1 Е.В.Бедарькова, учитель математики МБОУ СОШ №19 г. Белово Основные методы решения уравнений и неравенств в школьном курсе В школьном курсе математики основными методами решения уравнений и неравенств являются: разложение на множители, замена переменной, переход от равенства функций к равенству аргументов, использование формул, графический. Кроме основных методов при решении уравнений и неравенств используют специальные. К ним можно отнести применение свойств функций, таких как монотонность, н6епрерывность, четность и нечетность, выпуклость, наибольшие и наименьшие значения и т.п. Ниже приводится описание основных методов решения. Использование формул При решении квадратных уравнений в школьном курсе используются формулы корней квадратного уравнения и теорема Виета. Чаще всего полные квадратные уравнения вида aх 2 bx c 0 решают с помощью формулы корней квадратного уравнения: х b D , где D b 2 4ac . 2a Если дискриминант D>0, то уравнение имеет два корня, если D=0, то уравнение имеет один корень, а если D<0, то уравнение не имеет корней. Пример 1. Решить уравнение 12 х 2 7 х 1 0 . Найдем дискриминант: D 7 2 4 12 1 1 , D>0. Применим формулу корней квадратного уравнения: 7 1 , 24 7 1 х , 24 1 1 х1 , х 2 . 3 4 х 1 3 1 4 О т в е т: х1 , х 2 . Для квадратных уравнений, у которых второй коэффициент является четным числом, формулу корней удобно записывать в другом виде: ax 2 2kx c 0 , 2 D1 k 2 ac , x k D1 a . Пример 2. Решить уравнение 9 х 2 14 х 5 0 , D1 (7) 2 9 5 4 , 7 4 , 9 72 , x 9 5 х1 , х2 1 . 9 x 5 9 О т в е т: х1 , х2 1 . В школьном курсе алгебры изучается еще один способ решения квадратного уравнения. Для решения приведенных квадратных уравнений применяют теорему Виета: Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. x 2 px q 0 , x1 x2 p и x1 x2 q . Пример 3. Решить уравнение х 2 х 12 0 . Пусть х1 и х 2 - корни уравнения. Тогда x1 x2 1 и x1 x2 12 . Если х1 и х 2 - целые числа, то они являются делителями числа 12 . Учитывая также, что сумма этих чисел равна 1, нетрудно догадаться, что х1 3 , х2 4 . О т в е т: х1 3 , х2 4 . Следующий изучаемый в школьном курсе класс уравнений – это дробные рациональные уравнения. При решении дробных уравнений целесообразно поступать следующим образом: 1) найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение; 2) умножить обе части уравнения на их общий знаменатель; 3) решить получившееся целое уравнение; 4) исключить из его корней те, которые обращают в нуль его общий знаменатель. Пример 4. Решить уравнение 2 1 4 х 2 2 . х 4 х 2х х 2х 2 Преобразуем знаменатель: 2 1 4 х . ( х 2)( х 2) х( х 2) х( х 2) 3 Умножим обе части уравнения на общий знаменатель х( х 2)( х 2) . Далее имеем: 2 х ( х 2) ( х 2)( 4 х) , 2х х 2 4х х 2 8 2х , х 2 5х 6 0 , D 25 24 1, 5 1 , 2 х1 2 , х2 3 . х Если х 2 , то х( х 2)( х 2) =0; если х 3 , то х( х 2)( х 2) 0 . О т в е т: х 3 . С помощью формул решаются также тригонометрические уравнения и неравенства. Применяются следующие формулы: Уравнение sin t a имеет решение: t (1) k arcsin a k , k Z . Уравнение cos t a имеет решение: t arccos a 2n , n Z . Уравнение tgt a имеет решение: t arctga n , n Z . Пример 5. Решить уравнение cos x 1 . 2 По формуле 1 x arccos 2n , n Z . 2 1 2 Поскольку arccos 3 , приходим к ответу x 3 2n , n Z . О т в е т: x 3 Пример 6. Решить уравнение 2 x . sin 2 10 2 Функция синус нечетна. Поэтому 2 x . sin 2 2 10 По формуле Так как х 2 k , k Z . (1) k arcsin 2 10 2 2 , имеем: arcsin 4 2 х (1) k k , 2 10 4 2n , nZ . 4 x 5 (1) k 1 2 2k , k Z . О т в е т: x 5 (1) k 1 2 2k , k Z . Разложение на множители Данный способ чаще всего применяется при решении уравнений третьей или четвертой степени. Пример 7. Решить уравнение х 3 8х 2 х 8 0 . Разложим левую часть уравнения на множители: х 2 ( х 8) ( х 8) 0 , ( х 8)( х 2 1) 0 , ( х 8)( х 1)( х 1) 0 . Отсюда найдем, что данное уравнение имеет три корня: х1 8 , х2 1 , х3 1 . О т в е т: х1 8 , х2 1 , х3 1 . Замена переменной Уравнения, степень которых выше двух, иногда удается решить, введя новую переменную. Пример 8. Решить уравнение ( х 2 5 х 4)( х 2 5 х 6) 120 . Если перенести все члены уравнения в левую часть и преобразовать получившееся выражение в многочлен стандартного вида, то получится уравнение х 4 10 х 3 35 х 2 50 х 96 0 , для которого трудно найти способ решения. Однако можно воспользоваться следующей особенностью исходного уравнения ( х 2 5х 4)( х 2 5х 6) 120 : в его левой части переменная х входит только в выражение х 2 5 х , которое встречается в уравнении дважды. Это позволяет решить данное уравнение с помощью введения новой переменной. Обозначим х 2 5 х через у : х 2 5х у . Тогда исходное уравнение сведется к уравнению с переменной у : ( у 4)( у 6) 120 , которое после упрощения примет вид: у 2 10 у 96 0 . Решив данное уравнение, найдем его корни: 5 у1 16 , у2 6 . Теперь производим обратную замену, получаем: х 2 5х 6 х 2 5 х 16 или х 2 5 х 16 0 х 2 5х 6 0 D 39 0 x1 1 и x2 6 корней нет О т в е т: x1 1, x2 6 . Метод введения новой переменной легко позволяет решать уравнения четвертой степени, имеющие вид ах 4 bx 2 c 0 (биквадратные уравнения). Пример 9. Решить уравнение 9 х 4 10 х 2 1 0 . Введем замену: х 2 у . Получаем квадратное уравнение с переменной у: 9 4 10х 2 1 0 . Решив его, найдем, что у1 1 , 9 у2 1 . Обратная замена: х2 1 x1 , 3 1 9 или x2 1 , 3 х2 1 x3 1 , x4 1 . Итак, заданное уравнение имеет четыре корня: 1 1 x1 , x 2 , x3 1 , x4 1 . 3 3 1 1 О т в е т: x1 , x 2 , x3 1 , x4 1 . 3 3 Способы подстановки и сложения Способ подстановки заключается в следующем: 1) из одного уравнения системы (все равно из какого) выразить одно неизвестное через другое, например у через х ; 2) полученное выражение подставить в другое выражение системы, получится одно уравнение с одним неизвестным х ; 3) решив это уравнение, найти значение х ; 4) подставив найденное значение х в выражение для у , найти значение у . Пример 10. Решить систему уравнений 6 х 2 у 2 5, ху 6. Воспользовавшись тем, что х 0 , выразим из второго уравнения переменную у через х : у 6 . х Подставляем в первое уравнение вместо у выражение 6 . Получим х уравнение: 2 6 х 5. х 2 Решив его, найдем, что x1 3 , По формуле у x2 3 . 6 находим соответствующие значения у : х у1 2 , у2 2 . Значит, система имеет два решения: x1 3 , у1 2 , x2 3 , у 2 2 . О т в е т: 3;2 , 3;2 . Для решения системы двух линейных уравнений способом алгебраического сложения нужно: 1) уравнять модули коэффициентов при одном из неизвестных; 2) складывая или вычитая полученные уравнения, найти одно неизвестное; 3) подставляя найденное значение в одно из уравнений исходной системы, найти второе неизвестное. Пример 11. Решить систему уравнений 4 х 3 у 14, х 2 у 2. (1) 1) Оставляя первое уравнение без изменений, умножим второе уравнение на 4: 4 х 3 у 14, 4 х 8 у 8. ( 1 ) 2) Вычитая из второго уравнения системы ( 1 ) первое уравнение, 11у 22 , находим у 2 . 3) Подставляя у 2 во второе уравнение системы (1), находим х 2 (2) 2 , 7 х 2. О т в е т: х 2 , у 2 . Переход от равенства функций к равенству аргументов Данным методом можно решить некоторые показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Пример 12. Решить уравнение 5х 2 2 х 1 25 . 2 2 х 1 52 . Перепишем его в виде 5х Корнями этого уравнения являются такие числа х , для которых х 2 2х 1 2 . Решив его, находим корни уравнения: x1 1, x2 3 . О т в е т: x1 1, x2 3 . Пример 13. Решить неравенство 0,573 х 4 . Пользуясь тем, что 0,5 2 4 , перепишем заданное неравенство в виде 0,5 73 х 0,5 2 . Показательная функция у 0,5 х убывает (основание 0,5 меньше 1). Поэтому данное неравенство равносильно неравенству 7 3х 2 , откуда x 3. О т в е т: ;3 . Пример 14. Решить неравенство log 1 5 2 x 2 . 3 Число 2 равно log 1 9 . Поэтому данное неравенство можно 3 переписать в виде log 1 5 2 x log 1 9 . 3 3 Логарифмическая функция с основанием R , так как 1 определена и убывает на 3 1 1 . Следовательно, второму неравенству удовлетворяют такие 3 числа x , для которых выполнено условие 0 5 2x 9 , откуда 2 x 2,5 . 8 Итак, множество решений заданного неравенства есть интервал 2;2,5 . О т в е т: 2;2,5 . Графический метод В основе графического метода лежит нахождение точек пересечения графиков функций левой и правой частей уравнения. Обычно данный метод применяется тогда, когда графики обеих частей уравнения достаточно просто строятся и легко находятся точки пересечения этих графиков. Пример 15. Решить уравнение х2 6 . х С помощью графиков можно найти приближенные значения корней 6 . Построим в одной координатной плоскости графики х 6 функций у х 2 и у . х уравнения х 2 Эти графики пересекаются в одной точке. Абсцисса точки пересечения есть то значение переменной х , при котором выражения х 2 и 6 х принимают равные значения. Значит, абсцисса графиков функций у х 2 и у точки пересечения 6 является корнем уравнения х х2 6 . Из х рисунка видно, что приближенное значение корня равно 1,8. О т в е т: 1,8. 9 Метод интервалов Неравенства второй степени с одной переменной в школьном курсе решают методом интервалов. Пусть функция задана формулой вида f ( x) ( x x1 )( x x2 )( x xn ) , где x - переменная, а x1 , x 2 ,…, x n - не равные друг другу числа. Числа x1 , x 2 ,…, x n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется. Это свойство используется для решения неравенств вида ( x x1 )( x x2 ) ( x xn ) 0 , (*) ( x x1 )( x x2 ) ( x xn ) 0 , где x1 , x 2 ,…, x n - не равные друг другу числа. Пример 16. Решить неравенство (5 х 1)(5 х) 0 . Приведем неравенство к виду (*). Для этого в первом двучлене вынесем за скобки множитель 5, а во втором -1, получим: 1 5 х х 5 0 . 5 Разделив обе части неравенства на -5, будем иметь: 1 х х 5 0 . 5 1 Отметим на координатной прямой нули функции f ( x) х х 5 , т.е. точки 1 5 5 и 5, и укажем знаки функции в образовавшихся промежутках. Мы видим, что множество решений неравенства состоит из чисел 1 5 и 5 и чисел, заключенных между ними, т. е. представляют собой 1 промежуток ;5 . 5 1 О т в е т: ;5 . 5