task_13966x

Методические указания к лабораторной работе по математической
статистике «Обработка результатов наблюдений»
Постановка задачи.
Дана последовательность значений случайной величины X,
полученных в результате проведения в одних и тех же условиях взаимно
независимых опытов. Требуется:
1. Построить вариационный ряд, или ряд распределений и
гистограмму для него.
2. Определить выборочные оценки числовых характеристик случайной
величины.
3. Определить точность выборки.
4. Определить теоретическую функцию распределения. Выровнять
статистический ряд.
5. Проверить согласованность теоретического и статистического
распределений при помощи критерия 𝜒 2 .
Работу выполнить с помощью Excel. Результаты оформить в виде таблиц и
выписанными выводами.
Выполнение работы.
1. Построение вариационного (статистического ряда) ряда с длиной
интервала Δ𝑥 и числом интервалов k, указанными в задании.
Результаты наблюдений, в общем случае, ряд чисел,
расположенных в беспорядке, для изучения необходимо упорядочить
(проранжировать).
Операция, заключенная в расположении значений признака по не
убыванию, называется ранжированием опытных данных.
После ранжирования опытные данные можно сгруппировать так,
чтобы в каждой группе признак принимал одно и то же значение, которое
называется вариантом (𝑥𝑖 ). Число элементов в каждой группе называется
частотой варианта (𝑛𝑖 ).
Размахом выборки называется число 𝑊 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 , где 𝑥𝑚𝑎𝑥 –
наибольший вариант, 𝑥𝑚𝑖𝑛 – наименьший вариант.
Сумма всех частот равна определенному числу 𝑛, которое
называется объёмом совокупности: ∑𝑘𝑖=1 𝑛𝑖 = 𝑛1 + 𝑛2 + ⋯ + 𝑛𝑘 = 𝑛.
Отношение частоты данного варианта к объёму совокупности
называется относительной частотой (𝑝̂ 𝑖 ) или частостью этого
𝑛
варианта: 𝑝̂ 𝑖 = 𝑖 ,
𝑛
∑𝑘𝑖=1 𝑝̂𝑖 = ∑𝑘𝑖=1
𝑛𝑖
𝑛
=
∑𝑘
𝑖=1 𝑛𝑖
𝑛
=
𝑛
𝑛
= 1.
Последовательность вариант, расположенных в возрастающем
порядке, называется вариационным рядом.
Вариационные ряды бывают дискретными и непрерывными.
Дискретным вариационным рядом называется ранжированная
последовательность вариант с соответствующими частотами и
частностями.
Построение дискретного вариационного ряда нецелесообразно,
если число значений признака велико или признак является
непрерывным, то есть может принимать любые значения в пределах
некоторого интервала. В этом случае следует построить интервальный
вариационный ряд. Для построения такого ряда промежуток изменения
признака разбивается на ряд отдельных интервалов и подсчитывается
количество значений величины в каждом из них.
Длина частичного интервала определяется по формуле ℎ =
𝑥𝑚𝑎𝑥 −𝑥𝑚𝑖𝑛
𝑘
.
Представить полученные данные в виде таблицы:
№ интервала
Границы
интервала
Середина
интервала
Число
наблюдений
в интервале,
𝑛𝑖
Частота в
интервале
1
2
…
k
𝑊
𝑘
=
Построить для полученного вариационного ряда гистограмму.
Гистограммой частот называется фигура, состоящая из
прямоугольников с основанием ℎ и высотами 𝑛𝑖 . Для гистограммы
относительных частот в качестве высоты рассматривают
𝑛𝑖
𝑛
.
Гистограмма относительных частот является аналогом дифференциальной
функции случайной величины.
Гистограмму построить в Excel (Пакет анализа – инструмент
Гистограмма).
2. Определение выборочной средней (характеристика положения),
дисперсии
(характеристика
рассеяния),
коэффициента
асимметрии (характеристика меры скошенности) и коэффициента
эксцесса (характеристика островершинности распределения).
Для расчёта числовых характеристик ряда распределения составить
вспомогательную таблицу:
Границы
интерв
Ср. знач.
инт.(𝑥𝑖 )
итого
-
𝑛𝑖
𝑥𝑖 − 𝑋̅
𝑥𝑖 ∙ 𝑛𝑖
(𝑥𝑖 − 𝑋̅)2 ∙ 𝑛𝑖
𝑥𝑖 − 𝑋̅
𝜎∗
-
(
3
𝑥𝑖 − 𝑋̅
)
∙ 𝑛𝑖
𝜎∗
-
Среднее значение признака составит:
∑ 𝑥 ∙𝑛
𝑋̅ = ∑ 𝑖 𝑖 .
𝑛𝑖
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение:
𝐷∗ =
∑(𝑥𝑖 −𝑋̅)2 ∙𝑛𝑖
∑ 𝑛𝑖
𝜎∗ = √
;
∑(𝑥𝑖 −𝑋̅)2 ∙𝑛𝑖
Коэффициент асимметрии:
∑(𝑥𝑖 − 𝑋̅)3 ∙ 𝑛𝑖
𝐴𝑠 =
.
𝑛𝜎 ∗3
∗
Эксцесс:
∑(𝑥𝑖 − 𝑋̅)4 ∙ 𝑛𝑖
𝐸𝑥 =
− 3.
𝑛𝜎 ∗4
∗
∑ 𝑛𝑖
.
4
𝑥𝑖 − 𝑋̅
( ∗ ) ∙ 𝑛𝑖
𝜎
Получив основные числовые характеристики распределения, можно
сделать в первом приближении суждение о нормальности
распределения, для которого, как известно, As=0, Ex=0.
3. Определение точности выборки.
При достаточно большом числе испытаний n можно считать закон
распределения нормальным и для оценки точности полученного значения
̅ применить формулу
выборочной средней X
ε√ n
̅−̅
P0 (|X
X0 | < ε) ≈ 2Φ ( ∗ ),
σ (x)
где ̅
X0 – среднее значение признака в генеральной совокупности; ε –
точность (ошибка) выборки; P0 – доверительная вероятность, то есть
вероятность того, что при данном n отклонение ̅
X от ̅
X0 не превзойдет ε;
Φ(𝑡) – функция Лапласа.
При заданном значении функции Лапласа 2Φ(𝑡) = P0 по таблицам
найти аргумент 𝑡, а затем из равенства
𝑡=
ε √n
σ∗ (x)
определить точность
выборки ε при доверительной вероятности P0 .
Выполните вычисления в Excel и по полученным результатам
сделайте вывод о качестве выборки.
4. Определение теоретической функции распределения,
параметров. Выравнивание статистического ряда.
её
Пусть выравнивание проводится с помощью нормального закона
распределения. Согласно методу моментов параметры выбираются с
таким расчетом, чтобы моменты теоретического распределения были
равны соответствующим статистическим моментам.
Если 𝑓(𝑥) =
1
𝜎 √2𝜋
𝑒
(𝑥−𝑚)2
2𝜎2
−
, то параметры 𝑚 и 𝜎 выбираем равными
соответственно 𝑚 = ̅
X и 𝜎 = σ∗ (x).
𝑝𝑖 = 𝑓(𝑥) ∙ ∆𝑥 =
где 𝑡 =
𝑥𝑖 −𝑋̅
𝜎∗
.
1
∙ 𝜑(𝑡) ∙ ∆𝑥,
𝜎 ∗ (𝑥)
Значения 𝜑(𝑡) находим по таблицам в приложении.
Построить (где уже построена гистограмма) график по точкам (𝑥𝑖 , 𝑝𝑖 ), где
𝑥𝑖 – среднее значение признака в интервале.
5. Проверка согласованности теоретического и статистического
распределений.
Согласованность теоретического и
проверяется с помощью критерия 𝜒 2
статистического
распределений
𝑘
(𝑚𝑖 − 𝑛𝑝𝑖 )2
𝜒 =∑
,
𝑛𝑝𝑖
2
𝑖=1
где
𝑝𝑖 = Φ(𝑡𝑖 ) − Φ(𝑡𝑖−1 ),
𝑡𝑖 =
𝑥𝑖 −𝑋̅
𝜎∗
.
Замечание.
Применение критерия 𝜒 2 для проверки гипотезы о нормальности
распределения предполагает наличие в каждом частичном интервале не
менее пяти элементов, в противном случае желательно объединять эти
интервалы с соседними.
Для статистического ряда (первая таблица) определите меру
расхождения 𝜒 2 . Для этого составьте вспомогательную таблицу №3.
Вычислив 𝜒 2 , найдите число «степеней свободы» распределения
r=k-s, где k – число интервалов, а s – число связей, накладываемых на
частоты 𝑝𝑖∗ . При гипотезе о нормальном распределении число связей
равно 3:
1) ∑𝑘𝑖=1 𝑝𝑖∗ = 1
2) 𝑋̅ = ∑𝑘𝑖=1 𝑥𝑖 ∙ 𝑝𝑖∗
3) 𝐷∗ (𝑥) = ∑𝑘𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑋̅)2 ∙ 𝑝𝑖∗ .
Число степеней свободы равно r=k-3.
Для получения значений r и χ2 по таблицам (в приложении) найдите
вероятность 𝑝𝑟 . Если эта вероятность мала, то гипотеза, состоявшая в том,
что данная случайная величина имеет нормальный закон распределения,
отвергается, как малоправдоподобная. Если же эта вероятность
значительна, то гипотеза принимается. (Уровень значимости принять 5%).
𝑥𝑖−1
𝑥𝑖
𝑡𝑖−1
𝑡𝑖
Φ(𝑡𝑖−1 )
Φ(𝑡𝑖 ) 𝑝𝑖 = Φ(𝑡𝑖 ) − Φ(𝑡𝑖−1 )
𝑚𝑖
𝑛𝑝𝑖 𝑚𝑖 − 𝑛𝑝𝑖 (𝑚𝑖 − 𝑛𝑝𝑖
ал
Интервал
Таблица 3.
1
2
…
k
Итого
𝜒2:
)2
(𝑚𝑖 − 𝑛𝑝𝑖 )2
𝑛𝑝𝑖
Замечание.
При использовании таблицы значений вероятности 𝑃(𝜒 2 ≥ 𝜒𝑞2 )
иногда приходится пользоваться формулой линейной интерполяции.
𝑦1 − 𝑦0
(𝑥 − 𝑥0 );
𝑓(𝑥) = 𝑦0 +
ℎ
𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ); 𝑦1 = 𝑓(𝑥0 + ℎ); ℎ = 𝑥1 − 𝑥0 .
Пример.
Пусть r=6 и χ2 = 9,2 . Найти 𝑃𝑟 =?
При χ2 = 9 = 𝑥0 , 𝑃𝑟 = 0,1736 = 𝑓(𝑥0 ) = 𝑦0 .
При χ2 = 10 = 𝑥1 , 𝑃𝑟 = 0,1247 = 𝑓(𝑥1 ) = 𝑦1 .
0,1247 − 0,1736
(9,2 − 9) ≈ 0,16.
𝑓(9,2) = 0,1736 +
10 − 9
𝑃𝑟 ≈ 0,16.
Все полученные данные сведите в одну таблицу и сделайте
необходимые выводы.
Задания для лабораторной работы
1. Произведено обследование величины вклада (в тыс. руб.) на 1 января
текущего года в сбербанке по 100 лицевым вкладам. Результаты
обследования приведены в следующей таблице
(X – величина вклада, ∆𝑋 = 10000 руб., k=7, 𝑃0 = 0,9950).
53
66,5
79,7
76
77,5
76
58
82,8
118
80
57
78,5
78,5
81
95
93
69,5
81,7
84
105
66
84
55
85
97
95,5
53
80
125
100
70,1
80,5
90
82
86
96
60
81,9
120
76,7
70
82
76
88,5
100
74
88,1
94,3
70
96,9
67
81,8
66
85
68,2
100
119,5
88,3
95,3
118
82,5
90
65
87,3
100,5
60,8
82,1
59,5
110
71
78
86
91
77,3
574
122
69,9
89
78,8
121
70
83
90,5
87
105
70,8
120
88
90
99,7
60
84
64
88
98
119
60
88,6
86
91
2. В таблице приведены транспортные затраты (в руб. за тонну) на
доставку продукции предприятия к потребителям
(X –
транспортные затраты, , ∆𝑋 = 20 руб., k=7, 𝑃0 = 0,9970).
201
202
222
341
343
261
269
232
279
292
288
315
249
272
329
272
212
313
299
262
305
328
267
275
320
263
214
267
265
238
266
354
278
255
309
268
257
308
296
256
236
222
218
271
302
311
276
271
258
251
224
262
236
251
278
314
259
292
306
324
271
284
238
282
267
309
215
212
206
198
208
236
254
199
271
335
241
225
276
256
278
339
271
279
288
275
236
268
261
285
300
290
282
289
301
312
278
250
301
260
3. Известны удельные затраты на производство товарной продукции
(руб./шт.) по ста предприятиям отрасли. Результаты
обследования приведены в следующей таблице
(X – удельные
затраты, , ∆X=20 руб., k=9, 𝑃0 = 0,9960).
361
372
385
419
455
498
406
487
457
428
406
427
408
436
456
429
432
495
457
426
428
429
444
426
431
438
385
487
436
415
401
502
408
425
449
434
428
477
482
406
428
445
383
446
424
429
508
429
447
518
429
509
409
442
449
386
414
472
481
439
402
338
419
431
460
468
405
379
454
487
426
505
401
436
465
508
467
424
472
388
427
445
367
438
472
378
405
429
444
425
415
429
382
436
462
429
428
451
430
390
4. Проведено выборочное обследование бюджетов (в тыс. руб.) 100
семей микрорайона за месяц. Результаты обследования приведены
в следующей таблице (X – месячный бюджет , ∆X=5000 руб., k=7,
𝑃0 = 0,9910).
23
38,5
37,8
35
44,5
35,5
22,5
37
37,5
33,7
27
31
48
34
40
45
30
38
39,1
34,5
27,5
44,8
24
39,2
40
46
34,3
35
41,3
43
35,7
44,5
43,6
29
36,7
46
28,5
41,5
44
25,8
40
47
32,1
37,5
46
35
38,1
40
41
61
26
42,3
24,5
35
39,2
46,8
30
39
60
32,8
28,7
49
33
60
36
47
29,5
38,7
70
56
37
40,9
25
36
36,5
49,5
38,5
37,6
40
54
36,1
40
25
35
45
50
34,2
50
50
34,8
37,1
41
34
28,9
36,8
45
29,7
55
55
39
5. В таблице приведены результаты обследования среднемесячной
заработной платы (в тыс. руб.) 100 рабочих одного предприятия (X
– среднемесячная заработная плата , ∆X=2000 руб., k=8, 𝑃0 =
0,9960).
20
31
27
29,8
30
32,7
23,8
30,2
32,5
28
27,1
31,5
26
28,1
29
29,6
23,6
27,5
33,5
34
29,5
34,5
21
28,4
28,9
25
24,8
31,5
32
28
22,5
35
27,4
29,1
29,2
33,7
27,3
30,3
30
26
26,8
27
30
28
36
24,87
23,7
30
31
32
24,5
27
27,5
23,5
30
35
25,6
26,1
31,2
34,5
27,5
29,5
30
23
36,5
27,1
25,5
26,5
30,2
35
24,8
36
26
28,9
29
29,8
23,8
26,2
33
27,9
25
30
26,2
24
33
30
22
27,3
26,8
25,8
27
28,5
26
28
29
34,7
22,3
35,5
30,3
26
6. В таблице приведены данные об урожайности ржи (в ц/га) по 100
участкам одного фермерского хозяйства (X – урожайность в ц/га ,
∆X=3 ц/га, k=6, 𝑃0 = 0,9970).
9,2
12,8
15,0
17,2
21,0
20,3
13,5
21,0
20,5
20,8
12,0
20,4
21,8
16,2
11,2
17,8
14,0
20,0
19,5
12,0
15,3
18,0
22,5
15,7
20,8
20,2
14,6
19,8
18,8
18,3
20,8
9,0
28,7
17,3
19,7
21,0
19,1
20,0
24,5
17,0
15,2
20,0
24,0
11,1
15,2
26,5
15,0
18,0
18,5
18,4
15,6
20,2
24,0
16,1
15,5
10,0
13,2
15,6
19,0
22,0
13,7
18,0
22,5
14,1
18,5
20,4
17,3
17,9
25,5
26,5
15,2
20,5
21,7
20,3
18,4
11,2
18,6
21,0
25,0
26,0
15,5
18,0
23,8
18,2
19,4
12,0
14,8
16,7
17,2
24,8
12,8
15,6
16,0
19,7
21,0
21,1
13,0
24,5
17,4
17,9
7. В таблице приведены данные об урожайности пшеницы (в ц/га) по
100 участкам одного фермерского хозяйства (X – урожайность в
ц/га , ∆X=2 ц/га, k=7, 𝑃0 = 0,9910).
32,0
34,5
37,0
36,5
39,8
39,2
34,8
39,3
43,0
36,0
33,2
39,7
37,5
36,0
38,8
39,1
35,0
40,0
42,5
39,9
38,1
39,3
32,5
36,7
40,0
39,3
38,0
38,2
39,0
42,8
36,5
40,0
40,1
38,2
41,0
45,0
39,0
42,8
36,0
40,0
34,2
39,5
38,9
37,5
40,0
41,2
38,0
38,7
39,0
44,0
38,0
38,8
40,5
40,0
40,5
32,8
36,8
46,0
43,0
43,5
33,5
38,2
41,2
38,0
41,8
42,0
39,6
42,0
44,0
35,7
36,8
39,5
41,0
40,0
40,9
33,0
46,0
40,0
42,0
37,2
36,0
39,3
40,0
38,0
40,5
42,0
34,8
41,6
44,5
45,0
37,5
40,0
37,0
39,2
45,8
34,0
37,8
41,7
44,8
39,3
8. Результаты обследования стажа работы 100 сотрудников одного
предприятия приведены в следующей таблице (X – стаж работы ,
∆X=2 года, k=7, 𝑃0 = 0,9910).
2,5
10,0
12,2
9,6
12,4
10,2
5,4
10,0
10,4
7,0
5,5
11,0
7,2
10,9
11,5
9,6
8,5
11,8
10,7
12,1
6,0
11,0
3,0
11,1
11,4
12,2
5,3
10,1
11,2
7,1
7,2
10,9
7,4
9,3
12,8
11,8
7,7
11,3
9,8
12,1
9,3
10,4
4,8
9,0
11,2
4,5
6,2
10,1
11,0
8,5
10,8
10,6
9,5
11,3
13,0
14,5
6,7
10,2
10,1
17,2
7,7
10,8
14,8
11,5
13,8
5,1
7,1
10,5
11,5
11,8
9,4
10,5
7,9
13,0
13,5
16,0
7,1
10,3
12,5
8,6
6,5
12,6
12,8
12,9
13,7
5,1
8,2
10,5
10,6
8,8
9,8
10,4
13,2
4,5
14,1
14,7
8,5
13,1
14,7
15,7
9. В таблице приведены данные о среднемесячных товарных запасах (в
тыс. руб.) 100 торговых предприятий района на 1 января текущего
года (X – среднемесячный запас в тыс. руб. , ∆X=200 тыс. руб., k=8,
𝑃0 = 0,9910).
3620
3750
3912
4220
4590
5020
4098
4881
4592
4303
4110
4290
4080
4420
4565
4281
4312
4967
4623
4240
4235
4987
4467
4185
4312
4425
3987
4767
4283
4191
4125
4423
3887
4268
4452
4445
4267
4787
4864
4031
4298
5080
4060
4283
4341
5121
4465
5223
4353
4280
4025
3680
3932
4350
4513
3925
4245
4820
4812
4433
4280
5162
3660
4242
4525
4720
4132
3850
4662
4820
4278
4423
3845
4362
4630
5120
4744
4323
4753
3911
4126
4298
4098
4352
4623
3812
4121
4340
4586
4391
4080
4350
4460
4420
4713
4302
4460
4480
4270
4763
10. В таблице приведены данные о росте ста студентов I курса
одного из ВУЗов Москвы (X – рост студента в см , ∆X=5см, k=8, 𝑃0 =
0,9920).
145
170
185
157
173
182
158
169
178
189
167
169
147
158
171
172
153
171
179
180
161
170
167
182
168
176
160
169
180
178
163
171
148
159
166
173
154
168
176
159
158
164
168
181
169
186
165
172
173
175
160
147
166
169
167
174
152
173
175
158
167
151
152
162
170
175
155
174
178
175
152
166
146
156
173
176
164
169
182
159
166
151
153
158
157
164
169
166
167
182
160
172
173
159
169
163
155
156
169
169
11. В таблице приведены средние баллы аттестатов
ста
абитуриентов, подавших документы в один из ВУЗов Москвы (X –
средний балл , ∆X=0,2, k=8, 𝑃0 = 0,9960).
3,59
3,72
3,91
4,25
4,62
5,00
4,15
4,85
4,61
4,29
4,01
4,25
4,09
4,35
4,55
4,25
4,30
5,00
4,65
4,28
4,27
4,32
4,47
4,18
4,26
4,45
4,02
4,90
4,32
4,28
4,01
5,00
4,12
4,28
4,53
4,42
4,28
4,80
4,95
4,21
4,50
4,29
3,99
4,42
4,32
4,30
5,00
4,56
5,00
4,32
4,57
5,00
4,15
4,49
4,56
3,98
4,27
4,85
4,80
4,46
4,34
5,98
4,00
4,44
3,42
4,73
5,00
4,75
4,32
3,45
4,36
4,57
3,75
4,35
4,70
3,45
4,02
4,31
4,50
4,29
4,27
4,55
3,65
4,15
4,67
3,76
4,09
4,28
4,45
4,22
4,15
4,27
3,78
4,28
4,62
4,12
4,65
4,39
4,28
3,92
12. В данной таблице приведена численность специалистов с высшим
и средним образованием по ста совхозам одной из республик (Х человек, X = 20 чел., k = 7, 𝑃0 = 0,9960).
20
125
50
118
120
69
75
77
120
100
55
99
47
76
116
110
62
80
121
37
88
92
45
105
109
98
108
115
128
131
72
85
88
62
125
99
58
85
77
60
65
97
29
99
131
98
105
89
138
160
85
91
95
75
120
138
99
160
155
38
74
98
30
99
122
125
81
115
139
155
88
100
145
68
120
135
70
97
47
98
69
120
25
79
117
98
80
95
147
96
72
119
40
78
125
60
155
90
52
124
13. Жилищные фонды 100 поселков городского типа одного из районов
характеризуются следующими данными (тыс. м2 ) (Х - жилищный
фонд в тыс. м2 , X = 2 тыс. м2 , k = 7, 𝑃0 = 0,9960).
42,0
44,5
47,0
46,5
49,8
49,2
44,8
49,3
53,1
46,2
43,2
49,7
47,5
46,0
48,8
49,1
45,2
50,1
52,5
49,9
48,1
49,3
42,5
46,7
49,8
49,3
48,0
48,2
48,7
52,8
46,5
49,8
50,0
47,9
50,8
49,9
44,8
49,2
52,8
46,1
44,2
49,5
48,9
47,5
49,9
51,2
47,6
48,7
49,1
53,8
47,7
48,8
50,5
49,8
50,5
42,8
46,8
56,2
53,1
53,5
43,5
48,2
51,2
48,0
51,8
51,9
49,6
51,8
53,9
45,7
46,8
49,5
51,1
50,0
50,9
42,8
55,7
49,8
52,2
47,2
45,9
49,3
49,8
47,6
50,5
52,0
44,8
51,6
54,5
55,0
47,5
50,0
47,0
49,2
55,8
44,0
47,8
51,7
54,8
49,8
14. Имеются данные о возрасте ста сотрудников одной из
лабораторий предприятия по состоянию на 1 января текущего года
(Х - возраст  число лет , X = 2 года, k = 8, 𝑃0 = 0,9960).
20
31
27
30
30
33
23
30
32
28
27
32
26
28
29
30
24
28
34
34
30
35
21
29
28
25
25
32
32
28
23
35
27
29
29
34
27
30
30
26
27
27
30
28
36
25
24
30
31
32
25
27
28
24
30
35
26
26
31
35
27
28
26
28
29
34
22
35
30
26
28
30
30
23
37
27
26
27
30
35
25
36
26
29
29
30
23
26
33
28
25
30
26
24
33
30
22
27
27
26
15. В следующей таблице приведены данные о выполнении плана за
месяц (тыс. руб.) по ста строительно-монтажным управлениям
одного из районов (Х - план  в тыс. руб., X = 30 тыс. руб., k = 6, 𝑃0 =
0,9970).
128
150
172
210
203
135
210
205
208
92
121
204
218
162
112
178
142
201
195
121
163
162
286
157
206
202
146
198
188
163
90
208
237
173
197
211
191
200
245
176
152
203
240
111
152
285
150
180
185
184
156
200
240
161
155
100
132
156
190
270
137
180
225
141
185
204
173
179
255
265
152
205
217
203
184
112
186
210
250
260
155
180
238
182
194
120
148
167
172
248
128
156
160
197
210
210
130
245
174
179
16. В таблице приведены данные о площадях сельскохозяйственных
угодий (в га) по 100 сельхоз предприятиям Краснодарского края
(X – площадь в га , ∆X=1000 га, k=8, 𝑃0 = 0,9970).
11758
8246
7951
11198
4455
6322
9889
2998
8308
5675
8237
10315
3491
12389
4420
8758
8765
5689
11030
8990
4608
4889
3839
5207
6420
8346
6812
9805
8965
6565
8129
5645
12840
8468
10733
11911
10780
11080
7854
5415
9877
5571
13389
11275
12451
10343
12052
4508
3450
7835
9440
7517
12673
12432
5391
9539
2980
6589
9870
8677
5390
3017
10325
6574
5653
3779
3982
7898
9988
9817
7009
8666
7302
11198
4919
4356
10112
9987
4568
6842
7091
4120
5014
9249
9361
2641
9912
3987
7238
8573
2707
6296
9795
4591
8813
3964
8712
5608
9745
9456
17. В таблице приведены данные о среднегодовой численности
работников (чел.) по 100 сельхоз предприятиям Краснодарского
края (X – количество человек , ∆X=100 чел., k=8, 𝑃0 = 0,9950).
1288
575
676
995
318
577
383
839
684
1123
434
1127
366
1047
275
773
548
745
598
382
418
304
339
255
1256
1366
725
398
848
493
482
403
722
627
541
770
1028
587
943
597
781
420
1055
805
323
884
987
798
728
978
902
473
981
862
458
1261
883
543
489
857
352
243
752
878
401
425
998
893
835
688
623
736
540
995
322
727
387
439
582
993
807
399
863
785
658
314
549
872
489
654
267
538
401
334
739
266
923
305
801
783
18. Результаты обследования стажа работы 100 сотрудников
одного предприятия приведены в следующей таблице (X – стаж
работы , ∆X=2 года, k=8, 𝑃0 = 0,9960).
2,5
10,0
12,2
9,6
12,4
10,2
5,4
10,0
10,4
7,0
5,5
11,0
7,2
10,9
11,5
9,6
8,5
11,8
10,7
12,1
6,0
11,0
3,0
11,1
11,4
12,2
5,3
10,1
11,2
7,1
7,2
10,9
7,4
9,3
12,8
11,8
7,7
11,3
9,8
12,1
9,3
10,4
4,8
9,0
11,2
4,5
6,2
10,1
11,0
8,5
10,8
10,6
9,5
11,3
13,0
14,5
6,7
10,2
10,1
17,2
7,7
10,8
14,8
11,5
13,8
5,1
2,1
10,5
11,5
11,8
9,4
10,5
7,9
13,0
13,5
16,0
7,1
10,3
12,5
8,6
6,5
12,6
12,8
12,9
13,7
5,1
8,2
10,5
10,6
8,8
9,8
10,4
13,2
4,5
14,1
14,7
8,5
13,1
14,7
15,7
19. В таблице приведены данные о среднемесячных товарных
запасах (в тыс. руб.) 100 торговых предприятий района на 1
января текущего года (X – среднемесячный запас в тыс. руб. ,
∆X=200 тыс. руб., k=7, 𝑃0 = 0,9930).
3620
3750
3912
4220
4590
5020
4098
4881
4592
4303
4110
4290
4080
4420
4565
4281
4312
4967
4623
4240
4235
4987
4467
4185
4312
4425
3987
4767
4283
4191
4125
4423
3887
4268
4452
4445
4267
4787
4864
4031
4298
5080
4060
4283
4341
5121
4465
5223
4353
4280
4025
3680
3932
4350
4513
3925
4245
4820
4812
4433
4280
5162
3660
4242
4525
4720
4132
3850
4662
4820
4278
4423
3845
4362
4630
5120
4744
4323
4753
3911
4126
4298
4098
4352
4623
3812
4121
4340
4586
4391
4080
4350
4460
4420
4713
4302
4460
4480
4270
4763
20. В таблице приведены данные о росте ста студентов II курса
одного из ВУЗов Москвы (X – рост студента в см , ∆X=5см, k=7,
𝑃0 = 0,9940).
155
170
185
157
173
182
158
169
178
189
167
169
147
158
171
172
153
171
179
190
161
170
167
182
168
176
160
169
180
178
163
171
148
159
176
173
154
168
176
159
158
164
168
181
169
186
165
172
173
175
160
147
166
169
167
174
152
173
175
158
167
151
152
162
170
175
155
174
178
175
152
166
146
166
173
176
164
169
182
159
166
151
153
158
157
164
169
166
167
182
160
172
173
159
169
163
159
156
169
179
21. В таблице приведены средние баллы за экзамен по математике
ста абитуриентов, подавших документы в один из ВУЗов
Москвы (X – средний балл , ∆X=5, k=8, 𝑃0 = 0,9960).
59
57
78
55
84
90
68
85
66
78
62
92
70
65
55
85
74
90
65
84
67
83
88
78
66
78
80
94
72
68
63
100
76
65
58
82
78
80
96
71
65
89
65
87
72
70
96
56
98
76
68
100
82
78
76
98
77
85
80
86
62
98
70
80
82
73
98
75
62
60
76
97
75
86
70
85
80
86
60
90
72
92
65
68
67
76
58
64
70
82
81
88
78
92
62
82
65
78
88
74
22. В таблице приведены баллы за зачет по теории вероятностей
ста студентов одного из факультетов Финуниверситета (X –
балл за зачет, ∆X=5, k=10, 𝑃0 = 0,9950).
52
80
82
100
57
51
68
86
96
82
55
56
71
98
88
58
58
58
92
56
52
0
62
51
73
54
96
62
83
78
84
58
98
71
76
61
100
51
73
84
61
51
52
62
51
64
78
72
86
88
15
62
84
56
88
68
73
5
98
73
51
66
86
32
63
53
56
86
97
62
81
78
56
74
51
63
78
56
52
78
20
74
16
64
56
51
98
98
68
66
51
86
0
72
88
76
81
62
58
56
23. Жилищные фонды 100 поселков городского типа одного из
районов характеризуются следующими данными (тыс. м2 ) (Х жилищный фонд в тыс. м2 , X = 2 тыс. м2 , k = 8, 𝑃0 = 0,9940).
42,0
44,5
47,0
46,5
49,8
49,2
44,8
49,3
53,1
46,2
43,2
49,7
47,5
46,0
48,8
49,1
45,2
50,1
52,5
49,9
48,1
49,3
42,5
46,7
49,8
49,3
48,0
58,2
48,7
52,8
46,5
49,8
50,0
47,9
50,8
49,9
44,8
49,2
52,8
46,1
44,2
49,5
48,9
47,5
39,9
51,2
47,6
48,7
49,1
53,8
47,7
48,8
50,5
49,8
50,5
42,8
46,8
56,2
53,1
53,5
43,5
48,2
51,2
48,0
51,8
51,9
49,6
51,8
53,9
45,7
46,8
49,5
51,1
50,0
50,9
42,8
55,7
49,8
52,2
47,2
45,9
49,3
49,8
47,6
50,5
52,0
44,8
51,6
54,5
55,0
47,5
50,0
47,0
49,2
55,8
44,0
47,8
51,7
54,8
49,8