Методические рекомендации к практическим

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФГБОУ ВПО «НИЖЕГОРОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
К.Р. КРУПОДЕРОВА
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ И ИМИТАЦИОННОЕ
МОДЕЛИРОВАНИЕ
Методические рекомендации к практическим занятиям по дисциплине
«Математическое и имитационное моделирование» для студентов
специальности «Прикладная информатика (в менеджменте)»
Нижний Новгород
2012
ББК – 32.973 – 018.2
К – 84
Круподерова
К.Р.
Математическое
и
имитационное
моделирование:
Методические рекомендации к практическим занятиям по дисциплине
«Математическое
и
имитационное
моделирование»
для
студентов
специальности «Прикладная информатика (в менеджменте)» – Н. Новгород:
Изд-во НГПУ, 2014. – 43 с.
Методические
рекомендации
предназначены
для
студентов
специальности 230700.62 «Прикладная информатика (в менеджменте)».
Приведены краткие теоретические сведения, задания для практических
занятий. Методические рекомендации могут быть использованы студентами
других
специальностей
в
курсе
«Математическое
и
имитационное
моделирование».
© Круподерова К.Р., 2014
© НГПУ, 2014
2
Практическое занятие «Дескриптивные модели»
Цель
занятия:
научиться
строить
и
исследовать
математические модели с применением аппарата
простейшие
дифференциальных
уравнений.
Дескриптивные модели
Дескриптивные модели (их часто называют моделями без управления)
разрабатываются для описания реально существующих процессов, объектов
без вмешательства в них. Они создаются для принятия различных
управленческих решений, но в самой модели не предусматривается выбор
количественно обоснованного решения с позиции какого-то определенного
критерия
эффективности.
Дескриптивные
модели
используют
для
прогнозирования различных социальных явлений (например, преступности).
Они обычно отвечают на вопросы: как будет, как есть сейчас; дают общее
представление о системе, объекте и применяются для изучения только самых
общих изменений и тенденций.
Для описания развития во времени неравномерно протекающих процсов
используют аппарат дифференциальных уравнений. Дифференциальные
уравнения – уравнения, содержащие как сами функции, так и производные от
них.
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑝(𝑥) × 𝑔(𝑦) – обыкновенное дифференциальное уравнение первого
порядка с разделяющимися переменными. Для отыскания решения этого
уравнения необходимо разделить переменные, т.е. переписать уравнение
следующим
образом:
𝑑𝑦
𝑔(𝑦)
= 𝑝(𝑥)𝑑𝑥,
в
предположении,
что
в
рассматриваемой области 𝑔(𝑦) ≠ 0. Последнее уравнение (с разделенными
переменными) решают интегрированием обеих частей уравнения.
Пример (Закон размножения бактерий с течением времени).
Скорость размножения бактерий пропорциональна количеству бактерий в
3
данный момент. Найти зависимость изменения количества бактерий от
времени.
Решение. Обозначим количество бактерий, имеющихся в данный
момент, через x. Тогда:
𝑑𝑥
𝑑𝑡
= 𝑘𝑥,
где k – коэффициент пропорциональности.
В полученном уравнении разделим переменные и проинтегрируем его:
𝑑𝑥
𝑑𝑥
= 𝑘𝑑𝑡; ∫
= 𝑘 ∫ 𝑑𝑡 ; ln 𝑥 = 𝑘𝑡 + ln 𝐶 ;
𝑥
𝑥
ln 𝑥 = ln 𝑒 𝑘𝑡 + ln 𝐶.
Потенцируем последнее выражение: 𝑥 = 𝐶𝑒 𝑘𝑡 .
Полагая, что при t = 0 x = x0, получим C = x0. Следовательно:
𝑥 = 𝑥0 𝑒 𝑘𝑡 .
Полученное уравнение выражает закон размножения бактерий с
течением времени. Таким образом, при благоприятных условиях количество
бактерий с течением времени возрастает по экспоненциальному закону.
Задачи для самостоятельной работы
Задача
1.
(Закон
роста
клеток
с
течением
времени).
Для
палочковидных клеток, у которых отношение поверхности клетки к ее
объему сохраняется постоянным, скорость роста клетки
𝑑𝑙
𝑑𝑡
пропорциональна
длине клетки l в данный момент. Найти зависимость изменения количества
палочковидных
клеток
от
времени,
если
(–)
–
коэффициент
пропорциональности,  и  – постоянные, характеризуюшие процессы
синтеза и распада.
Задача 2 (Задача из теории эпидемий). Пусть изучаемое заболевание
носит длительный характер. При ним процесс передачи инфекции
значительно более быстрый, чем течение самой болезни, и зараженные особи
(а) не удаляются из колонии и передают при встречах инфекцию
4
незараженным (b) особям. Число незараженных у(t) особей убывает с
течением
времени
пропорционально
()
количеству
встреч
между
зараженными x(t) и незараженными особями у(t). Найти закон убывания
числа незараженных особей с течением времени.
Задача 3 (Динамика популяций). Некоторая популяция (сообщество
особей одного вида) имеет в момент времени t0 биомассу x0. В каждый
момент времени скорость увеличения биомассы пропорциональна уже
имеющейся биомассе, а возникающие явления самоотравления снижают
биомассу пропорционально квадрату наличной биомассы. Определить
численность биомассы в момент T.
Задача 4 (Модель Вольтерра-Лотки). Составить модель динамической
системы «хищник-жертва» и исследовать состояние этой системы.
Практическое занятие «Решение задач линейного программирования
графическим методом»
Цели занятия: научиться строить математические модели задач
линейного программирования и использовать графический метод для
нахождения оптимального решения.
Линейное программирование (графический метод)
Линейное программирование возникло в связи с рассмотрением
вопросов о нахождении наилучших вариантов при решении различных
планово- производственных задач. В этих задачах имеется большая свобода
изменения различных параметров и ряд ограничивающих условий. Требуется
найти такие значения параметров, которые с некоторой точки зрения были
бы наилучшими. К таким задачам относятся задачи нахождения наиболее
рационального способа использования сырья и материалов, определения
наилучших производственных режимов, повышения эффективности работы
транспорта и т.д.
5
Линейное программирование представляет собой метод, дающий
возможность решать управленческие задачи, в которых лицо, принимающее
решение,
должно
оптимально
распределить
ограниченные
ресурсы
(денежные средства, работников, оборудование, время и т.п.) между
различными направлениями их использования для достижения поставленной
цели. Целый ряд задач из сферы планирования и управления может быть
сформулирован в виде задач линейного программирования.
Задачи, решаемые методами линейного программирования, называются
оптимизационными задачами; в них требуется найти экстремальное значение
некоторой функции при заданных ограничениях. Эту функцию принято
называть целевой функцией. Решение задачи называется оптимальным, если
оно дает минимальное или максимальное значение целевой функции.
Стандартная задача линейного программирования записывается в виде:
𝑘
∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 ,
𝑖 = 1,2, … , 𝑚;
𝑗=1
𝑥𝑗 ≥ 0,
𝑗 = 1,2, … , 𝑘.
В случае если размерность задачи равна 2, она может быть решена чисто
геометрически. Для этого на плоскости переменных х1 и х2 строится область
допустимых (согласно ограничениям на ресурсы комбинаций) значений (х1 и
х2) и далее находится такая прямая:
F=C1x1+C2x2,
(при заданных значениях C1 и C2), которая касается контура допустимой
области в точке или по ребру и дает максимальное значение F.
Соответствующая комбинация чисел x1 и х2 и будет решением задачи.
Алгоритм
графического
метода
решения
задач
линейного
программирования состоит в следующем:
a)
Найти вершины области допустимых решений как точки пересечения
ограничений.
b)
Определить последовательно значения целевой функции в вершинах.
6
c)
Вершина, в которой целевая функция приобретает оптимальное (max
или min) значение, является оптимальной вершиной.
d)
Координаты оптимальной вершины есть оптимальные значения
искомых переменных.
Пример 1. Фирма выпускает два вида мороженого: сливочное и
шоколадное. Для изготовления мороженого используются два исходных
продукта молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженого и
суточные запасы даны в табл. 1.
Таблица 1.
Исходный
продукт
Расход исходных продуктов На 1 кг
мороженого
Сливочное
Шоколадное
0,8
0,5
0,4
0,8
Молоко
Наполнители
Запас, кг
400
365
Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное
мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме
того, установлено, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг
в сутки. Розничная цена 1 кг сливочного мороженого 15 руб., шоколадного –
14 руб.
Какое количество мороженного каждого вида должна производить
фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным?
Решение.
Составим
экономико-математическую
модель
задачи.
Обозначим: х1 - суточный объем выпуска сливочного мороженого, кг; х2 суточный
объем
выпуска
шоколадного
мороженого,
кг.
математическую модель задачи. Целевая функция будет иметь вид:
𝐹(𝑥1 , 𝑥2 ) = 16𝑥1 + 14𝑥2 → 𝑚𝑎𝑥
при ограничениях
7
Составим
0,8𝑥1 + 0,5𝑥2 ≤ 400,
0,4𝑥1 + 0,8𝑥2 ≤ 365,
{
𝑥1 − 𝑥2 ≤ 100,
𝑥2 ≤ 350,
𝑥1 ≥ 0,
𝑥2 ≥ 0.
Область допустимых решений OABCDE представлена на рис. Рис.4
Рис.1. Многоугольник решений к примеру 1
Действительно, соответствующие границы ограничений представлены
уравнениями прямых:
𝑥2 = −1,6𝑥1 + 800,
𝑥 = −0,5𝑥1 + 456,25,
{ 2
𝑥2 = 𝑥1 − 100,
𝑥2 = 350.
Вектор 𝑎⃗ и линии уровня определяются соотношениями:
𝑎⃗ = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 ) =
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝑖⃗ +
𝑗⃗ = 16𝑖⃗ + 14𝑗⃗,
𝜕𝑥1
𝜕𝑥2
𝑎 = 16𝑥1 + 14𝑥2 .
Перемещаем линию уровня по направлению вектора 𝑎⃗. Точкой выхода
из области допустимых решений является точка С. Её координаты
определяются как пересечение прямых:
{
𝑥1 = −1,6𝑥2 + 800,
𝑥1 = −0,5𝑥2 + 456,25.
Решая систему, получим координаты точки С(312,5; 300), в которой и
будет оптимальное решение, т.е.
8
𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝐹(𝐶) = 16 × 312,5 + 14 × 300 = 9200 руб.
Таким образом, для получения максимального дохода, равного 9200
руб., предприятие должно выпускать 312,5 кг сливочного мороженого и 300
кг шоколадного мороженого.
Пример 2. (задача о диете и смесях). Имеются два вида корма I и II,
содержащие питательные вещества (витамины): B1, В2 и В3. Содержание
числа единиц питательных веществ в 1 кг каждого вида корма и
необходимый минимум питательных веществ приведены в табл. 2.
Стоимость 1 кг кормов видов I и II равна соответственно 4 и 6 руб.
Составить дневной рацион, имеющий минимальную стоимость, в
котором содержание каждого вида витаминов было бы не менее
установленного предела.
Таблица 2.
Витамин
Необходимый
минимум витамина
В1
B2
В3
9
8
12
Число единиц питательных веществ
в 1 кг корма
I
II
3
1
1
1
2
6
Решение. Составим экономико-математическую модель задачи.
Если x1 – количество корма вида I, входящего в дневной рацион, а х 2 –
количество корма вида II, то задачу линейного программирования можно
записать в виде:
𝐹(𝑥1 , 𝑥2 ) = 4𝑥1 + 6𝑥2 → 𝑚𝑖𝑛
при ограничениях
3𝑥1 + 𝑥2 ≥ 9,
{ 𝑥1 + 2𝑥2 ≥ 8,
𝑥1 + 6𝑥2 ≥ 12,
𝑥1 ≥ 0,
𝑥2 ≥ 0.
9
Область допустимых решений ABCD (рис 2) представляет собой
неограниченную многоугольную область.
Рис. 2. Многоугольник решений к примеру 2
Соответствующие границы ограничений представлены уравнениями
прямых:
𝑥2 = −3𝑥1 + 9,
𝑥 = −0,5𝑥1 + 4,
{ 2
𝑥1
𝑥2 = − + 2.
6
Вектор 𝑎⃗ и линии уровня определяются соотношениями:
𝑎⃗ = 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝐹(𝑥1 , 𝑥2 ) =
𝜕𝐹
𝜕𝐹
𝑖⃗ +
𝑗⃗ = 4𝑖⃗ + 6𝑗⃗,
𝜕𝑥1
𝜕𝑥2
𝑎 = 4𝑥1 + 6𝑥2 .
Перемещаем линию уровня по направлению вектора 𝑎⃗. Точкой выхода
из области допустимых решений является точка B. Её координаты
определяются как пересечение прямых:
𝑥 = −3𝑥1 + 9,
{ 2
𝑥2 = −0,5𝑥1 + 4.
Решая систему, получим координаты точки В(2;3), в которой и будет
оптимальное решение, т.е.
𝐹𝑚𝑖𝑛 = 𝐹(𝐵) = 4 × 2 + 6 × 3 = 26 руб.
Таким образом, для получения минимальной стоимости рациона, равной
26 руб., в него включают 2 единицы корма вида I н 3 единицы корма вида II.
10
Задачи для самостоятельной работы
Задача 1 (о составлении пищевого рациона). В суточный рацион
включают два продукта питания П1 и П2:, причем продукта П1 должно войти
в дневной рацион не более 200 ед. Стоимость 1 ед. продукта П1 составляет 2
руб., продукта П2 – 4 руб. Содержание питательных веществ в 1 ед. продукта,
минимальные
нормы
потребления
указаны
в
табл.
3.
Определить
оптимальный рацион питания, стоимость которого будет наименьшей.
Таблица 3.
Питательные
вещества
Минимальная норма
потребления
А
В
120
160
Содержание питательных веществ в 1
ед. продукта
П1
П2
0,2
0,2
0,4
0,2
Задача 2. На предприятии, выпускающем изделия двух типов,
производственная мощность цеха сборки составляет 100 изделий первого или
300 изделий второго типа в сутки; в то же время отдел технического
контроля в состоянии проверить не более 150 изделий (любого типа) в сутки.
Изделие первого типа стоит вдвое дороже, чем изделие второго типа.
Требуется при этих условиях найти такой план выпуска продукции, который
обеспечивал бы предприятию наибольшую прибыль.
Задача 3. Компания специализируется на выпуске хоккейных клюшек и
наборов шахмат. Каждая клюшка приносит компании прибыль в размере 2$,
а каждый шахматный набор - в размере 4$. На изготовление одной клюшки
требуется четыре часа работы на участке A и два часа работы на участке B.
Шахматный набор изготавливается с затратами шести часов на участке A,
шести часов на участке B и одного часа на участке C. Доступная
производственная мощность участка A составляет 120 н-часов в день,
участка В - 72 н-часа и участка С - 10 н-часов.
Сколько клюшек и шахматных наборов должна выпускать компания
ежедневно, чтобы получать максимальную прибыль?
11
Задача 4. На птицеферме употребляются два вида кормов - I и II. В
единице массы корма I содержатся единица вещества A, единица вещества В
и единица вещества С. В единице массы корма II содержатся четыре единицы
вещества А, две единицы вещества В и не содержится вещество C. В дневной
рацион каждой птицы надо включить не менее единицы вещества А, не
менее четырех единиц вещества В и не менее единицы вещества С. Цена
единицы массы корма I составляет 3 рубля, корма II - 2 рубля.
Составьте ежедневный рацион кормления птицы так, чтобы обеспечить
наиболее дешевый рацион.
Задача 5. Фирма выпускает изделия двух типов: А и В. При этом
используется сырьё четырех видов. Расход сырья каждого вида на
изготовление единицы продукции и запасы сырья заданы в табл. 4.
Таблица 4
Изделия
А
В
Сырье
1
2
3
2
1
0
3
0
1
4
2
1
Запасы сырья 1-го вида составляют 21 ед., 2-го вида - 4 ед., 3-го вида - 6
ед. и 4-го вида - 10 ед. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 300
руб., одного изделия типа В - 200 руб.
Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший
доход.
Задача 6. Сельскохозяйственное предприятие на промышленной основе
производит откорм бычков. Имеется два вида продуктов П1 и П2. При
откорме каждое животное должно ежедневно получать не менее 9 ед.
питательного вещества С1, не менее 8 ед. вещества С2 и не менее 12 ед.
вещества С3. Содержание количества единиц питательных веществ в 1 кг
каждого вида продуктов приведено в табл. 5.
12
Таблица 5
Питательные
вещества
С1
С2
С3
Корм П1
Корм П2
3
1
1
1
2
6
Корм П1 стоит 4 руб., а корм П2 - 6 руб. Требуется составить такой
пищевой рацион, т.е. определить входящие в него такие количества
исходных продуктов П1 и П2, чтобы заданные условия по содержанию в
смеси питательных веществ были выполнены, но при этом стоимость
рациона была минимальна.
Задача 7 (об использовании сырья). Для изготовления двух видов
продукции П1 и П2 используется три вида сырья: С1, С2 и С3. Запасы сырья на
складе и количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы
продукции, приведены в табл. 6.
Таблица 6
Вид сырья
Запас сырья
С1
С2
С3
20
40
30
Количество единиц сырья на изготовление
единицы продукции
П1
П2
2
5
8
5
5
6
Прибыль от реализации единицы продукции П1 составляет 50 руб.,
продукции П2 - 40 руб. Необходимо составить такой план выпуска
продукции, чтобы при ее реализации получить максимальную прибыль.
Задача 8. Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовления
трансформаторов обоих видов используются железо и проволока. Общий
запас железа - 3 т, проволоки - 18 т. На один трансформатор первого вида
расходуются 5 кг железа и 3 кг проволоки, а на один трансформатор второго
вида расходуются 3 кг железа и 2 кг проволоки. За каждый реализованный
трансформатор первого вида завод получает прибыль 3 д. е., второго - 4 д. е.
13
Составьте план выпуска трансформаторов, обеспечивающий заводу
максимальную прибыль.
Задача 9. Обработка деталей А и В может производиться на трех
станках, причем каждая деталь должна последовательно обрабатываться на
каждом из станков. Прибыль от реализации детали А - 100 руб., детали В 160 руб. Исходные данные приведены в табл. 7.
Таблица 7
Станки
1
2
3
Норма времени на обработку одной
детали, ч
А
В
0,2
0,1
0,2
0,5
0,1
0,2
Время работы станка, ч
100
180
100
Определить производственную программу, максимизирующую прибыль
при условии: спрос на деталь А - не менее 300 шт., на деталь В - не более 200
шт.
Практическое занятие «Решение задач линейного программирования
симплекс-методом»
Цели занятия: научиться использовать симплекс-метод для нахождения
оптимального решения задач линейного программирования.
Линейное программирование (симплекс-метод)
Симплексный метод основан на том факте, что целевая функция
достигает экстремума на допустимом базисном решении. Таким образом,
дело сводится к перебору базисных допустимых решений системы
ограничений-равенств задачи. Симплексный метод позволяет переходить от
одного допустимого базисного решения к другому так, чтобы значение
целевой функции уменьшалось (увеличивалось) в задаче на минимум
(максимум).
14
Симплексный метод состоит из трех основных элементов:

определения какого-либо первоначального допустимого базисного
решения задачи;

правила перехода к лучшему решению;

проверки оптимальности допустимого решения.
Алгоритм симплекс-метода:
Для определенности считаем, что решается задача на отыскание
максимума, если необходимо отыскать минимум F, то решается задача
максимизации функции –F, и это решение принимается за решение исходной
задачи.
1) После введения добавочных переменных систему уравнений и
линейную функцию записываем в виде, который называется расширенной
системой:
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛+1 = 𝑏1 ,
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛+2 = 𝑏2 ,
⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑚2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑛 𝑥𝑛 + 𝑥𝑛+𝑚 = 𝑏𝑚 ,
𝐹 − 𝑐1 𝑥1 − 𝑐2 𝑥2 − ⋯ − 𝑐𝑛 𝑥𝑛 = 0.
{
Предполагаем, что все добавочные переменные имеют тот же знак, что и
свободные члены.
2) Для нахождения первоначального базисного решения разобьем
переменные на две группы: основные (базисные) и неосновные (свободные).
В качестве основных переменных на первом шаге следует выбрать (если это
возможно) такие т переменных, каждая из которых входит только в одно из т
уравнений системы ограничений. При этом нет таких уравнений системы, в
которые не входит ни одна из этих переменных.
Базисные неизвестные - хп+1, хn+2,..., xn+m
Cвободные неизвестные - х1,х2, ...,хп
3) По расширенной системе строим симплекс-таблицу
Базисные Свободный
неизвестные
член
Неизвестные
x1
…
x2
15
xn
xn+1
… xn+m
Оценочное
отношение
xn+1
…
xn+m
F
b1
…
bm
0
a11
…
am1
c1
… a1n
… …
… amn
… cn
a12
…
am2
c2
1
…
0
0
…
…
…
0
0
…
1
0
4) Проверяем критерий оптимальности при решении задач на
максимум. Если в последней строке F симплекс-таблице нет отрицательных
коэффициентов, то решение оптимально. Максимальное значение функции
равно свободному члену в строке целевой функции (строке F), а оптимальное
решение определяется свободными членами при базисных переменных. Все
свободные переменные в этом случае равны нулю.
5) Если критерий оптимальности не выполнен, то в последней строке
симплекс-таблицы находим наименьший отрицательный элемент, не считая
свободного члена. Столбец, соответствующий этому элементу, считается
разрешающим. Если имеется несколько одинаковых наименьших элементов,
то выбираем любой из них.
6) Вычисляем отношение свободных членов к положительным
элементам
разрешающего
столбца
(оценочное
отношение).
Находим
наименьшее из этих отношений, оно соответствует разрешающей строке.
Если в разрешающем столбце все коэффициенты меньше или равны 0,
то решение задачи бесконечно.
7) На пересечении разрешающей строки и разрешающего столбца
находим разрешающий элемент. Если имеется несколько одинаковых по
величине оценочных отношений, то выбирают любое из них.
8) После нахождения разрешающего элемента переходим к следующей
таблице. Неизвестные переменные, соответствующие разрешающей строке и
столбцу, меняем местами. При этом базисная переменная становится
свободной
переменной,
и
наоборот.
следующим образом:
16
Симплекс-таблицу
преобразуем
■
Все элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент.
Полученную строку обозначаем *.
■
Вычисление элементов остальных строк, включая F-строку.
Новая строка = текущая строка – её коэффициент в разрешающем
столбце строку *
9) См. п4.
Пример
1.
Симплексным
методом
решить
следующую
задачу
линейного программирования.
𝐹(𝑥1 , 𝑥2 ) = 2𝑥1 + 3𝑥2 → 𝑚𝑎𝑥,
𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 18,
2𝑥 + 𝑥2 ≤ 16,
{ 1
𝑥2 ≤ 5,
3𝑥1 ≤ 21,
𝑥1 ≥ 0,
𝑥2 ≥ 0.
Решение. Расширенная система задачи имеет вид:
𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 = 18,
2𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥4 = 16,
𝑥2 + 𝑥5 = 5,
3𝑥1 + 𝑥6 = 21,
{ 𝐹 − 2𝑥1 − 3𝑥2 = 0.
Базисные неизвестные – х3, х4, х5, х6. Свободные неизвестные – х1,х2.
Заполняем первую симплекс-таблицу.
№1
№2
№3
№4
№5
Базисные
неизвестные
Свободный
член
x3
x4
x5
x6
F
18
16
5
21
0
Неизвестные
x1
1
2
0
3
-2
x2
3
1
1
0
-3
x3
1
0
0
0
0
x4
0
1
0
0
0
x5
0
0
1
0
0
x6
0
0
0
1
0
Оценочное
отношение
18/3
16
5
-
Проверяем критерий оптимальности. В последней строке имеется
отрицательные коэффициенты. Выбираем из наименьший (-3); второй
столбец разрешающий, переменная х2 перейдет в базисные переменные.
17
Находим оценочные отношения. Третья строка является разрешающей.
На пересечении разрешающих строки и столбца стоит разрешающий элемент
(1).
Строим таблицу №2
Новые базисные неизвестные – х3, х4, х2, x6. Свободные неизвестные – х1,
х5 .
Коэффициенты таблицы №2 вычисляем следующим образом:
Новая строка №3 = строка №3/1 – обозначим результат *
Новая строка №1 = строка №1 - 3строка *,
Новая строка №2 = строка №2 - 1строка *,
Новая строка №4 = строка №4 - 0строка *,
Новая строка №5 = строка №5 - (-3)строка *,
Новая симплекс-таблица, соответствующая новому базису, имеет
следующий вид.
Базисные
неизвестные
Свободный
член
x3
x4
x5
x6
F
3
11
5
21
15
Неизвестные
x1
1
2
0
3
-2
x2
0
0
1
0
0
x3
1
0
0
0
0
x4
0
1
0
0
0
x5
-3
-1
1
0
3
x6
0
0
0
1
0
Оценочное
отношение
3
11/20
7
Критерий оптимальности снова не выполнен.
Базисные
неизвестные
Свободный
член
x3
x4
x5
x6
F
3
5
5
12
21
Неизвестные
x1
1
0
0
0
x2
0
0
1
0
0
18
x3
1
-2
0
-3
2
x4
0
1
0
0
0
x5
-3
5
1
9
-3
x6
0
0
0
1
0
Оценочное
отношение
5/5
5
12/9
Базисные
неизвестные
Свободный
член
x3
x4
x5
x6
F
6
1
4
3
24
Неизвестные
x1
1
0
0
0
0
x2
0
0
1
0
0
x3
-1/5
-2/5
2/5
3/5
4/5
x4
3/5
1/5
-1/5
-9/5
3/5
x5
0
1
0
0
0
x6
0
0
0
1
0
Оценочное
отношение
Критерий оптимальности последней таблицы выполнен, значит
𝐹𝑚𝑎𝑥 = 24, 𝑋опт = (6; 4; 0; 0; 1; 3).
Задачи для самостоятельной работы
Задача 1. Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и
оборудования, необходимыми для производства любого из четырех видов
производимых товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного
вида товара, прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов
указаны в таблице.
Вид ресурса
Сырьё (кг)
Рабочая сила (ч)
Оборудование (станко-часы)
Прибыль на ед. товара (ден. ед.)
Вид товара
1
2
3
4
3
5
2
4
22
14
18
30
10
14
8
16
30
24
56
48
Объём ресурса
60
400
130
max
По этим исходным данным решить следующие задачи:
а)
выяснить, какой ассортимент товара надо выпускать, чтобы
прибыль была максимальной;
б)
определить оптимальный ассортимент при дополнительном
условии: первого товара выпустить не более 7 ед., второго — не менее 8 ед.,
а третьего и четвертого — в отношении 1:2.
Задача 2. Для изготовления изделий № 1 и № 2 имеется 180 кг металла.
На изготовление одного изделия № 1 расходуется 2 кг металла, а изделия №
2 - 3 кг. Составить план производства, обеспечивающий получение
19
наибольшей выручки от продажи изделий, если отпускная цена одного
изделия № 1 равна 13 руб., а изделия № 2 — 17 руб., причем изделий № 1
требуется изготовить не более 60, а изделий № 2 — не более 40.
Задача 3. Для изготовления трех видов продукции П1, П2, П3
используются три вида сырья S1, S2, S3, запасы которых указаны в таблице.
Известны количества единиц сырья S1, S2, S3, необходимые для производства
единиц продукции П1, П2, П3 соответственно, и стоимость реализации
каждой единицы готовой продукции.
Вид сырья
Запасы (ед. объёма)
П1
3
10
5
80
S1
2106
S2
2340
S3
650
Стоимость продукции (ден. ед.)
Вид продукции
П2
3
9
5
60
П3
9
15
1
50
Составить план выпуска продукции, обеспечивающий максимальную
прибыль.
Практическое занятие «Решение транспортных задач»
Цели
занятия:
научиться
строить
математические
модели
транспортных задач и находить оптимальное решение.
Транспортная задача
Имеются т пунктов отправления однородного груза А1,А2,..., Ат и п
пунктов назначения того же груза В1, В2,..., Вп. Предполагается, что из любого
пункта 𝐴𝑖 (𝑖 = 1, 𝑚) груз может быть доставлен в любой пункт 𝐵𝑗 (𝑗 = 1, 𝑛).
Обозначения:
ai > 0 — объем (запас) груза в пункте Ai,
bj > 0 — объем груза, необходимого в пункте Bj,
сij >0 — стоимость (тариф) перевозки единицы груза из Ai. в B j .
20
Требуется определить план перевозок груза из пунктов Ai. в Bj так,
чтобы:
1) вывезти весь груз от отправителей Ai..
2) удовлетворить потребность в грузе (спрос) каждого потребителя Bj
3) транспортные расходы были минимальными.
Под планом задачи подразумевается матрица
𝑥11 𝑥12 ⋯ 𝑥1𝑛
𝑥21 𝑥22 ⋯ 𝑥2𝑛
𝑋=( ⋮
⋮
⋱
⋮ ),
𝑥𝑚1 𝑥𝑚2 ⋯ 𝑥𝑚𝑛
где xij — количество единиц груза, который необходимо перевезти из точки
Ai в точку B j .
Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно,
чтобы имело место условие баланса
𝑚
𝑛
∑ 𝑎𝑖 = ∑ 𝑏𝑗
𝑖=1
𝑗=1
В этом случае транспортная задача называется закрытой.
Если условие баланса нарушено, то транспортная задача называется
открытой.
Если задача с неправильным балансом (открытая), то:
𝑛
 при ∑𝑚
𝑖=1 𝑎𝑖 > ∑𝑗=1 𝑏𝑗 (спрос меньше предложения) необходимо ввести
𝑛
«фиктивного» потребителя груза: 𝑏𝑛+1 = ∑𝑚
𝑖=1 𝑎𝑖 − ∑𝑗=1 𝑏𝑗 .
𝑛
 при ∑𝑚
𝑖=1 𝑎𝑖 < ∑𝑗=1 𝑏𝑗 (спрос больше предложения) необходимо ввести
«фиктивного» поставщика груза: 𝑎𝑚+1 = ∑𝑛𝑗=1 𝑏𝑗 − ∑𝑚
𝑖=1 𝑎𝑖 .
Стоимости
перевозок
от
«фиктивного»
поставщика
до
всех
потребителей и от любого поставщика до «фиктивного» потребителя
принимаются равными нулю.
Неотрицательная
матрица
X, удовлетворяющая условиям задачи
называется планом (или допустимым планом) задачи. Допустимый план
называется оптимальным, если он доставляет минимум целевой функции.
21
опустимый план, имеющий не более n+m–1 отличных от нуля компонентов
xij, называется базисным, или опорным. Опорный план, имеющий ровно
n+m–1 отличных от нуля компонент, называется невырожденным, а если
число отличных от нуля компонент меньше, чем n+m–1, то план называется
вырожденным.
Алгоритм решения транспортной задачи (для закрытой транспортной
задачи):
1) Строим начальный опорный план. Одним из возможных методов
нахождения первоначального опорного плана является метод "северозападного" угла, метод минимальных тарифов.
Начальный и последующие планы заносятся в распределительную
таблицу, в которой заранее записываются исходные данные задачи. Таблица
с внесенными пунктами отправления Ai, их запасами ai , пунктами назначения
Bj, их запросами bj и тарифами cij (i = 1,2,..., т; j = 1,2,...,п) имеет вид:
Bj
Запас
B1
B2
...
Bn
b1
b2
...
bn
Ai
Спрос
A1
a1
c11
c12
…
c1n
A2
a2
c21
c22
…
c2n
...
...
…
…
…
…
Am
am
cm1
cm2
…
cmn
2) Проверяем опорный план на оптимальность методом потенциалов.
Находим потенциалы строк Ui и потенциалы столбцов Vj по формуле: Ui
+ Vj = cij для занятых клеток, cij - тариф.
Количество потенциалов — (m + n), а количество занятых клеток равно
(m + n - 1). Т.е. однозначно потенциалы не находятся. Обычно полагают, что
U1 = 0, тогда остальные потенциалы вычисляются однозначно.
22
Находим оценки свободных клеток ij= cij — (Ui + Vj).
Если все оценки свободных клеток ij ≥ 0, то опорный план является
оптимальным — решение закончено. Если при этом все ij > 0, то
оптимальный план является единственным. В противном случае имеет место
альтернативная оптимизация.
Если хотя бы одна из оценок ij < 0, то опорный план допускает
улучшения.
3) Среди свободных клеток с отрицательными оценками находим клетку
с наименьшей оценкой и обозначаем ее "*".
4) Строим означенный цикл с начальной вершиной в этой клетке.
Циклом с начальной вершиной в данной клетке называется замкнутая
ломаная, обладающая следующими свойствами:
 все ее вершины, кроме начальной, расположены в занятых клетках;
 звенья (стороны) цикла расположены в строках и столбцах таблицы;
 в каждой вершине звенья соединяются под прямым углом;
 на звеньях цикла могут быть занятые клетки, но они не являются
вершинами цикла;
 два звена могут пересекаться в какой-либо клетке, но эта клетка не
должна быть занятой (иначе она является вершиной).
Цикл называется означенным, если в его вершинах расставлены знаки
"+" и "-" так, что в свободной клетке стоит знак "+", а соседние вершины
имеют противоположные знаки.
Для каждой свободной клетки базисного распределения поставок
существует и притом единственный цикл, причем операция означивания
цикла является корректной.
5) Выбираем минимальную поставку z среди поставок в клетках со
знаком "-". Найденная поставка передвигается по циклу. При этом поставка в
клетках цикла со знаком "+" увеличивается на z, а в клетках со знаком "-"
уменьшается на z. Клетка с выбранной поставкой z, после перераспределения
23
поставок по циклу считаться свободной остальные клетки цикла —
заполненными. Таким образом, получен новый опорный план.
6) См. п.2 алгоритма.
Задачи для самостоятельной работы
В задачах 1-6 решить транспортные задачи, заданные таблицами
Задача 1.
Вj
125
75
200
380
220
222
20
18
11
8
3
188
10
10
5
2
4
210
2
17
8
4
3
300
3
9
17
8
4
Ai
Задача 2.
Вj
40
60
80
60
60
1
3
4
2
80
4
5
8
3
100
2
3
6
1
Ai
Задача 3.
Вj
150
140
190
200
3
7
2
150
9
2
1
130
1
5
7
170
6
4
8
Ai
24
Задача 4.
Вj
100
70
35
45
50
54
12
14
26
16
3
32
8
11
11
22
10
85
6
10
10
21
15
162
10
4
4
8
9
20
10
60
30
70
60
18
2
8
3
2
36
8
2
3
12
4
90
4
3
5
7
14
84
9
4
16
5
8
100
130
150
60
60
180
3
8
5
6
7
160
5
3
6
8
7
120
6
5
7
3
4
40
12
9
10
8
12
Ai
Задача 5.
Вj
Ai
Задача 6.
Вj
Ai
Задача 7. На четырех складах А, В, С, D находится соответственно 32,
30, 18, 20 т горючего, а в пунктах 1, 2, 3, 4, 5, 6 потребляют это горючее в
количествах 9, 10, 14, 20, 21, 26 т соответственно. Перевозка 1 т горючего со
складов А, В, С, D в пункты 1, 2, 3, 4, 5, 6 задается тарифной матрицей
25
5
2
𝑇=(
12
9
4
9
2
3
8 9 2
7 2 5
6 10 7
5 10 3
5
3
)
4
6
Составить такой план перевозки горючего, при котором транспортные
расходы будут минимальными, и указать эти расходы.
Задача 8. В резерве трех железнодорожных станций А, В, С находятся
соответственно 90, 40, 30 вагонов. Составить оптимальный план перегона
части этих вагонов к четырем пунктам погрузки хлеба, если пункту № 1
необходимо 60 вагонов, №2 — 40 вагонов, №3 — 30 вагонов, №4 — 20
вагонов. Стоимости перегонов одного вагона со станции А в указанные
пункты соответственно равны 200, 300, 100, 400 руб.; со станции В - 400, 300,
300, 200 руб. и со станции С - 200, 300, 100, 400 руб. В ответе указать
стоимость перегона вагонов.
Задача 9. На четырех складах находится сортовое зерно, соответственно
30, 20, 10,10 т, которое надо доставить в шесть пунктов: пункту №1 - 20 т,
№2 -10 т, №3 – 10 т, №4 – 10 т, №5 – 10 т, №6 - 10 т. Стоимость доставки
одной тонны зерна с данных складов в указанные пункты задается тарифной
матрицей
2
3
𝑇=(
8
3
4
3
2
5
7
6
10
3
2
9
4
5
1
3
7
6
8
5
)
6
4
Составить план перевозок зерна со складов во все шесть пунктов,
минимизирующий стоимость перевозок, и указать эту стоимость.
Задача
10.
На
четырех
базах
имеется
товар
в
количествах
соответственно 72, 72, 68, 60 единиц. Пять магазинов могут реализовать
ежедневно соответственно 30, 10, 80, 40, 100 единиц. Стоимость перевозки
одной единицы товара от каждой базы до всех магазинов задается матрицей
20
30
𝑇=(
10
20
36
40
28
32
26
6
3
5
7
27
30
47
42
5
9
)
7
3
Указать оптимальный план перевозок товаров от баз в магазины,
который минимизировал бы транспортные расходы, и указать эти расходы.
Практическое занятие «Решение задач линейного программирования в
Microsoft Excel»
Цели занятия: Изучить возможности редактора Microsoft Excel для
решения задач линейного программирования.
Для того чтобы решить задачу ЛП в табличном процессоре Microsoft
Excel, необходимо выполнить следующие действия:
1. Ввести условие задачи:
a) создать экранную форму для ввода условия задачи:
 переменных,
 целевой функции (ЦФ),
 ограничений,
 граничных условий;
b) ввести исходные данные в экранную форму:
 коэффициенты ЦФ,
 коэффициенты при переменных в ограничениях,
 правые части ограничений;
c) ввести зависимости из математической модели в экранную форму:
 формулу для расчета ЦФ,
27
 формулы для расчета значений левых частей ограничений;
d) задать ЦФ (в окне "Поиск решения"):
 целевую ячейку,
 направление оптимизации ЦФ;
e) ввести ограничения и граничные условия (в окне "Поиск решения"):
 ячейки со значениями переменных,
 граничные условия для допустимых значений переменных,
 соотношения между правыми и левыми частями ограничений.
28
2. Решить задачу:
a) установить параметры решения задачи (в окне "Поиск решения");
b) запустить задачу на решение (в окне "Поиск решения");
c) выбрать формат вывода решения (в окне "Результаты поиска
решения").
29
Задачи для самостоятельной работы
Задача 1. Магазин планирует реализовать четыре вида товаров Т1, Т2,
Т3, Т4. Известны затраты на реализацию единицы товара, оплата продавцов,
ограничения на торговые площади и складские помещения, а также прибыль
от реализации единицы того или иного товара. Требуется определить
плановый объем и структуру товарооборота, при котором прибыль магазина
оказалась бы максимальной. Цифровые данные приведены в таблице.
Виды ресурсов
Рабочее время продавцов
(человеко-дни)
Торговая площадь (м2)
Складские помещения (м2)
Прибыль (руб.)
Стоимость единицы товара
Т1
Т2
Т3
Т4
2
5
3
6
6
4
6
2
8
7
9
6
9
8
5
3
Суммарный
объём
50
200
40
max
Задача 2. Для изготовления изделий А, В и С в качестве сырья
используется сталь, алюминий и цветные металлы, объемы которых
ограничены. Изделия производятся на токарных, фрезерных и шлифовальных
станках. Требуется составить план выпуска продукции, при котором будет
достигнута максимальная прибыль от реализации всей продукции. Составить
математическую модель задачи при данных, приведенных в таблице.
Вид ресурса
Сталь (кг)
Алюминий (кг)
Цветные металлы (кг)
Станко-токарные (ч)
Станко-фрезерные (ч)
Станко-шлифовальные (ч)
Прибыль (ден. ед.)
Объем
ресурса
800
600
300
4800
5600
600
Норма расхода на единицу
ресурса
А
В
С
15
20
40
8
15
10
3
6
4
60
80
120
80
70
28
6
10
12
30
40
60
Задача 3. Хозяйство располагает следующими ресурсами: площадь -100
ед., труд - 120 ед., тяга - 80 ед. Хозяйство производит четыре вида продукции
30
П1, П2, П3, П4. Организация производства характеризуется следующей
таблицей:
Продукция
П1
П2
П3
П4
Составьте
Затраты на 1 ед. продукции
Площадь
Труд
тяга
Доход от
единицы
продукции
2
2
2
1
3
1
3
4
4
2
1
3
5
4
1
5
план выпуска продукции, обеспечивающий хозяйству
максимальную прибыль.
Задача 3. Совхоз отвел три земельных массива размером 5000, 8000,
9000 га на посевы ржи, пшеницы, кукурузы. Средняя урожайность в
центнерах на 1 га по массивам указана в следующей таблице:
Посевы
Рожь
Пшеница
Кукуруза
1
15
14
30
Массивы
II
14
14
35
III
15
22
25
За 1 ц. ржи совхоз получает 2 д. е., за 1 ц. пшеницы - 2,8 д. е., за 1 ц.
кукурузы - 1,4 д. е.
Сколько гектаров и на каких массивах совхоз должен отвести на каждую
культуру, чтобы получить максимальную выручку, если по плану он обязан
сдать не менее 1900 т ржи, 158000 т пшеницы и 30000 т кукурузы?
Практическое занятие «Моделирование числа Пи методом Монте-Карло»
Цель занятия: научиться моделировать случайные величины методом
Монте-Карло на примере моделирования числа Пи.
Метод Монте-Карло
Методы Монте-Карло - это общее название группы методов для
решения различных задач с помощью случайных последовательностей. Эти
31
методы (как и вся теория вероятностей) выросли из попыток людей
улучшить свои шансы в азартных играх. Этим объясняется и тот факт, что
название этой группе методов дал город Монте-Карло - столица
европейского игорного бизнеса (казино), где играют в рулетку - одно из
простейших устройств для получения случайных чисел, на использовании
которых основан этот метод.
Создателями метода статистических испытаний (метода Монте-Карло)
считают американских математиков Д. Неймана и С. Улама. В 1944 году, в
связи с работами по созданию атомной бомбы Нейман предложил широко
использовать аппарат теории вероятностей для решения прикладных задач с
помощью ЭВМ.
К разделам науки, где все в большей мере используется метод МонтеКарло, следует отнести задачи теории массового обслуживания, задачи
теории игр и математической экономики, задачи теории передачи сообщений
при наличии помех и ряд других.
Задача
метода
Монте-Карло
после
получения
ряда
реализаций
интересующей нас случайной величины заключается в получении некоторых
сведений о ее распределении, т.е. является типичной задачей математической
статистики.
Итак, сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется
найти значение а некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую
случайную величину X, математическое ожидание которой равно А:
М(Х)=A.
Практически же поступают так: производят N испытаний, в результате
которых
получают N возможных
значений X, вычисляют
их
среднее
арифметическое и принимают его в качестве оценки (приближенного
значения) A' искомого числа A.
Отыскание
возможных
значений
случайной
величины
(моделирование) называют «разыгрыванием случайной величины».
32
Х
Моделирование числа Пи
Существует много способов вычисления числа Пи. Самым простым и
понятным является численный метод Монте-Карло, суть которого сводится к
простейшему перебору точек на площади. Суть расчета заключается в том, то
мы берем квадрат со стороной a = 2R, вписываем в него круг радиусом R. И
начинаем наугад ставить точки внутри квадрата.
Геометрически, вероятность P1 того, что точка попадет в круг, равна
отношению площадей круга и квадрата:
P1=Sкруг/Sквадрата = πR2/a2 = πR2/(2R)2=πR2/(2R)2 = π/4
Вероятность попадания точки в круг можно также посчитать после
численного эксперимента ещё проще: посчитать количество точек, попавших
в круг, и поделить их на общее количество поставленных точек:
P2=Nпопавших в круг / Nточек;
Так, при большом количестве точек в численном эксперименте
вероятности должны вести себя cледующим образом:
lim(Nточек→∞)(P2-P1)=0;
Следовательно:
π/4 = Nпопавших в круг/Nточек;
π =4 Nпопавших в круг/Nточек;
Задание выполняется на одном из языков программирования (Delphi,
С++). Напишите программу, выполняющую моделирование числа .
33
Практическое занятие «Моделирование случайной величины»
Цель занятия: научиться моделировать непрерывные и дискретные
случайные величины с помощью языков программирования.
Моделирование случайных событий
Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие
случайной величины. Для того чтобы знать случайную величину необходимо
знать те значения, которые она может принимать. Однако одного перечня
значений случайной величины еще недостаточно, чтобы по ним можно было
делать какие-либо существенные выводы. Для задания случайной величины
необходимо знать не только, какие значения может она принимать, но и как
часто, т.е. с какой вероятностью она принимает эти значения. Для этого
вводится понятие функции распределения случайной величины.
Пусть ξ – случайная величина и x – произвольное действительное число.
Вероятность того, что
ξ примет значение, меньшее чем x, называется
функцией распределения вероятностей случайной величины ξ:
F(x) = P (ξ<x)
Случайная величина ξ называется непрерывной, если множество ее
возможных значений несчетно и существует такая неотрицательная функция
f(x), x € R, что при - ∞  a < b  ∞ вероятность
P (a  ξ <b) =
b
 f ( x)dx
a
Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей для
случайной величины ξ.
Для моделирования случайной величины ξ с заданным законом
распределения F(x) = P (ξ<x) применяется функционально преобразование
случайной величины с равномерным законом распределения (0,1).
34
Использование языков программирования для моделирования
случайной величины
Задание выполняется на одном из языков программирования (Delphi,
С++). Необходимо написать программу, выполняющую моделирование
случайной величины.
На основе плотности вероятности случайной величины в программе
сформировать значения случайной величины. Выполнить сортировку
значений и вывести на форму.
Рассчитать
статистические
характеристики
случайной
величины:
математические ожидание, дисперсию, выборочное среднее, выборочную
дисперсию, выборочную медиану, размах выборки. Эти значения вывести на
форму.
Вычислить теоретическую и выборочную функции распределения и
построить их графики. Вычислить максимальное расхождение теоретической
и выборочной функций распределения.
Построить гистограмму непрерывной случайной величины. Исходными
данными являются количество отрезков, на которые разбивается диапазон
значений случайной величины и массив, содержащий левые и правые концы
отрезков. В
программе определить количество
значений
случайной
величины, попавших в указанный диапазон. По этим значениям построить
гистограмма (эмпирическая плотность вероятностей).
Вывести
значения
теоретической
и
эмпирической
плотности
распределения вероятности в серединах отрезков. Вычислить максимальную
разность значений теоретической и эмпирической плотности распределения
вероятности.
Осуществить проверку гипотезы о виде распределения. Предположение
о распределении, которому подчиняются выборочные значения, называется
гипотезой. Проверяемая гипотеза называется нулевой гипотезой.
Для проверки согласования данных с распределением F(x) используйте
критерий 2.
35
Исходными данными являются количество отрезков, на которые
разбивается диапазон значений случайной величины и массив, содержащий
левые и правые концы отрезков. Также вводится уровень значимости.
R0 =
k
(n j  nq j ) 2
j 1
nq j

Величина R0 характеризует меру расхождения между наблюдавшимися
частотами и ожидаемым числом попаданий в интервал при нулевой гипотезе.
Результатом работы этой части программы должна быть таблица со
значениями qj и величина
F(R0). В зависимости от F(R0) принимается
решение о принятии или отвержении гипотезы.
Задания для самостоятельной работы
Задача 1. Передаётся n сообщений по каналу связи. Каждое сообщение
с вероятностью p независимо от других искажается. С.в.  — число искажённых сообщений.
Задача 2. При каждом цикле обзора радиолокатора объект (независимо
от других циклов) обнаруживается с вероятностью p. С.в.  — число циклов
обзора до обнаружения объекта.
Задача 3. ЭВМ генерирует последовательность чисел до получения
некоторого заданного числа. Вероятность генерации этого числа на каждом
шаге независимо от других шагов равна p. С.в.  — число элементов
полученной последовательности.
Задача 4. В лотерее среди N билетов M выигрышных. Игрок покупает r
билетов. С.в.  — число выигрышных билетов среди купленных.
Задача 5. На автоматическую телефонную станцию поступает поток
вызовов с интенсивностью . С.в.  — число вызовов за t минут, имеет
распределение Пуассона со средним  t.
Задача 6. С.в.  — время обслуживания покупателя в кассе магазина.
Пусть  распределена показательно с параметром .
36
Задача 7. В очереди к кассе стоят N >> 1 человек. Сумма, которую
нужно заплатить отдельному лицу, есть случайная величина со средним m и
дисперсией d. Вид плотности распределения выбрать по аналогии с
приведёнными на рисунках.
С.в.  — общая сумма сумма выплат.
Задача 8. Скорость соударения молекул — случайная величина,
распределённая по закону Релея с параметром :
Задача 9. Каждому из трёх стрелков предоставляется возможность
поразить цель с r выстрелов. Вероятность попадания в мишень для этих
стрелков при j-м выстреле равна p j k . При поражении мишени стрелком
следующие выстрелы не производятся. С.в.  — общее число произведённых
выстрелов.
Задача 10. Два баскетболиста поочерёдно бросают мяч в корзину до
первого попадания одним из баскетболистов. Вероятнось попадания при
каждом броске для первого баскетболиста равна p1, для второго — p2. С.в. 
— число бросков, произведённых вторым (по очереди) баскетболистом.
Задача 11. Распределение случайной величины  задано плотностью:
37
Задача 12. Плотность распределения с.в.  задана графически:
Задача 13. В течение некоторого времени испытываются M приборов на
надёжность. Вероятность выхода из строя каждого прибора независимо от
других равна p. С.в.  — число отказавших приборов.
Задача
14.
Студенту
на
зачёте
задаются
вопросы,
которые
прекращаются, если студент на заданный вопрос не ответит. Вероятность
ответа на каждый вопрос независимо от других равна p. С.в.  — число
полученных ответов.
Задача 15. В партии из N лампочек M перегоревших. С.в.  — число
перегоревших лампочек среди r выбранных наудачу.
Задача 16. Плотность распределения с.в.  задана графически:
Задача 17. Вероятность изготовления годной детали из каждой отливки
независимо от других равна p. С.в.  — число использованных отливок для
изготовления годной детали.
Задача 18. Плотность распределения с.в.  задана графически:
38
Задача 19. Точка наудачу выбирается в правильном треугольнике.
Случайная величина  — расстояние до центра треугольника.
Задача 20. Точка наудачу выбирается в правильном треугольнике.
Случайная величина  — расстояние до ближайшей стороны треугольника.
Задача 21. Монета подбрасывается до тех пор, пока орёл не появится
три раза. С.в.  — число подбрасываний монеты.
Задача 22. Число покупателей, посетивших магазин в течение дня,
случайно и имеет пуассоновское распределение со средним . Стоимость
покупок одного человека имеет нормальное распределение со средним m и
дисперсией  2 . С.в.  — дневная выручка магазина.
Задача 23. С.в.  — сумма n независимых случайных величин с
плотностью распределения
39
Литература
1.
Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы
эконометрики. Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ, 1998 – 1022 с.
2.
Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология.
2-е изд., стер. – М: Наука 1988. – 208 с.
3.
Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. – 7-е изд. стер. –
М.: Высш. шк., 2001. – 575 с.
4.
Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Задачи и упражнения по теории
вероятностей. – Учеб. пособие для вузов – 3-е изд. стер. – М.: Высш. шк.,
2001. – 366 с.
5.
Власов М.П. Моделирование экономических процессов / М.П. Власов,
П.Д. Шимко. – Ростов н /Д: Феникс, 2005. – 409 с.
6.
Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и
математической статистике: Учеб. пособие для студентов вузов. Изд. 5-е,
стер. – М.: Высш. шк., 2000. – 400 с.
7.
Емельянов А.А., Власова Е.А. Имитационное моделирование в
экономических информационных системах. – М.:МЭСИ,1996. –108 с.
8.
Емельянов А.А., Власова Е.А., Дума Р.В. Имитационное моделирование
экономических процессов. – М.: Финансы и статистика, 2002.
9.
Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические
методы в экономике. Учебник. 2-е изд. – М: МГУ им. M.B. Ломоносова, Издво «Дело и Сервис», 1999. – 368 с.
10. Исследование операций в экономике: Учебн. пособие для вузов/ Н.Ш.
Кремер,
Б.А.Путко,
И.М.Тришин,
М.Н.
Фридман;
под
ред.проф.
Н.Ш.Кремера -М: Банки и биржи, ЮНИТИ 1999. – 407 с.
11. Казиев В.М. Введение в анализ, синтез и моделирование систем:
учебное пособие. – 2-е изд., – М.: Интернет-Университет Информационных
Технологий; БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 244 с.
40
12. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании.
т. 1,2 – М.: Статистика, 1978;
13. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая
статистика: Учебник/Под ред. В.А. Колемаева. – М.:ИНФРА-М, 1999. – 302 с.
14. Колемаев
В.А.,
Староверов
О.В.,
Турундаевский
В.Б.
Теория
вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1991.
15. Кондауров М.Т. Практические занятия по высшей математике: Учебное
пособие для вузов. – Ч.4. – Н. Новгород: ВГИПУ, 2006. – 188 с.
16. Кондауров М.Т. Теория вероятностей и математическая статистика.
Учебное пособие для вузов. – Н. Новгород, 1995. – 220 с.
17. Кондауров М.Т., Тарасова Н.А. Практические занятия по теории
вероятностей: Учебное пособие для вузов. – Н. Новгород: ВГИПИ, 2000. –
134 с.
18. Кундышева Е.С. Математическое моделирование в экономике: Учебное
пособие. – 3-е изд., перераб. и испр. /Под научн. ред. проф. Б.А. Суслакова. –
М.: Издательство – торговая корпорация «Дашков и К», 2007. – 352 с.
19. Математическое моделирование систем связи: учебное пособие / К. К.
Васильев, М. Н. Служивый. – Ульяновск : УлГТУ, 2008. – 170 с.
20. Неймарк Ю.И., Коган Н.Я., Савельев В.П. Динамические модели теории
управления. –М.: Наука, 1985.
21. Снетков Н.Н. Имитационное моделирование экономических процессов:
Учебно-практическое пособие. – М.: Изд. центр ЕАОИ, 2008. – 228 с.
22. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Учебник для вузов.
– М.: Высш. шк., 2001. – 342 с.
23. Соколов В.А., Кулева Л.В., Тарасова Н.А. Практикум по решению
математических задач системного анализа. Учебное пособие. – Н. Новгород:
ВГИПА, 2003. – 178 с.
24. Соколов В.А., Тарасова Н.А. Моделирование социально-экономических
процессов. Часть 1.: Учебно-методическое пособие. – Н. Новгород: ВГИПУ,
2006. – 60 с.
41
25. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / В.С.
Королюк, Н.И. Портенко, А.В. Скороход, А.Ф. Турбин. – М.: Наука. Главная
ред. физ.-мат. лит., 1985 – 640 с.
26. Строгалев В. П., Толкачева И. О. Имитационное моделирование. –
МГТУ им. Баумана, 2008.
27. Тарасова Н.А. Задачи оптимизации: методические рекомендации. – Н.
Новгород: ВГИПА, 2002. – 33 с.
28. Технология
системного
моделирования.
Емельянова С.В. - М.: Машиностроение, 1988г.
42
/Под
общей
редакцией
Содержание
Практическое занятие «Дескриптивные модели»
3
Практическое занятие «Решение задач линейного программирования
5
графическим методом»
Практическое занятие «Решение задач линейного программирования
14
симплекс-методом»
Практическое занятие «Решение транспортных задач»
20
Практическое занятие «Решение задач линейного программирования
27
в Microsoft Excel»
Практическое занятие «Моделирование числа Пи методом Монте-
31
Карло»
Практическое занятие «Моделирование случайной величины»
34
Литература
40
43