-3,04
1,35
0,89
-5,07
8,26
0,06
15,15
4,98
22,57
-6,14
-3,63
3,96
0,55
0,10
17,62
7,48
14,97
3,16
-1,65
17,87
25,28
-2,46
-12,59
1,46
7,08
12,11
0,75
11,85
10,82
-4,13
21,90
15,42
-6,26
8,14
-5,37
-1,91
X27
21,85
4,39
10,43
20,99
17,66
6,43
15,02
1,72
13,28
3,48
-3,77
12,35
16,53
1,97
16,00
20,97
15,03
8,49
2,40
17,71
6,30
5,57
3,54
4,86
25,77
7,37
2,02
11,21
8,88
11,62
-9,27
4,04
7,48
4,41
8,75
11,54
1,65
9,37
-2,57
6,39
1,00
22,32
10,97
3,09
16,21
1,62
11,87
16,22
11,87
X28
-0,01
6,41
22,49
6,32
13,83
3,92
11,04
5,01
-6,85
7,64
-19,11
7,63
30,45
5,43
10,91
16,36
14,84
11,41
13,34
6,73
7,21
8,62
13,20
13,90
20,01
10,59
5,78
5,13
5,58
6,54
11,77
12,17
16,39
-13,46
-7,41
5,39
17,51
16,67
12,83
0,95
1,13
15,93
5,23
10,40
7,19
9,17
11,69
46,08
7,15
X29
24,75
11,77
8,09
37,08
14,61
-3,39
1,45
11,90
8,92
5,82
-5,95
10,25
12,31
23,45
21,37
13,20
5,28
5,38
26,21
2,26
12,44
16,65
22,68
21,58
12,42
15,27
-6,44
-1,66
10,68
15,50
4,90
20,14
21,02
14,07
9,86
1,50
12,13
19,98
8,66
25,08
-2,80
1,50
34,21
4,73
8,33
0,33
3,72
9,15
10,04
X30
2,46
-1,71
4,42
12,06
22,24
-0,98
5,45
21,40
11,33
20,24
15,76
3,25
-8,16
-0,38
25,42
10,79
19,75
2,13
6,28
13,96
23,43
12,32
20,51
37,41
-9,13
15,13
17,59
-7,00
8,73
6,47
2,20
-5,92
15,18
7,51
13,02
14,58
0,23
8,79
17,63
14,32
8,52
8,71
-0,33
6,20
7,23
4,36
7,41
3,88
8,21