Формулы сокращенного умножения

Формулы сокращенного умножения
При умножении многочлена на многочлен каждый член
одного многочлена умножают на каждый член другого. Но в
некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить
короче, воспользовавшись формулами сокращённого умножения.
Возведём в квадрат сумму (а+в).
(а+в)2 =(а+в)(а+в)=а2 + ав+ ав+ в2 = а2 +2 ав+ в2
Значит, квадрат суммы двух величин равен квадрату первой
плюс удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат
второй.
(a+b)2=a2+2ab+b2
Возведём в квадрат разность (а-в).
(а-в)2 =(а-в)(а-в)=а2 – ав- ав+ в2 = а2 -2 ав+ в2
Значит, квадрат разности двух величин равен квадрату первой
минус удвоенное произведение первой на вторую плюс квадрат
второй.
(a-b)2=a2-2ab+b2
Умножим разность (а-в) на сумму (а+в)
(а+в)(а-в)=а2+ав-ав-в2 =а2-в2.
Значит, произведение суммы двух величин на их разность
равно разности их квадратов.
(a+b)(a-b)=a2-b2
Аналогичным образом можно вывести формулы куба суммы и
куба разности (а+в)3 ; (а-в)3.
Значит, куб суммы двух величин равен кубу первой плюс
утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс
утроенное произведение первой на квадрат второй плюс куб
второй.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
Значит, куб разности двух величин равен кубу первой минус
утроенное произведение квадрата первой на вторую плюс
утроенное произведение первой на квадрат второй минус куб
второй.
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
Для разложения на множители суммы кубов используется
тождество а3+в3=(а+в)(а2-ав+в2).
Чтобы доказать это тождество умножим двучлен (а+в) на
трёхчлен (а2-ав+в2).
(а+в)(а2-ав+в2)=а3-а2в+ав2+а2в-ав2+в3=а3+в3.
Произведение суммы двух величин на неполный квадрат
разности равно сумме их кубов.
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
Для разложения на множители разности кубов используется
тождество а3-в3=(а-в)(а2+ ав+в2).
Чтобы доказать это тождество умножим двучлен (а-в) на
трёхчлен (а2 +ав+в2).
(а-в)(а2 +ав+в2)=а3+а2в+ав2-а2в-ав2-в3=а3-в3.
Произведение разности двух величин на неполный квадрат
суммы равно разности их кубов.
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3