Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям. 8 класс Хорева Галина Михайловна Цель урока: закрепить умение решения уравнений, сводящихся к квадратным. Образовательная задача: познакомить учащихся с симметрическими уравнениями 4-й и 5-й степени. Воспитательная задача: развить у учащихся интерес к истории математики. Техническое оснащение урока: компьютер, проектор для демонстрации презентации, экран. Тип урока: урок обобщения и систематизации полученных знаний и выполнения практических работ. Ход урока. I. Организация начала урока. II. Презентация о Омаре Хайяме (презентация подготовлена учеником 8А класса Павленко А.) III. Основная часть. Решение уравнений методом замены переменной. 1. 1 1 1 2 1 . 2 x 4 x Уравнение составлено персидским ученым Омаром Хайямом (1048-1122гг.) Используем метод замены переменной t 2 2t 1 1 4 5 t 2 t 1 2 Возвращаемся к исходной переменной: 5 1 x 2 1 1 x 2 2 x 5 x 2 1 t , решаем квадратное уравнение: x 2 ; 2 . 5 Ответ: x 12 x 2 2 x 12 . 2. Замечаем, x 1 x 2 2 x 1 , следовательно, замена x 2 2 x t , 2 t 1 t 12, t 2 t 12 0 По теореме, обратной теореме Виета, t 4 t 3 x 2 2 x 4 2 x 2 x 3 x 2 2x 4 0 2 x 2 x 3 0 x 1 x 3 Ответ: 3;1. 3. Самостоятельно решим уравнения с последующей проверкой: x 34 13 x 32 36 0 ; a. Замена x 3 t , t 0 . 2 Ответ: 6; 5; 1; 0. b. x 4 a 2 9 x 2 9a 2 0 ; Замена x 2 t , t 0 . Ответ: 3; a. 4 x 2 2 2 x 1 34 4 x 4. 4x 2 4 x 1 2 2 x 1 35 0 2 x 12 2 2 x 1 35 0 2 x 1 2 2 x 1 35 0 2 Обозначив 2 x 1 t , t 0 , получим t 2 2t 35 0 t 7 t 5, не удовлетв. t 0 Возвращаемся к исходной переменной: 2x 1 7 2 x 1 7 2 x 1 7 x 4 x 3 Ответ: 3; 4. 5. Решим уравнение 2 16 x 2 x x Заменим x 4 12 0 x 4 t , тогда x x2 16 8 t 2 , следовательно 2 x x2 16 t2 8. x2 Поставим в уравнение, получим t 2 8 t 12 0 t 2 t 20 0 t 5 t 4 Осталось решить x x 4 5 x 4 4 x x 2 5x 4 0 2 x 4 x 4 0 5 5 x 2 x 2 Ответ: 2; 5 5 . 2 IV. Физкульминутка. 6. Поставим новую задачу: решить уравнение x 4 7 x 3 14 x 2 7 x 1 0 . Уравнение симметрическое. Поделим на x 2 0 . Получим x 2 1 1 7 x 14 0 . 2 x x Такое уравнение решаем заменой x 1 t , следовательно x x2 1 t2 2 2 x и t 2 7t 12 0 t 3 t 4 x x 1 3 x 1 4 x x 2 3x 1 0 2 x 4 x 1 0 3 5 x 2 x 2 3 3 5 ; 2 3 . 2 Ответ: 7. Еще одно симметрическое уравнение 2 x 5 5 x 4 13x 3 13x 2 5 x 2 0 Перегруппируем левую часть 2 x 5 1 5 x 4 x 13 x 3 x 2 0 2 x 1 x 4 x 3 x 2 x 1 5x x 1 x 2 x 1 13x 2 x 1 0 x 12 x 4 2 x 3 2 x 2 2 x 5x 3 5x 2 5x 13x 2 2 0 x 1 0 4 3 2 2 x 3x 16 x 3x 2 0 x 1 4 3 2 2 x 3x 16 x 3x 2 0 1 1 2 x 2 2 3 x 16 0 x x Дальше решаем самостоятельно. Ответ: 2 3; 1; 2; 1 . 2 V. Подведение итогов. На уроке мы: 1. познакомились с известным персидским ученым Омаром Хайямом; 2. закрепили умение решения уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям с помощью замены переменной; 3. познакомились с симметрическими уравнениями 4-й степени a 4 x 4 a3 x 3 a 2 x 2 a3 x a 4 0 и 5-й степени a1 x 5 a 2 x 4 a3 x 3 a3 x 2 a 2 x a1 0 Это уравнение имеет корень x1 1. В оставшееся время работаем по задачнику Галицкого №№ 9.23; 9.24; 9.25 (а, в) Домашнее задание: Галицкий 9.23; 9.24; 9.25.