учебное пособие мат.анализ

3
1
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.
1.1 Модуль числа и его свойства.
Определение: Модулем числа “ x ” называют
x=
если
если
x,
x ,
x >=0
x<0
Свойства модуля.
1. x  0
2. - x  x   x 
3. x = - x
4. Если  x  < b, b>0, то -b< x <b
5. Если  x  > b, b>0, то x <-b или x >b
6. x + y  x+y
Доказательство: -x < x < x;
- y < y < y ; откуда
-x+y  x + y < x + y и, следовательно,
x + y  x+y
7. x - y  x-y
Доказательство: x = y + (x – y)
x = y + (x – y)   y + x – y ,
откуда x - y  x-y
8. x*y = x*y
9. x / y = x/y при условии y  0
10. x 2 = x
1.2 Числовые последовательности.
Определение. Упорядоченное бесконечное множество чисел, каждое из
которых имеет свой номер, называют числовой последовательностью.
Например. x1, x2, ………, xn, …….,
где
x1, x2, ………, xn, - члены последовательности.
{xn} - последовательность. xn – общий член последовательности.
Пример.
{2n} – 2,4,6,8,…. – все четные числа.
{ 1/n } –
1,1/2,1/3,1/4, ……..
Обычно последовательность задают либо при помощи формулы, либо перечислением элементов данной последовательности:
Пример. xn = 1 + (-1)n
или 0, 2, 0, 2, 0, ……….
4
Определение. Последовательность { xn} называется ограниченной сверху (снизу), если существует такое число M (m), что любой член
данной последовательности меньше или равен этого M (m) xnM
(либо больше (xn m)).
Пример. { 1/n } –
1,1/2,1/3,1/4, ……..,
xn  1 , ограничена сверху.
{n} –
1, 2, 3, 4, ……..,
xn  1 , ограничена снизу.
Определение. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , для которого выполняется следующее равенство
xn <  .
Определение. Пределом последовательности {xn} называют число  такое, что для него выполняется следующее условие:
Для любого положительного числа  существует такой номер N, что для всех номеров больших или равных n  N, выполняется следующее неравенство:
 xn -  <  ,
 = lim x n
 >0 Nn (n  N
| xn-|< ) .
n
или | xn -|< , - < xn - <  ,
- < xn < + .
Начиная с номера N все члены последовательности попадают в
-окрестность точки :
xn


+
Примеры.
1. {C} :  >0 Nn (n  N
| xn -|< ), т.е. |C-C|< ,
lim C  C
>0 .
.
n 
2.
n
n 1
:
1 2 3
; ; ; ….
2 3 4
,
n
1
lim
n

1
n 
Определение. Последовательность { xn} называется бесконечно большой, если:
A >0 Nn (n  N
lim x n   ,
| xn |>A ), т.е.
если, начиная с некоторого номера, все чле-
n 
ны последовательности положительные, то
lim x n   ;
n 
5
если отрицательные, то
lim x n   .
n 
Определение. Последовательность {xn} называется бесконечно малой,
если для любого положительного числа  существует такое N:
 >0 Nn (n  N
Пример.
lim x n  0
|xn|< ), т.е.
n 
1
1 
  : lim  0
n
n
n 
Теорема 1. Если последовательность {xn} бесконечно большая и все члены данной последовательности отличны от 0, то последовательность {1/xn} будет бесконечно малой.
Если последовательность {xn} бесконечно малая, то последовательность
{1/xn} будет бесконечно большой.
Доказательство. { xn} –б.б. A >0 Nn (n  N
1
рассмотрим   ,
 xn 
| xn|>A .
1
1
1
    0 , т.е.
=
xn
A
xn
1
  ), т.е.
xn
бесконечно малой последовательности.
 >0 Nn (n  N
1
  - б.м. по определению
 xn 
Теорема доказана.
Теорема 2. Произведение б.м. последовательности на ограниченную последовательность, есть последовательность б.м.
Доказательство.
1.{ xn}
2.{  n }
- ограниченная последовательность.
- б.м. последовательность
1. | xn| < m
2.  >0 Nn (n  N
{ xn*  n }.
n   ) ,
Рассмотрим
x n *  n  xn *  n  m *   1  0
. 1 >0 Nn (n  N
и требовалось доказать.
x n *  n  1 )
{ xn* n } б.м., что
6
1.3 Свойства пределов.
Необходимые и достаточные условия существования предела
последовательности.
Теорема 1. Если последовательности { a n } и { b n } имеют пределы, то
lim (a n  bn )  lim a n  lim bn .
n 
n 
n 
Доказательство.
a  lim a n , 1 >0 N1n (n  N1
 n  a  1 )
b  lim bn , 2 >0 N2n (n  N2
bn  b   2 )
n 
n 
Рассмотрим последовательность
a n
 bn  .
a n  bn   a  b  a n  a   bn  b  a n  a  bn  b   1   2   3 .
a n  bn   a  b   3
3 >0 N3n (n  N3
),
lim (a n  bn )  a  b  lim a n  lim bn , при этом
n 
n 
n 
N3 = max{N1, N2}, что и требовалось доказать.
Теорема 2. (Необходимые и достаточные условия существования предела
последовательности):
Необходимость. Если lim a n  a , то
n 
 n  - б.м. последовательность.
a n  a   n , где
Достаточность.
то
Если a n  a   n , где  n  - б.м. последовательность,
lim a n  a .
n 
Доказательство.
an  a   ) ;
1) lim a n  a ,  >0 Nn (n  N
n 
 >0 N1n (n  N
a n
 a   n
 n   ) ;  n  - б.м., т.е. a n  a   n
2) a n  a   n ; lim a n  lim a   n   lim a  lim  n  a  0  a
n 
n 
Теорема доказана.
n 
n 
7
lim a n  a ,
Теорема 3. Если
n 
lim bn  b , тогда
n 
lim (a n * bn )  lim a n * lim bn  a * b
n 
n 
n 
Доказательство. Пусть
an  a   n
, где
{  n } - б.м. последовательность.
bn  b   n
, где
{  n } - б.м. последовательность.
a n * bn  a * b  a *  n  b *  n   n *  n  a * b   n
где  n   a *  n  b *  n   n *  n  - б.м. последовательность ,
lim (a n * bn )  a * b ,
откуда
n 
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Сумма (произведение) двух б.м. (б.б.) последовательностей,
есть последовательность б.м. (б.б.)
Теорема 5. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.
Теорема 6. Если последовательность не возрастает и ограничена снизу,
то она имеет предел.
Если последовательность не убывает и ограничена сверху, то
она имеет предел.
Теорема 7. Если
a
lim  n
n  b
 n
lim a n  a ;
n 
lim bn  b , ( bn  0 , b  0 ) то
n 
 a
 
 b
Примеры . Вычислить пределы следующих последовательностей.
1 1
1
1
 2 lim 2  lim  lim 2
n 
n  n
n  n
2* n  n 1
n n
lim

lim

=
n  3 * n 2  2 * n  3
n 
2 3
2
3
3  2
lim 3  lim  lim 2
n 
n  n
n  n
n n
2
2

200 2

300 3
2
1
 lim 2
n  n
n  n
2*n 1
0
lim


0
n  2 * n 2  n  3
1 3  2

lim  2   2 
n 
n n 
lim
8
1.4 Число e.
n
1

Рассмотрим последовательность a n  1   .
n

Докажем, что данная последовательность имеет предел, т.е. покажем,
что последовательность не возрастает и ограничена снизу.
Будем использовать неравенство Бернулли.
1  x n  1  n * x
n N
где
,
xR ,
,
x  1
1

Рассмотрим последовательность y n  1  
n

жем, что данная последовательность имеет предел.
1

1  
n

n 1
и
пока-
n 1
yn
 n  1



n2
y n 1 
 n 
1 
1 

n  1

 n 2  2 * n  1

  2

n

2
*
n


n2
n 1
 n 1
*

 n  2
n2


n
1
*
 1 

n 1 
n * n  2 
 n  12 
n


* 
n  1  n * n  2 
n2
*
n2

n

n 1
(Применяем неравенство Бернулли.)
1
n

 1   *
1 ,
n n 1

yn
 1  y n  y n 1
y n 1
откуда
т.е.
последовательность y n  не возрастает.
Из очевидного условия y n  0
следует, что последовательность
y n  имеет предел.

lim 1 
n  
1

n
an 
yn
n 1
1

1  
n

e ,
;
число e  2.71....
lim a n 
n 
lim y n
n 

lim 1 
n  
1

n

e
e ,
1
9
таким образом
1

lim 1  
n  
n
n 1
n
1

 e  lim 1   .
n  
n
1.5 Применение числа e в экономике.
Предположим, что банк дает P% годовых, т.е. вложив в банк в начале
года А0 рублей, к концу первого года мы получим сумму A1=A0*(1+r),
P 

где r – норма процента  r 
.
100


К концу n-ого года величина вклада возрастет до Аn=А0*(1+r )n
Будем считать, что банк осуществляет начисление процента m раз в
течение года через равные промежутки времени.
Тогда в конце 1-го года мы получим
m
rm
r

A1  1   * A0  1  rm  * A0 ,
m

- годовая норма процента при таком начислении.
где
r
- норма процента для промежутка времени соответствующего m.
m
Иногда в банке говорят о непрерывном начислении процента. Для
этого случая необходимо вычислить предел:
m
r

lim 1  rm   lim 1    e r
m 
m 
m
В конце первого года при непрерывном начислении процентов мы
получим
A1  A0 * e r .
Пример.
Пусть
r 1 ,
тогда
P=100% .
Если начисление производится один раз в год, то в конце первого
года мы получим
 100 
A1  1 
 * A0  2 * A0 .
 100 
Если начисление непрерывно, то в конце первого года получаем
A1  A0 * e  2.71 * A0
Отсюда следует очевидный вывод, что для вкладчика более выгодно непрерывное начисление процента.
10
2
ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.
2.1 Понятие функции.
Определение. Если каждому значению переменной x , принадлежащей
некоторому множеству, соответствует вполне определенное значение другой переменной y , то y называют функцией переменной x
y  f x  .
x - независимая переменная, или аргумент функции ,
y - зависимая переменная.
На плоскости функция изображается в виде графика, т.е. множества точек плоскости XY , координаты которых связаны отношением
y  f  x  , которое называется уравнением графика. Не любая линия на
плоскости является графиком какой-либо функции.
Y
y1
X
Пример:
x0
y2
2
2
Данная линия x +y =1 не является графиком функции, т.к. одному значению x0 аргумента X соответствует два значения переменной Y - y1 и y2.
2.2 Примеры экономических функций.
1. q = Ф(p) – p – цена товара, q- спрос. Это функция спроса.
2. Производственные функции. Это функции, которые связывают вклад в
производство (расходы) и выпуск продукции.
2.3 Способы задания функций.
1) Аналитический
- это такой способ, при котором функция задается с
помощью формулы: у = x2 .
D(x) – множество всех значений X  ;  - область определения
функции,
E(y)
– множество всех значений Y 0; 
- область значений
функции.
2) Табличный. При этом способе выписываются в определенном порядке значения аргументов и соответствующие им значения функции:
X
Y
x1
y1
x2
y2
x3
y3
…. xn
…. yn
3) Графический.
При этом способе функция задается при помощи графика.
11
2.4 Элементарные функции.
К простейшим элементарным функциям относятся следующие функции:
- постоянная
C - const ,
y C ,
y  xa ,
- степенная
y  ax ,
- показательная
a  0, a 1 ,
y  log a x , a  0 , a  1 ,
- логарифмическая
- тригонометрические
sinx; cosx; tgx; ctgx….
- обратные тригонометрические arcsinx; arccosx; arctgx; arcctgx .
Все функции, которые получаются из простейших элементарных
 с использованием операций
 сложения,
 вычитания,
 умножения,
 деления,
 возведения в степень,
 посредством композиции функций, т.е. функции вида
y=sin(x+2)2; y=sinu,
u = (x+2)2;
являются элементарными.
2.5 Предел функции в точке.
Пусть функция f(x) определена на множестве Х. Рассмотрим последовательность аргумента данной функции: x1, x2, x3, …., xn, …., которая сходится к некоторому Хо.
Рассмотрим последовательностей значений функции при перечисленных выше значениях Х: f(x1), f(x2), f(x3), …f(xn), …
Определение. Число A называется пределом функции f(x), если последовательность значений функции, вычисленных при соответствующих значениях последовательности аргумента Х, сходится к числу А.
Или
Если для любой сходящейся к X0 последовательности аргумента существует соответствующая последовательность значений функции, которая сходится к числу A, то говорят, что функция имеет предел A при
x  x0 .
A  lim f ( x)
x x0
По определению
 x n  x 0    f ( x n )  A .
12
Примеры.
1) Рассмотрим функцию f(x)=С (равную константе):
C, C, C,......  C ,
2) f ( x)  x
x1 , x 2 ,....x n  x 0 ;
lim f ( x)  C
x  x0
lim C  C .
x xn
lim x  x 0 .
x  x0
Существует второе определение предела функции в точке, которое равносильно первому.
Определение 2. Число A называют пределом функции f (x) при x  x 0 ,
если для любого положительного числа  существует такое число 
, что для всех Х, удовлетворяющих неравенству
0  x  x0  
справедливо неравенство
Y
f ( x)  A  
A+
A
A-
x0-
x0 x0+
X
A  lim f ( x) , если   0  0x0  x  x0    f ( x)  A   
x x0
Из определения    x  x 0    f ( x)  A  
x 0    x  x 0    A    f ( x)  A  
2.6 Односторонние пределы функции (правый и левый предел функции).
Рассмотрим последовательность аргумента x n 
x1 , x 2 , x 3 ,...., x n ,... , lim x n  x 0 .
n 
Для данной последовательности составим последовательность
f ( x1 ), f ( x 2 ),..., f ( x n ),...
Рассмотрим функцию
множестве X.
f (x) , которая определена на некотором
13
Определение. Число A называют правым пределом функции в точке x 0
 A  lim f ( x)  , если для любой, сходящейся к x последова

0
x  x0  0


тельности аргумента, все элементы которой x n  x 0 , соответствующая последовательность значений функции будет сходится
к числу A .
lim x n  x 0  lim f ( x n )  A ,
n 
n 
xn  x0
X
x0
xi
xi-1
Аналогично дается определение левого предела.


A  lim f ( x)  lim x n  x 0  lim f ( x n )  A ,
x  x0  0
n 
n 
xn  x0 .
Можно дать другое определение левого и правого предела функции
A  lim
f ( x)
,
  0  0xx0    x  x0  f ( x)  A    .
A  lim
f ( x)
,
  0  0xx0  x  x0    f ( x)  A    .
Пример.
Y
A
B
x  x0  0
x  x0  0
x0
lim
x  x0  0
f ( x)  B ,
lim
x  x0  0
f ( x)  A .
Связь между односторонними пределами и пределом функции в точке
определяется следующей теоремой.
Теорема: Если функция f(x) имеет в точке x0 предел, то в этой точке
существует правый и левый предел функции и они равны между
собой и равны пределу функции в точке.
lim f ( x)  lim
x  x0
x  x0  0
f ( x)  lim
x  x0  0
f ( x) .
Если существуют левый и правый предел функции в точке x0, и они
равны между собой, то существует предел функции в этой точке и он равен односторонним пределам.
14
2.7 Предел функции на бесконечности.


Определение. Число A называют пределом функции f(x) при x стремящемся к бесконечности A  lim f ( x)  lim f ( x) , если для люx 
x  
бой бесконечно большой последовательности значений аргумента, элементы которой положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к
числу A.
x n  0 x n  0 /
,
x n     f ( x n)  A
Пример.
Y
1
X
lim f ( x)  1
x  
2.8 Теоремы о пределах функции.
Теорема 1. Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке x0 пределы, равные
B и C, тогда функции f(x)  g(x), f(x)*g(x),
f(x)/g(x) (при условии g(x)  0) имеют в точке x0 пределы,
равные B  C, B*C, B/C (при C  0).
числам
Доказательство: Рассмотрим произвольную последовательность значений
аргумента, которая имеет предел X0, и рассмотрим последовательность значений функции в этих точках  f ( x n ) и g ( x n ) .
Пусть данные последовательности имеют пределы
lim f ( x n )  B
n 
и
lim g ( x n )  C .
n 
Тогда по теореме о пределах последовательностей
lim  f ( x n )  g ( x n )   lim f ( x n )  lim g ( x n )  B  C ,
n 
n 
f ( xn ) B
f ( x n ) nlim

lim


n  g ( x )
lim
g
(
x
)
C
n
n
n 
,
lim  f ( x n  * g ( x n ))  B * C ,
n 
n 
а это, по определению предела функции, означает
lim  f ( x)  g ( x)   B  C ,
x  x0
Теорема доказана.
lim  f ( x) * g ( x)   B * C ,
x  x0
lim
x  x0
f ( x) B
 .
g ( x) C
15
Теорема 2. Пусть функции
f 1 ( x), f 2 ( x), g ( x)
определены в некоторой
окрестности точки x0 и функции f 1 ( x), f 2 ( x) имеют пределы
lim f 1 ( x)  lim f 2 ( x)  A .
x  x0
x  x0
Если между данными функциями выполняется неравенство
f 1 ( x)  g ( x)  f 2 ( x) ,
тогда функция g (x) имеет в точке
lim g ( x)  A .
x0
предел
x  x0
Замечание: Все данные теоремы справедливы в том случае, если в пределах x   .
2.9
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Определение: Функция f (x) бесконечно малая, если lim f ( x)  0 .
x  x0
Определение: Функция f (x) бесконечно большая, если в точке x0 функция имеет предел
f ( x)  0  f ( x )  0  .
lim f ( x)   ,
x  x0
Примеры.
Y
1
0 .
x   x
1
lim
  .
x 0  0 x
X
lim
y
1
,
x
Теорема 1. Если функция f(x) бесконечно большая, то функция 1/f(x)
(f(x)0) бесконечно малая.
Если функция f(x) бесконечно малая, то функция 1/f(x) (f(x)0)
бесконечно большая.
Теорема 2. (Необходимое и достаточное условия существования предела
функции в точке.)
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0.
Для того чтобы функция f(x) имела в точки x0 предел необходимо и
достаточно, чтобы функция f(x) в некоторой окрестности точки x0 была
представима в виде
f ( x)  A   ( x) ,
где  (x) – бесконечно малая функция, А – число.
Доказательство.
16
1) Необходимость.
Пусть lim f ( x)  A .
x  x0
Обозначим
 ( x)  f ( x)  A .
Найдем пределы от обеих частей данного равенства:
lim  ( x)  lim  f ( x)  A  lim f ( x)  A  A  A  0 ,
x  x0
x  x0
x  x0
т.е.  (x) - бесконечно малая функция. f ( x)  A   ( x) .
2)Достаточность.
Пусть f ( x)  A   ( x) , где  (x) – бесконечно малая функция.
тогда
lim f ( x)  lim ( A   ( x))  lim A  lim  ( x)  A  0  A .
x  x0
x  x0
x  x0
x  x0
Теорема доказана.
Теорема 3. Сумма и произведение конечного числа бесконечно малых
(бесконечно больших) функций, есть функция бесконечно малая
(бесконечно большая).
Теорема 4. Произведение бесконечно малой функции на ограниченную
функцию есть функция бесконечно малая.
Определение. Пусть  (x) и  (x) две бесконечно малые функции в
точке x 0 . Если предел отношения этих функций при x стремящемся к x 0 равен 1, то эти функции называются эквивалентными.
 ( x)
 ( x) ~  ( x)  lim
1 .
x  x0  ( x )
2.10 Первый замечательный предел
sin x
Рассмотрим функцию
, которая не определена в точке x  0 . Найдем
x
sin x
предел данной функции при x  0.
.
lim
x 0 x
Рассмотрим окружность R=1.
M C
x
r
B A
O
Из данного рисунка видно, что MOA  x ;
OM  OA ;
S OMA  S сект.OMA  S OCA ;
MB
 sin x ;
OM
1
1
 * MB * OA  * sin x
2
2
0  x  / 2 ;
S OMA
17
S сект.OMA 
1
1
1
* R 2 * x  *1* x  * x ;
2
2
2
S OCA 
1
1
* CA * OA  * tgx .
2
2
Подставив значения площадей в исходное неравенство и сократив на
1
, получим
2
sin x  x  tgx
Поделим все части данного неравенства на sin x ,
x
1
,
1

sin x cos x
Найдем обратные величины и развернем знак неравенства
sin x
cos x 
 1.
x
Из теоремы 2 подраздела 2.5 о трех функциях имеем
sin x
lim
 lim cos x  lim 1  1 .
x 0 x
x 0
x 0
Таким образом
sin x
lim
1 .
x 0 x
Если x<0 , то
sin(  x) sin x
sin x
, cos( x)  cos x и lim

1 .
x 0 x
x
x
Следствия из первого замечательного предела:
sin( * x) 
;

x 0 sin(  * x)

sin( * x)
 ;
x 0
x
2) lim
tgx
arctgx
arcsin x
 lim
 lim
 1;
x 0 x
x 0
x 0
x
x
4) lim
1) lim
3) lim
x 0
1  cos x
x
2

1
.
2
2.11 Второй замечательный предел.
x
1

lim 1    e .
x  
x
n
1

lim 1    e .
Известно, что
n  
n
Здесь nN (N – множество натуральных чисел).
Рассмотрим теперь значения x, учитывая, что xR (R- множество
действительных чисел, все действительные значения, как целые, так и
дробные, так и иррациональные).
1) x   ;
n  x  n 1 .
18
От всех величин в данном неравенстве возьмем обратные и изменим
1 1
1
знаки (перевернем)
.
 
n x n 1
Ко всем частям данного неравенства прибавим 1
1
1
1
.
1 1 1
n
x
n 1
Возведем все величины представленного неравенства в такие степени, которые не могут нарушить неравенство, поскольку между показателями степени знаки неравенства того же направления, а сами величины
превышают значение 1
n 1
x
n
1
1
1 



1    1    1 
 .
n
x
n  1



Рассмотрим далее
n 1
n
1
1
1



lim 1    lim 1   * lim 1    e * 1  e .
n  
n  
n
n  n  
n
n 1
n
1 
1 


lim 1 
  lim 1 

n  
n 
n  1
n  1
n 11
1 

lim 1 

n  
e
n  1

 e .
1 
1

lim 1 

n 
n  1
x
 1
lim 1    e .
x  
x
Таким образом
Рассмотрим случай, когда x стремится к минус бесконечности.
x
2) x  
;
 1
lim 1    e , пусть x  1  t , x  t  1 .
x  
x
1 

Тогда lim 1 

t 
 t  1
t 1
t
t 

 lim 1 

t 
t  1
1
t 1
 t  1
 lim 1 

t 
t 
t
 1
 1
 1
= lim 1   * lim 1    lim 1    e .
t 
t  t  t  t  t 
t 1

19
Следствия из второго замечательного предела.

1) lim 1 
x  
ln(1  x)
1 ,
x 0
x
x
1
k
k


lim
1

x
,
2)
x e ,
 e
x 0
x
ax 1
4) lim
 ln a
x 0
x
3) lim
(1  x) m  1
5) lim
m .
x 0
x
,
Пример.
x 1
x
x
1 
 x  2
 x  1  1

lim 
  lim 
  lim 1 

x   x  1 
x   x  1 
x 
x  1
x 11
1 

1 

e
x  1

 lim

e.
x  
1 
1 0
1 

x  1

2.12 Непрерывность функции.
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 и
x=x0+x , x-x0=x , x – приращение аргумента.
f ( x 0  x)
y
x
f ( x0 )
x 0  x
x0
y – приращение функции.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если бесf(x0+x) - f(x0)=y
,
конечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.
lim y  0
x  0
Определение. Функция f(x) называется непрерывной на множестве X, если
она непрерывна в каждой точке данного множества.
Можно дать еще два определения.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если предел данной функции в точке x0 равен значению функции в этой
точке
lim f ( x)  f ( x 0 ) .
x  x0
20
Из этого определения следует, для того, чтобы найти предел непрерывной функции в точке, достаточно подставить в функцию x0 вместо x.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если левый предел равен правому пределу и равен значению функции в
этой точке
lim
x  x0  0
f ( x)  lim
x  x0  0
f ( x)  f ( x 0 ) .
Пример. Рассмотрим функцию y  x 3 и докажем, что эта функция непрерывна в любой точке, равной x0.
3
y  f ( x 0  x)  f ( x 0 )  ( x 0  x) 3  x 0 
 x 0  3 * x 0 * x  3 * x 0 * x 2  x 3  x 0  3 * x 0 * x  3 * x 0 * x 2  x 3 ;
3
2
3
2
lim y  lim (3 * x 0 * x  3 * x 0 * x 2  x 3 )  0 .
2
x 0
x 0
Можно доказать, что все простейшие элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.
Теорема 1. Сумма двух непрерывных функций в точке x0 есть функция
непрерывная.
Доказательство: Пусть f1(x) и f2(x) –непрерывны в точке x0, т.е.
lim f 1 ( x)  f ( x 0 ) ; lim f 2 ( x)  f 2 ( x 0 ) ;
x  x0
Если
тогда
x  x0
g ( x)  f 1 ( x)  f 2 ( x) ,
lim g ( x)  lim ( f 1 ( x)  f 2 ( x))  f 1 ( x 0 )  f 2 ( x 0 )  g ( x 0 ) ,
x  x0
x  x0
что и требовалось доказать.
Теорема 2. Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная.
Теорема 3. Частное двух непрерывных функций есть функция непрерывная.
Теорема 4. Если функция u   (x) – непрерывна в точке x0, а y  f (u )
непрерывна в точке u 0   ( x 0 ) , то сложная функция y  f (u( x))
также будет непрерывна в точке x0.
Определение. Точка x0 называется точкой разрыва для функции f(x) если
в данной точке не выполняется условие непрерывности функции.
2.13 Классификация точек разрыва.
Пусть точка x0 - точка разрыва для функции y  f (x) .
21
1) Точка x0 – точка разрыва 1 рода, если существуют конечные правый и
левый пределы функции в данной точке.
Если при этом
lim
x  x0  0
f ( x)  lim
x  x0  0
f ( x)  f ( x 0 ) ,
то точка x0 – точка разрыва I рода, устранимого разрыва.
Если
lim
x  x0  0
f ( x)  lim
x  x0  0
f ( x) ,
то точка x0 – точка разрыва I рода со скачком.
2)
Точка x0 – точка разрыва 2 рода, если правый или левый пределы
функции в данной точке не существуют или равен бесконечности.
Примеры.
x2 , x  0
1) y 
2
2 , x0
Здесь x  0 - точка разрыва 1 рода, устранимого разрыва, т.к.
lim x 2  0 , lim x 2  0 ,
x 00
x
2) y 
но
x 0 0
,
x 1
f (0)  2 .
3
2*x+1 , x  1
1
Здесь x  0 - точка разрыва 1 рода со скачком, т.к.
lim x  1 ,
x 1 0
а
lim (2 * x  1)  3 .
x 1 0
x
3) y 
1
x
0
y
Здесь x  0 - точка разрыва 2 рода, поскольку
1
  ,
x 0  0 x
lim
а
1
  .
x 0  0 x
lim
22
Теорема 1. Любая непрерывная на отрезке [a,b] функция достигает на нем
своего наибольшего и наименьшего значения.
Теорема 2. Пусть функция y=f(x), непрерывна на отрезке [a,b] и на концах этого отрезка принимает значения разного знака, тогда между
числами a и b найдется такое число с, что f (c)  0 .
y
f(x)
a
c
b
x
Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке [a,b], то она и ограничена на этом отрезке.
23
3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ.
3.1 Производная.
Рассмотрим функцию f(x), которая определена на множестве Х.
Зададим аргументу x приращение x и при этом получим приращение
функции
y  f ( x 0  x)  f ( x 0 ) .
Определение. Производной функции в точке x 0 называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при
условии, что приращение аргумента стремится к 0, если этот
предел существует.
y
lim
 y'  f ' ( x0 ) .
x 0 x
Если же предел равен "+" или "-" бесконечность, то говорят, что функция
имеет бесконечную производную.
Дифференцирование – это операция нахождения производной функции.
Пример.
y C ;
y  C  C  0 ;
y
0 ;
x
y
0 ;
x 0 x
lim
y'  0 .
3.2 Геометрический смысл производной.
y=f(x)
MP – секущая,
P
S
S – касательная,
MN = x ,
PN = y .
M
N
f(x0+x)
f(x0)
x
0
x0
x 0  x
PMN   (x)
,
SMN   0 .
Определение. Касательной к графику функции f(x) в точке M называют
предельное положение секущей MP при условии, что x  0 ,
т.е. для существования касательной в точке достаточно, чтобы
существовал предел  (x) при x  0 равный углу наклона
касательной к положительному направлению оси ОХ.
Очевидно, что
tg (x) 
y
.
x
24
y
.
x 0
x 0 x
lim tg (x)  tg 0  f ' ( x 0 )  k .
Поскольку P  M при x  0 , -
Вычислим
lim tg (x)  lim
x 0
Таким образом
производная функции в некоторой точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции, проведенной именно в той же самой точке, к положительному направлению оси ОХ, или равна
угловому коэффициенту касательной в данной точке.
Уравнение касательной в точке M ( x 0 , y 0 )
k  tg 0  f ' ( x 0 ) ; y  y 0  f ' ( x 0 ) * ( x  x 0 ) .
3.3 Применение производных в экономике.
Рассмотрим функцию издержек производства k=K(x) , где
k - издержки производства,
x – количество выпущенной продукции.
Если объем производства продукции увеличили на x, то количеству
продукции x+x будут соответствовать издержки производства
k = k(x+x) - k (x) .
k
=K’(x) называется преx 0 x
дельными издержками производства (показывает скорость изменения
Предел отношения приращений
lim
K(x)).
Рассмотрим функцию u=u(x) – функция выручки от продажи x едиu
ниц продукции, тогда lim
 u ' ( x) - предельная выручка.
x 0 x
Пусть дана y=f(x), для которой известна производная y'=f '(x).
Эластичностью функции f(x) относительно x ( Ex(y) ) называют
y
y
y x
x
E x ( y )  lim
 * lim
 * y ' , т.е.
x 0 x
y x 0 x y
x
Рассмотрим функцию спроса по цене
E x ( y) 
x
* y' .
y
q  ( p ) .
p
* ' ( p) .
q
Эластичность спроса по цене показывает, на сколько процентов
увеличится (уменьшится) спрос, если цена уменьшится (увеличится) на
1%.
Тогда эластичность функции
E p (q) 
25
Если Е=2, тогда если p увеличится на 1%, то Е показывает, что спрос
уменьшится на 2%.
3.4
Дифференцируемость функции
Определение. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке x 0 ,
если ее приращение в этой точке представимо в виде
y  A * x   (x) * x
A
x
 (x)
, где
- число,
- приращение аргумента,
- бесконечно малая функция при x  0 .
Теорема. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке,
необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную
производную.
Доказательство.
Необходимость.
Если функция f (x) дифференцируема в точке x 0 , тогда, по определению
y  A * x   (x) * x .
Поделим обе части уравнения на x . Получим
y
y
 A   (x) ;
lim
 lim ( A   (x))  A .
x 0 x
x 0
x
Таким образом f ' ( x)  A , это значит, что функция имеет производную.
Достаточность.
Если функция имеет производную равную А.. Это означает
y
f ' ( x)  A , lim
Откуда
A.
x 0 x
y
 y

lim 
 A  0 .
 A   (x) ;
x 0 x
x

0  lim ( (x))   (x) - б.м.
x 0
Таким образом y  A * x   (x) * x , а это означает, что функция дифференцируема, что и требовалось доказать.
Теорема. Если функция дифференцируема в точке, то она и непрерывна
в этой точке.
Доказательство. Если функция f (x) дифференцируема в точке x 0 , то
y  A * x   (x) * x .
26
lim y  lim ( A * x   (x) * x)  0
Вычислим предел
x 0
x 0
lim y  0 ,
Поскольку предел
x  0
y  f (x) непрерывна в
то функция
точке x 0 , что и требовалось доказать.
3.5
Основные правила дифференцирования
Теорема. Пусть функции u (x) и v(x) дифференцируемы в точке x, тоu
гда функции u  v ; u * v ;
также дифференцируемы в данной
v
точке и их производные равны
(u  v)'  u 'v' ;
(u * v)'  u'*v  u * v' ;
 u  u '*v  u * v'
.
 ' 
v2
v
Доказательство. Будем использовать определение производных и следующие формулы
y  f ( x  x)  f ( x) , f ( x  x)  y  f ( x) .
1. u  v '  lim
u( x  x)  v( x  x)  (u ( x)  v( x))
x 0
x

u ( x  x)  u ( x)
v( x  x)  v( x)
 lim
 u 'v' .
x 0
x 0
x
x
= lim
u ( x  x) * v( x  x)  u ( x) * v( x)

x 0
x
2. u * v '  lim
(u  u ( x)) * (v  v( x))  u ( x) * v( x)
u * v  u ( x) * v  v( x) * u
 lim

x 0
x 0
x
x
lim
= u( x) * (v( x))'v( x) * (u( x))' , поскольку
u * v
0 .
x 0
x
lim
u ( x  x) u ( x)

v( x  x) v( x)
u ( x  x) * v( x)  v( x  x) * u ( x)
u
3.  '  lim
 lim

x 0
x
x * v( x  x) * v( x)
 v  x0
(u ( x)  u ) * v( x)  (v( x)  v) * u ( x)

x 0
x * v( x) * v( x  x)
 lim
u * v( x)  u ( x) * v( x)  v( x) * u ( x)  v * u ( x)

x 0
x * v( x) * v( x  x)
 lim
27
u v

* u ( x)
u ' ( x) * v( x)  v' ( x) * u ( x)
x x
,

v( x  x) * v( x)
(v( x)) 2
v( x) *
 lim
x 0
что и требовалось доказать.
3.6 Производные тригонометрических функций и логарифмической
функции.
Рассмотрим (sin x)' , (tgx)' , (ctgx)'.
sin( x  x)  sin x
 lim
x 0
x 0
x
1) y  sin x ; y'  lim
 lim
2 * sin
x
2 * x  x
* cos
2
x

x
x
2 * lim cos 2 * x  x  1 * cos x  cos x .
x 0
x
2
2
sin
x 0
cos(x  x)  cos x
 lim
x 0
x 0
x
 2 * sin
2) y  cos x ; y '  lim
x
2 * x  x
* sin
2
x

x
 1 * sin x   sin x .
2
2
1
 sin x  (sin x)'*cos x  sin x * (cos x)' cos x  sin x


3) y '  (tgx)'  
.
 
2
2
cos x
cos x
cos2 x
 cos x 
'
sin 2 x  cos2 x
1
 cos x  (cos x)'*sin x  cos x * (sin x)'




4) y '  (ctgx)'  
.
 
sin 2 x
sin 2 x
sin 2 x
 sin x 
'
5) y  log a x ;
log a ( x  x)  log a x
 lim
x 0
x 0
x
y '  lim
log a
x  x
x 
x
x 
x 


x  x
ln 1 
ln 1 


1
1
1
x 
x 


x
 lim

* lim

* lim

.
x 0 ln a * x
x
ln a x 0 x
x * ln a x 0
x * ln a
*x
x
x
ln
Использовали одно из следствий второго замечательного предела,
согласно которому
28
x 

ln 1 

x 

lim
1 .
x  0
x
x
3.7 Производная от обратной функции.
Пусть функция y  f (x) имеет обратную функцию
x   ( y) .
Теорема. Если функция
y  f (x) имеет в точке x 0 производную
y'  f ' ( x) , то обратная функция
x   ( y) имеет в точке
1
y 0  f ( x 0 ) производную, равную
  ' ( y0 ) .
f ' ( x0 )
Доказательство. Для обратной функции x   ( y) зададим приращение
аргумента
при этом приращение функции
y ,
x   ( y 0  y )   ( y 0 ) .
Запишем отношение приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента
x
1
.

y y
x
Так как функция y=f(x) имеет производную, то она непрерывна в
lim y  0 , то
точке x 0 и тогда предел y при x  0 равен нулю ,
x  0
x
1
, откуда
 lim
y 0 y
x 0 y
x
что и требовалось доказать.
lim
 ' ( y0 ) 
1
,
f ' ( x0 )
3.8 Вычисление производных от показательной функции и обратных
тригонометрических функций.
1) Рассмотрим функцию y  a x (a>0; a1) .
Для данной функции обратной функцией будет x  log a y .
x' 
1
1
; y'  
y * ln a
x'
(a x )'  a x * ln a ;
1
 y * ln a  a x * ln a ;
1
y * ln a
(e x )'  e x .
2) y  arccos x , ( | x |  1; 0  y  ).
29
x  cos y ;
(arccos x)' 
1
 1 x
3) y  arcsin x ( | x |  1;
x  sin y ;

x'  cos y ;
1 x

2
1
1
1


.
 sin y  1  cos2 y  1  x 2
.
 y

2
).
1
1
1


.
2
2
cos y
1  sin y
1 x
.
2

 
  y   .
2
 2
4) y  arctgx ,
x' 
1
y '  cos2 y 
;
2
cos y
1
(arctgx)' 
.
1  x2
1
1  tg y
2

1
1  x2
.
(0  y   ) .
5) y  arcctgx ,
x  ctgy ;
2
y' 
1
(arcsin x)' 
x  tgy ;
y' 
x'   sin y ;
x'  
1
2
;
sin y
1
(arcctgx)'  
.
1 x2
y '   sin 2 y  
1
1  ctg y
2

1
1  x2
.
3.9 Производная от сложной функции.
Рассмотрим сложную функцию y  f (u ) , u   (x) .
Теорема. Если функция u   (x) имеет в точке x 0 производную, а функция y  f (u ) имеет производную в точке u 0   ( x 0 ) , то сложная
функция y  f ( ( x)) имеет в точке x 0 производную
y '  f ' u (u 0 ) *  ' x ( x 0 ) .
Доказательство. Так как функция f (u) имеет производную, то ее приy  ( f ' u (u 0 )   (u )) * u ,
ращение
где  (u ) - бесконечно малая функция при u  0 .
Поделим обе части данного равенства на x :
y f ' u (u 0 ) * u  (u ) * u


.
x
x
x
Вычислим пределы
30
y
u
u
u
,
 lim f ' u (u 0 ) *
 lim  (u ) *
 lim f ' u (u 0 ) *
x 0 x
x 0
x x0
x x0
x
поскольку предел бесконечно малой функции равен нулю.
lim
Таким образом
f ' ( x0 )  f 'u (u0 ) *  'x ( x0 ) ,
что и требовалось доказать.
3.10 Производная от показательно-степенной функции.
Показательно - степенной функцией называется функция, у которой
показатель степени и основание степени зависят от x
y  x x ; y  (sin x) x .
Теорема. Если функции u (x) и v(x) дифференцируемы в точке x0 , то
функция y  (u ( x)) v ( x ) также дифференцируема в точке и
y '  v * u v  1 * u 'u v * ln u * v' .
Доказательство: Прологарифмируем обе части равенства y  u v
ln y  v * ln u .
Продифференцируем обе части полученного равенства
(ln y)'  (v * ln u)' ,
1
1
* y '  v'*ln u  v * * u ' ,
y
u
u' 

y '  y *  v'*ln u  v *   u v * v'*ln u  v * u v 1 * u ' ,
u

что и требовалось доказать.
y  (sin x) x .
Пример.
y '  (sin x) x * 1 * ln(sin x)  x * (sin x) x 1 * cos x .
3.11 Таблица основных производных.
Элементарные функции
Сложные функции
x   n * x
n '
a   a
x '
x
n 1
* ln a
u   n * u
n '
a   a
u '
u
n 1
* u'
* ln a * u '
log a x '  1 * ln a
log a u '  1 * ln a * u '
sin x'  cos x
sin u '  cos u * u'
cos x '   sin x
cos u '   sin u * u'
x
u
31
tgx ' 
1
tgu ' 
* u'
cos2 u
ctgu '   12 * u '
sin u
arcsin u '  1 2 * u '
1 u
cos2 x
ctgx '   12
sin x
arcsin x '  1 2
1 x
arccos x '  
arctgx' 
1
1 x
arcctgx '  
2
arctgu ' 
2
1
1 x
1
arccosu '  
1
1 x
1
1
1 u2
arcctgu '  
2
1 u
2
* u'
* u'
1
1 u2
* u'
3.12 Производная от функции, заданной параметрически.
Рассмотрим функцию, заданную параметрически
x   (t ) ,
y  f (t ) ,
где
t  t1 , t 2  .
Предположим, что функция x   (t ) имеет обратную t  (x) , тогда
y  f (( x))
,
y'  f ' (t ) * ' ( x) .
Так как производная обратной функции связана с производной функции
следующим образом
1
,
 ' (t ) 
' ( x)
то, подставляя данное соотношение в предыдущее равенство, получаем
y '  f ' (t ) * ' ( x) 
f ' (t ) y ' (t )
.

 ' (t ) x' (t )
Пример.
, где t  0;2 *  
x  R * cos t
y  R * sin t
y' 
R * cos t
 ctgt .
 R * sin t
,
x 2  y 2  R 2 - уравнение
окружности,
32
3.13 Дифференциал функции
Рассмотрим функция y  f (x) , которая дифференцируема в точке x 0 .
Тогда ее приращение
y  f ' ( x0 ) * x   (x) * x , где
 (x) - бесконечно малая функция.
Определение. Дифференциалом функции f (x) в точке x 0 назовем главную, линейную относительно x часть приращения функции в
этой точке
dy  f ' ( x 0 ) * x .
Покажем, что dx  x .
Рассмотрим y  x и вычислим дифференциал
dy  f ' ( x) * x , dy  x , dx  x .
dy
dy  f ' ( x 0 ) * dx ,
Значит
f ' ( x0 ) 
dx
Геометрический смысл дифференциала.
y
y=f(x)
S
0
tg 
M

x0
QN
;
MN
QMN=;
tg=f ' (x0).
S – касательная.
Q
N
x0+x
f ' ( x0 ) 
x
QN
 f ' ( x 0 ) * x  dy.
x
Дифференциал функции в точке x0 равен приращению ординаты
касательной в точке .
Так как нахождение дифференциала связано с нахождением производной, то для дифференциала справедливы следующие формулы
1. d (u  v)  du  dv;
2. d (u * v)  du * v  u * dv;
 u  du * v  u * dv
3. d   
.
v2
v
Приближенные вычисления при помощи дифференциала.
Так как y  f ' ( x 0 ) * x   (x) * x , то y  dy   (x) * x ; y  dy.
f ( x0  x)  f ( x0 )  f ' ( x0 ) * x; f ( x0  x)  f ( x0 )  f ' ( x0 ) * x .
33
2
2 

*
 0.7191 .
2
2 180
x ; x 0  1 ; dy  f ' ( x 0 ) * dx ;
Примеры. Вычислим sin 46 0  sin( 45 0  10 ) 
Вычислим дифференциал y  sin
f ' ( x) 
cos x
2* x
cos10
f ' (1) 
;
2
;
cos10
dy 
* dx.
2
3.14 Производные и дифференциалы высших порядков.
Назовем производную от функции f(x) производной 1-го порядка.
Тогда
 y''  y' ' - производная 2-го порядка;  y ' ''  y ' ' ' - производная 3-го
порядка и так далее.
Производные, начиная со второй, называют производными высших
порядков.
Примеры. 1) y  5 * x 4 ; y '  20 * x 3 ; y ' '  60 * x 2 ; y ' ' '  120 * x .
2) y  sin x ;
y'  cos x ;
y' '   sin x ;
y' ' '   cos x .
Назовем дифференциал dy  f ' ( x 0 ) * dx дифференциалом 1-го порядка.
Тогда d (dy )  d 2 y  f ' ' ( x 0 ) * (dx ) 2 - дифференциал 2-го порядка;
d (d 2 y )  d 3 y  f ' ' ' ( x 0 ) * (dx ) 3 - дифференциал 2-го порядка;
и так далее.
Дифференциалы, начиная со второго, называют дифференциалами
высших порядков.
Пример.
y  cos x , dy  f ' ( x) * dx ,
  sin x 
 * dx ,
dy  

 2* x 
d 2 y  f ' ' ( x) * (dx ) 2 ,
cos x
'
  sin x 
   2* x
f ' ' ( x)  

 2* x 

sin x  x * cos x
4* x* x
;
* 2 * x  sin x *
4* x
d2y 
1
x
cos x 

sin x  x * cos x
4* x* x
sin x
x
4* x
* dx .
2

34
4
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ.
4.1 Основные теоремы дифференциального исчисления.
Теорема 1. (Ферма) Пусть функция f(x) определена на интервале (a,b) и
в некоторой точке x 0 этого интервала принимает наибольшее или
наименьшее значение, тогда, если в точке x 0 существует производная, то она (эта производная) равна нулю.
Доказательство. Пусть в точке x 0 функция f(x) принимает наибольшее
значение. Это значит, что f(x)< f(x0) для x(a,b)
Запишем y  f ( x 0  x)  f ( x 0 )  0 .
y
Рассмотрим x> x0 .
Вычислим lim
0 .
x 0  0 x
Рассмотрим x< x0 .
Вычислим
y
0 .
x 0  0 x
lim
По условию, существует производная, а если существует, то
y
y
y
 lim
 lim
 0.
x 0 x
x 0  0 x
x 0  0 x
f ' ( x 0 )  lim
f ' ( x 0 )  0 , что и требовалось доказать.
Таким образом
Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что, если
функция f(x) дифференцируема в точке x 0 , то касательная к функции в
этой точке параллельна оси ОХ .
Y
y=f(x)
0
a
x0 b
X
Теорема 2. ( Ролля) Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b] и
при этом выполняются условия:
1) функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] ,
2) функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b) ,
3) значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b) .
Тогда существует точка c из (a,b), в которой производная данной
функции равна нулю, т.е. f’(c)=0 .
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [a,b], то она на
[a,b] принимает свое наибольшее и наименьшее значения:
35
 m – наименьшее значение,
 M - наибольшее значение.
Возможны 2 случая:
для x  a, b .
f(x)=const , f '(x)=0
1) m= M,
2) m<M.
Так как f(a) = f(b), то либо значение m либо значение M функция
принимает в (a,b). Тогда по теореме Ферма в этой точке производная равна нулю. Что и требовалось доказать.
Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что для
функции f(x), которая непрерывна на [a,b] и дифференцируема на (a,b) ,
имеет значения f(a) = f(b), будет существовать такая точка внутри [a,b], в
которой касательная будет параллельна оси ОХ.
Y
y=f(x)
0
a
c
b
X
Теорема 3. (Лагранжа) Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]
причем выполняются условия:
1) функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b],
2) функция f(x) дифференцируема на интервале (a,b).
Тогда существует точка c из (a,b), для которой выполняется следующее
равенство
f (b)  f (a)
.
f ' (c ) 
ba
Доказательство. Рассмотрим на отрезке [a,b] вспомогательную функцию
f (b)  f (a)
* ( x  a) , где
ba
F(x) – удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:
1) F(x) - непрерывна на [a,b], как разность двух непрерывных функций.
2) F(x) - дифференцируема на (a,b), как разность двух дифференцируемых функций.
f (b)  f (a)
.
F ' ( x)  f ' ( x) 
ba
3) F(a)= F(b)
, т.к. F(a)=0 и F(b)=0 .
F ( x)  f ( x)  f (a ) 
36
Тогда по теореме Ролля существует точка
производная равна нулю
f (b)  f (a)
0 ,
ba
что и требовалось доказать.
F ' (c )  f ' ( c ) 
c
из (a,b), в которой
f ' (c ) 
f (b)  f (a)
,
ba
Геометрический смысл теоремы Лагранжа.
Y
B
A
N
a
c
b
X
Из теоремы следует, внутри интервала (a,b) существует такая точка
c, касательная графика функции в которой будет параллельна секущей AB.
f ' (c ) 
f (b)  f (a)
,
ba
tgA 
f (b)  f (a)
 K AB ,
ba
f'(c) = KAB.
Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b],
дифференцируемы на интервале (a,b) и, кроме того, производная
функции g(x) отлична от нуля, тогда внутри интервала (a,b) существует такая точка c, в которой выполняется следующее равенство
f ' (c) f (b)  f (a)
.

g ' (c) g (b)  g (a)
Доказательство. Покажем, что для функции g(x) выполняется следующее условие g (a)  g (b) .
Имеет смысл следующее, если бы g(a)=g(b), то функция g(x) удовлетворила бы всем условиям теоремы Ролля, и тогда, по теореме Ролля,
существовала бы такая точка c, в которой производная g(x) равнялась бы
нулю.
Рассмотрим вспомогательную функцию
F ( x)  f ( x)  f (a ) 
f (b)  f (a)
* ( g ( x)  g (a))
g (b)  g (a)
Данная функция удовлетворяет всем трем условиям теоремы Ролля
1) F(x) непрерывна на отрезке [a,b], как разность двух непрерывных
функций.
37
2) F(x) дифференцируема на интервале (a,b), как разность двух дифференцируемых функций.
f (b)  f (a)
.
F ' ( x)  f ' ( x)  g ' ( x) *
g (b)  g (a)
3) F(a)= F(b)
,т.к. F(a)=0
и
F(b)=0.
Тогда по теореме Ролля существует
F'(c) = 0 и тогда:
f (b)  f (a)
f ' (c) f (b)  f (a )
f (c )  g (c ) *
0 '

,
g (b)  g (a )
g (c) g (b)  g (a )
'
'
что и требовалось доказать.
4.2 Правило Лопиталя.
Это правило применяется для раскрытия неопределенностей при вычислении пределов.
1) Раскрытие неопределенности вида
0/0.
Теорема. Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют следующим условиям:
1) Они определены и непрерывны в некоторой окрестности точки x0.
g ' ( x )  0 , g ( x)  0 .
Также в этой окрестности
lim f ( x)  0 , lim g ( x)  0 .
2) Существуют пределы функций:
3) Существует предел
lim
Тогда существует предел
x  x0
f ' ( x)
x  x0
K .
x  x0
g ' ( x)
lim
f ( x)
K .
g ( x)
x  x0
Доказательство. Доопределим функции f(x) и g(x) в точке x0 таким образом, что f ( x 0 )  g ( x 0 )  0 .
На интервале (x0 , x) для функций f(x) и g(x) выполняются все условия теоремы Коши, поэтому
f ( x)  f ( x0 ) f ' (c)

g ( x)  g ( x0 ) g ' (c)
;
c  ( x0 , x)
;
f ( x ) f ' (c )

.
g ( x ) g ' (c )
Вычислим пределы от обеих частей данного равенства:
38
f ( x)
f ' (c )
f ' (c )
f ' ( x)
lim
 lim '
 lim '
 lim '
 K , c  ( x0 , x) , c  x0 ,
x  x0 g ( x )
x  x0 g (c )
c  x0 g ( c )
x  x0 g ( x )
что и требовалось доказать.
Пример.
(ln cos x) '
ln cos x  0 
1
lim
    lim

lim
(
* ( sin x))  lim (tgx)  0 .
x 0
x 0 cos x
x 0
x
 0  x 0 ( x ) '
Замечания.
1) Правило Лопиталя к одному и тому же пределу можно применять повторно.
2) Если получается предел К =  , то правило Лопиталя можно применять.
3) Правило Лопиталя можно применять, также если x стремится к  :
f ( x)
f ' ( x)
lim
 lim '
;
x  g ( x)
x  g ( x )
 1
 1  1 
 1
f 
f '  * 2 
f ' 
f ( x)
f ' ( x)
1
1
t
t  t 
t
lim
 x  , t   lim
 lim
 lim
 lim
.
x  g ( x )
t
x t 0  1  t 0 '  1   1  t 0 '  1  x  g ' ( x )
g 
g   * 2 
g 
t
t  t 
t

4.3 Раскрытие неопределенности   .


Если возникает при вычислении предела неопределенность   , то

можно применить правило Лопиталя, т.к. будет справедлива теорема, доказанная в предыдущем подразделе.
Пример.
ln x   
1
lim
    lim  0 ;
x  x
   x  x
ex
lim
 lim e x   .
x  x
x 
   
4.4 Раскрытие неопределенностей вида    , ,0 , 1 , 0  ,  0
При вычислении пределов неопределенности одного вида можно
свести к неопределенностям другого вида.
Примеры:
sin x 
 1

 1
 1  sin x   0 
 tgx        lim 

 lim 
1) lim 

 


cos x  x   cos x   0 

x   cos x
x   cos x
2
2
2
39
  cos x   0 
 lim 
 0 .
  sin x
 1
x 
2
2)
1
ln x   
x   lim x  0 .
lim x * ln x   0 *    lim
    lim
x 0  0
x 0 1
x

0
x 0
 1

 2 
x
 x 
3)
lim x x  00  lim e x*ln x  e
3)
 
x 0
1
lim  
x 0 x 
поскольку
tgx
( lim( x*ln x ))
x 0
x 0
   lim e
 
0
1
ln  
 x
x 0
 e0  1 .
tgx
 lim e
x 0
1
tgx *ln  
 x
 lim e tgx*(  ln x )  e 0  1 ,
x 0
1
ln x   
sin 2 x 0
x
 lim tgx * ln x   0 *     lim
    lim
 lim
 
x 0
x  0 ctgx
x 0
x
0
   x 0 1
2
sin x
2 * sin x * cos x
  lim
 0.
x 0
1
4.5 Условие постоянства функций на промежутке
Теорема. Если функция f(x) дифференцируема на некотором интервале
(a,b) и внутри данного интервала производная функции равна нулю, то на данном интервале функция f(x) будет неизменной, т.е.
f(x)=const .
Доказательство. Пусть x, x 0  (a, b) , тогда на интервале ( x, x 0 ) для
функции f(x) выполняются все условия теоремы Лагранжа и будет существовать точка c(x0,x), в которой
f ' (c ) 
f ( x)  f ( x 0 )
,
x  x0
f ( x)  f ( x 0 )  0 ,
f ( x )  f ( x 0 )  f ' (c ) * ( x  x 0 )  0 ,
f ( x)  f ( x 0 )  f ( x)  const .
Теорема доказана.
4.6 Возрастание и убывание функции
Пусть дана f(x) на (a, b) .
Определения. 1) f(x) называется возрастающей на интервале (a,b), если
для любых значений x1, x2 из интервал (a,b), для которых выполняется неравенство x1<x2, будет следовать f(x1)<f(x2).
40
2) f(x) называется убывающей на интервале (a,b), если для
любых значений x1, x2 из интервал (a,b), для которых выполняется неравенство x1<x2, будет следовать f(x1)>f(x2).
Теорема 1. ( Достаточное условие возрастания (убывания) функции на
интервале).
Если всюду в интервале (a,b) производная f ' ( x )  0 ( f ' ( x)  0) , то
функция f(x) возрастающая (убывающая) на этом интервале.
Доказательство. Рассмотрим первый случай. Пусть на интервале (a,b)
f ' ( x )  0 . x1 , x 2  (a, b) рассмотрим отрезок [x1,x2] . На этом
отрезке выполняются все условия теоремы Лагранжа для функции
f(x).
c  ( x1 , x 2 ) , f ( x 2 )  f ( x1 )  f ' (c) * ( x 2  x1 ) ,
( x 2  x1 )  0 , f ( x 2 )  f ( x1 )  0  f ( x 2 )  f ( x1 ) ,
откуда следует, что f(x) возрастает на (a,b).
Теорема доказана.
Данное условие не является необходимым для возрастания и убывания
функции на промежутке.
Пример. На интервале (-1;1) существует y=x3 . y' = 3*x2 .
В точке x=0 y'(0)=0. Функция возрастает.
Y
y=x3
0
X
Теорема 2. (Необходимое условие возрастания и убывания функции).
Если функция f(x) возрастает (или убывает) на интервале (a,b), то
ее производная на этом интервале
f ' ( x )  0 , ( f ' ( x )  0) .
Доказательство. Пусть функция f(x) возрастает на интервале (a,b).
x1 , x 2  (a, b) , x1  x 2  f ( x1 )  f ( x 2 ) ,
41
f ( x 2 )  f ( x1 )
 0;
x 2  x1
Теорема доказана.
lim
x2  x1
f ( x 2 )  f ( x1 )
y
 0; lim
 0; f ' ( x)  0.
x 0 x
x 2  x1
Определение. Интервалы возрастания (или убывания) функции называются интервалами монотонности функции.
( x  1) 2
y
.
x 1
Пример. Рассмотрим функцию
Область определения функции
y' 
2 * ( x  1) * ( x  1)  ( x  1) 2
( x  1) 2
x  (;1)  (1;) .

( x  1) * (2 * x  2  x  1)
( x  1) 2

( x  1) * ( x  3)
( x  1) 2
 0.
y '  0 при x  (,1)  (3, ) ,
y '  0 при x  (1,3) .
+
-1
+1
+
y’
+3
x
4.7 Точки экстремума функции.
Определение. Функция f(x) во внутренней точки области определения x0
имеет точку максимума (минимума), если найдется окрестность
точки x0, в которой значение функции f(x0) будет наибольшим
(наименьшим) значением, т.е.
f ( x 0 )  f ( x)
(для максимума),
f ( x 0 )  f ( x)
(для минимума).
Точки максимума и минимума называют точками экстремума, а значения функции в точке экстремума, называют максимумом или минимумом функции.
Y
0
x1
x2
x3
x4
На отрезке может быть несколько экстремумов.
x5
X
42
Теорема 1. (Необходимое условие экстремума).
Если функция f(x) имеет в точке x0 экстремум, то она в этой точке
либо не дифференцируема, либо ее производная равна нулю.
Доказательство: Пусть точка x0 – точка экстремума. В этой точке функция дифференцируема. Так как эта точка – точка экстремума, то
значение функции в этой точке наибольшее (наименьшее)
Тогда по теореме Ферма f '(x0) = 0 , что и требовалось доказать.
Пример.
Y
y=|x|
0
X
В точке x = 0 функция не дифференцируема.
Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то касательная к графику функции в этой точке будет параллельна оси ОХ.
Определение. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называются критическими точками.
Теорема 2. (Достаточное условие существования максимума и минимума
функции).
Пусть функция f(x) имеет точку x0, которая является критической
для данной функции, и в этой точке функция непрерывна, тогда,
 если при переходе через точку x0, производная меняет знак “+” на
“-” то в этом случае точка x0 – точка максимума;
 если же при переходе через точку x0, производная меняет знак “-” на
“+” то в этом случае (.) x0 – точка минимума.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда при переходе f(x) меняет знак
с “+” на “-” . Возьмем точку x  x 0 , тогда на отрезке между x
и x 0 для f(x) выполняются все условия теоремы Лагранжа
f ( x)  f ( x0 )  f ' (c) * ( x  x0 ) .
Если x  x 0 , то производная функции в точке c
a f ( x)  f ( x 0 ) .
f ' (c )  0 ,
При x  x 0 , f ' (c)  0  f ( x)  f ( x 0 )  0 ,
откуда x 0 - точка максимума, что и требовалось доказать.
43
Пример. y 
2* x3
; Область определения x  (;2)  (2;2)  (2;) .
x2  4
2 * 3 * x 2 * ( x 2  4)  2 * x * 2 * x 3
'
y 

( x 2  4) 2

2 * x 2 * (3 * x 2  12  2 * x 2 )
( x 2  4) 2
x  2 * 3 ,
x0 ,

2 * x 2 * ( x 2  12)
( x 2  4) 2
0 ,
y’=0.
x  2 * 3 .
x  2 * 3
-
точка максимума,
x  2 * 3
-
точка минимума.
y’
+
-
-
-
-
+
x
-2* 3
-2
0
+2 +2* 3
4.8 Наибольшее значение и наименьшее значение функции на отрезке
Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она на этом отрезке принимает свое наибольшее и наименьшее значение.
Наибольшее и наименьшее значения функция может принимать либо
в точках экстремума, либо на концах отрезка, поэтому для отыскания
наибольшего и наименьшего значений нужно вычислить значения функции на концах отрезка и в точках экстремумов, или в критических точках.
Из найденных таким образом значений выбираем наибольшее (наименьшее).
Пример. y  x 3  3 * x 2  4 на
[-1,4].
f(0) = -4 ; f(-1) = -8; f(2) = - 8; f(4) = 12 .
D(y) = R;
y '  3 * x 2  6 * x  3 * x * ( x  2) .
y' = 0 , при x = 0 или x = 2.
Наибольшее значение y = 12, наименьшее - y = -8.
4.9 Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба.
Рассмотрим f(x) дифференцируемую на (a,b).
44
Определение. График функции f(x) называется выпуклым (вогнутым), если он расположен не выше (не ниже) любой касательной к графику функции на интервале (a,b).
Y
f(x)
Y
выпукл.
Вогнут.
f(x)
X
0
a
b
X
0
a
b
Теорема 1. (Достаточное условие выпуклости и вогнутости.)
Если f(x) на интервале (a,b) имеет вторую производную, которая
больше нуля f''(x)>0 (меньше нуля f''(x)<0 ) , то график функции f(x) на
интервале (a,b) вогнутый (выпуклый).
Y
N f(x)
M
А
X
a x0
x b
Доказательство: Пусть f'' (x)>0 на (a;b) . Сравним ординаты точек
M и N . Точка M лежит на касательной.
Уравнение касательной y  f ( x 0 )  f ' ( x 0 ) * ( x  x 0 ) .
Точка M ( x, y ) , точка N ( x, y) , y  f (x) .
  y  y   f ( x0 )  f ' ( x0 ) * ( x  x0 )  f ( x) .
На ( x 0 , x) для
f (x) выполняются все условия теоремы Лагранжа:
f ( x)  f ( x 0 )  f ' (c) * ( x  x 0 ) , где точка c  ( x 0 , x) .
  f ' (c) * ( x  x0 )  f ' ( x0 ) * ( x  x0 )  ( x  x0 ) * ( f ' (c)  f ' ( x0 )) .
Поскольку
а из
f '' ( x)  0  f ' ( x) возрастает на (a, b) ,
x  x0 , c  x0 , f ' (c)  f ' ( x0 )    NA  MA  0
и отсюда
график f (x) вогнут.
Теорема доказана.
Определение. Точка М с координатой x 0 называется точкой перегиба для
графика функции f(x) , если в точке М график имеет касательную
и существует такая окрестность точки x 0 , в которой график
функции f(x) имеет слева и справа от точки x 0 разные направления выпуклости.
45
Теорема 2. (Достаточное условие существования точки перегиба.)
Пусть функция y = f(x) имеет вторую производную в некоторой
окрестности точки x 0 , тогда, если в пределах указанной окрестности вторая производная от функции имеет разные знаки слева и справа от точки
x 0 , то точка x 0 является точкой перегиба графика.
Доказательство. По условию слева и справа от точки x 0 производная
имеет разные знаки, а это означает по теореме 1, что слева и
справа от точки x 0 для графика функции направление выпуклости будет разное, следовательно x 0 – точка перегиба.
Что и требовалось доказать.
Пример. Найти точки перегиба
y  x 3  3 * x 2  2 , D( y )  R .
y '  3 * x 2  6 * x , y ''  6 * x  6 ,
6*x – 6 = 0
Из равенства
следует
y’’=0 .
x = 1.
y''

+
1
X
x = 1 – точка перегиба. График функции выпуклый на (;1) , вогнутый на (1;) .
4.10 Асимптоты для графиков функций
При исследовании поведения функции на бесконечности и вблизи
точек разрыва 2-го рода график функции часто сколь угодно близко приближается к той или иной прямой, которую называют асимптотой.
Существует три вида асимптот:
 вертикальные,
 горизонтальные,
 наклонные
Определение. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой для графика функции f(x), если при x  a  0 или при x  a  0
функция f(x) будет бесконечно большой.
lim f ( x)   .
xa  0
Определение. Прямая y=b называется вертикальной асимптотой для графика функции f(x), если предел
lim f ( x)  b .
x  
46
Определение. Прямая y=k*x+b , где k отлично от нуля называется
наклонной асимптотой для графика функции f(x), если при
x   функция f(x)= k*x+b +  (x) , где  (x) - бесконечно
малая функция (б.м.ф.).
1
,
x3 .
x3
x  3 - вертикальная асимптота, т.к.:
1
1
lim
 ;
lim
 ;
x 3  0 x  3
x 3  0 x  3
y  0 - горизонтальная асимптота, т.к.:
1
lim
0 .
x  x  3
y
Пример.
Теорема. (необходимое и достаточное условия существования наклонной
асимптоты).
Для того, чтобы график функции f(x) имел при x   наклонную асимптоту y=k*x+b
1) необходимо, чтобы выполнялись следующие условия
f ( x)
 k ; lim ( f ( x)  k * x)  b .
x  
x 
x
2) достаточно, чтобы lim ( f ( x)  k * x)  b при некотором k .
lim
x  
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть график функции f(x) имеет наклонную асимптоту y=k*x+b,
тогда по определению наклонной асимптоты при x   функция f(x)
представима в виде
f(x)= k*x+b +  (x) ,
Вычислим
lim
x  
где  (x) - б.м.ф..
f ( x)
k * x  b   ( x)
b  ( x) 

 lim
 lim  k  
k ;
x  
x  
x
x
x
x 
lim ( f ( x)  k * x)  lim (k * x  b   ( x)  k * x)  lim (b   ( x))  b .
x  
x  
x  
2. Достаточность.
Пусть для некоторого числа k  0 выполняется равенство
lim ( f ( x)  k * x)  b .
x  
Тогда, используя для x   необходимое и достаточное условие существования предела функции
f(x) - k*x = b +  (x) ,
где  (x) - б.м.ф.,
47
получим f(x)= k*x+b +  (x) .
Это означает, что прямая y=k*x+b является наклонной асимптотой при
x   , что и требовалось доказать.
x2  2 * x 1
;
y
x 1
Пример:
x 1 ,
D( y)  R \ 1 .
x2  2 * x 1
1. x  1 - вертикальная асимптота, т.к. lim
  .
x 1 0
x 1
f ( x)
x2  2 * x 1
2* x  2 
2. y  k * x  b ; k  lim
 lim
 lim
 
x  
x  
x  2 * x  1
x
x * ( x  1)

2
2
x  2 1 .
 lim
x  
1 2
2
x
 x2  2 * x 1

3* x 1
b  lim ( f ( x)  k * x)  lim 
 1 * x   lim
3 .
x  
x  
x   x  1
x

1


- наклонная асимптота.
Горизонтальной асимптоты нет (т.к. горизонтальная асимптота – это
частный случай наклонной при k = 0.).
y=x+3
4.11 Схема исследования функций
1. D(y) - область определения.
2. Непрерывность функции, точки разрыва.
3. Асимптоты.
4. Четность, нечетность, периодичность.
5. Возрастание, убывание функции, точки экстремумов.
6. Интервалы выпуклости, вогнутости, точки перегиба.
7. Точки пересечения с осями координат. Дополнительные точки.
8. Построение графика.
y
Пример:

 
x3
3  x2
1. D( y )   ; 3  
.
 

3; 3   3; , так как 3  x 2  0  x   3 .
2. Данная функция непрерывна во всей области определения, как частное
двух непрерывных функций.
Точки разрыва
x 3 ;
48
lim
x 3 0
x3
3  x2
x 3
Откуда
  ,
x3
lim
x 3 0
3  x2
  ,
- точки разрыва второго рода.
3. x   3
- вертикальные асимптоты.
yk*xb
- наклонная асимптота.
f ( x)
x3
x2
k  lim
 lim
 lim
 1 ,
x  
x   (3  x 2 ) * x
x   3  x 2
x
 x3

x3  3 * x  x3
3* x
3
  lim
b  lim 

(

1
)
*
x

lim

lim
 0.
2
 x 
x   3  x 2
x   3  x 2
x   2 * x
3

x


Таким образом y = -x - наклонная асимптота.
Горизонтальных асимптот нет.
4. Если f(-x)=f(x) – функция четная, график симметричен относительно
оси “0Y”
Если f(-x)= - f(x) – функция нечетная, график симметричен относительно точки 0(0,0).
 x3
  f ( x) , поэтому исследуемая в
В нашем случае f ( x) 
3  x2
данном примере функция нечетная, график симметричен относительно
точки 0(0,0).
Функция непериодическая.
5.
y 
'
3 * x 2 * (3  x 2 )  x 3 * (2 * x)
(3  x 2 ) 2

9 * x2  x4
(3  x 2 ) 2

x 2 * (9  x 2 )
(3  x 2 ) 2
.
x 2 * (9  x 2 )  0  x 2  0  x1  0 ; 9  x 2  0 ; x 2  9  x1, 2  3 .
В точках x   3 производная не определена, т.к. (3  x 2 )  0 .
y'

+
-3  3
+
+
0  3

+
x
+3
Таким образом x min  3 , x max  3 , y min 
 27
27
 4.5 , y max 
 4.5 .
6
6
49
18 * x  4 * x * 3  x   2 * 3  x * (2 * x) * 9 * x

2 2
3
6.

y
''
2
(3  x 2 ) 4
2 * x * (27  9 * x 2  6 * x 2  2 * x 4  18 * x 2  2 * x 4 )
(3  x 2 ) 3

2
 x4

2 * x * (3 * x 2  27 )
(3  x 2 ) 3
при x   3 y'' не определена.
y'' =0 при x1 = 0 .
Таким образом, для y''

+
 3
+

0  3
y''
Следовательно,
x .
x=0, y(0)=0 - точка перегиба.
7. Пересечения с осями координат.
Точка пересечения с осью OX: y 
x3
 0  x  0.
3  x2
Точка пересечения с осью OY: y  0 , x  0 , также точка (0,0).
8. График функции можем построить в результате проведенного анализа.
Y
вертикальные асимптоты
+ 4,5
X
-3  3
0
 3
+3
наклонная асимптота
- 4,5
;
50
4.12 Приложение исследования функций в экономике.
1. Экономическая интерпретация теоремы Ферма.
Один из базовых законов теории производства звучит так:
“Оптимальный для производителя уровень выпуска товаров определяется
равенством предельных издержек и предельного дохода, т.е. уровень товара x0 будет оптимальным для производителя, если выполняется следующее равенство
MC ( x 0 )  MR ( x 0 ) 
предельные издержки = предельный доход.
Рассмотрим функцию прибыли
D( x )  R ( x )  C ( x ) .
Оптимальным уровень товара будет в том случае, когда функция D(x)
имеет максимум.
D ' ( x0 )  R ' ( x0 )  C ' ( x0 )  0 ,
По теореме Ферма
MC ( x 0 )  MR ( x 0 ) .
откуда
Другое важное понятие теории производства – это уровень наиболее
экономичного производства, при котором средние затраты по производству товара минимальны. Соответствующий экономический закон гласит
так:
Уровень наиболее экономичного производства определяется равенством средних и предельных издержек. Этот закон может быть получен
по теореме Ферма.
C ( x)
(Средние издержки).
AC ( x) 
x
Минимум данной функции достигается в критической точке x 0 .
AC ( x 0 ) 
'
откуда
C ' ( x0 ) * x0  C ( x0 )
C ' ( x0 ) 
x0
2
C ( x0 )
;
x0
 0  C ' ( x0 ) * x 0  C ( x 0 )  0;
MC ( x 0 )  AC ( x 0 ) .
2. Понятие выпуклости в экономике.
Закон убывающей доходности.
С увеличением производства дополнительная продукция, полученная
на каждую новую единицу ресурса, с некоторого момента начинает убывать.
y
,
Иными словами величина, равная
x
где x – приращение ресурса,
51
y - приращение выпуска продукции,
уменьшается при увеличении x.
Таким образом закон убывающей производительности звучит следующим образом: «Функция равная f(x) , выражающая зависимость выпуска продукции от некоторого вложенного ресурса,
является выпуклой.»
113
СОДЕРЖАНИЕ.
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ПРЕДЕЛ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ...................................................................... 3
1.1 Модуль числа и его свойства. .............................................................. 3
1.2 Числовые последовательности............................................................. 3
1.3 Свойства пределов. Необходимые и достаточные условия
существования предела последовательности. .................................. 6
1.4 Число e. ................................................................................................... 8
1.5 Применение числа e в экономике. ....................................................... 9
2 ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. ..................................................... 10
2.1 Понятие функции. ............................................................................... 10
2.2 Примеры экономических функций. ................................................... 10
2.3 Способы задания функций. ................................................................ 10
2.4 Элементарные функции. ..................................................................... 11
2.5 Предел функции в точке. .................................................................... 11
2.6 Односторонние пределы функции (правый и левый предел
функции). .............................................................................................. 12
2.7 Предел функции на бесконечности. .................................................. 14
2.8 Теоремы о пределах функции. ........................................................... 14
2.9 Бесконечно малые и бесконечно большие функции. ...................... 15
2.10 Первый замечательный предел .......................................................... 16
2.11 Второй замечательный предел. .......................................................... 17
2.12 Непрерывность функции. ................................................................... 19
2.13 Классификация точек разрыва. .......................................................... 20
3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ. ......................................................................................... 23
3.1 Производная. ........................................................................................ 23
3.2 Геометрический смысл производной. ............................................... 23
3.3 Применение производных в экономике. ........................................... 24
3.4 Дифференцируемость функции ......................................................... 25
3.5 Основные правила дифференцирования ........................................... 26
3.6 Производные тригонометрических функций
и логарифмической функции.............................................................. 27
3.7 Производная от обратной функции. .................................................. 28
3.8 Вычисление производных от показательной функции
и обратных тригонометрических функций. ...................................... 28
3.9 Производная от сложной функции. ................................................... 29
3.10 Производная от показательно-степенной функции. ........................ 30
3.11 Таблица основных производных. ...................................................... 30
3.12 Производная от функции, заданной параметрически. .................... 31
3.13 Дифференциал функции ..................................................................... 32
3.14 Производные и дифференциалы высших порядков. ....................... 33
1
114
4
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ
ФУНКЦИЙ. .................................................................................................. 34
4.1 Основные теоремы дифференциального исчисления...................... 34
4.2 Правило Лопиталя. .............................................................................. 37
4.3

Раскрытие неопределенности   . ................................................. 38

 
Раскрытие неопределенностей вида    , ,0  , 1 ,
0  ,  0 .............................................................................................. 38
4.5 Условие постоянства функций на промежутке ................................ 39
4.6 Возрастание и убывание функции ..................................................... 39
4.7 Точки экстремума функции................................................................ 41
4.8 Наибольшее значение и наименьшее значение функции
на отрезке .............................................................................................. 43
4.9 Интервалы выпуклости и вогнутости. Точки перегиба. ................. 43
4.10 Асимптоты для графиков функций ................................................... 45
4.11 Схема исследования функций ............................................................ 47
4.12 Приложение исследования функций в экономике. .......................... 50
4.4
  