Министерство экономики Российской Федерации

Министерство экономического развития и торговли
Российской Федерации
Государственный университет –
Высшая школа экономики
Факультет Мировая экономика
Программа дисциплины
«Теория вероятностей и математическая статистика»
для направления 06060 - Мировая экономика
подготовки специалистов
Автор Малышева Г.Ю.
Рекомендовано секцией УМС
Секция___________________
Одобрена на заседании
кафедры «Математическая экономика
и эконометрика»
Председатель
Зав. Кафедрой
__________________________
Канторович Г.Г.
«____»______________2004 г.
«____»______________2004 г.
Утверждено УС факультета
________________________
«____»______________2004 г.
Москва
Введение
Автор программы:
Малышева Г.Ю.
Курс «Теория вероятностей и математическая статистика»
Курс "Теория вероятностей и математическая статистика" рассчитан на студентов
второго курса бакалавриата факультета мировой экономики (1 – 3 модули).
Материал курса предназначен для использования в последующих курсах «Теория игр» и
«Эконометрика». По мере изучения новых понятий и методов сразу же даются примеры их
использования для решения задач экономики, менеджмента и социологии. Рассматриваются такие
применения, как принятие решений в условиях неопределенности, статистический контроль
качества продукции, анализ риска и другие.
Требования к студентам: курс «Теория вероятностей и математическая статистика»
рассчитан на студентов, прослушавших курсы математического анализа и линейной алгебры.
Аннотация: учебный процесс состоит из посещения студентами лекций (34 часа) и
семинарских занятий (32 часа), решения основных типов задач, включаемых в две контрольных
работы и одно домашнее задание. Основные формы контроля – зачет в середине второго модуля и
экзамен в конце третьего модуля. Оценка ставится по 10 бальной шкале. На итоговую оценку
влияют оценки за контрольные работы, оценка за домашнее задание и экзаменационная оценка в
следующих пропорциях: вес контрольных – 0,3; вес домашнего задания – 0,1; вес экзамена – 0,6.
Основное содержание курса
Раздел 1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ И
ПЕРВЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Понятие множества и основные операции над множествами: объединение, пересечение,
дополнение, разность. Аналогия между подмножествами некоторого множества и событиями. Понятие
вероятности события. Независимость двух и нескольких событий. Формулы сложения и умножения
вероятностей. Условные вероятности. Формула полной вероятности и формула Байеса.
Раздел 2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА
Количество выборок с возвращением и без возвращения длины r из множества,
содержащего n элементов, когда порядок элементов в выборке существенен. Число способов
упорядочивания множества, содержащего n элементов. Количество выборок без возвращения длины
r из множества, содержащего n элементов, когда порядок элементов в выборке несущественен,
биномиальные коэффициенты. Треугольник Паскаля. Бином Ньютона. Формула Бернулли для
вероятности получения k успехов в n испытаниях.
Раздел 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ
ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Понятие о случайной величине, как о числовой функции, определенной на пространстве
элементарных событий. Независимость случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия
случайной величины. Ковариация и корреляция двух случайных величин. Математическое ожидание и
дисперсия линейной комбинации случайных величин. Ковариация и корреляция случайных величин,
как мера их зависимости. Многомерные случайные величины и способы их описания. Условное
математическое ожидание и его основные свойства.
Раздел 4. ФУНКЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ФУНКЦИИ ПЛОТНОСТИ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Определение и основные свойства функции распределения случайной величины. Вид функции
распределения для дискретной случайной величины. Функции плотности случайных величин и их
свойства. Выражение математического ожидания и дисперсии через функцию плотности случайной
величины. Понятия квантили, медианы и моды. Понятие и простейшие примеры условного
распределения вероятностей. Биномиальное распределение и распределение Пуассона (закон редких
событий).
Раздел 5. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ И ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ
ТЕОРЕМА
Теоремы Муавра – Лапласа. Определение нормального распределения. Математическое ожидание
и дисперсия нормально распределенной случайной величины. Примеры приближенно нормальных
распределений. Центральная предельная теорема. Теорема о распределении выборочного среднего и
величина дисперсии выборочного среднего в зависимости от размера выборки. Теорема о распределении
выборочного отношения и величина дисперсии выборочного отношения в зависимости от размера выборки.
Раздел 6. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ И ПРИМЕРЫ ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ
Основные этапы проверки статистических гипотез: формулирование гипотезы;
выбор уровня значимости; использование имеющейся статистической информации;
вывод о том, что гипотезу следует отвергнуть или о том, что нет оснований отвергать гипотезу.
Статистические критерии. Мощность критерия. Примеры использования теорем о распределении
выборочного среднего и выборочного отношения для проверки гипотез. Ошибки первого и второго рода и
примеры принятия решений.
Раздел 7. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ
Примеры оценок для математического ожидания и дисперсии случайной величины по имеющейся
выборке. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценок. Связь между несмещенностью и
состоятельностью оценок, неравенство Чебышева. Оценивание математического ожидания нормально
распределенной случайной величины с известной дисперсией: соотношение между ошибкой, риском и
размером выборки. Доверительные интервалы. Связь между проверкой гипотез и построением
доверительных интервалов.
Раздел 8. ХИ-КВАДРАТ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Определение хи-квадрат распределения. Использование хи-квадрат распределения для проверки гипотез о
соответствии наблюдений предполагаемому распределению вероятностей (goodness-of-fit tests), предельная
теорема Пирсона. Использование хи-квадрат распределения для проверки гипотезы о сопряженности
(независимости) признаков, таблицы соряженности (contingency tables).
. Использование хи-квадрат распределения для проверки гипотезы о том, что несколько выборок
сделаны из одной генеральной совокупности (гипотеза об однородности).
Раздел 9. t-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Определение t-распределения Стьюдента. Использование t-распределения для проверки по выборке
небольшого размера гипотезы о том, что нормально распределенная случайная величина имеет данное
математическое ожидание, когда дисперсия случайной величины неизвестна. Тесты, относящиеся к
разности двух средних для нормально распределенных случайных величин.
Раздел 10. F-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Определение F-распределения Фишера. Тесты, относящиеся к сравнению дисперсий для двух
нормально распределенных случайных величин. Фундаментальное равенство. Использование методов
дисперсионного анализа для проверки по значениям нормально распределенной случайной величины
гипотезы о том, что несколько выборок сделаны из одной генеральной совокупности.
.
Сетка часов
Тема
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
Лекции
Семинары
Формы
контроля
Самостоятельная
работа
Всего часов
Основные
понятия теории
вероятностей
Комбинаторика
Случайные
величины
Функции
распределении и
плотности
4
4
10
18
2
2
2
2
10
10
14
14
2
2
Контрольная
работа
10
14
Нормальное
распределение
Проверка гипотез
Оценивание
параметров
3
3
Зачет
10
16
4
4
4
4
10
10
18
18
2-
4
4
10
18
4
4
4
4
8
8
16
16
распределение
t-распределение
F- распределение
Всего часов: аудиторных – 66,
самостоятельная работа – 96.
Контрольная
работа
Рекомендуемая литература
Базовый учебник
1. Шведов А.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М., Изд-во ВШЭ, 1995
Дополнительная литература
1.
P.Newbold. Statistics for Business and Economics. - London, Prentice-Hall, Ed.4, 1995
2.
Ратникова Т.А., Шведов А.С. Сборник задач по теории вероятностей и
математической статистике. - М., ВШЭ, 1996.
3.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. -М., "Высшая школа", 1998.
4.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории вероятностей.
М., «Академия», 2003.
Вопросы для самоконтроля
1.
Укажите отличие в распределении выборочного среднего для выборок из малых и
больших генеральных совокупностей.
2.
В чем заключается связь между проверкой статистических гипотез и построением
доверительных интервалов для параметров генеральных совокупностей?
3.
Какая из двух конкурирующих гипотез выбирается в качестве основной?
4.
Что называется мощностью статистического критерия?
5.
Докажите несмещенность и состоятельность выборочной дисперсии
 X i  X 2

2
.
s 
n 1
6.
Что такое критерий согласия?
7.
Опишите схему проверки гипотезы о независимости двух признаков.
8.
Для выборки из нормальной генеральной совокупности такой, что
 X i  97,6;  X i2  16,27; n  6 , постройте 80% доверительный интервал для
дисперсии.
9.
В случае нормальной генеральной совокупности объясните, в чем состоит
различие в построении доверительного интервала для математического ожидания
при известной и неизвестной дисперсии.
10.
При опросе 113 американских потребителей оказалось, что 57 из них используют
телевизоры американского производства. Найдите 80% доверительный интервал
для теоретической доли американских потребителей, использующих телевизоры
американского производства.
01.09.2004
Малышева Г.Ю.