5 класс, серия нс-1, как будто на турнире

5 класс, серия нс-1, как будто на турнире
5 класс, серия нс-1, как будто на турнире
1. В коробке лежат цветные шарики. Вася сказал: «В коробке есть синий шарик.» Коля
сказал: «В коробке есть зелёный шарик.» Петя сказал: «В коробке есть синий и зелёный
шарики.» Миша сказал: «В коробке есть два зелёных шарика.» Известно, что трое ребят
сказали правду, а один — неправду. Сколько зелёных шариков в коробке?
1. В коробке лежат цветные шарики. Вася сказал: «В коробке есть синий шарик.» Коля
сказал: «В коробке есть зелёный шарик.» Петя сказал: «В коробке есть синий и зелёный
шарики.» Миша сказал: «В коробке есть два зелёных шарика.» Известно, что трое ребят
сказали правду, а один — неправду. Сколько зелёных шариков в коробке?
2. У мастера есть лист жести 23×35. Он хочет разрезать его на куски 5×7 так, чтобы не
осталось отходов. Сколько получится кусков и сколько есть вариантов разрезания?
2. У мастера есть лист жести 23×35. Он хочет разрезать его на куски 5×7 так, чтобы не
осталось отходов. Сколько получится кусков и сколько есть вариантов разрезания?
3. а) Вася решил расставить на шахматной доске 15 коней так,
чтобы каждый конь бил ровно одного из оставшихся. Удастся ли
Васе это сделать? б) А удастся ли ему расставить 15 коней так,
чтобы каждый бил ровно двух других?
3. а) Вася решил расставить на шахматной доске 15 коней так,
чтобы каждый конь бил ровно одного из оставшихся. Удастся ли
Васе это сделать? б) А удастся ли ему расставить 15 коней так,
чтобы каждый бил ровно двух других?
4. а) На следующий день Вася решил попробовать расставить на шахматной доске 16
коней. Удастся ли Васе так их расставить, чтобы каждый конь бил ровно одного из оставшихся? б) А так, чтобы каждый конь бил ровно двух других?
4. а) На следующий день Вася решил попробовать расставить на шахматной доске 16
коней. Удастся ли Васе так их расставить, чтобы каждый конь бил ровно одного из оставшихся? б) А так, чтобы каждый конь бил ровно двух других?
5. В Таниной квартире имеется 8 розеток, 21 тройник и неограниченный запас ноутов.
Какое наибольшее число ноутов Таня может включить в сеть одновременно?
5. В Таниной квартире имеется 8 розеток, 21 тройник и неограниченный запас ноутов.
Какое наибольшее число ноутов Таня может включить в сеть одновременно?
6. В лагерь приехали мальчики и девочки. У каждого ребенка ровно один знакомый
мальчик и ровно одна знакомая девочка. Докажите, что число детей делится на 4.
6. В лагерь приехали мальчики и девочки. У каждого ребенка ровно один знакомый
мальчик и ровно одна знакомая девочка. Докажите, что число детей делится на 4.
7. Квадрат со стороной 5 разрезан на 2 прямоугольника. Докажите, что хотя бы у одного
прямоугольника периметр больше площади.
7. Квадрат со стороной 5 разрезан на 2 прямоугольника. Докажите, что хотя бы у одного
прямоугольника периметр больше площади.
8. Магараджа — это фигура, которая бьёт и как ферзь, и как конь. Какое наибольшее
количество магараджей, не бьющих друг друга можно поставить на доску 79?
8. Магараджа — это фигура, которая бьёт и как ферзь, и как конь. Какое наибольшее
количество магараджей, не бьющих друг друга можно поставить на доску 79?
9. Десять школьников посылали в течении вечера sms-ки друг другу. Каждый послал
sms-ки ровно пяти другим школьникам. Какое наибольшее число школьников могло не
получить ни одной sms-ки?
9. Десять школьников посылали в течении вечера sms-ки друг другу. Каждый послал
sms-ки ровно пяти другим школьникам. Какое наибольшее число школьников могло не
получить ни одной sms-ки?
10. Числа от 1 до 9 расставлены в каком-то порядке в квадрате 3×3 таким образом, что
числа в соседних по стороне клетках отличаются не меньше, чем на n. Найдите наибольшее возможное значение числа n.
10. Числа от 1 до 9 расставлены в каком-то порядке в квадрате 3×3 таким образом, что
числа в соседних по стороне клетках отличаются не меньше, чем на n. Найдите наибольшее возможное значение числа n.
5 класс, серия нс-2, комби четная
5 класс, серия нс-2, комби четная
11. Сколькими способами можно в классе, где 12 девочек и 12 мальчиков, выбрать
а) пару для участия в конкурсе бальных танцев? б) команду из двух мальчиков? в)
команду их трех девочек?
11. Сколькими способами можно в классе, где 12 девочек и 12 мальчиков, выбрать
а) пару для участия в конкурсе бальных танцев? б) команду из двух мальчиков? в)
команду их трех девочек?
12. Сколько всего 6-значных чисел a) без единиц в записи. b) по крайней мере с одной единицей в записи.
12. Сколько всего 6-значных чисел a) без единиц в записи. b) по крайней мере с одной единицей в записи.
13. Сколько существует семизначных чисел, у которых a) все цифры разные b) любые две соседних цифры разные c) есть две одинаковых цифры.
13. Сколько существует семизначных чисел, у которых a) все цифры разные b) любые две соседних цифры разные c) есть две одинаковых цифры.
14. Сколько способов рассадить 5 мужчин и 5 женщин за круглым столом так, чтобы
мужчины и женщины чередовались?
14. Сколько способов рассадить 5 мужчин и 5 женщин за круглым столом так, чтобы
мужчины и женщины чередовались?
15. Можно ли из 2014 квадратиков сложить фигуру с периметром 2013? Квадратики
можно укладывать только по линиям сетки.
16. Можно ли из 2013 квадратиков сложить фигуру с периметром 2014? Квадратики
можно укладывать только по линиям сетки.
17. Набор домино выложили в ряд по правилам. На одном
конце цепочки – 5. Что на другом?
18. Из набора домино выкинули все кости с пустышками.
Можно ли оставшиеся выложить в ряд по правилам?
19. Четверо рыбаков поймали 100 карпов и хотят разделить их поровну, многократно повторяя следующее действие. За ход рыбак
может дать по карпу двум другим рыбакам (если у него
есть хотя бы два карпа). Всегда ли смогут рыбаки разделить карпов поровну вне зависимости от того,
сколько поймал каждый?
15. Можно ли из 2014 квадратиков сложить фигуру с периметром 2013? Квадратики
можно укладывать только по линиям сетки.
16. Можно ли из 2013 квадратиков сложить фигуру с периметром 2014? Квадратики
можно укладывать только по линиям сетки.
17. Набор домино выложили в ряд по правилам. На одном конце цепочки – 5. Что
на другом?
18. Из набора домино выкинули все кости с пустышками.
Можно ли оставшиеся выложить в ряд по правилам?
19. Четверо рыбаков поймали 100 карпов и хотят разделить их
поровну, многократно повторяя следующее действие.
За ход рыбак может дать по карпу двум другим рыбакам (если у него есть хотя бы два карпа). Всегда ли смогут рыбаки разделить карпов поровну вне зависимости
от того, сколько поймал каждый?
20. Можно ли покрасить каждое натуральное число в
синий, зелёный или красный цвет так, чтобы все три
цвета присутствовали и цвет суммы любых двух разноцветных чисел не совпадал с цветами слагаемых?
20. Можно ли покрасить каждое натуральное число в
синий, зелёный или красный цвет так, чтобы все три
цвета присутствовали и цвет суммы любых двух разноцветных чисел не совпадал с цветами слагаемых?
5 класс, серия нс-3, Малыш и Карлсон
5 класс, серия нс-3, Малыш и Карлсон
21. Малыш разрезал полоску, на которой было написано 36-значное число и получил кусочки, на которых оказались написаны все целые числа от 2003 до 2011. Докажите, что исходное число не было простым.
21. Малыш разрезал полоску, на которой было написано 36-значное число и получил кусочки, на которых оказались написаны все целые числа от 2003 до 2011. Докажите, что исходное число не было простым.
22. На острове живут два племени: малыши, которые всегда говорят правду, и
карлсоны, которые всегда лгут. 200 островитян выстроились в очередь и каждый
произнес фразу: «Передо мной стоит соплеменник того, кто стоит позади меня». Кто
стоит предпоследним в очереди —Малыш или Карлсон?
22. На острове живут два племени: малыши, которые всегда говорят правду, и
карлсоны, которые всегда лгут. 200 островитян выстроились в очередь и каждый
произнес фразу: «Передо мной стоит соплеменник того, кто стоит позади меня». Кто
стоит предпоследним в очереди —Малыш или Карлсон?
23. В чемпионате Бразилии по хоккею за победу дают 6 очков, за ничью 3 очка, а за
поражение 1 очко. 6 хоккейных команд сыграли однокруговой турнир и набрали
соответственно 22, 21, 17, 15, 14 и 12 очков. Сколько ничьих было в турнире?
23. В чемпионате Бразилии по хоккею за победу дают 6 очков, за ничью 3 очка, а за
поражение 1 очко. 6 хоккейных команд сыграли однокруговой турнир и набрали
соответственно 22, 21, 17, 15, 14 и 12 очков. Сколько ничьих было в турнире?
24. Сколько чисел, меньших 100 000, можно записать с помощью цифр 7, 6, 4?
Сколько среди них нечетных?
24. Сколько чисел, меньших 100 000, можно записать с помощью цифр 7, 6, 4?
Сколько среди них нечетных?
25. Число называется палиндромом, если оно одинаково читается как слева, так и
справа (например, число 2002 — палиндром, а 2011 — нет). Может ли разность
2013-значного и 2011-значного палиндромов быть 2012-значным палиндромом?
25. Число называется палиндромом, если оно одинаково читается как слева, так и
справа (например, число 2002 — палиндром, а 2011 — нет). Может ли разность
2013-значного и 2011-значного палиндромов быть 2012-значным палиндромом?
26. Каким наименьшим количеством слонов можно побить все граничные клетки
доски 6×6? (Считаем, что слон бьёт и клетку, на которой стоит.)
26. Каким наименьшим количеством слонов можно побить все граничные клетки
доски 6×6? (Считаем, что слон бьёт и клетку, на которой стоит.)
27. Могут ли у натуральных чисел k, 21k и 6k+5 наименьшие делители, отличные от
1, быть одинаковыми?
27. Могут ли у натуральных чисел k, 21k и 6k+5 наименьшие делители, отличные от
1, быть одинаковыми?
28. Дана таблица 6×6. Сколькими способами можно а) покрасить 4 её клетки в красный, зеленый, синий и желтый цвета? Б) сколькими способами можно покрасить 4
её клетки в черный цвет?
28. Дана таблица 6×6. Сколькими способами можно а) покрасить 4 её клетки в красный, зеленый, синий и желтый цвета? Б) сколькими способами можно покрасить 4
её клетки в черный цвет?
29. Малыш съел 1/4 часть ирисок и 1/5 часть карамелек, а фрёкен Бок — 1/4 часть ирисок и 1/5 часть шоколадных конфет. Сколько съел Карлсон, доподлинно никому неизвестно, но точно известно, что общее число
конфет уменьшилось ровно вдвое. Докажите, что
Карлсон съел не меньше трёх конфет.
29. Малыш съел 1/4 часть ирисок и 1/5 часть карамелек, а фрёкен Бок — 1/4 часть ирисок и 1/5 часть шоколадных конфет. Сколько съел Карлсон, доподлинно никому неизвестно, но точно известно, что общее число
конфет уменьшилось ровно вдвое. Докажите, что
Карлсон съел не меньше трёх конфет.
30. Малыш и Карлсон ели варенье. Сначала они съели запасы Малыша, разделив их
поровну, а потом Карлсон доел свои. Оказалось, что Карлсон съел в пять раз больше
Малыша. Во сколько раз запасы Малыша уступали запасам Карлсона?
30. Малыш и Карлсон ели варенье. Сначала они съели запасы Малыша, разделив их
поровну, а потом Карлсон доел свои. Оказалось, что Карлсон съел в пять раз больше
Малыша. Во сколько раз запасы Малыша уступали запасам Карлсона?
5 класс, серия нс-4, четность и разное
5 класс, серия нс-4, четность и разное
31. Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться 2013?
31. Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться 2013?
32. Можно ли разменять 125 тугриков на сорок купюр достоинством в 1, 3 и 5 тугриков?
32. Можно ли разменять 125 тугриков на сорок купюр достоинством в 1, 3 и 5 тугриков?
32. В вершинах куба расставлены числа: 7 нулей и одна единица. За один ход разрешается
прибавить по единице к числам в концах любого ребра куба. а) Можно ли добиться того,
чтобы все числа стали равными? б) Можно ли сделать так, чтобы все числа делились на 3?
32. В вершинах куба расставлены числа: 7 нулей и одна единица. За один ход разрешается
прибавить по единице к числам в концах любого ребра куба. а) Можно ли добиться того,
чтобы все числа стали равными? б) Можно ли сделать так, чтобы все числа делились на 3?
33. В магазине продают металлические буквы (цены не обязательно равны целому числу
рублей). Слово КОТ обойдётся в 15 рублей, РОТ — в 17 рублей, АУ — в 12 рублей, РУКА — в
21 рубль. Сколько стоит слово УРА?
33. В магазине продают металлические буквы (цены не обязательно равны целому числу
рублей). Слово КОТ обойдётся в 15 рублей, РОТ — в 17 рублей, АУ — в 12 рублей, РУКА — в
21 рубль. Сколько стоит слово УРА?
34. Есть 2013 шариков ровно четырёх цветов. Докажите, что их можно разложить в кучки по
3 штуки в каждой так, чтобы в каждой кучке либо все три шарика были
одинакового цвета, либо все три – разных цветов.
34. Есть 2013 шариков ровно четырёх цветов. Докажите, что их можно разложить в кучки по
3 штуки в каждой так, чтобы в каждой кучке либо все три шарика были
одинакового цвета, либо все три – разных цветов.
35. Жук попал в чернильницу, стоявшую на листе клетчатой бумаги. Потом он вылез и начал гулять по листу по сторонам клеток, оставляя за
собой след и в итоге приполз обратно в чернильницу. Докажите, что
длина нарисованной жуком ломаной – четная (сторона клетки равна 1).
35. Жук попал в чернильницу, стоявшую на листе клетчатой бумаги. Потом он вылез и начал гулять по листу по сторонам клеток, оставляя за
собой след и в итоге приполз обратно в чернильницу. Докажите, что
длина нарисованной жуком ломаной – четная (сторона клетки равна 1).
36. Найдите десятизначное число, делящееся на 11111, все цифры которого различны.
36. Найдите десятизначное число, делящееся на 11111, все цифры которого различны.
37. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, малыш
– за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих.
Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя.
Светить издали нельзя, Носить друг друга на руках нельзя)
37. Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама – за 2, малыш
– за 5, а бабушка – за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих.
Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей из их скоростей. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя, Носить друг друга на
руках нельзя)
38. В клетчатом квадрате 55 в клетках одной из
главных диагоналей стоят единички, а в остальных клетках – нули. В любой из строк или столбцов этого квадрата можно поменять все единички на нули и наоборот. Можно ли за несколько таких операций получить квадрат, во всех
клетках которого стоят одни нули?
38. В клетчатом квадрате 55 в клетках одной из
главных диагоналей стоят единички, а в остальных клетках – нули. В любой из строк или столбцов этого квадрата можно поменять все единички на нули и наоборот. Можно ли за несколько таких операций получить квадрат, во всех
клетках которого стоят одни нули?
39. n рыцарей из двух враждующих стран сидят за круглым столом. Число пар соседей-друзей равно числу пар соседей-врагов. Доказать, что n кратно 4.
39. n рыцарей из двух враждующих стран сидят за круглым столом. Число пар соседей-друзей равно числу пар соседей-врагов. Доказать, что n кратно 4.
40. За круглым столом сидят представители четырех племен:
люди, гномы, эльфы и гоблины, всего 2013 представителей.
Известно, что люди никогда не сидят рядом с гоблинами, а
эльфы - рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одного племени сидят рядом
40. За круглым столом сидят представители четырех племен:
люди, гномы, эльфы и гоблины, всего 2013 представителей.
Известно, что люди никогда не сидят рядом с гоблинами, а
эльфы - рядом с гномами. Докажите, что какие-то два представителя одного племени сидят рядом.
5 класс, серия нс-5, Чип и Дейл спешат
5 класс, серия нс-5, Чип и Дейл спешат
41. Из числа 1001 вычли его наименьший из его делителей, больших 1. С полученной разностью проделали то же самое и т.д., пока не получился 0.
Сколько всего вычитаний было проделано?
41. Из числа 1001 вычли его наименьший из его делителей, больших 1. С полученной разностью проделали то же самое и т.д., пока не получился 0.
Сколько всего вычитаний было проделано?
42. Чип и Дейл бежали наперегонки. Чип весь путь бежал с одной и той же
скоростью, а Дейл первую половину пути бежал вдвое быстрее,
чем Чип, а вторую половину — вдвое медленней, чем Чип. Кто победил?
42. Чип и Дейл бежали наперегонки. Чип весь путь бежал с одной и той же
скоростью, а Дейл первую половину пути бежал вдвое быстрее, чем Чип,
а вторую половину — вдвое медленней, чем Чип. Кто победил?
43. Три бегуна — Чип, Дейл и Гаечка — участвуют в беге на 100 м. Когда Чип
финишировал, Дейл находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Дейл — Гаечка находилась позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Гаечка и Чип, когда Чип финишировал? (Предполагается, что все бегут с постоянными,
но, конечно, не равными скоростями.)
43. Три бегуна — Чип, Дейл и Гаечка — участвуют в беге на 100 м. Когда Чип
финишировал, Дейл находился в десяти метрах позади него, а когда финишировал Дейл — Гаечка находилась позади него в десяти метрах. На каком расстоянии друг от друга находились Гаечка и Чип, когда Чип финишировал? (Предполагается, что все бегут с постоянными,
но, конечно, не равными скоростями.)
44. Сколько существует номеров билетов (номер билета представляет из
себя шесть цифр, может начинаться с ноля) от 000 000 до 999 999, в записи
которых нет двух рядом стоящих одинаковых цифр?
44. Сколько существует номеров билетов (номер билета представляет из себя шесть цифр, может начинаться с ноля) от 000 000 до
999 999, в записи которых нет двух рядом стоящих одинаковых цифр?
45. Дана полоска из 6 клеток. Чип и Дейл по очереди записывают в клетки
цифры. Если полученное число делится на 91, то выигрывает Чип, если нет, то Дейл. Всегда
ли Чип сможет победить?
45. Дана полоска из 6 клеток. Чип и Дейл по очереди записывают в клетки
цифры. Если полученное число делится на 91, то выигрывает Чип, если нет, то Дейл. Всегда
ли Чип сможет победить?
46. а) На доске 25х25 Рокфор расставил 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что одна из
шашек расположена на диагонали. Б) Рокфор переставил шашки так,
чтобы теперь расстановка была симметрична относительно обеих
диагоналей. Докажите, что одна шашка стоит в центральной клетке.
46. а) На доске 25х25 Рокфор расставил 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что одна
из шашек расположена на диагонали. Б) Рокфор переставил шашки
так, чтобы теперь расстановка была симметрична относительно
обеих диагоналей. Докажите, что одна шашка стоит в центральной
клетке.
47. Чип купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все
её страницы по порядку числами от 1 до 192. Дейл вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны.
Могло ли у него получиться 2014?
48. Сможет ли Вжик пролететь по 29-звенной ломаной, которая пересекает
каждое свое звено ровно один раз?
49. У Гаечки есть 5 двусторонних карточек, на каждой стороне каждой карточки написано по букве. Гаечка может составить из этих карточек слова
КОШКА, МОШКА и МЫШКА. Обязательно ли она может составить слово КЫШКА?
50. У Чипа и Дейла было по 30 пирожков. Они начали продавать их по 30 рублей. Если у
одного из них покупают пирожок, другой немедленно снижает цену на свои пирожки на
один рубль (пирожки продаются только по одному, и такого, чтобы они продавали по пирожку одновременно, не бывает). Сколько денег выручат в сумме Чип и Дейл, когда продадут все свои пирожки?
47. Чип купил общую тетрадь объёмом 96 листов и пронумеровал все
её страницы по порядку числами от 1 до 192. Дейл вырвал из этой
тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 2014?
48. Сможет ли Вжик пролететь по 29-звенной ломаной, которая пересекает
каждое свое звено ровно один раз?
49. У Гаечки есть 5 двусторонних карточек, на каждой стороне каждой карточки написано по букве. Гаечка может составить из этих карточек слова
КОШКА, МОШКА и МЫШКА. Обязательно ли она может составить слово КЫШКА?
50. У Чипа и Дейла было по 30 пирожков. Они начали продавать их по 30 рублей. Если у
одного из них покупают пирожок, другой немедленно снижает цену на свои пирожки на
один рубль (пирожки продаются только по одному, и такого, чтобы они продавали по пирожку одновременно, не бывает). Сколько денег выручат в сумме Чип и Дейл, когда продадут все свои пирожки?
5 класс, серия нс-6, ДТП и горы
5 класс, серия нс-6, ДТП и горы
51. Винни-Пух и Пятачок вышли одновременно навстречу
друг другу. Каждый из них идёт с постоянной скоростью и,
дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз
они встретились через 2,5 минуты после начала движения.
Когда они встретятся во второй раз?
51. Винни-Пух и Пятачок вышли одновременно навстречу
друг другу. Каждый из них идёт с постоянной скоростью и,
дойдя до конца дороги, поворачивает обратно. Первый раз
они встретились через 2,5 минуты после начала движения.
Когда они встретятся во второй раз?
52. Из своих домиков одновременно навстречу друг другу выехали Кролик на автомобиле и
Тигра на велосипеде. После столкновения они продолжили свой путь. Кролик, доехав до
Тигриной норы, тотчас повернул назад и догнал Тигру через 2 часа после момента столкновения. Сколько времени после столкновения ехал Тигра до домика Кролика, если к моменту
второй встречи он проехал 2/5 всего пути?
52. Из своих домиков одновременно навстречу друг другу выехали Кролик на автомобиле и
Тигра на велосипеде. После столкновения они продолжили свой путь. Кролик, доехав до
Тигриной норы, тотчас повернул назад и догнал Тигру через 2 часа после момента столкновения. Сколько времени после столкновения ехал Тигра до домика Кролика, если к моменту
второй встречи он проехал 2/5 всего пути?
53. У 10 девочек было по 10 конфет. Каждая девочка подарила несколько конфет другим
девочкам (конфеты, полученные в подарок, девочки оставляют себе). В результате у всех
девочек оказалось разное число конфет. Докажите, что какая-то из девочек подарила конфет не меньше, чем у нее их оказалось в конце.
53. У 10 девочек было по 10 конфет. Каждая девочка подарила несколько конфет другим
девочкам (конфеты, полученные в подарок, девочки оставляют себе). В результате у всех
девочек оказалось разное число конфет. Докажите, что какая-то из девочек подарила конфет не меньше, чем у нее их оказалось в конце.
54. В гонке на 10 километров все биатлонисты стартуют одновременно и тратят на стрельбу
одинаковое время. В течение гонки спортсмен делает 10 выстрелов, и за каждый промах он
должен пробежать дополнительно 200 м. Победителем стал Рафаэль, который тратил на
каждый километр на 1 мин больше, чем Бьорн. Успел ли Рафаэль пробежать трассу за 1 час?
54. В гонке на 10 километров все биатлонисты стартуют одновременно и тратят на стрельбу
одинаковое время. В течение гонки спортсмен делает 10 выстрелов, и за каждый промах он
должен пробежать дополнительно 200 м. Победителем стал Рафаэль, который тратил на
каждый километр на 1 мин больше, чем Бьорн. Успел ли Рафаэль пробежать трассу за 1 час?
55. Можно ли на окружности расположить цифры 0, 1, 2, …, 9 так, чтобы любые два соседних числа отличались а) на 2 или 3? б) на 3, 4 или 5? в) на 7 или 8?
55. Можно ли на окружности расположить цифры 0, 1, 2, …, 9 так, чтобы любые два соседних числа отличались а) на 2 или 3? б) на 3, 4 или 5? в) на 7 или 8?
56. Фирма проработала полгода, подсчитывая свою прибыль каждый месяц. Каждые два
подряд идущих месяца суммарная прибыль была отрицательной. а) Может ли суммарная
прибыль за все полгода быть положительной? б) А за первые 5 месяцев?
56. Фирма проработала полгода, подсчитывая свою прибыль каждый месяц. Каждые два
подряд идущих месяца суммарная прибыль была отрицательной. а) Может ли суммарная
прибыль за все полгода быть положительной? б) А за первые 5 месяцев?
57. Натуральное число назовем горбатым, если в его записи цифры сначала возрастают, а
затем с какого-то момента убывают. Сколько а) 18-значных; б)17-значных; в) 16-значных горбатых чисел?
57. Натуральное число назовем горбатым, если в его записи цифры сначала возрастают, а
затем с какого-то момента убывают. Сколько а) 18-значных; б)17-значных; в) 16-значных горбатых чисел?
58. На занятии Гриша, Егор и Маша решили каждый все задачи. а) Может ли оказаться, что
Гриша большинство задач решил раньше Егора, Егор – большинство раньше Маши, а Маша
– большинство раньше Гриши? Б) та же, но с условием, что ОНИ ВМЕСТЕ решили все задачи.
58. На занятии Гриша, Егор и Маша решили каждый все задачи. а) Может ли оказаться, что
Гриша большинство задач решил раньше Егора, Егор – большинство раньше Маши, а Маша
– большинство раньше Гриши? Б) та же, но с условием, что ОНИ ВМЕСТЕ решили все задачи.
59. Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам.
Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что
как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске. Найдётся точка,
которую он проходил при подъёме и спуске в одно и тоже время (с разницей
ровно в сутки).
59. Альпинист начал подъём в 8 часов и поднялся на вершину к 19 часам.
Назавтра он начал спуск в 8 часов и закончил его в 19 часов. Доказать, что
как бы неравномерно он не двигался при подъёме и спуске. Найдётся
точка, которую он проходил при подъёме и спуске в одно и тоже время (с
разницей ровно в сутки).
60. Однажды улитка заползла на вершину бамбука, который растет так, что
каждая его точка поднимается вверх с одной и той же скоростью. Путь вверх
занял у улитки 7 часов. Отдохнув на вершине бамбука ровно час, она спустилась на землю за 8 часов. Во сколько раз скорость улитки больше скорости роста бамбука?
60. Однажды улитка заползла на вершину бамбука, который растет так,
что каждая его точка поднимается вверх с одной и той же скоростью. Путь
вверх занял у улитки 7 часов. Отдохнув на вершине бамбука ровно час, она спустилась на
землю за 8 часов. Во сколько раз скорость улитки больше скорости роста бамбука?
5 класс, серия нс-7, игры – снова спасатели!
5 класс, серия нс-7, игры – снова спасатели!
61. Есть 6 мешков с монетами. В некоторых из них монеты фальшивые (на 1 грамм
легче настоящих). За одно взвешивание на весах с делениями
определить, в каких мешках монеты фальшивые,
если известно, что a) фальшивые монеты только в
одном мешке. b) фальшивые монеты не во всех
мешках.
62. Из 103 монет две - фальшивые (фальшивые монеты одинаковы по весу). За три взвешивания определить, тяжелее они
настоящих или легче.
63. Есть 6 монет, из которых две - фальшивые (легче настоящих). Найти их за 3 взвешивания.
64. В классе 29 детей. Каждый из детей послал новогодние подарки 9 своим одноклассникам. Всегда ли найдутся трое детей, ни один из которых не посылал подарки
никому из двух других?
61. Есть 6 мешков с монетами. В некоторых из них монеты фальшивые (на 1 грамм
легче настоящих). За одно взвешивание на весах с делениями
определить, в каких мешках монеты фальшивые,
если известно, что a) фальшивые монеты только в
одном мешке. b) фальшивые монеты не во всех
мешках.
62. Из 103 монет две - фальшивые (фальшивые монеты одинаковы по весу). За три взвешивания определить, тяжелее они
настоящих или легче.
63. Есть 6 монет, из которых две - фальшивые (легче настоящих). Найти их за 3 взвешивания.
64. В классе 29 детей. Каждый из детей послал новогодние подарки 9 своим одноклассникам. Всегда ли найдутся трое детей, ни один из которых не посылал подарки
никому из двух других?
65. Чип и Дейл играют, поочередно выставляя крестики и нолики на квадратном
поле 9×9. В конце каждый получает очко за каждую строку и столбец, в которых его знаков больше. Сможет ли Чип выиграть, если
он ходит первым?
66. Чип и Дейл по очереди ставят слонов в клетки шахматной
доски. Очередным ходом обязательно надо побить хотя бы одну
небитую клетку. Фигура бьет и клетку, на которой стоит. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
67. Поставлено 10 звездочек в ряд. Чип и Дейл поочередно заменяют звездочки
цифрами. Дейл, который ходит вторым, стремится к тому, чтобы полученное число
делилось на 9. Удастся ли ему этого добиться?
68. Чип и Дейл по очереди вычеркивают по одному числу из ряда 1, 2, 3, …, 15 до
тех пор, пока не останется два числа. Если сумма этих чисел делится на 5, то выигрывает Чип, если нет – Дейл. Кто выиграет при правильной игре?
69. В мешке лежит 101 конфета. Чип и Дейл по очереди берут из мешка от 1 до 10
конфет. Выигрывает тот, кто берет последнюю конфету. Кто выигрывает при правильной игре?
70. В ряд выложено 100 черных и 100 белых шаров, причем самый левый и самый
правый шары – черные. Докажите, что можно выбрать слева подряд несколько шаров (но не все!) так, что среди них количество белых равно количеству черных.
65. Чип и Дейл играют, поочередно выставляя крестики и нолики на квадратном
поле 9×9. В конце каждый получает очко за каждую строку и столбец, в которых его знаков больше. Сможет ли Чип выиграть, если
он ходит первым?
66. Чип и Дейл по очереди ставят слонов в клетки шахматной
доски. Очередным ходом обязательно надо побить хотя бы одну
небитую клетку. Фигура бьет и клетку, на которой стоит. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выиграет при правильной игре?
67. Поставлено 10 звездочек в ряд. Чип и Дейл поочередно заменяют звездочки
цифрами. Дейл, который ходит вторым, стремится к тому, чтобы полученное число
делилось на 9. Удастся ли ему этого добиться?
68. Чип и Дейл по очереди вычеркивают по одному числу из ряда 1, 2, 3, …, 15 до
тех пор, пока не останется два числа. Если сумма этих чисел делится на 5, то выигрывает Чип, если нет – Дейл. Кто выиграет при правильной игре?
69. В мешке лежит 101 конфета. Чип и Дейл по очереди берут из мешка от 1 до 10
конфет. Выигрывает тот, кто берет последнюю конфету. Кто выигрывает при правильной игре?
70. В ряд выложено 100 черных и 100 белых шаров, причем самый левый и самый
правый шары – черные. Докажите, что можно выбрать слева подряд несколько шаров (но не все!) так, что среди них количество белых равно количеству черных.